intTypePromotion=1

Tuyển tập Hình học giải tích trong mặt phẳng - Huỳnh Chí Hào

Chia sẻ: Trần Thị Thủy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:122

0
250
lượt xem
96
download

Tuyển tập Hình học giải tích trong mặt phẳng - Huỳnh Chí Hào

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn học sinh tham khảo Tuyển tập Hình học giải tích trong mặt phẳng của Huỳnh Chí Hào. Để giúp cho các bạn củng cố kiến thức cũ đã học về hình học để đạt được điểm cao hơn nhé.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập Hình học giải tích trong mặt phẳng - Huỳnh Chí Hào

  1. M cl c Tóm t t Lý thuy t 1 Bài toán có l i gi i 15 1 Đi m - Đư ng th ng 15 2 Đư ng tròn - Đư ng elip 68 Bài t p ôn luy n có đáp s 94 1 Bài t p Đi m - Đư ng th ng 94 2 Bài t p Đư ng tròn - Đư ng elip 107
  2. L i nói đ u .vn Hình h c gi i tích hay hình h c t a đ là m t cách nhìn khác v Hình h c . Hình h c gi i tích trong m t ph ng đư c đưa vào chương trình toán c a l p 10 nhưng v n có trong đ thi tuy n sinh Đ i h c, Cao đ ng. Đ góp ph n trong vi c ôn t p cho h c sinh trư c khi d thi Di n đàn BoxMath xin đóng góp tuy n t p này. Khi th c hi n biên so n trên di n đàn BoxMath, tôi đã nh n đư c s quan tâm c a nhi u thành viên và qu n tr viên. Nh ng ngư i đã góp s c vào quá trình biên so n, góp ý s a ch a v các chi ti t trong tuy n t p. S đóng góp c a các b n, và nh ng th y cô tâm huy t ch ng t cu n tài li u này là c n thi t cho h c sinh. Bây gi đây, khi b n đang đ c nó trên máy tính hay đã đư c in ra trên gi y. Chúng tôi hy v ng nó s góp ph n ôn t p ki n th c c a b n thân đ ng th i tăng thêm đ ng l c khi h c t p hình h c gi i tích trong không gian. ath M c dù đã biên so n r t k tuy nhiên tài li u có th v n còn sai sót, mong các b n khi đ c hãy nh t ra dùm và g i email v hungchng@yahoo.com. Đ ng th i qua đây cũng xin phép các Tác gi đã có bài t p trong tuy n t p này mà chúng tôi chưa nh ra đ ghi rõ ngu n g c vào, cùng l i xin l i chân thành. Thay m t nhóm biên so n, tôi xin chân thành c m ơn! Ch biên Châu Ng c Hùng Các thành viên biên so n xm 1. Huỳnh Chí hào -THPT Chuyên Nguy n Quang Diêu - Đ ng Tháp 2. Lê Đình M n - THPT Nguy n Chí Thanh - Qu ng Bình 3. Lê Trung Tín - THPT H ng Ng 2 - Đ ng Tháp 4. Đ Kiêm Tùng - THPT Ng c T o - Hà N i 5. Tôn Th t Qu c T n - Hu 6. Nguy n Tài Tu - THPT Lương Th Vinh - V B n Nam Đ nh 7. Nguy n Xuân Cư ng - THPT Anh Sơn 1 - Ngh An bo 8. Lê Đ c Bin - THPT Đ ng Xoài - Bình Phư c 9. Châu Ng c Hùng - THPT Ninh H i - Ninh Thu n 10. Ph m Tu n Kh i - THPT Tr n Văn Năng - Đ ng Tháp.
  3. Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG .vn PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉCTƠ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong mặt phẳng : y r • ' x Ox : trục hoành j r • y'Oy : trục tung i • O : gốc toạ độ x' x rr r r r r O • i, j : véctơ đơn vị (i = j = 1 vaø i ⊥ j ) r Q j y r Oxy và ký hiệu là : mp(Oxy) II. Toạ độ của một điểm và của một véctơ: M uuuu r r ath uuuu r r i, j bởi hệ thức có dạng : OM = xi + y j voi x,y ∈ ¡ . y' Quy ước : Mặt phẳng mà trên đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxy được gọi là mặt phẳng 1. Định nghĩa 1: Cho M ∈ mp(Oxy ) . Khi đó véctơ OM được biểu diển một cách duy nhất theo rr Cặp số (x;y) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M. Ký hiệu: M(x;y) ( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M ) i x x' O P d /n uuuu r r r y' M ( x; y ) ⇔ OM = xi + y j • Ý nghĩa hình học: y Q M xm y x' x O x P x = OP và y=OQ r y' r 2. Định nghĩa 2: Cho a ∈ mp (Oxy ) . Khi đó véctơ a được biểu diển một cách duy nhất theo rr r r r i, j bởi hệ thức có dạng : a = a1 i + a2 j voi a1 ,a 2 ∈ ¡ . r y r Cặp số (a1;a2) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véctơ a . r a v Ký hiệu: a = ( a1; a2 ) e2 v e1 x' x r d /n r r r O P a =(a1 ;a 2 ) ⇔ a = a1 i + a2 j bo y' y K B • B2 Ý nghĩa hình học: A2 A H x' x O A1 B1 a1 = A1 B1 và a 2 =A 2 B2 y' 1
  4. Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn .vn III. Các công thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véctơ :  Định lý 1: Nếu A( x A ; y A ) và B(x B ; y B ) thì uuu r B( x B ; y B ) AB = ( xB − x A ; y B − y A ) A( x A ; y A ) r r  Định lý 2: Nếu a = (a1 ; a2 ) và b = (b1 ; b2 ) thì v a r r a = b * a=b ⇔  1 1 v  a2 = b2 b r r IV. Sự cùng phương của hai véctơ: Nhắc lại r ath * a + b = (a1 + b1; a2 + b2 ) r r * a − b = (a1 − b1 ; a2 − b2 ) * k .a = ( ka1; ka2 ) (k ∈ ¡ ) • Hai véctơ cùng phương là hai véctơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song . • Định lý về sự cùng phương của hai véctơ: r r r r  Định lý 3 : Cho hai véctơ a và b voi b ≠ 0 v r r r r a a cùng phuong b ⇔ ∃!k ∈ ¡ sao cho a = k .b xm v r r b Nếu a ≠ 0 thì số k trong trường hợp này được xác định như sau: r r v b k > 0 khi a cùng hướng b r r v r v k < 0 khi a ngược hướng b a b a r a k = r v 2v v 5v b a =− b , b=- a C 5 2 B uuu r uuur A  Định lý 4 : A, B, C thang hàng ⇔ AB cùng phuong AC (Điều kiện 3 điểm thẳng hàng ) r r  Định lý 5: Cho hai véctơ a = ( a1; a2 ) vaø b = (b1; b2 ) ta có : bo r r a cùng phuong b ⇔ a1.b2 − a2 .b1 = 0 (Điều kiện cùng phương của 2 véctơ v v a = (a1 ; a2 ) a = (1;2) v VD : v b = (b1 ; b2 ) b = (2;4) 2
  5. Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn .vn V. Tích vô hướng của hai véctơ: Nhắc lại: y rr r r r r v v B a.b = a . b .cos( a, b) v b b r2 r 2 b ϕ a =a O v A r r rr x v a a ⊥ b ⇔ a.b = 0 x' O v a a r r  Định lý 6: Cho hai véctơ a = (a1; a2 ) và b = (b1; b2 ) ta có : y' rr a.b = a1b1 + a2b2 (Công thức tính tích vô hướng theo tọa độ)   r ath Định lý 7: Cho hai véctơ a = (a1 ; a2 ) ta có : r a = a12 + a2 2 Định lý 8: Nếu A( x A ; y A ) và B(x B ; y B ) thì (Công thức tính độ dài véctơ ) A( x A ; y A ) B( xB ; yB ) AB = ( xB − x A )2 + ( y B − y A )2 (Công thức tính khoảng cách 2 điểm) r r Định lý 9: Cho hai véctơ a = (a1; a2 ) và b = (b1; b2 ) ta có : r r xm a⊥b ⇔ a1b1 + a2b2 = 0 (Điều kiện vuông góc của 2 véctơ) r r Định lý 10: Cho hai véctơ a = (a1; a2 ) và b = (b1; b2 ) ta có rr r r a.b a1b1 + a2b2 cos(a , b) = r r = (Công thức tính góc của 2 véctơ) a.b a12 + a2 2 . b12 + b2 2 VI. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: uuur uuur Định nghĩa: Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k ≠ 1 ) nếu như : MA = k . MB A M B • • • bo uuur uuur  Định lý 11 : Nếu A( x A ; y A ) , B(x B ; y B ) và MA = k . MB ( k ≠ 1 ) thì x A − k . xB y A − k . y B  ( xM ; y M ) =   ;   1− k 1− k  3
  6. Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn .vn x A + xB y A + y B  Đặc biệt : M là trung điểm của AB ⇔ ( xM ; y M ) =   ;   2 2  VII. Một số điều kiện xác định điểm trong tam giác :  x + x B + xC A uuur uuu uuur r r  xG = A  3 G 1. G là trong tâm tam giác ABC ⇔ GA + GB + GC = 0 ⇔   yG = y A + y B + yC B C   3 uuur uuu r uuur uuur A   AH ⊥ BC  AH .BC = 0  2. H là truc tâm tam giác ABC ⇔  uuur uuur ⇔  uuur uuu r H BH ⊥ AC BH . AC = 0 A     C uuur uuu r B  AA' ⊥ BC  3. A ' là chân duong cao ke tu A ⇔  uuur uuur C  ath  BA cùng phuong BC ' 4. I là tâm duong tròn ngoai tiêp tam giác ABC ⇔   IA=IB  IA=IC 5. D là chân duong phân giác trong cua góc A cua ∆ABC ⇔ DB = − 6. E là chân duong phân giác ngoài cua góc A cua ∆ABC ⇔ EB = 7. J là tâm duong tròn nôi tiêp ∆ABC ⇔ JA = − uur AB uuur . JD uuu r B A' A AC AB uuur AC uuu AB uuu r .DC .EC r B A A I C C BD J B D C VIII. Kiến thức cơ bản thường sử dụng khác: B D Công thức tính diện tích tam giác theo toạ độ ba đỉnh : uuu r uuur  Định lý 12: Cho tam giác ABC . Đặt AB = (a1; a2 ) và AC = (b1; b2 ) ta có : xm B 1 S ∆ABC = . a1b2 − a2b1 2 B C Cơng thức tính góc hai đường thẳng dựa vào hệ số góc : Định lý 13: Cho hai đường thẳng ∆1 với hệ số góc k1 và ∆ 2 với hệ số góc k2 . Khi đó nếu (·) = α thì ∆ ;∆ 1 2 k1 − k2 tan α = 1 + k1k2 bo 4
  7. Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn .vn ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I. Các định nghĩa về VTCP và VTPT (PVT) của đường thẳng: r r r dn  a ≠ 0  a là VTCP của đường thẳng ( ∆ ) ⇔  r a có giá song song hay trùng voi (∆ )  r r r dn  n ≠ 0  n là VTPT của đường thẳng ( ∆ ) ⇔  r * Chú ý: v a v a r ath (∆)  n có giá vuông góc voi (∆ )  r • Nếu đường thẳng ( ∆ ) có VTCP a = ( a1; a2 ) thì có VTPT là n = ( −a2 ; a1 ) r r v n (∆ ) • Nếu đường thẳng ( ∆ ) có VTPT n = ( A; B ) thì có VTCP là a = ( − B; A) v v n a (∆) xm II. Phương trình đường thẳng : 1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng : r a. Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng ( ∆ ) qua M0(x0;y0) và nhận a = ( a1; a2 ) làm VTCP sẽ có : y  x = x0 + t.a1 v M ( x; y ) (t ∈ ¡) a Phương trình tham số là : ( ∆ ) :   y = y0 + t.a2 O x M 0 ( x0 ; y0 ) x − x0 y − y0 Phương trình chính tắc là : ( ∆ ) : = ( a1, a2 ≠ 0) a1 a2  bo 5
  8. Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 2. Phương trình tổng quát của đường thẳng : r .vn a. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0;y0) và có VTPT n = ( A; B ) là: y v n M ( x; y ) O x M 0 ( x0 ; y0 ) ( ∆ ) : A( x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0 ( A2 + B 2 ≠ 0 ) b. Phương trình tổng quát của đường thẳng : Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy). Phương trình đường thẳng ( ∆ ) có dạng : v y n = ( A; B ) M 0 ( x0 ; y0 ) Ax + By + C = 0 với A2 + B 2 ≠ 0 Chú ý: O v x a = ( − B ; A) v a = ( B ; − A) ath Từ phương trình ( ∆ ): Ax + By + C = 0 ta luôn suy ra được : r 1. VTPT của ( ∆ ) là n = ( A; B ) r r 2. VTCP của ( ∆ ) là a = ( − B; A) hay a = ( B; − A) 3. M 0 ( x0 ; y0 ) ∈ ( ∆ ) ⇔ Ax0 + By0 + C = 0 Mệnh đề (3) được hiểu là : Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đường thẳng là tọa độ điểm đó nghiệm đúng phương trình của đường thẳng . 3. Các dạng khác của phương trình đường thẳng : xm a. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA;yA) và B(xB;yB) : x − xA y − yA ( AB ) : = ( AB ) : x = x A ( AB ) : y = y A xB − x A y B − y A y y A( x A ; y A ) y B( x B ; y B ) M ( x; y ) B( x B ; y B ) yA A( x A ; y A ) xA xB yA yB x x x O A( x A ; y A ) yB B( x B ; y B ) b. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: bo Định lý: Trong mp(Oxy) phương trình đường thẳng ( ∆ ) cắt trục hồng tại điểm A(a;0) và trục tung tại x y điểm B(0;b) với a, b ≠ 0 có dạng: + =1 a b 6
  9. Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn c. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0;y0) và có hệ số góc k: .vn y Định nghĩa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng ∆ . Gọi α = (Ox, ∆ ) thì k = tan α được gọi là hệ số góc của đường thẳng ∆ α x O Định lý 1: Phương trình đường thẳng ∆ qua M 0 ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k là : y y0 M ( x; y ) y - y 0 = k(x - x 0 ) (1) x O x0 • ∆1 / / ∆ 2 • ∆1 ⊥ ∆ 2 ⇔ k1.k2 = −1 ⇔ ath Chú ý 1: Phương trình (1) không có chứa phương trình của đường thẳng đi qua M0 và vuông góc Ox nên khi sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng đi qua M0 và vuông góc Ox là x = x0 Chú ý 2: Nếu đường thẳng ∆ có phương trình y = ax + b thì hệ số góc của đường thẳng là k = a Định lý 2: Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 ta có : k1 = k 2 ( ∆1 ≠ ∆ 2 ) d. Phương trình đt đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với một đt cho trước: i. Phương trình đường thẳng (∆1 ) //(∆ ): Ax+By+C=0 có dạng: Ax+By+m1 =0 ii. Phương trình đường thẳng (∆1 ) ⊥ (∆ ): Ax+By+C=0 có dạng: Bx-Ay+m 2 =0 Chú ý: m1 ; m2 được xác định bởi một điểm có tọa độ đã biết nằm trên ∆1 ; ∆ 2 xm y ∆ 1 : Ax + By + m1 = 0 y ∆ 1 : Bx − Ay + m 2 = 0 ∆ : Ax + By + C 1 = 0 x O x0 x M 1 O x0 M1 ∆ : Ax + By + C 1 = 0 III. Vị trí tương đối của hai đường thẳng : y y y ∆1 ∆2 ∆1 x x x O O O ∆1 bo ∆2 ∆2 ∆ 1 // ∆ 2 ∆ 1 caét ∆ 2 ∆1 ≡ ∆ 2 ( ∆1 ) : A1 x + B1 y + C1 = 0 Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : ( ∆ 2 ) : A2 x + B2 y + C2 = 0 7
  10. Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Vị trí tương đối của ( ∆1 ) và (∆ 2 ) phụ thuộc vào số nghiệm của hệ phương trình : .vn  A1 x + B1 y + C1 = 0  A1 x + B1 y = −C1  hay  (1)  A2 x + B2 y + C2 = 0  A2 x + B2 y = −C2 Chú ý: Nghiệm duy nhất (x;y) của hệ (1) chính là tọa độ giao điểm M của ( ∆1 ) vaø (∆ 2 ) Định lý 1: i. Hê (1) vô nghiêm ⇔ (∆1 ) / /( ∆ 2 ) ii. Hê (1) có nghiêm duy nhât ⇔ (∆1 ) cát (∆ 2 ) iii. Hê (1) có nghiêm tùy ý ⇔ (∆1 ) ≡ ( ∆ 2 ) Định lý 2: Nếu A2 ; B2 ; C2 khác 0 thì i. (∆1 ) cát ( ∆ 2 ) ii. (∆1 ) // (∆ 2 ) iii. (∆1 ) ≡ ( ∆ 2 ) IV. Góc giữa hai đường thẳng ath ⇔ ⇔ ⇔ A1 B1 = ≠ A 2 B2 A1 B1 C1 = ≠ A 2 B2 C2 A1 B1 C1 = A 2 B2 C2 1.Định nghĩa: Hai đường thẳng a, b cắt nhau tạo thành 4 góc. Số đo nhỏ nhất trong các số đo của bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng a và b (hay góc hợp bởi hai đường thẳng a và b). Góc giữa hai đường thẳng a và b đước kí hiệu là ( a , b ) Khi a và b song song hoặc trùng nhau, ta nói rằng góc của chúng bằng 00 2. Cơng thức tính góc giữa hai đường thẳng theo VTCP và VTPT r r xm a) Nếu hai đường thẳng có VTCP lần lượt là u và v thì rr r r u.v ( ) cos ( a, b ) = cos u, v = r r u.v r uu r b) Nếu hai đường thẳng có VTPT lần lượt là n và n ' thì r uu r r uur n.n ' ( cos ( a, b ) = cos n, n ' = r uu r n . n' ) ( ∆1 ) : A1 x + B1 y + C1 = 0 Định lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : ( ∆ 2 ) : A2 x + B2 y + C2 = 0 Gọi ϕ ( 0 ≤ ϕ ≤ 90 ) là góc giữa ( ∆1 ) vaø (∆ 2 ) ta có : 0 0 bo y A1 A2 + B1 B2 ∆1 ϕ cos ϕ = A12 + B12 . A2 + B2 2 2 x O Hệ quả: ( ∆1 ) ⊥ ( ∆ 2 ) ⇔ A1 A2 + B1B2 = 0 ∆2 8
  11. Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn .vn V. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng : Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ∆ ) : Ax + By + C = 0 và điểm M 0 ( x0 ; y0 ) Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng ( ∆ ) được tính bởi công thức: M0 y Ax0 + By0 + C H d ( M 0 ; ∆) = A2 + B 2 x O (∆ ) ( ∆1 ) : A1 x + B1 y + C1 = 0 Định lý 2: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : ( ∆ 2 ) : A2 x + B2 y + C2 = 0 ∆1 y Phương trình phân giác của góc tạo bởi ( ∆1 ) vaø (∆ 2 ) là : ath A1 x + B1 y + C1 A12 + B12 =± A2 x + B2 y + C2 A2 + B2 2 2 Định lý 3: Cho đường thẳng ( ∆1 ) : Ax + By + C = 0 và hai điểm M(xM;yM), N(xN;yN) không nằm trên ( ∆ ). Khi đó: • Hai điểm M , N nằm cùng phía đối với ( ∆ ) khi và chỉ khi ( Ax M + By M + C )( Ax N + By N + C ) > 0 M N ∆2 ∆ O x • Hai điểm M , N nằm khác phía đối với ( ∆ ) khi và chỉ khi M ∆ ( Ax M + By M + C )( Ax N + By N + C ) < 0 N xm bo 9
  12. Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn .vn ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I. Phương trình đường tròn: 1. Phương trình chính tắc: Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình của đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R là : y I ( a; b ) b (C ) : ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = R 2 (1) R M ( x; y ) x O 2. Phương trình tổng quát: a Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình : ath Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của đường tròn Đặc biệt: Khi I ≡ O thì (C ) : x 2 + y 2 = R 2 x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính R = a 2 + b2 − c với a 2 + b 2 − c > 0 II. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn: Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 tại điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) là : M 0 ( x0 ; y 0 ) xm ( ∆ ) : x0 x + y0 y − a ( x + x0 ) − b( y + y0 ) + c = 0 (C) (∆ ) I(a;b) VI. Các vấn đề có liên quan: 1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: (C ) (C ) (C ) I R I I M RH R M ≡H bo H M Định lý: ( ∆ ) I (C ) = ∅ ⇔ d(I;∆ ) > R ( ∆ ) tiêp xúc (C) ⇔ d(I;∆ ) = R ( ∆ ) cát (C) ⇔ d(I;∆ ) < R 10
  13. Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Lưu ý: Cho đường tròn (C ) : x + y − 2ax − 2by + c = 0 và đường thẳng ( ∆ ) : Ax + By + C = 0 . Tọa độ giao 2 2 .vn điềm (nếu có) của (C) và ( ∆ ) là nghiệm của hệ phương trình:  x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0   Ax + By + C = 0 2. Vị trí tương đối của hai đường tròn : C1 C1 C1 C1 C2 C2 C2 R1 R2 R2 I1 I2 I 1 R1 I1 R1 R2 I1 I I2 I2 2 C2 ath (C1 ) và (C 2 ) không cát nhau (C1 ) và (C 2 ) cát nhau ⇔ I1I 2 > R 1 + R2 ⇔ R 1 − R2 < I1I 2 < R 1 + R2 (C1 ) và (C 2 ) tiêp xúc ngoài nhau ⇔ I1I 2 = R 1 + R2 (C1 ) và (C 2 ) tiêp xúc trong nhau Lưu ý: Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 ⇔ I1I 2 = R 1 − R2 và đường tròn ( C ' ) : x 2 + y 2 − 2a ' x − 2b ' y + c ' = 0 . Tọa độ giao điềm (nếu có) của (C) và (C’) là nghiệm của hệ phương trình:  x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0   2  x + y − 2 a ' x − 2b ' y + c ' = 0 2  xm bo 11
  14. Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn .vn ĐƯỜNG ELÍP TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I.Định nghĩa: Elíp (E) là tập hợp các điểm M có tổng khoảng cách đến hai điểm cố định F1; F2 bằng hằng số * Hai điểm cố định F1; F2 được gọi là các tiêu điểm (E) * F1F2 = 2c ( c > 0 ) được gọi là tiêu cự M F1 2c F2 ( E ) = {M / MF1 + MF2 = 2a} ( a>0 : hằng số và a>c ) II. Phương trình chính tắc của Elíp và các yếu tố: 1. Phương trình chính tắc: (E) : Q ath x2 y2 + a 2 b2 = 1 với b2 = a 2 − c 2 ( a > b) (1) (E ) r1 y B2 M P r2 - - c a x A a1 c F1 O F2 A2 xm R B1 S 2. Các yếu tố của Elíp: * Elíp xác định bởi phương trình (1) có các đặc điểm: - Tâm đối xứng O, trục đối xứng Ox; Oy - Tiêu điểm F1(-c;0); F2(c;0) - Tiêu cự F1F2 = 2c - Trục lớn nằm trên Ox; độ dài trục lớn 2a ( = A1A2 ) - Trục nhỏ nằm trên Oy; độ dài trục lớn 2b ( = B1B2 ) - Đỉnh trên trục lớn : A1(-a;0); A2(a;0) - Đỉnh trên trục nhỏ :B1(0;-b); B2(0;b) - Bán kính qua tiêu điểm:  c  r1 = MF1 = a + a x = a + ex  Với M(x;y) ∈ (E) thì   r2 = MF2 = a − c x = a − ex bo   a c - Tâm sai : e= (0 < e < 1) a a - Đường chuẩn : x = ± e 12
  15. Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn .vn ĐƯỜNG HYPEBOL TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I. Định nghĩa: M ( H ) = {M / MF1 − MF2 = 2a} ( a > 0 : hằng số và a < c ) (1) 2c F1 F2 II. Phương trình chính tắc của Hypebol và các yếu tố: 1. Phương trình chính tắc: y=− b a x F1 −a ath (H ) : y B2 x2 y2 a 2 − 2 = 1 với b2 = c 2 − a 2 b a M F2 x y= b a (1) x −c A O A2 c 1 B1 2. Các yếu tố của Hypebol: xm * Hypebol xác định bởi phương trình (1) có các đặc điểm: - Tâm đối xứng O, trục đối xứng Ox; Oy - Tiêu điểm F1(-c;0); F2(c;0) Tiêu cự F1F2 = 2c - Trục thực nằm trên Ox; độ dài trục thực 2a ( = A1A2 ) - Trục ảo nằm trên Oy; độ dài trục ảo 2b ( = B1B2 ) - Đỉnh: A1(-a;0); A2(a;0) b - Phương trình tiệm cận : y = ± x a - Bán kính qua tiêu điểm: Với M(x;y) ∈ (H) thì :  r1 = MF1 = a + ex  r1 = MF1 = −( a + ex ) Với x > 0 ⇒  Với x < 0 ⇒   r2 = MF2 = −a + ex  r2 = MF2 = −( −a + ex ) c : e= ( e > 1) bo - Tâm sai a a - Đường chuẩn : x = ± e 13
  16. Tĩm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn .vn ĐƯỜNG PARABOL TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I. Định nghĩa : ( P ) = {M / MF = d ( M , ∆} M * F là điểm cố định gọi là tiêu điểm K * ( ∆ ) là đường thẳng cố định gọi là đường chuẩn * HF = p > 0 gọi là tham số tiêu II. Phương trình chính tắc của parabol: 1) Dạng 1: Ptct: y y M 2 = 2px ath 2) Dạng 2: Ptct: y F(-p/2;0) y H 2 ∆ = -2px p/2 p F -p/2 x x O F(p/2;0) M (∆) : x = p / 2 ( ): x=-p/2 xm 2 2 3) Dạng 3: Ptct: x = 2py 4) Dạng 4: Ptct : x = -2py y y p/2 ( ) : y = p/2 O M F(0;p/2) x F(0;-p/2) x M O -p/2 :y = -p/2 bo 14
  17. BÀI TOÁN CÓ L I GI I .vn 1 Đi m - Đư ng th ng Bài 1. Trong m t ph ng Ox y , cho hình thoi ABC D có tâm I (3; 3) và AC = 2B D . Đi m M 2; 4 3 13 thu c đư ng th ng AB , đi m N 3; 3 thu c đư ng th ng C D . Vi t phương trình đư ng chéo B D bi t đ nh B có hoành đ nh hơn 3. Gi i: C N D athA M I N B 5 T a đ đi m N đ i x ng v i đi m N qua I là N 3; 3 Đư ng th ng AB đi qua M , N có phương trình: x − 3y + 2 = 0 |3 − 9 + 2| 4 Suy ra: I H = d (I , AB ) = = Do AC = 2B D nên I A = 2I B . 10 10 xm 1 1 5 Đ t I B = x > 0, ta có phương trình 2 + 2 = ⇔ x 2 = 2 ⇔ x = 2 x 4x 8 Đ t B x, y . Do I B = 2 và B ∈ AB nên t a đ B là nghi m c a h :  2 14 2 5y − 18y + 16 = 0  x = 5 < 3 2  (x − 3) + y − 3 = 2 x =4>3  ⇔ ⇔ ho c x − 3y + 2 = 0 x = 3y − 2 y = 8   y =2 5 14 8 Do B có hoành đ nh hơn 3 nên ta ch n B ; 5 5 V y, phương trình đư ng chéo B D là: 7x − y − 18 = 0. Bài 2. Trong m t ph ng Ox y , cho đi m A (−1; 2) và đư ng th ng (d ) : x −2y +3 = 0. Tìm trên đư ng th ng (d ) hai đi m B,C sao cho tam giác ABC vuông t i C và AC = 3BC . bo Gi i: T yêu c u c a bài toán ta suy ra C là hình chi u vuông góc c a A trên (d ). Phương trình đư ng th ng (∆) qua A và vuông góc v i (d ) là: 2x + y + m = 0 A (−1; 2) ∈ (∆) ⇔ −2 + 2 + m = 0 ⇔ m = 0 Suy ra: (∆) : 2x + y = 0.  x = −3  2x + y = 0  5 ⇒ C −3; 6 T a đ C là nghi m c a h phương trình: ⇔ x − 2y = −3  y =  6 5 5  5 Đ t B (2t − 3; t ) ∈ (d ), theo gi thi t ta có: AC = 3BC ⇔ AC 2 = 9BC 2 http://boxmath.vn/ 15
  18. 16  4 16 12 2 6 2  t = 15 ⇔ + =9 2t − + t− ⇔ 45t 2 − 108t + 64 = 0 ⇔  . 25 25 5 5  4 t= 3 .vn 16 13 16 V it= ⇒B − ; 15 15 15 4 1 4 V i t = ⇒B − ; 3 3 3 13 16 1 4 V y, có hai đi m th a đ bài là: B − ; ho c B − ; . 15 15 3 3 A B1 C B2 ath Bài 3. Cho đi m A (−1; 3) và đư ng th ng ∆ có phương trình x − 2y + 2 = 0. D ng hình vuông ABC D sao cho hai đ nh B,C n m trên ∆ và các t a đ đ nh C đ u dương. Tìm t a đ các đ nh B,C , D. Gi i: D A xm C B Đư ng th ng (d ) đi qua A và vuông góc v i ∆ có phương trình: 2x + y + m = 0 A (−1; 3) ∈ ∆ ⇔ −2 + 3 + m = 0 ⇔ m = −1 Suy ra: (d ) : 2x + y − 1 = 0 x − 2y = −2 x =0 T a đ B là nghi m c a h phương trình: ⇔ ⇒ B (0; 1) 2x + y = 1 y =1 bo Suy ra: BC = AB = 1 + 4 = 5 Đ t C x 0 ; y 0 v i x 0 , y 0 > 0, ta có: C ∈∆ x 0 − 2y 0 + 2 = 0 x 0 = 2y 0 − 2 ⇔ 2 ⇔ 2 2 2 BC = 5 x0 + y 0 − 1 =5 x0 + y 0 − 1 =5 x0 = 2 x 0 = −2 Gi i h này ta đư c: ho c (lo i). Suy ra: C (2; 2) y0 = 2 y0 = 0 −→ − −→ x D − 2 = −1 − 0 xD = 1 Do ABCD là hình vuông nên: C D = B A ⇔ ⇔ ⇒ D (1; 4) yD − 2 = 3 − 1 yD = 4 V y B (0; 1) ,C (2; 2) , D (1; 4) 16 boxmath.vn
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2