CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ
Chuyên đ 5ề: C C TRỰ Ị C AỦ M T BI U TH CỘ Ể Ứ
I/ GIÁ TR L N NH T ,GIÁ TR NH NH T C M T BI U TH C Ị Ớ Ấ Ị Ỏ Ấ ỦẢ Ộ Ể Ứ
1/ Cho bi u th c f( x ,y,...)ể ứ
a/ Ta nói M giá tr l n nh t ( GTLN) c a bi u th c f(x,y...) kí hi u max f = M ị ớ ấ ủ ể ứ ệ
n u hai đi u ki n sau đây đc tho mãn:ế ề ệ ượ ả
- V i m i x,y... đ f(x,y...) xác đnh thì :ớ ọ ể ị
f(x,y...)
M ( M h ng s ) (1)ằ ố
-T n t i xồ ạ o,yo ... sao cho:
f( xo,yo...) = M (2)
b/ Ta nói m là giá tr nh nh t (GTNN) c a bi u th c f(x,y...) kí hi u min f = m ị ỏ ấ ủ ể ứ ệ
n u hai đi u ki n sau đây đc tho mãn :ế ề ệ ượ ả
- V i m i x,y... đ f(x,y...) xác đnh thì :ớ ọ ể ị
f(x,y...)
m ( m h ng s ) (1’)ằ ố
-T n t i xồ ạ o,yo ... sao cho:
f( xo,yo...) = m (2’)
2/ Chú ý : N u ch có đi u ki n (1) hay (1’) thì ch a có th nói gì v c c tr ế ỉ ề ệ ư ể ề ự ị
c a m t bi u th c ch ng h n, xét bi u th c : A = ( x- 1)ủ ộ ể ứ ẳ ạ ể ứ 2 + ( x – 3)2. M c dù ặ
ta có A
0 nh ng ch a th k t lu n đc minA = 0 vì không t n t i giá tr ư ư ể ế ậ ượ ồ ạ ị
nào c a x đ A = 0 ta ph i gi i nh sau:ủ ể ả ả ư
A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2
2
A = 2
x -2 = 0
x = 2
V y minA = 2 khi ch khi x = 2ậ ỉ
II/ TÌM GTNN ,GTLN C A BI U TH C CH A M T BI NỦ Ể Ư Ứ Ộ Ế
1/ Tam th c b c hai:ứ ậ
1
CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ
Ví d : Cho tam th c b c hai P = axụ ứ ậ 2 + bx + c .
Tìm GTNN c a P n u aủ ế
0.
Tìm GTLN c a P n u a ủ ế
0
Gi i : P = axả2 + bx +c = a( x2 +
a
b
x ) + c = a( x +
a
b
2
)2 + c -
2
2
4
b
a
Đt c - ặ
a
b
4
2
=k . Do ( x +
a
b
2
)2
0 nên :
- N u a ế
0 thì a( x +
a
b
2
)2
0 , do đó P
k. MinP = k khi và ch khi x = -ỉ
a
b
2
-N u a ế
0 thì a( x +
a
b
2
)2
`
0 do đó P
`
k. MaxP = k khi và ch khi x = -ỉ
a
b
2
2/ Đa th c b c cao h n hai:ứ ậ ơ
Ta có th đi bi n đ đa v tam th c b c haiể ổ ế ể ư ề ứ ậ
Ví d : Tìm GTNN c a A = x( x-3)(x – 4)( x – 7)ụ ủ
Gi i : A = ( xả2 - 7x)( x2 – 7x + 12)
Đt xặ2 – 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36
-36
minA = -36
y = 0
x2 – 7x + 6 = 0
x1 = 1, x2 = 6.
3/ Bi u th c là m t phân th c :ể ứ ộ ứ
a/ Phân th c có t là h ng s , m u là tam th c b c hai:ứ ử ằ ố ẫ ứ ậ
Ví d : Tìm GTNN c a A = ụ ủ
2
956
2
xx
.
Gi i : A = ả
2
956
2
xx
. =
569
2
2
xx
=
4)13(
2
2
x
.
2
CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ
Ta th y (3x – 1)ấ2
0 nên (3x – 1) 2 +4
4 do đó
4
1
theo tính
ch t a ấ
b thì
a
1
b
1
v i a, b cùng d u). Do đó ớ ấ
4)13(
2
2
x
4
2
A
-
2
1
minA = -
2
1
3x – 1 = 0
x =
3
1
.
Bài t p áp d ng: ậ ụ
1. Tìm GTLN c a BT : ủ
2
1
Ax 4x 9
=− +
HD gi i:ả
( )
2
2
1 1 1 1
A . max A= x 2
x 4x 9 5 5
x 2 5
= = =� �
− + − +
.
2. Tìm GTLN c a BT : ủ
2
1
Ax 6x 17
=− +
HD Gi i:ả
( )
2
2
1 1 1 1
A . max A= x 3
x 6x 17 8 8
x 3 8
= = =� �
− + − +
3. (51/217) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: ị ỏ ấ ủ ể ứ
2
3
A
2 x 2x 7
=+ − + +
b/ Phân th c có m u là bình ph ng c a nh th c.ứ ẫ ươ ủ ị ứ
Ví d : Tìm GTNN c a A = ụ ủ
12
683
2
2
xx
xx
.
Gi i : ảCách 1 : Vi t A d i d ng t ng hai bi u th c không âm ế ướ ạ ổ ể ứ
A =
( ) ( )
2 2
2
2 2 1 4 4
2 1
x x x x
x x
− + + − +
− +
= 2 +
2
2
)1(
)2(
x
x
2
minA = 2 khi và chi khi x = 2.
Cách 2: Đt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có :ặ
A =
( ) ( )
2 2 2
22 2
3( 1) 8( 1) 6 3 6 3 8 8 6 3 2 1
2 1 2 2 1
1 2 1 1
y y y y y y y
y y y y
y y
+ − + + + + − − + − +
= =
+ + − − +
+ − + +
= 3 -
y
2
+
2
1
y
= (
y
1
-1)2
+ 2
minA = 2
y = 1
x – 1 = 1
x = 2
Bài t p áp d ng: ậ ụ
3
CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ
1, (13/200) Tìm GTNN và GTLN c a bt: ủ
2
2
1
P1
x
x x
+
=− +
2, (36/210) Tìm GTNN c a bt : ủ
2
2
2 2006
Bx x
x
− +
=
3, ( 45/ 214) Tìm GTNN và GTLN c a bt: ủ
2
2
C5 7
x
x x
=− +
4, ( 47, 48 /215) Tìm GTNN c a bt : a, ủ
2
2
2 2
D2 3
x x
x x
+ +
=+ +
b,
2
2
2 1
E2 4 9
x x
x x
+ −
=+ +
c/ Các phân th c d ng khác:ứ ạ
Ví d : Tìm GTNN và GTLN c a A = ụ ủ
1
43
2
x
x
Gi i Đ tìm GTNN , GTLN ta vi t t th c v d ng bình ph ng c a m t s :ả ể ế ử ứ ề ạ ươ ủ ộ ố
A =
1
144
2
22
x
xxx
=
1
)2(
2
2
x
x
- 1
-1
Min A= -1 khi và ch khi x = 2ỉ
Tìm GTLN A =
1
14444
2
22
x
xxx
= 4 -
1
)12(
2
2
x
x
4
Bài t p áp d ng: ậ ụ
1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN c a bt: a, ủ
2
A2
x
x
=+
b,
( )
2
3
2
B
2
x
x
=+
2, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN c a bt: ủ
( )
22 17
2 1
x x
Qx
+ +
=+
V i x > 0ớ
3, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN c a bt: ủ
32000
Sx
x
+
=
V i x > 0ớ
III/ TÌM GTNN, GTLN C A BT CÓ QUAN H RÀNG BU C GI A CÁC BI NỦ Ệ Ộ Ữ Ế
Ví d : Tìm GTNN c a A = xụ ủ 3 + y3 + xy bi t r ng x + y = 1ế ằ
s d ng đi u ki n đã cho đ rút g n bi u th c Aử ụ ề ệ ể ọ ể ứ
A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2
Đn đây ta có nhi u cách gi i ế ề ả
4
CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ
Cách 1: s d ng đi u ki n đã cho làm xu t hi n m t bi u th c có ch a Aử ụ ề ệ ấ ệ ộ ể ứ ứ
x + y = 1
x2 + 2xy + y2 = 1 (1)
Mà (x – y)2
0 Hay: x2 - 2xy + y2
0 (2)
C ng (1) v i (2) ta có 2(xộ ớ 2 + y2 )
1
x2 + y2
2
1
minA =
2
1
khi và ch khi x = y = ỉ
2
1
Cách 2: Bi u th y theo x r i đa v tam th c b c hai đi v i x. Thay y = x – 1 ể ị ồ ư ề ứ ậ ố ớ
vào A
A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 -
2
1
)2 +
2
1
2
1
minA =
2
1
khi và ch khi x = y = ỉ
2
1
Cách 3/ S d ng đi u ki n đã cho đ d a v m t bi n m iử ụ ề ệ ể ư ề ộ ế ớ
Đt x = ặ
2
1
+ a thì y =
2
1
- a . Bi u th xể ị 2 + y2 ta đc :ượ
x2 + y 2 = (
2
1
+ a)2 + (
2
1
- a)2 =
2
1
+2 a2
2
1
=> MinA =
2
1
a = 0
x=y =
2
1
Bài t p 1ậ: Tìm Min A =
2 2 3 3 2014a ab b a b+ + − − +
Cách 1 Ta có: A=
2 2
2 1 2 1 1 2011a a b b ab a b− + + − + + − − + +
2 2
= a 2 1 2 1 1 2011a b b ab a b− + + − + + − − + +
( ) ( ) ( ) ( )
2 1
= a 1 1 1 1 2011− + − + − − − +b a b b
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
= a 1 1 1 1 2011− + − + − − +b a b
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
21 1 3 1
a 1 2 1 2011
2 4 4
b b b
a− − −
= − + − + + +
( )
2
23 1
1
= a 1 + 2011
2 4
b
b−
−
� �
− + +
� �
� �
Min A = 2011 khi
1
a 1 0 1
2
1 0
b
a b
b
−
− + =
= =�
− =
5