VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
PHẠM THỊ HƯƠNG
ỔN ĐỊNH VÀ ĐIỀU KHIỂN MỘT SỐ LỚP HỆ
PHƯƠNG TRÌNH SUY BIẾN CÓ TRỄ
Chuyên ngành: Toán Ứng dụng
Mã số: 9 46 01 12
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2024
MỞ ĐẦU
1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lí do chọn đề tài
Trong những thập kỷ gần đây, khi nghiên cứu về tính ổn định của các hệ động lực, bài toán
ổn định trong thời gian hữu hạn (finite-time stability) của các hệ động lực thu hút nhiều
sự chú ý của các nhà toán học bởi những ý nghĩa thiết thực của khái niệm này so với khái
niệm ổn định theo nghĩa cổ điển-ổn định Lyapunov. Khái niệm ổn định trong thời gian hữu
hạn lần đầu tiên được giới thiệu bởi nhà toán học người Nga là Kamenkov vào năm 1953
và Lebedev vào năm 1954 trong các bài báo được đăng trên tạp chí “Journal of Applied
Mathematics and mechanics” (PMM) bằng tiếng Nga. Năm 1961, lần đầu tiên các tạp chí
phương Tây đã công bố một vài kết quả nghiên cứu bài toán ổn định trong thời gian hữu
hạn của Dorato dưới tiêu đề “short-time stability” (ổn định trong thời gian ngắn) thu hút
nhiều hơn sự quan tâm của các độc giả : Nếu giá trị đầu vào của hệ bị chặn bởi một hằng
số c1thì quỹ đạo nghiệm của hệ sẽ bị chặn bởi một hằng số c2và điều này đúng với mọi
t∈[0, T ]trong đó c1, c2, T là các hằng số cho trước. Trong khi ổn định theo nghĩa cổ điển-ổn
định Lyapunov nghiên cứu dáng điệu nghiệm trong khoảng thời gian dài vô hạn, khái niệm
ổn định trong thời gian hữu hạn cung cấp cho ta thông tin về chặn trên, chặn dưới của quỹ
đạo nghiệm của hệ động lực trong một khoảng thời gian hữu hạn cố định đã cho.
Các kết quả ban đầu về bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn thu được từ việc đánh
giá trực tiếp công thức nghiệm của hệ, nhưng do việc mô hình hóa các hệ động lực học, hệ
robot, vv... ngày càng trở nên gần với thực tế hơn dẫn tới việc tìm công thức nghiệm và
đánh giá dáng điệu (tính bị chặn) trở nên khó khăn hơn. Phần lớn các kỹ thuật thiết kế hàm
điều khiển để hệ là ổn định trong thời gian hữu hạn được sử dụng trong giai đoạn 1969-1976
là các kỹ thuật với tính toán rất chuyên sâu và phức tạp. Năm 1997, lần đầu tiên Dorato
và các cộng sự đã trình bày một thuật toán thiết kế hàm điều khiển phản hồi để hệ là ổn
định trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ tuyến tính bằng cách sử dụng các bất đẳng thức
ma trận tuyến tính (LMIs). Cho tới nay, phương pháp xây dựng các bất đẳng thức ma trận
tuyến tính cho bài toán ổn định và điều khiển trong thời gian hữu hạn được sử dụng rộng
rãi với nhiều kết quả thu được. Năm 2014, Amato và các cộng sự công bố sách chuyên khảo
“Finite-time stability and control”, trong đó đưa ra các phương pháp giải bài toán ổn định
trong thời gian hữu hạn cho một số hệ động lực, cũng như chỉ rõ những khác biệt của tính
ổn định này so với ổn định cổ điển-ổn định theo nghĩa Lyapunov. Từ đó, bài toán ổn định
1
và điều khiển trong thời gian hữu hạn đã và đang thu hút các nhà nghiên cứu về lý thuyết
điều khiển, ứng dụng giải một số bài toán điều khiển như ổn định hóa (stabilization), điều
khiển H∞(H∞control), đảm bảo giá trị điều khiển (guaranteed cost control), vv...
Các hệ suy biến có trễ xuất hiện nhiều trong việc mô phỏng các hệ thống trong thực tế,
được sử dụng để mô tả các đường truyền không mất mát (lossless transmission lines), các
hiện tượng chuyển động ngắn hạn của áp suất hơi nước tách ra trong quá trình kết hợp sản
xuất nhiệt và điện, các hệ thống kỹ thuật hóa học. Hệ suy biến có trễ ngày càng được chú ý
vì tầm quan trọng trong lý thuyết hệ động lực học. Năm 2002, Fridman và cộng sự đã giới
thiệu một phép biến đổi mô hình suy biến (singular model transformation) cho các kiểu hệ
thống có trễ (retarded system) và hệ trung lập (neutral system) và được sử dụng để phát
triển một số kết quả cho các hệ này.
Lớp hệ được nghiên cứu trong luận án là lớp hệ cỡ lớn suy biến có trễ. Nhiều hệ thống
trong thực tế gồm các hệ thống con liên kết với nhau bởi một số lượng lớn các biến và có
sự tương tác chặt chẽ với những cấu trúc phức tạp như: hệ thống kinh tế, hệ thống năng
lượng, hệ thống điện, hệ thống giao thông vận tải, .... Những hệ thống như vậy được gọi là
những hệ cỡ lớn. Sự phức tạp của các hệ cỡ lớn làm cho việc áp dụng trực tiếp các kỹ thuật
điều khiển thông thường trở nên không thích hợp hoặc thậm chí không thể thực hiện được,
và đòi hỏi các phương pháp, kỹ thuật phân tích và thiết kế mới để phân tách toàn bộ hệ
thống về các bài toán nhỏ hơn có thể giải quyết được. Bài toán ổn định và điều khiển trong
thời gian hữu hạn cho các hệ cỡ lớn suy biến, đặc biệt là các hệ cỡ lớn suy biến có trễ trở
nên phức tạp hơn không chỉ do số chiều lớn của phương trình hệ thống mà còn bởi những
đặc điểm về cấu trúc của hệ có tính chất không những suy biến mà còn có trễ.
Cho đến nay đã có một số kết quả về bài toán ổn định và điều khiển của hệ cỡ lớn.
Phần lớn các kết quả này nhận được hoặc cho các hệ cỡ lớn không có trễ hoặc liên quan
tới bài toán ổn định theo nghĩa Lyapunov (asymptotic stability) cho hệ cỡ lớn không suy
biến. Theo tìm hiểu của chúng tôi, các kết quả đã công bố cho bài toán ổn định trong thời
gian hữu hạn của hệ cỡ lớn còn ít, đặc biệt chưa có kết quả nghiên cứu nào về bài toán ổn
định và điều khiển trong thời gian hữu hạn cho hệ cỡ lớn suy biến có trễ. Các tác giả như
La-inchua (2017), Tharanidharan (2019) hay Wo (2019) đã đề xuất một số điều kiện đủ giải
bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn không suy biến hoặc không có trễ.
Hơn nữa, nghiên cứu bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn suy biến có trễ
(interconnected delays) phức tạp hơn so với hệ không suy biến có trễ, thể hiện ở cấu trúc
của lớp hệ này, bao gồm cả các phương trình vi phân có trễ lẫn các phương trình đại số có
trễ. Chính các lý do kể trên là động lực để chúng tôi chọn đề tài về bài toán ổn định và điều
khiển trong thời gian hữu hạn cho các hệ cỡ lớn suy biến có trễ.
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Mục đích của luận án là:
❼
Thiết lập các điều kiện đủ cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn suy
biến có trễ hằng số.
2
❼
Thiết kế hàm điều khiển phản hồi chấp nhận được sao cho hệ đóng của hệ cỡ lớn suy
biến có trễ hằng số đang xét là ổn định trong thời gian hữu hạn.
❼
Thiết kế hàm điều khiển phản hồi sao cho hệ cỡ lớn suy biến có trễ hằng số đang xét
không những là ổn định hóa được trong thời gian hữu hạn mà còn đảm bảo giá trị
điều khiển
❼
Thiết kế hàm điều khiển phản hồi sao cho hệ cỡ lớn suy biến có trễ hằng số đang xét
không những là ổn định hóa được trong thời gian hữu hạn mà còn đảm bảo tính tựa
tối ưu mức của hệ thống.
Đối tượng nghiên cứu của luận án là một số bài toán định tính trong lý thuyết ổn định
và điều khiển, gồm bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn và bài toán điều khiển trong
thời gian hữu hạn (ổn định hóa, đảm bảo giá trị điều khiển, điều khiển H∞).
Phạm vi nghiên cứu của luận án là các hệ cỡ lớn suy biến có trễ hằng số. Đây là một lớp
hệ phức tạp và có nhiều ứng dụng trong thực tế.
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận án, chúng tôi đã sử dụng và mở rộng các phương pháp sau đây:
❼
Phương pháp phân tích giá trị kỳ dị (singular value decomposition).
❼
Phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii.
❼
Kỹ thuật trong giải tích ma trận, đại số tuyến tính.
❼
Công cụ LMI Control Toolbox trong Matlab để giải các bất đẳng thức ma trận tuyến
tính (LMIs) và vẽ mô phỏng cho các kết quả.
4. Kết quả nghiên cứu và cấu trúc của luận án
Trong luận án này, kết quả đầu tiên chúng tôi nhận được là thiết lập được một số điều kiện
đủ về tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn suy biến có trễ dạng:
Ei˙xi(t) = Aixi(t) +
K
P
j6=i,j=1
Aijxj(t−dij) + Diwi(t), t ≥0,
xi(t) = ϕi(t), t ∈[−d, 0],
trong đó 0< dij ≤d;i6=j;i, j =1, K;xi(t)∈Rnilà hàm trạng thái thứ icủa hệ; wi(t)∈
Rpilà hàm nhiễu cho trước; Eilà ma trận suy biến với rank Ei=ri;Ai∈Rni×ni, Aij ∈
Rni×nj, Di∈Rni×pilà các ma trận hằng số với số chiều thích hợp; ϕi(.)∈C([−d, 0]; Rni)là
hàm trễ ban đầu cho trước; các hàm nhiễu wi(t)thỏa mãn điều kiện sau:
∃h > 0 : max
i=1,K nsup
t≥0{w⊤
i(t)wi(t)}o≤h.
3
Kết quả tiếp theo chúng tôi thu được là thiết kế được các hàm điều khiển phản hồi cho
bài toán đảm bảo giá trị điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn suy biến có trễ
dạng:
Ei˙xi(t) = Aixi(t) +
K
P
j6=i,j=1
Aijxj(t−dij) + Biui(t), t ≥0,
xi(t) = ϕi(t), t ∈[−d, 0],
trong đó dij >0; d= max
i6=j;i,j=1,K{dij };xi(t)∈Rnilà hàm trạng thái, ui(t)là hàm điều khiển;
Eilà ma trận suy biến với rank Ei=ri;Ai∈Rni×ni, Bi∈Rni×mi, Aij ∈Rni×njlà các ma
trận hằng đã cho; ϕi(.)∈C([−d, 0],Rni), i =1, K là hàm điều kiện ban đầu.
Cuối cùng, chúng tôi thiết kế được các hàm điều khiển phản hồi cho bài toán điều khiển
H∞và bài toán đảm bảo giá trị điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn rời rạc
suy biến có trễ dạng:
Eixi(k+ 1) = Aixi(k) +
K
P
j6=i,j=1
Aijxj(k−dij) + Biui(k) + Diwi(k), k ∈Z+,
zi(k) = Cixi(k) + Hixi(k−dii), i =1, K,
xi(k) = ϕi(k), k =−d, ..., 0,
trong đó zi(k)∈Rpilà hàm quan sát cùng giả thiết về các ma trận và hàm ban đầu được
cho tương tự như các bài toán trước và hàm nhiễu wi(k)∈Rqithỏa mãn điều kiện bị chặn:
∃h > 0 : max
i=1,K n∞
X
k=0
w⊤
i(k)wi(k)o≤h.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các ký hiệu, danh mục các công trình khoa học của
tác giả, tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương.
Chương 1. Cơ sở toán học
Chương 2. Bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn suy biến có trễ.
Chương 3. Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn
suy biến có trễ.
Chương 4. Bài toán điều khiển H∞và đảm bảo giá trị điều khiển trong thời gian hữu
hạn của hệ cỡ lớn rời rạc suy biến có trễ.
4