G
GI
IÁ
ÁO
O
D
DỤ
ỤC
C
V
VÀ
À
Đ
ĐÀ
ÀO
O
T
TẠ
ẠO
O
Đ
ĐẠ
ẠI
I
H
HỌ
ỌC
C
Đ
ĐÀ
À
N
NẴ
ẴN
NG
G
NGÔ THỊ HOÀI PHƯƠNG
TÍNH DUY NHẤT CỦA NHÓM CẤP n
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.40
T
TÓ
ÓM
M
T
TẮ
ẮT
T
L
LU
UẬ
ẬN
N
V
VĂ
ĂN
N
T
TH
HẠ
ẠC
C
S
SĨ
Ĩ
K
KH
HO
OA
A
H
HỌ
ỌC
C
Đà Nẵng - Năm 2011
Công trình ñược hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU
Phản biện 1: TS. LÊ HOÀNG TRÍ
Phản biện 2: PGS.TS NGUYỄN GIA ĐỊNH
Luận văn sẽ ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày ... tháng ... năm
2011.
Có thế tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn ñề tài
Cho n là một số nguyên dương. Bài toán tổng quát của
nhóm hữu hạn là xác ñịnh tất cả các nhóm không ñẳng cấu nhau có
cấp n, ñã ñược A. Cayley ñặt ra vào năm 1878. Năm 1951, Định lý
cơ bản về nhóm Abel hữu hạn sinh ñã cho lời giải của bài toán này
ñối với các nhóm Abel hữu hạn. Tuy nhiên bài toán tổng quát của
nhóm hữu hạn là một bài toán khó, và ñến nay vẫn chưa có lời giải
ñầy ñủ.
Trong các giáo trình Lý Thuyết Nhóm, chúng ta ñã biết khi
n = 1 hoặc n là một số nguyên tố thì có duy nhất một nhóm cấp n
(tất nhiên là nhóm cyclic). Ngoài ra, bằng cách áp dụng ñịnh lý
Sylow vào nhóm có cấp pq, p < q, p, q là các số nguyên tố, chúng
ta cũng chứng minh ñược rằng một nhóm như vậy là duy nhất khi và
chỉ khi p không chia hết q – 1. Từ ñó, một câu hỏi ñược ñặt ra một
cách tự nhiên là “Với các số nguyên dương n nào, thì có duy nhất
một nhóm cấp n”.
Nhằm tìm hiểu lời giải cho câu hỏi này, tôi chọn ñề tài luận
văn Thạc sĩ của mình là : "TÍNH DUY NHẤT CỦA NHÓM CẤP
n".
2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu
1. Nghiên cứu cấu trúc nhóm và các tính chất của một nhóm.
2. Nghiên cứu lý thuyết số.
3. Xác ñịnh các số nguyên dương n sao cho có duy nhất một
nhóm cấp n.
2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
1. Các nhóm hữu hạn.
2. Quan hệ ñẳng cấu giữa các nhóm.
3. Tính chất số học của tập các số nguyên.
4. Phương pháp nghiên cứu
1. Tập hợp và hệ thống các tài liệu về lý thuyết nhóm có liên
quan ñến nội dung ñề tài. Đặc biệt là các tài liệu về phân loại ñẳng
cấu các nhóm hữu hạn.
2. Khảo sát các tính chất số học của tập các số nguyên. Tìm
hiểu về hàm Euler.
3. Áp dụng các tính chất của tập số nguyên và hàm Euler vào
bài toán phân loại ñẳng cấu các nhóm, từ ñó xác ñịnh với số nguyên
dương n nào thì có duy nhất một nhóm cấp n, và ngược lại.
5. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm hai chương:
Chương I: Kiến thức chuẩn bị
Chương này sẽ trình bày sơ lược về lý thuyết nhóm, lý thuyết
số và một số kiến thức cần thiết ñể chuẩn bị cho chương sau.
Chương II: Tính duy nhất của nhóm cấp n
Chương này là nội dung chính của luận văn, xác ñịnh các số
nguyên dương n sao cho có duy nhất một nhóm cấp n (sai khác một
ñẳng cấu). Phần cuối chương sẽ xác ñịnh một số trường hợp của số
nguyên dương n ñể chỉ có hai nhóm cấp n không ñẳng cấu nhau.
3
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này sẽ trình bày sơ lược về cấu trúc nhóm, lý thuyết
số và một số kiến thức cần thiết ñể chuẩn bị cho chương sau. Các chi
tiết liên quan có thể xem trong [1], [2], [3], [4].
1.1. CẤU TRÚC NHÓM
1.1.1. Nhóm hữu hạn, p_nhóm
1.1.1.1. Định nghĩa 1
Cho một tập không rỗng G và một phép toán hai ngôi trên G
ñược kí hiệu bởi
•
, cặp (G,
•
) ñược gọi là một nhóm nếu
(i) Với mọi x, y, z
∈
G,
(x
•
y)
•
z = x
•
(y
•
z),
(ii) Tồn tại một phần tử ký hiệu 1
∈
G, gọi là phần tử ñơn vị,
sao cho x
•
1 = 1
•
x = x, với mọi x
∈
G,
(iii) Với mỗi x
∈
G có một phần tử nghịch ñảo trong G,
nghĩa là có một phần tử
1
x
−
∈
G sao cho x
•
1
x
−
=
1
x
−
•
x = 1.
Nếu với mọi x, y
∈
G, x
•
y = y
•
x thì (G,
•
) ñược gọi là
một nhóm abel (hay nhóm giao hoán).
Nếu không sợ nhầm lẫn về phép toán, ta còn nói G là một
nhóm thay cho nhóm (G,
•
).
Nhóm G ñược gọi là nhóm hữu hạn nếu G là một tập hữu
hạn. Lúc ñó số phần tử của tập hợp G ñược gọi là cấp của nhóm G
và ñược kí hiệu là |G|. Nếu nhóm G không phải là nhóm hữu hạn thì
ta nói G là nhóm (có cấp) vô hạn.
4
1.1.1.2. Định nghĩa 2
Một p-nhóm là một nhóm có cấp là một lũy thừa của một số
nguyên tố p.
1.1.2. Nhóm con, p-nhóm con Sylow
1.1.2.1. Định nghĩa 3
Một bộ phận ổn ñịnh A của một nhóm X là một nhóm con
của X nếu A cùng với phép toán cảm sinh là một nhóm, kí hiệu
A
≤
X.
1.1.2.2. Định lý 1
Một bộ phận A của nhóm X là một nhóm con của X nếu
và chỉ nếu các ñiều kiện sau ñây thỏa mãn :
i) Với mọi x, y
∈
A, xy
∈
A.
ii) e
∈
A, với e là phần tử trung lập của X.
iii) Với mọi x
∈
A,
1
x
−
∈
A.
1.1.2.3. Hệ quả 1
Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của một nhóm X. Các
ñiều kiện sau ñây là tương ñương :
i) A là một nhóm con của X.
ii) Với mọi x, y
∈
A, xy
∈
A và
x
−
∈
A.
iii) Với mọi x, y
∈
A,
1
xy
−
∈
A.
1.1.2.4. Định nghĩa 4
i) Nhóm H ñược gọi là p-nhóm con của G nếu H vừa là
một nhóm con của G vừa là một p-nhóm.
ii) Nhóm H ñược gọi là một p-nhóm con Sylow của G nếu
H là một p-nhóm con của G và |H| =
n
p
là lũy thừa cao nhất của
p chia hết |G|.
5
1.1.2.5. Định nghĩa 5 (Nhóm con cực ñại)
Nhóm con thực sự M của G ñược gọi là nhóm con cực ñại
của G nếu không có nhóm con H nào của G ñể M < H < G.
1.1.2.6. Định nghĩa 6
Hai nhóm con S và T của nhóm G ñược gọi là liên hợp nếu
có một phần tử g
∈
G sao cho
1
g Sg T
−
=
.
Trong ñó :
{
}
1 1
/
g Sg g sg s S
− −
= ∈
.
1.1.3. Nhóm cyclic
1.1.3.1. Mệnh ñề 1
Giao của một họ bất kỳ các nhóm con của một nhóm G cũng
là nhóm con của G.
1.1.3.2. Định nghĩa 7
Cho G là một nhóm và X là một tập con khác rỗng của G.
Nhóm con của G sinh bởi tập hợp X là giao của tất cả các nhóm
con của G có chứa X, kí hiệu
X
.
X
= {
1 2
1 2
n
n
x x x
ε
ε ε
L
/
i
x X
∈
,
i
ε
=
±
1, n là một số nguyên
dương}.
1.1.3.3. Nhận xét 1
X
là nhóm con nhỏ nhất của G có chứa X.
Nếu
X
= G thì ta nói G là nhóm ñược sinh bởi X và X
là tập sinh của G.
1.1.3.4. Định nghĩa 8
Nhóm hữu hạn sinh là nhóm ñược sinh bởi một tập sinh hữu
hạn.
1.1.3.5. Định nghĩa 9
Một nhóm X gọi là cyclic nếu và chỉ nếu X ñược sinh ra
bởi một phần tử a
∈
X, kí hiệu
a
. Phần tử a ñược gọi là một
phần tử sinh của X. Nhóm cyclic cấp n ñược kí hiệu là C(n).
6
1.1.3.6. Nhận xét 2
Nếu G =
x
và G là một nhóm con hữu hạn cấp r,
(r, s) = 1, thì
s
x
= G.
1.1.3.7. Định nghĩa 10
Giả sử G là một nhóm với phần tử ñơn vị 1,
a G
∈
. Nếu
*
1,
m
a m≠ ∀ ∈
thì a gọi là có cấp vô hạn. Nếu m là số nguyên
dương nhỏ nhất sao cho
1
m
a
=
thì m ñược gọi là cấp của a. Cấp của
phần tử a ñược kí hiệu là ord(a).
Từ ñịnh nghĩa trên ta có
ord(a) =
a
, và ord(a) = 1
⇔
a = 1.
1.1.3.8. Bổ ñề 1
Cho X là một nhóm với phần tử ñơn vị e, a
∈
X có cấp là
n. Chứng minh rằng
k
a
= e khi và chỉ khi n | k.
1.1.3.9. Mệnh ñề 2
Cho X và Y là những nhóm cyclic có cấp là m và n.
Chứng minh rằng X
×
Y là nhóm cyclic khi và chỉ khi (m, n) = 1.
1.1.4. Nhóm con chuẩn tắc
1.1.4.1. Định nghĩa 11
Cho G là một nhóm và H là một nhóm con của G. Khi ñó,
các lớp trái của H trong G là các bộ phận có dạng
xH = {y / y = xh, h
∈
H} với x
∈
G. Tương tự, các lớp phải của
H trong G là các bộ phận có dạng Hx = {y / y = hx, h
∈
H}.
1.1.4.2. Định nghĩa 12
Cho G là một nhóm với phép toán nhân, một nhóm con H
của G ñược gọi là một nhóm con chuẩn tắc của G nếu xH = Hx, với
mọi phần tử x
∈
G, kí hiệu H
<
G.
7
1.1.4.3. Mệnh ñề 3
Ắt có và ñủ ñể một nhóm con H của G là nhóm con chuẩn tắc
của G là
1
xhx
−
∈
H, với mọi x
∈
G và với mọi h
∈
H.
1.1.4.4. Định lý 2 (Lagrange)
Cấp của một nhóm con H của một nhóm hữu hạn G chia hết
cấp của G.
1.1.4.5. Hệ quả 2
Cấp của một phần tử tùy ý của nhóm hữu hạn G là ước cấp
của G.
1.1.4.6. Hệ quả 3
Mọi nhóm hữu hạn có câp nguyên tố ñều là cyclic và ñược
sinh ra bởi phần tử bất kì, khác phần tử trung lập, của nhóm.
1.1.4.7. Định nghĩa 13
Số các lớp trái (phải) của H trong G ñược gọi là chỉ số của
H trong G, kí hiệu
[
]
:
G H
.
1.1.4.8. Nhận xét 2
Nếu G là một nhóm hữu hạn thì
[
]
. :
G H G H
=
.
1.1.5. Nhóm thương
1.1.5.1. Định nghĩa 14
Cho G là một nhóm và H
<
G. Tập thương của G trên H
là một tập hợp của tất cả các lớp trái của H trong G, kí hiệu G / H.
G / H = {xH / x
∈
G}.
1.1.5.2. Định lý 3
Nếu H
<
G thì
i) Quy tắc cho tương ứng cặp (xH, yH) với lớp trái xyH là
một ánh xạ từ G / H
×
G / H ñến G / H.
ii) G / H cùng với phép toán hai ngôi (xH, yH)
a
xyH
8
là một nhóm, gọi là nhóm thương của G trên H.
1.1.5.3. Mệnh ñề 4
Mọi nhóm con và mọi nhóm thương của nhóm cyclic là nhóm
cyclic.
1.1.6. Đồng cấu nhóm
1.1.6.1. Định nghĩa 15
Giả sử G và G
’
là các nhóm (với phép toán nhân). Một ánh
xạ
'
:
G G
ϕ
→
ñược gọi là một ñồng cấu nhóm nếu:
( ) ( ) ( ); ,
xy x y x y G
ϕ ϕ ϕ
= ∀ ∈
.
1.1.6.2. Mệnh ñề 5
Cho X, Y là hai nhóm tùy ý, ánh xạ
f : X
→
Y
x
a
Y
e
(
Y
e
là phần tử ñơn vị của Y)
là một ñồng cấu.
Đồng cấu f ñược xác ñịnh như trên gọi là ñồng cấu tầm
thường.
1.1.6.2. Mệnh ñề 6
Giả sử
'
:
G G
ϕ
→
là một ñồng cấu nhóm. Khi ñó:
i)
ϕ
chuyển ñơn vị của G thành ñơn vị của G
’
, tức là:
'
(1 ) 1
G G
ϕ
=
.
ii)
ϕ
chuyển nghịch ñảo của phần tử
x G
∈
thành nghịch
ñảo của phần tử
'
( )
x G
ϕ
∈
, tức là:
1 1
( ) ( )
x x
ϕ ϕ
− −
=
.
1.1.6.3. Định nghĩa 16
i) Một ñồng cấu nhóm ñồng thời là một ñơn ánh ñược gọi là
một ñơn cấu nhóm.
ii) Một ñồng cấu nhóm ñồng thời là một toàn ánh ñược gọi là
một toàn cấu nhóm.