VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
TRƯƠNG THỊ HIỀN
LŨY THỪA HÌNH THỨC
CỦA CÁC IĐÊAN ĐƠN THỨC
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 9 46 01 04
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI - 2023
Mở đầu
Cho R=k[x1, . . . , xr]là vành đa thức của rbiến x1, . . . , xrtrên trường
kvà Ilà iđêan thuần nhất của R. Đối tượng nghiên cứu trong luận án
của chúng tôi là chỉ số chính quy Castelnouvo-Mumford (gọi tắt là chỉ số
chính quy) của iđêan, ký hiệu reg(I). Đối với lũy thừa thường của iđêan
I, hàm reg(In)không tuân theo một quy luật nào khi nnhỏ. Tuy nhiên,
dựa trên tính chất phân bậc chuẩn của đại số Rees của Ithì Cutkosky,
Herzog, N. V. Trung [9] độc lập với Kodiyalam [33] đã chứng minh rằng
reg(In)là một hàm tuyến tính khi nđủ lớn. Điều này có nghĩa là, tồn tại
các số nguyên không âm d, b và n0sao cho
reg(In) = dn +bvới mọi n>n0.
Trong khi hệ số dđã được mô tả một cách rõ ràng (xem [33], [46]), thì
các thông tin về bvà n0còn rất ít. Hơn nữa, hai câu hỏi rất tự nhiên được
đặt ra (xem [9], [33], [14]):
1. Đặc trưng của số b?
2. Tìm chặn tốt cho n0?
Khi chuyển sang lũy thừa hình thức của iđêan thì dáng điệu của hàm
chỉ số chính quy trở nên phức tạp hơn. Nhắc lại rằng, lũy thừa hình thức
thứ ncủa Iđược định nghĩa
I(n)=\
p∈Min(R/I)
InRp∩R.
1
2
Nói cách khác, lũy thừa hình thức thứ ncủa Ilà giao của các thành phần
nguyên sơ của Inliên kết với các iđêan nguyên tố tối tiểu của I.
Lý do cho sự phức tạp đó là đại số Rees hình thức, được định nghĩa bởi
Rs(I) = R⊕I(1) ⊕I(2) ⊕ · · · ,
không là đại số hữu hạn sinh trên trường ktrong trường hợp tổng quát.
Cho đến thời điểm hiện tại, chúng ta vẫn chưa có một ví dụ nào về
một iđêan thuần nhất Itrong vành đa thức mà limn→∞ reg I(n)/n không
tồn tại. Từ đó một câu hỏi rất tự nhiên được đặt ra là liệu giới hạn
limn→∞ reg I(n)/n có tồn tại với mọi iđêan thuần nhất Itrên một vành đa
thức (Herzog, L. T. Hoa, N. V. Trung [25, Câu hỏi 2])?
Đối với trường hợp Ilà iđêan đơn thức, theo kết quả của Herzog, Hibi
và N. V. Trung [23] thì đại số Rees hình thức là hữu hạn sinh nhưng không
nhất thiết là phân bậc chuẩn, do đó hàm chỉ số chính quy của lũy thừa
hình thức của iđêan đơn thức Ilà một hàm tựa tuyến tính khi nđủ lớn.
Nhắc lại, một hàm f:N→Q∪{−∞} được gọi là tựa tuyến tính nếu
tồn tại một số nguyên dương Nvà các số ai∈Q∪{−∞},bi∈Q, với
i= 0, . . . , N −1, sao cho
f(n) = ain+bi,với mọi n∈N, n ≡i(mod N).
Số Nnhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là chu kì của hàm f.
Ta thấy rằng, mặc dù hàm chỉ số chính quy reg I(n)của iđêan đơn thức
Ilà một hàm tựa tuyến tính khi nđủ lớn, nhưng các hệ số đầu aikhông
nhất thiết bằng nhau. Hay nói cách khác, giới hạn limn→∞ reg I(n)/n chưa
hẳn đã tồn tại. Do đó, chúng tôi nghiên cứu bài toán thứ nhất của luận
án như sau.
Bài toán 1. Cho Ilà một iđêan đơn thức trên R. Tồn tại hay không
giới hạn lim
n→∞
reg(I(n))
n?
Trong trường hợp Ilà iđêan đơn thức không chứa bình phương, các tác
giả L. T. Hoa, T. N. Trung [30, Định lý 4.9], đã chứng minh được sự tồn
3
tại của giới hạn limn→∞ reg(I(n))/n. Kết quả chính đầu tiên của luận án
chúng tôi đã mở rộng điều này đối với trường hợp Ilà một iđêan đơn thức
bất kì.
Công cụ để chúng tôi giải quyết bài toán thứ nhất xuất phát từ lý
thuyết của đa diện lồi. Giả sử Icó phân tích nguyên sơ thu gọn
I=Q1∩ · · · ∩ Qs∩Qs+1 ∩ · · · ∩ Qt,
trong đó Q1, . . . , Qslà các iđêan nguyên sơ liên kết với các iđêan nguyên
tố tối tiểu của I(tức là, Qs+1, . . . , Qtlà các thành phần nguyên sơ nhúng).
Ta định nghĩa đa diện lồi liên kết với Inhư sau:
SP(I) = NP (Q1)∩ · · · ∩ NP (Qs)⊂Rr,
trong đó NP (Qi)là các đa diện Newton của Qi. Khi đó, SP(I)là một đa
diện lồi trong Rr. Với vectơ v= (v1, . . . , vr)∈Rr, ký hiệu |v|=v1+· · ·+vr.
Đặt
δ(I) = max{|v| | vlà một đỉnh của SP(I)}.
Từ đó, chúng tôi thu được kết quả sau (xem Định lý 2.5, Định lý 2.7):
Với mọi iđêan đơn thức I,
lim
n→∞
d(I(n))
n= lim
n→∞
reg(I(n))
n=δ(I).
Với kết quả thu được, câu hỏi đặt ra tiếp theo là liệu reg I(n)có phải
là một hàm tuyến tính hay không? Tuy nhiên điều này không đúng ngay
cả trong trường hợp Ilà iđêan đơn thức không chứa bình phương (Ví dụ
2.16).
Như vậy chúng ta thấy rằng, nhìn chung reg I(n)không là một hàm
tuyến tính đối với iđêan đơn thức I. Do đó, bài toán tiếp theo chúng tôi
nghiên cứu như sau.
Bài toán 2. Cho Ilà một iđêan đơn thức. Tìm một chặn tốt cho
reg(I(n))theo n.
4
Trong trường hợp Ilà iđêan đơn thức không chứa bình phương, theo các
tác giả L. T. Hoa và T. N. Trung (xem [30, Định lý 4.9]), ta có reg(I(n))<
δ(I)n+ dim(R/I) + 1 với mọi n>1. Gần đây, bài toán trên đã có nhiều
kết quả khi nghiên cứu đối với một loại iđêan đặc biệt hơn, iđêan cạnh
của đồ thị G, ký hiệu I(G). Một số kết quả có thể kể đến như: Gu, Hà,
O’Rourke và Skelton [19] xét trong trường hợp iđêan cạnh của một chu
trình lẻ I=I(C2s+1)thì reg(I(n)) = reg(In)với mọi n>1, và reg(I(n)) =
2n+⌊2s+1
3⌋−1; theo Fakhari [17], ta có reg(I(G)(n+1))6max{reg(I(G)) +
2n, reg(I(G)(n+1) +I(G)n)}và trong trường hợp Glà đồ thị không có
chu trình lẻ nào có độ dài bé hơn hoặc bằng 2k−1thì reg(I(G)(n))6
2n+ reg(I(G)) −2với mọi n6k+ 1.
Nghiên cứu về bài toán trên, chúng tôi sử dụng công thức Takayama
để tính các môđun đối đồng điều địa phương của lũy thừa hình thức của
các iđêan đơn thức. Từ đó chúng tôi chuyển về việc nghiên cứu các điểm
nguyên của một đa diện lồi trong Rrtheo lý thuyết đa diện lồi. Kết quả
chúng tôi thu được là một chặn trên tốt cho hàm reg(I(n))theo ntrong
trường hợp iđêan đơn thức không chứa bình phương theo các dữ liệu tổ
hợp từ phức đơn hình và siêu đồ thị liên kết với iđêan (Định lý 3.7và Định
lý 3.12). Hơn nữa, chặn này có thể đạt được dấu bằng đối với nhiều lớp
iđêan (Ví dụ 3.13).
Cuối cùng, chúng tôi nghiên cứu bài toán sau.
Bài toán 3. Cho Ilà iđêan đơn thức. Tìm chặn trên cho bvà reg-stab(I).
Chú ý rằng, reg-stab(I)là chỉ số ổn định của hàm chỉ số chính quy của
iđêan Ivà được định nghĩa như sau:
reg-stab(I) = min{n0|reg In=dn +b, với mọi n>n0}.
Khi Ilà một iđêan đơn thức bất kỳ, theo L. T. Hoa [29, Định lý 2.8],
trong trường hợp xấu nhất thì các hệ số bvà reg-stab(I)bị chặn dưới bởi
một hàm mũ của bậc sinh của iđêan với số mũ là khoảng số biến. Đây
cũng chính là một trong những lý do tại sao việc nghiên cứu về hệ số b