Hμm mét biÕn
1. C«ng thøc tÝnh ®¹o hµm
• (u
α
)’ =
α
.u’.u
α
-1 (
α
: H»ng sè, U: Hµm
sè)
• (aU)’ = u’.ln a.aU (a: H»ng sè, U: Hµm
sè)
• (eU)’ = u’.eU
• (Sin u)’ = u’.cos u
• Cos u)’ = - u’.sin u
• (Tg u)’= uCos
u
2
' ;
• (Cotg u)’= uSin
u
2
'−
• (Logau)’ = au
u
ln.
'
• (arcsin u)’ = 2
1
'
u
u
− ;
• (arccos u)’ = 2
1
'
u
u
−
−
• (arctg u)’ = 2
1
'
u
u
+ ;
• (arccotg u)’ = 2
1
'
u
u
+
−
• (u ± v)’=u’ ± v’
• (u.v)’= u’v+v’u
• (v
u)’ = 2
''
v
uvvu −
2. Vi ph©n du = u’.dx
3. Giíi h¹n
- V« cïng bÐ t−¬ng ®−¬ng :
0)( =
→xLim
ax
α
=> α(x) ®−îcgäi lµ v« cïng bÐ khi x->a
1
)(
)( =
→x
x
Lim
ax
β
α
--> α(x) vµ β(x) lµ hai v« cïng bÐ t−¬ng ®−¬ng khi x->a
Ký hiÖu : α(x) ∼β(x) khi x->a
§Þnh lý : NÕu α(x) ∼α1(x) vµ β (x) ∼β1(x)khi x->a th× )(
)(
)(
)(
1
1
x
x
Lim
x
x
Lim axax
β
α
β
α
→→ =
Sin x ∼ x khi x->0
ArcSin x ∼ x khi x->0
Tg x ∼ x khi x->0
ArcTg x ∼ x khi x->0
ex-1 ∼ x khi x->0
ln(1+x) ∼ x khi x->0
- C«ng thøc Lopital khö d¹ng 0
0;∞
∞ :
1
)('
)('
)(
)(
xg
xf
Lim
xg
xf
Lim axax →→ =
4. TÝnh liªn tôc cña hµm sè
Hµm sè: y = f(x) liªn tôc t¹i x = x0 nÕu : + f(x0) x¸c ®Þnh vµ h÷u h¹n
+ )()( 0
0
xfxfLim
xx
=
→
(NÕu hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i x0 th× x0 ®c gäi lµ ®iÓm gi¸m ®o¹n)
Hµm sè s¬ cÊp y = f(x) sÏ liªn tôc t¹i mäi ®iÓm mµ hµm sè x¸c ®Þnh
5. TÝch ph©n
a. C«ng thøc nguyªn hµm
• Cxdxx +
+
=+
∫1
.
)1(
1
αα
α
(
α
>0)
• Ca
a
dxa xx +=
∫.
ln
1
• Cedxe xx +=
∫
• Cxdxx +=
∫cos.sin
• ∫=dx
x.
sin
1
2-cotg x + C
• Cxdxx +−=
∫
sin.cos
• ∫=dx
x.
cos
1
2 tg u + C
• C
a
x
dx
xa
+=
−
∫arcsin.
1
22
• ∫+dx
xa .
1
22 =a
1.arctg a
x +C
• Cxdx
x+=
∫ln.
1
b. TÝch ph©n tõng phÇn: ∫
∫
−= vduvudvu ..
Hμm nhiÒu biÕn
7. §¹o hµm riªng vµ vi ph©n toµn phÇn
• x
yxfyxxf
Lim
x
yxf
yxf x
xΔ
−
Δ
+
=
∂
∂
=→Δ
),(),(),(
),( 0000
0
00
00
'
• y
yxfyyxf
Lim
y
yxf
yxf y
yΔ
−
Δ
+
=
∂
∂
=→Δ
),(),(),(
),( 0000
0
00
00
'
• Vi ph©n toµn phÇn cÊp 1:
dyyxfdxyxfyxdf yx ),(),(),( '' +=
• Vi ph©n toµn phÇn cÊp 2:
222222 ),(),(2),(),( dyyxfdxdyyxfdxyxfyxfd yyxyxx ++=
• C«ng thøc tÝnh gÇn ®óng: f(x+Δx, y+Δy) = f(x,y) + fx’(x,y). Δx + fy’(x,y). Δy
• §¹o hµm cña hµm hîp: F(u,v), trong ®ã u =u(x,y); v=v(x,y) :
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
y
v
v
F
y
u
u
F
y
F
x
v
v
F
x
u
u
F
x
F
• §¹o hµm cña hµm Èn :
*NÕu F(x,y) = 0 ; y= y(x): => ),(
),(
)(' '
'
yxF
yxF
xy
y
x
−=
*NÕu F(x,y,z) = 0 ; z= z(x,y): => ),,(
),,(
)(' '
'
zyxF
zyxF
xz
x
x
−= ; ),,(
),,(
)(' '
'
zyxF
zyxF
yz
y
x
−=
. Cù trÞ hµm nhiÒu biÕn 8
B−íc1: T×m ®iÓm c¸c ®iÓm dõng M(xi,yi) lµ nghiÖm cña hÖ PT:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
0),(
0),(
'
'
yxf
yxf
y
x
B−íc2: KiÓm tra ®iÓm M(xi,yi) cã lµ cùc trÞ
A=fxx”(xi,yi); B=fxy”(xi,yi); C=fyy”(xi,yi);
B2-AC < 0 A<0: M(xi,yi)--- Cùc ®¹i
A>0: M(xi,yi)--- Cùc tiÓu
B2-AC > 0 M(xi,yi)--- kh«ng lµ cùc trÞ
B2-AC = 0 M(xi,yi)--- Ch−a kÕt luËn ®−îc
Cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn: T×m cùc trÞ hµm: u=f(x,y,z) víi ®k: g(x,y,z)=0
Gii hÖ PT:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
==
0),,(
'
'
'
'
'
'
zyxg
g
f
g
f
g
f
z
z
y
y
x
x
=> NghiÖm M(x,y,z)
9. TÝch ph©n kÐp
a. Trong hÖ täa ®é ®Ò c¸c:
- NÕu miÒn D lµ h×nh ch÷ nhËt x¸c ®Þnh bëi: a ≤ x ≤b vµ c ≤ y ≤d th×:
∫∫∫∫ =
d
c
b
aD
dyyxfdxdxdyyxf ),(),(
- NÕu miÒn D lµ h×nh ch÷ nhËt x¸c ®Þnh bëi: a ≤ x ≤b vµ y1(x) ≤ y ≤y2(x) th×:
∫∫∫∫ =
)(
)(
2
1
),(),(
xy
xy
b
aD
dyyxfdxdxdyyxf
2
b. §æi biÕn trong tÝch ph©n kÐp: x=x(u,v) ; y=y(u,v)
∫∫∫∫ =
DD
dudvvuyvuxfJdxdyyxf )],(),,([.||),(
trong ®ã: J= ''
''
),(
),(
vu
vu
yy
xx
vuD
yxD =
c. Trong hÖ täa ®é cùc: I= (x= r.cosϕ; y= r.sinϕ)
∫∫∫∫ =
'
.).sin,cos(),(
DD
drdrrrfdxdyyxf
ϕϕϕ
D
x
y
ϕ2
ϕ1
r=g2(
ϕ)
r=g1(
ϕ)
Dx
y
ϕ2
ϕ1
r=g(
ϕ)
x
y
0
00D
r=g(
ϕ)
3
D
L
10. TÝch ph©n ®−êng lo¹i 1
- NÕu: y=y(x), a ≤ x ≤b th×:
฀
2
(, ) (, ())1 '().
b
a
AB
f
x y ds f x y x y x dx=+
∫∫
∫∫
=
2
1
)(2
)(1
.).sin,cos(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
g
g
drrrrfdI ∫∫
=
πϕ
ϕϕϕ
2
0
)(
0
.).sin,cos(
g
drrrrfdI
∫∫
=
2
1
)(
0
.).sin,cos(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
g
drrrrfdI
- NÕu: x=x(t), y=y(x), t1 ≤ t ≤t2 th×:
฀
2
1
22
(, ) ((), ()). '() '().
t
t
AB
xyds f xt yt x t y t dt=+
∫∫
. TÝch ph©n ®−êng lo¹i 2 11
- NÕu
฀
A
B ®−îc cho bëi: y=y(x), a,b lµ hoµnh ®é cña A vµ B th×
฀
(,) (,) [(,()) (,()).'()]
b
a
AB
Pxydx Qxydy Pxyx Qxyx y x dx+= +
∫∫
- NÕu
฀
A
Bcho bëi: x=x(t), y=y(t), t=tA (t¹i A), t=tB (t¹i B) th× : B
฀
( , ) ( , ) [ ( ( ), ( )). '( ) ( ( ), ( )). '( )]
B
A
t
t
AB
Pxydx Qxydy Pxt yt x t Qxt yt y t dt+= +
∫∫
- C«ng thøc Green : (, ) (, ) ( )
LD
PQ
P x y dx Q x y dy dxdy
xy
∂
∂
+=−
∂∂
∫∫∫฀
(L- lµ miÒn biªn cña D và lµ mét ®−êng khÐp kÝn)
HÖ qu¶: NÕu
QP
x
y
∂∂
=
∂∂
trong D th×: (, ) (, ) 0
L
Pxydx Qxydy
+
=
∫฀
• §Þnh lý 4 mÖnh ®Ò t−¬ng ®−¬ng:
Cho P(x,y) vµ Q(x,y) liªn tôc, cã ®¹o hµm riªng cÊp 1 trong miÒn D. Khi ®ã, 4 mÖnh ®Ò
sau lµ t−¬ng ®−¬ng:
(1)
QP
x
y
∂∂
=
∂∂
(2) ∃ u(x,y) sao cho: du(x,y)= P(x,y)dx+Q(x,y)dy
(3) Mäi ®−êng cong kÝn L ⊂ D th×: (, ) (, ) 0
L
Pxydx Qxydy
+
+
=
∫฀
(L+ - ®Þnh h−íng d−¬ng, do c«ng thøc Green)
(4) TÝch ph©n kh«ng phô thuéc vµo ®−êng cong nèi 2 ®iÓm A,B
฀
(, ) (, )
AB
Pxydx Qxydy+
∫
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n
. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1: F(x,y,y’) = 0 hoÆc y’= f(x,y) 12
(1) Ph−¬ng tr×nh ph©n ly: ()
'()
f
x
ygy
−
=⇔()
()
dy f x
dx g y
−
= ⇔
() () 0f x dx g y dy+=
- TÝch ph©n 2 vÕ: () ()
f
xdx f ydy C+
∫∫
=⇔ F(x)+ G(x) = C
(2) Ph−¬ng tr×nh ®¼ng cÊp: '
y
yf
x
⎛⎞
=⎜⎟
⎝⎠
- §Æt u(x) = y
x
⇒ y = u(x).x ⇒ y’= u(x)+ u’(x).x Thay vµo PT ta cã:
u+u’.x= f(u) ⇔ x.u’ = f(u) – u hay .()
du
x
fu u
dx
=
−
* NÕu f(u) – u = 0: x.u’= 0 ⇒ u’= 0 ⇒ u= C ⇒ y = C.x - lµ 1 hä nghiÖm
* NÕu f(u) – u ≠ 0: ()
dx du
x
fu u
=
−
(®©y lµ mét PT ph©n ly). TÝch ph©n hai vÕ :
()
dx du
x
fu u
=−
∫∫ ⇒ ln | | ( ) ln | |
x
uC
φ
=
+⇒()
.
y
x
x
Ce
φ
=
(
Φ
(u) lµ mét nguyªn hµm cña 1
()
f
uu
−
)
(3) Ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh: y’+p(x).y=q(x)
Ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt: y’+p(x).y=0
C«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t: () ()
.( ( ). )
P x dx P x dx
ye C Qxe dx
∫∫
=+
∫
(4) Ph−¬ng tr×nh Becnuly:'(). ().ypxyqxy
α
+= (
α
≠ 0,
α
≠ 1)
(Ph−¬ng ph¸p gi¶i: ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh)
• α>0: y= 0 lµ 1 nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh
• Víi y ≠ 0 chia c¶ 2 vÕ cho yα vµ ®Æt z(x) = y1-α ⇒ z’(x) = (1-α).y’.yα thay vµo PT
z'+(1-α).p(x).z=(1-α).q(x) --- Lµ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh
(5) Ph−¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn: P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (trong ®ã: PQ
yx
∂∂
=
∂∂
)
NghiÖm tæng qu¸t:
00
0
(, ) (, ) (, )
y
x
xy
uxy Pxy dx Qxydy C
=
+=
∫∫
Hay :
00
0
(, ) (, ) ( , )
y
x
xy
uxy Pxydx Qx ydy C
=
+=
∫∫
( trong ®ã (x0,y0) bÊt kú
∈
D). §Ó ®¬n gi¶n chän x0= 0, y0= 0, nÕu (0,0) ∈ D
* Trong tr−êng hîp PQ
yx
∂∂
≠
∂∂
®−a vÒ ph−¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn b»ng c¸ch
nh©n hai vÕ víi μ(x,y): μ(x,y).P(x,y)dx + μ(x,y).Q(x,y)dy = 0.
- NÕu ()
PQ
yx
x
Q
ϕ
∂∂
−
∂∂
= th× ().
(, ) ()
x
dx
xy x e
ϕ
μμ
−∫
==
- NÕu ()
PQ
yx y
P
ϕ
∂∂
−
∂∂
= th×
().
(, ) () ydy
xy y e
ϕ
μμ
∫
==
13. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2: F(x,y,y’,y’’) = 0 hoÆc y’= f(x,y,y’)
(1) Ph−¬ng tr×nh khuyÕt (ph−¬ng ph¸p gi¶i: H¹ cÊp => ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1):
4
• KhuyÕt y vµ y’: f(x,y’’) = 0 hay y’’= f(x) -> tÝch ph©n 2 lÇn
NghiÖm tæng qu¸t: 12
(().)
y
f x dx dx C x C
=
++
∫
∫
• KhuyÕt y: f(x,y’,y’’) = 0. §Æt z(x) = y’ ⇒ y’’ = z’(x).
Ph−¬ng tr×nh trë thµnh: f(x,z,z’) = 0 => PTVP cÊp 1 víi z(x)
• KhuyÕt x: f(y,y’,y’’) = 0. §Æt z(y) = y’ => '()
'' . . ' .
dy dz y dz dy dz dz
yy
dx dx dy dx dy dy
== = = =
z
Ph−¬ng tr×nh trë thµnh: (,,. ) 0
dz
fyzz
dy
=
=> PTVP cÊp 1 víi z(y)
(2) Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 cã hÖ sè h»ng :
a.y’’+b.y’+c.y= f(x) (1) ( Trong ®ã a,b,c lµ c¸c h»ng sè)
PT thuÇn nhÊt: a.y’’+b.y’+c.y= 0 (2)
5
NghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ: *yyy=+ trong ®ã : y* - lµ nghiÖm riªng cña (1)
y
- lµ nghiÖm TQ cña (2)
B−íc 1 : T×m nghiÖm tæng qu¸t cña PTTN(2)
Ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt : a.y’’+b.y’+c.y= 0 (2)
NghiÖm TQ: = C1.y1(x)+ C2.y2(x) (C1, C2 : H.sè)
y
PT ®Æc tr−ng : a.k2 + b.k+ c = 0 (3)
Δ=b2- 4ac
Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0
PT (3) cã 2 no: k1, k2
+ 1
1() kx
y
xe=
+ 2
2() kx
y
xe=
y
= C1.ek1.x+ C2.ek2.x
PT (3) cã no kÐp: k1= k2=k
+ 1() kx
yx e
=
+ 2() .kx
y
xxe=
y
= C1.ek.x+ C2.x.ek.x
PT (3) cã 2 no phøc: k1,2= α ± β.i
+ 1() .cos
x
y
xe x
α
β
=
+ 1() .sin
x
yx e x
α
β
=
y
= eα.x(C1.cosβx+ C2.sinβx)
B−íc 2 : T×m nghiÖm riªng cña PTKTN(1)
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh: a.y’’+b.y’+c.y= f(x) (1) ( Trong ®ã a,b,c lµ c¸c h»ng sè)
T×m nghiÖm riªng : y*
Ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè
Lagrange
NghiÖm riªng cña (1) cã d¹ng:
y*= C1(x).y1(x)+ C2(x).y2(x)
( y1(x), y2(x) lµ 2 nghiÖm riªng ®éc lËp
cña PT thuÇn nhÊt (2) ë trªn)
Trong ®ã C1(x), C2(x) lµ c¸c hµm tho¶
m·n hÖ:
''
11 2 2
'' ' '
11 2 2
(). () (). () 0
(). () (). () ()
Cxyx C xyx
Cxyx C xyx fx
⎧+=
⎪
⎨+=
⎪
⎩
C¨n cø d¹ng ®Æc biÖt cña vÕ tr¸i
D¹ng 1: f(x)=Pn(x).e
α
x (Pn(x) lµ ®a thøc bËc n)
XÐt: α D¹ng cÇn tÝnh cña nghiÖm riªng
Ko lµ no cña
PT§T(3) y* = Qn(x). e
α
x
(Qn(x) cïng bËc víi Pn(x))
L lµ no ®¬n
cña PT§T(3) y* = x.Qn(x). e
α
x
L lµ no kÐp
cña PT§T(3) y* = x2. Qn(x). e
α
x
D¹ng 2 : f(x)=e
α
x.(Pn(x).cos
β
x+Qm(x).sin
β
x)
XÐt: α±β.i D¹ng cÇn tÝnh cña nghiÖm riªng
Ko lµ no cña
PT§T(3)
y*= e
α
x.(Kt(x).cos
β
x+Qt(x).sin
β
x)
(t=max(m,n))
Lµ no cña
PT§T(3)
y*=x.e
α
x.(Kt(x).cos
β
x+Qt(x).sin
β
x)
(t=max(m,n))