Tóm tắt công thức Toán cao cấp A2

Chia sẻ: Tà Thần Hỏa Vân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

1.929
lượt xem 272
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn tham khảo tài liệu Tóm tắt công thức Toán cao cấp A2 dưới đây để nắm bắt những công thức về hàm một biến; hàm nhiều biến; phương trình vi phân; chuỗi. Tài liệu hữu ích với những bạn chuyên ngành Toán học và những bạn quan tâm tới Toán cao cấp A2.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt công thức Toán cao cấp A2

Hμm mét biÕn 1. C«ng thøc tÝnh ®¹o hµm • (uα)’ = α .u’.uα-1 (α: H»ng sè, U: Hµm • (arcsin u)’ = u' ; sè) 1− u2 • (aU)’ = u’.ln a.aU (a: H»ng sè, U: Hµm • (arccos u)’ = − u' sè) 1− u2 • (eU)’ = u’.eU u' • (arctg u)’ = ; • (Sin u)’ = u’.cos u 1+ u 2 • Cos u)’ = - u’.sin u − u' • (arccotg u)’ = u' 1+ u2 • (Tg u)’= ; Cos 2 u • (u ± v)’=u’ ± v’ • (Cotg u)’= 2 − u' • (u.v)’= u’v+v’u Sin u u u ' v − v' u • ( )’ = u' v v2 • (Logau)’ = u. ln a 2. Vi ph©n du = u’.dx 3. Giíi h¹n - V« cïng bÐ t−¬ng ®−¬ng : Lim α ( x) = 0 => α(x) ®−îcgäi lµ v« cïng bÐ khi x->a x →a α ( x) Lim = 1 --> α(x) vµ β(x) lµ hai v« cïng bÐ t−¬ng ®−¬ng khi x->a x →a β ( x) Ký hiÖu : α(x) ∼β(x) khi x->a α ( x) α ( x) §Þnh lý : NÕu α(x) ∼α1(x) vµ β (x) ∼β1(x)khi x->a th× Lim = Lim 1 x →a β ( x ) x → a β1 ( x ) Sin x ∼ x khi x->0 ArcTg x ∼ x khi x->0 ArcSin x ∼ x khi x->0 ex-1 ∼ x khi x->0 Tg x ∼ x khi x->0 ln(1+x) ∼ x khi x->0 0 ∞ f ( x) f ' ( x) - C«ng thøc Lopital khö d¹ng ; : Lim = Lim 0 ∞ x →a g ( x ) x→a g ' ( x ) 4. TÝnh liªn tôc cña hµm sè Hµm sè: y = f(x) liªn tôc t¹i x = x0 nÕu : + f(x0) x¸c ®Þnh vµ h÷u h¹n + Lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 (NÕu hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i x0 th× x0 ®c gäi lµ ®iÓm gi¸m ®o¹n) Hµm sè s¬ cÊp y = f(x) sÏ liªn tôc t¹i mäi ®iÓm mµ hµm sè x¸c ®Þnh 5. TÝch ph©n a. C«ng thøc nguyªn hµm • xα dx = 1 .x α +1 + C (α>0) • ∫ cos x.dx = − sin x + C ∫ (α + 1) 1 1 x • ∫ cos .dx = tg u + C • ∫ a dx = ln a .a + C x 2 x 1 x • • ∫ .dx = arcsin + C ∫ e dx =e + C x x a −x 2 2 a • ∫ sin x.dx = cos x + C 1 1 x • ∫ a 2 + x 2 .dx = a .arctg a +C 1 • ∫ sin 2 x .dx = -cotg x + C 1 • ∫ x .dx = ln x + C 1
b. TÝch ph©n tõng phÇn: ∫ u.dv = u.v − ∫ vdu Hμm nhiÒu biÕn 7. §¹o hµm riªng vµ vi ph©n toµn phÇn ∂f ( x0 , y0 ) f ( x0 + Δx, y0 ) − f ( x0 , y0 ) • f x' ( x0 , y0 ) = = Lim ∂x Δ x →0 Δx ∂f ( x , y ) f ( x , y + Δ y ) − f ( x0 , y 0 ) • f y' ( x0 , y0 ) = 0 0 = Lim 0 0 ∂y Δy →0 Δy • Vi ph©n toµn phÇn cÊp 1: df ( x, y) = f x' ( x, y )dx + f y' ( x, y)dy • Vi ph©n toµn phÇn cÊp 2: d 2 f ( x, y ) = f xx2 ( x, y )dx 2 + 2 f xy2 ( x, y)dxdy + f yy2 ( x, y )dy 2 • C«ng thøc tÝnh gÇn ®óng: f(x+Δx, y+Δy) = f(x,y) + fx’(x,y). Δx + fy’(x,y). Δy • §¹o hµm cña hµm hîp: F(u,v), trong ®ã u =u(x,y); v=v(x,y) : ⎧ ∂F ∂F ∂u ∂F ∂v ⎪⎪ ∂x = ∂u ∂x + ∂v ∂x ⎨ ∂F ∂F ∂u ∂F ∂v ⎪ = + ⎪⎩ ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y • §¹o hµm cña hµm Èn : Fx' ( x, y ) *NÕu F(x,y) = 0 ; y= y(x): => y ' ( x) = − Fy' ( x, y ) Fx' ( x, y, z ) Fx' ( x, y, z ) *NÕu F(x,y,z) = 0 ; z= z(x,y): => z ' ( x) = − ; z' ( y) = − ' Fx' ( x, y, z ) Fy ( x, y, z ) 8 . Cù trÞ hµm nhiÒu biÕn ⎧⎪ f x' ( x, y ) = 0 B−íc1: T×m ®iÓm c¸c ®iÓm dõng M(xi,yi) lµ nghiÖm cña hÖ PT: ⎨ ' ⎪⎩ f y ( x, y ) = 0 B−íc2: KiÓm tra ®iÓm M(xi,yi) cã lµ cùc trÞ A=fxx”(xi,yi); B=fxy”(xi,yi); C=fyy”(xi,yi); A0: M(xi,yi)--- Cùc tiÓu B2-AC > 0 M(xi,yi)--- kh«ng lµ cùc trÞ 2 B -AC = 0 M(xi,yi)--- Ch−a kÕt luËn ®−îc Cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn: T×m cùc trÞ hµm: u=f(x,y,z) víi ®k: g(x,y,z)=0 ⎧ f x' f y' f z' ⎪ = = Gi¶i hÖ PT: ⎨ g x' g 'y g z' => NghiÖm M(x,y,z) ⎪ ⎩ g ( x, y , z ) = 0 9. TÝch ph©n kÐp a. Trong hÖ täa ®é ®Ò c¸c: - NÕu miÒn D lµ h×nh ch÷ nhËt x¸c ®Þnh bëi: a ≤ x ≤b vµ c ≤ y ≤d th×: b d ∫∫ D f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy a c - NÕu miÒn D lµ h×nh ch÷ nhËt x¸c ®Þnh bëi: a ≤ x ≤b vµ y1(x) ≤ y ≤y2(x) th×: b y2 ( x ) ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y)dy D a y1 ( x ) 2
b. §æi biÕn trong tÝch ph©n kÐp: x=x(u,v) ; y=y(u,v) ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ | J | . f [ x(u, v), y(u, v)]dudv D D ' D( x, y ) xu xv' trong ®ã: J= = D(u , v) yu' yv' c. Trong hÖ täa ®é cùc: I= ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ ).r.drdϕ (x= r.cosϕ; y= r.sinϕ) D D' y y y D r=g2(ϕ) r=g(ϕ) r=g(ϕ) ϕ2 r=g1(ϕ) ϕ2 ϕ1 0 x 0 x 0 D x ϕ1 D ϕ2 g 2 (ϕ ) ϕ2 g (ϕ ) 2π g (ϕ ) I = ∫ dϕ ∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ ).r.dr I = ∫ dϕ ∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ ).r.dr I = ∫ dϕ ∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ ).r.dr ϕ1 g 1(ϕ ) ϕ1 0 0 0 10. TÝch ph©n ®−êng lo¹i 1 b - NÕu: y=y(x), a ≤ x ≤b th×: ∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( x, y ( x)) 1 + y '2 ( x).dx a AB t2 - NÕu: x=x(t), y=y(x), t1 ≤ t ≤t2 th×: ∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( x(t ), y (t )). x '2 (t ) + y '2 (t ).dt t1 AB 11 . TÝch ph©n ®−êng lo¹i 2 - NÕu AB ®−îc cho bëi: y=y(x), a,b lµ hoµnh ®é cña A vµ B th× b ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫ [ P( x, y( x)) +Q( x, y( x)). y '( x)]dx a AB - NÕu AB cho bëi: x=x(t), y=y(t), t=tA (t¹i A), t=tB (t¹i B) th× : B tB ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫ [ P( x(t ), y(t )).x '(t ) +Q( x(t ), y(t )). y '(t )]dt tA AB ∂P ∂Q - C«ng thøc Green : ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy L D (L- lµ miÒn biªn cña D và lµ mét ®−êng khÐp kÝn) ∂Q ∂P D HÖ qu¶: NÕu = ∂x ∂y trong D th×: ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0 L • §Þnh lý 4 mÖnh ®Ò t−¬ng ®−¬ng: L Cho P(x,y) vµ Q(x,y) liªn tôc, cã ®¹o hµm riªng cÊp 1 trong miÒn D. Khi ®ã, 4 mÖnh ®Ò sau lµ t−¬ng ®−¬ng: ∂Q ∂P (1) = ∂x ∂y (2) ∃ u(x,y) sao cho: du(x,y)= P(x,y)dx+Q(x,y)dy (3) Mäi ®−êng cong kÝn L ⊂ D th×: ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0 L+ + (L - ®Þnh h−íng d−¬ng, do c«ng thøc Green) (4) TÝch ph©n ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy kh«ng phô thuéc vµo ®−êng cong nèi 2 ®iÓm A,B AB 3
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n 12 . Ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1: F(x,y,y’) = 0 hoÆc y’= f(x,y) − f ( x) dy − f ( x) (1) Ph−¬ng tr×nh ph©n ly: y' = ⇔ = ⇔ f ( x)dx + g ( y )dy = 0 g ( y) dx g ( y) - TÝch ph©n 2 vÕ: ∫ f ( x)dx + ∫ f ( y)dy = C ⇔ F(x)+ G(x) = C (2) Ph−¬ng tr×nh ®¼ng cÊp: y ' = f ⎛⎜ ⎞⎟ y x ⎝ ⎠ y - §Æt u(x) = ⇒ y = u(x).x ⇒ y’= u(x)+ u’(x).x Thay vµo PT ta cã: x du u+u’.x= f(u) ⇔ x.u’ = f(u) – u hay x. = f (u ) − u dx * NÕu f(u) – u = 0: x.u’= 0 ⇒ u’= 0 ⇒ u= C ⇒ y = C.x - lµ 1 hä nghiÖm dx du * NÕu f(u) – u ≠ 0: = (®©y lµ mét PT ph©n ly). TÝch ph©n hai vÕ : x f (u ) − u y dx du φ( ) ∫ x = ∫ f (u ) − u ⇒ ln | x |= φ (u) + ln | C | ⇒ x = C.e x 1 (Φ(u) lµ mét nguyªn hµm cña ) f (u ) − u (3) Ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh: y’+p(x).y=q(x) Ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt: y’+p(x).y=0 y = e∫ .(C + ∫ Q( x).e ∫ P ( x ) dx P ( x ) dx C«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t: dx) (4) Ph−¬ng tr×nh Becnuly: y '+ p( x). y = q( x). yα (α ≠ 0, α ≠ 1) (Ph−¬ng ph¸p gi¶i: ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh) • α>0: y= 0 lµ 1 nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh • Víi y ≠ 0 chia c¶ 2 vÕ cho yα vµ ®Æt z(x) = y1-α ⇒ z’(x) = (1-α).y’.yα thay vµo PT z'+(1-α).p(x).z=(1-α).q(x) --- Lµ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh ∂P ∂Q (5) Ph−¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn: P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (trong ®ã: = ) ∂y ∂x x y NghiÖm tæng qu¸t: u ( x, y ) = ∫ P ( x, y0 )dx + ∫ Q( x, y )dy = C x0 y0 x y Hay : u ( x, y ) = ∫ P( x, y )dx + ∫ Q( x0 , y )dy = C x0 y0 ( trong ®ã (x0,y0) bÊt kú ∈ D). §Ó ®¬n gi¶n chän x0= 0, y0= 0, nÕu (0,0) ∈ D ∂P ∂Q * Trong tr−êng hîp ≠ ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn b»ng c¸ch ∂y ∂x nh©n hai vÕ víi μ(x,y): μ(x,y).P(x,y)dx + μ(x,y).Q(x,y)dy = 0. ∂P ∂Q − ∂y ∂x = ϕ ( x) th× μ ( x, y ) = μ ( x) = e ∫ − ϕ ( x ).dx - NÕu Q ∂P ∂Q − ∂y ∂x = ϕ ( y ) th× μ ( x, y ) = μ ( y ) = e ∫ ϕ ( y ).dy - NÕu P 13. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2: F(x,y,y’,y’’) = 0 hoÆc y’= f(x,y,y’) (1) Ph−¬ng tr×nh khuyÕt (ph−¬ng ph¸p gi¶i: H¹ cÊp => ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1): • KhuyÕt y vµ y’: f(x,y’’) = 0 hay y’’= f(x) -> tÝch ph©n 2 lÇn 4
NghiÖm tæng qu¸t: y = ∫ ( ∫ f ( x).dx)dx + C1 x + C2 • KhuyÕt y: f(x,y’,y’’) = 0. §Æt z(x) = y’ ⇒ y’’ = z’(x). Ph−¬ng tr×nh trë thµnh: f(x,z,z’) = 0 => PTVP cÊp 1 víi z(x) dy ' dz ( y ) dz dy dz dz • KhuyÕt x: f(y,y’,y’’) = 0. §Æt z(y) = y’ => y '' = = = . = . y ' = z. dx dx dy dx dy dy dz Ph−¬ng tr×nh trë thµnh: f ( y, z , z. ) = 0 => PTVP cÊp 1 víi z(y) dy (2) Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 cã hÖ sè h»ng : a.y’’+b.y’+c.y= f(x) (1) ( Trong ®ã a,b,c lµ c¸c h»ng sè) PT thuÇn nhÊt: a.y’’+b.y’+c.y= 0 (2) NghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ: y = y + y * trong ®ã : y* - lµ nghiÖm riªng cña (1) y - lµ nghiÖm TQ cña (2) B−íc 1 : T×m nghiÖm tæng qu¸t cña PTTN(2) Ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt : a.y’’+b.y’+c.y= 0 (2) NghiÖm TQ: y = C1.y1(x)+ C2.y2(x) (C1, C2 : H.sè) PT ®Æc tr−ng : a.k2 + b.k+ c = 0 (3) Δ=b2- 4ac Δ>0 Δ=0 Δ
Chó ý: NÕu a.y’’+b.y’+c.y= f(x)+g(x) th× nghiÖm riªng: y*=y1*+ y2* trong ®ã y1*, y2* lÇn l−ît lµ 2 nghiÖm riªng cña 2 PT: a.y’’+b.y’+c.y= f(x) vµ a.y’’+b.y’+c.y= g(x). Chuçi 14 . Chuçi sè +∞ n • Chuçi héi tô : Chuçi sè : ∑u n =1 n - Héi tô nÕu tæng riªng thø n : Sn = ∑ uk dÇn tíi mét giíi h¹n k =1 h÷u h¹n khi n→∞. • Chuçi ph©n kú : nÕu nã kh«ng héi tô. +∞ • Chuçi ∑q n=0 n héi tô nÕu |q|1; phÇn kú nÕu α ≤ 1 n =1 a. §K ®Ó mét chuçi héi tô : ∞ - NÕu chuçi ∑u n =1 n héi tô th× Lim un = 0 ( Lim un = 0 =>kh«ng kh¼ng ®Þnh ®−îc chuçi n →+∞ n →+∞ ∞ ∑u n =1 n héi tô) ∞ - NÕu Lim un ≠ 0 th× chuçi n →+∞ ∑un =1 n ph©n kú • C¸c quy t¾c kh¶o s¸t tÝnh héi tô cña chuçi sè ∞ U n +1 - Quy t¾c D’lembert: chuçi d−¬ng ∑u n =1 n , Lim n →+∞ U =k k1: ph©n kú n ∞ - Quy t¾c Cauchy: chuçi d−¬ng ∑u n =1 n , Lim n U n = k n →+∞ k1: ph©n kú 15 . Chuçi hµm *T×m miÒn héi tô cña chuçi hµm Un(x): U n +1 ( x) b1: T×m giíi h¹n: l ( x) = Lim hoÆc l ( x) = Lim n U n ( x) n → +∞ U n ( x) n→+∞ b2: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: l(x) < 1 ®Ó t×m kho¶ng héi tô cña chuçi hµm b3: T¹i x = x0 mµ l(x)=1 ta thay x = x0 ®Ó xÐt trùc tiÕp b4: KÕt luËn miÒn héi tô cña hµm 6