L i nói đuờ ầ
Có l “tam th c b c hai” là m t khía c nh khá quen thu c đi v i chúng ta: ẽ ứ ậ ộ ạ ộ ố ớ
nh ng ng i h c toán ,nghiên c u toán…Nó xuyên su t trong ch ng trình Trung ữ ườ ọ ứ ố ươ
h c ph thông,tam th c b c hai có r t nhi u ng d ng,vi c s d ng công c này ọ ổ ứ ậ ấ ề ứ ụ ệ ử ụ ụ
giúp chúng ta gi i quy t m t lo t các bài toán trong gi i tích,hình h c,cũng nh trongả ế ộ ạ ả ọ ư
l ng giác.ượ
“Tam th c b c hai” xu t hi n trong nhi u cu n sách.Tuy nhiên các tác gi ch ứ ậ ấ ệ ề ố ả ỉ
đ c p m t cách t ng quan,chung chung ,ch ch a đi sâu vàot ng v n đ, ng d ng ề ậ ộ ổ ứ ư ừ ấ ề ứ ụ
c th c a nó.ụ ể ủ
Vì v y nhóm nghiên c u chúng tôi đã l a ch n đ tài “ ng d ng tam th c b c ậ ứ ự ọ ề Ứ ụ ứ ậ
hai vào vi c tìm c c tr c a hàm s ”_Đây là m t trong nh ng ng d ng đc s c c a ệ ự ị ủ ố ộ ữ ứ ụ ặ ắ ủ
tam th c b c hai.Nh m c th hóa các d ng bài t p trên c s ng d ng tam th c ứ ậ ằ ụ ể ạ ậ ơ ở ứ ụ ứ
b c hai vào vi c tìm c c tr c a hàm s .ậ ệ ự ị ủ ố
Trong đ tài này ,chúng tôi chia làm hai ph n chính:ề ầ
Ph n 1: Nêu ra nh ng c s lý thuy t tr ng tâm.ầ ữ ơ ở ế ọ
Ph n 2:Đa ra h th ng bài t p bao g m 6 d ng t d đn khó.ầ ư ệ ố ậ ồ ạ ừ ễ ế
D ng 1: ạHàm s y = f(x) = ố
2
ax bx c+ +
D ng 2: ạHàm s y = f (x) = ố
2
' 2 ' '
ax bx c
a x b x c
+ +
+ +
D ng 3: ạHàm s ch a d u giá tr tuy t đi và hàm s ch a căn th cố ứ ấ ị ệ ố ố ứ ứ
D ng 4: ạHàm s l ng giácố ượ
D ng 5: ạTìm
{ }
2
min ax
x
bx c mx n
+ + + +
ﾡ
và
{ }
2
m ax ax
x
bx c mx n
+ + + +
ﾡ
D ng 6: ạTìm
{ }
2
min ax
x
bx c mx n
+ + + +
ﾡ
và
{ }
2
m ax ax
x
bx c mx n
+ + + +
ﾡ
Trong m i d ng ,chúng tôi đã l a ch n đ đa ra m t s bài t p có gi i m u t ỗ ạ ự ọ ể ư ộ ố ậ ả ẫ ừ
đn gi n đn ph c t p và m t s bài t p t gi i.Đc bi t d ng 5 và 6 là nh ng ơ ả ế ứ ạ ộ ố ậ ự ả ặ ệ ở ạ ữ
d ng bài t p r t hay vì m c dù nó c ng k nh nh ng v i vi c ng d ng tam th c b cạ ậ ấ ặ ồ ề ư ớ ệ ứ ụ ứ ậ
hai ta th y l i gi i th t g n nh .ấ ờ ả ậ ọ ẹ
Vì th i gian và kh năng còng h n ch nên ch c ch n không th tránh kh i ờ ả ạ ế ắ ắ ể ỏ
nh ng thi u sót .Chúng tôi r t mong nh n đc s đóng góp ý ki n c a các b n đ ữ ế ấ ậ ượ ự ế ủ ạ ể
đ tài chúng tôi đc hoàn thiên h n.ề ượ ơ
Chúng tôi cung xin bày t lòng bi t n đn th y giáo D ng Thanh V đã h ngỏ ế ơ ế ầ ươ ỹ ướ
d n chúng tôi trong quá trình làm đ tài này.ẫ ề
Ph n Iầ: M T S KI N TH C TRANG BỘ Ố Ế Ứ Ị
Xét d u tam th c b c hai có d ng f(x) = ấ ứ ậ ạ
2
ax bx c+ +
(
0a
)
Đt ặ
2
4b ac∆ = −
Khi
0
∆
ta đt ặ
1,2
2
b
xa
− ∆
=
Ta có f(x1)=f(x2)=0 thì x1, x2 là hai nghi m c a tam th c b c hai ( cũng là hai ệ ủ ứ ậ
nghi m c a ph ng trình b c hai ệ ủ ươ ậ
2
ax 0bx c+ + =
)
Đnh lý Viét thu n:ị ậ
N u ph ng trình b c hai :axế ươ ậ 2+bx+c=0 (a ≠ 0 ) có hai nghi m xệ1,x2 ( gi s ả ử
x1 < x2) thì
1 2
1 2
.
b
S x x c
c
P x x a
= + =
= = −
M nh đ: ệ ề
1 2
x x a
∆
− =
H qu (Đnh lý Viét đo):ệ ả ị ả
N u hai s có t ng là S, có tích là P thì hai s đó là nghi m c a ph ng trìnhế ố ổ ố ệ ủ ươ
2
( ) 0f x x Sx P= − + =
( v i ớ
2
4 0S P−
)
ﾡ Chú ý
N u ế
1 2
0 0
c
P x x
a
= < < <�
( hai nghi m trái d u )ệ ấ
Ta có hai tr ng h p nh :ườ ợ ỏ
1 2
1 2
0
0
b
S x x
a
b
S x x
a
= − < >�
= − > <�
N u ế
0
0
c
Pa
b
Sa
= <
= − <
1 2
0x x< <�
( hai nghi m đu âm )ệ ề
N u ế
0
0
c
Pa
b
Sa
= >
= − >
1 2
0x x> >�
( hai nghi m đu d ng )ệ ề ươ
Tính ch t đ th (P): y = f(x) = ấ ồ ị
2
ax bx c+ +
là m t parabol có đnh ộ ỉ
( ; )
2 4
b
Sa a
∆
= −
Trong đó
2
S
b
xa
= −
là nghi m kép c a tam th c b c hai ệ ủ ứ ậ
(d)
2
b
xa
= −
là tr c đi x ng c a (P)ụ ố ứ ủ
B ng đ th chúng ta v n có th ghi nh đc đnh lý trên và còn tìm đc giá tr ằ ồ ị ẫ ể ớ ượ ị ượ ị
l n nh t và giá tr nh nh t c a tam th c b c hai nh sau:ớ ấ ị ỏ ấ ủ ứ ậ ư
a > 0 a < 0
0
∆ >
0
∆ =
0
∆ <
-∆/4a
-∆/4a
x1x2
O-b/2a
S
Ox2
x1-b/2a
-∆/4a
S
-∆/4a
O
-b/2a-b/2a
S
O-b/2a
S
-∆/4a
-b/2a
O
S
-b/2a
-∆/4a
O
S
max
min
GTNN f(x) =
4a
∆
−
Khi x =
2
b
a
−
GTLN f(x) =
4a
∆
−
Khi x =
2
b
a
−
I/ D U C A TAM TH C B C HAIẤ Ủ Ứ Ậ
ﾡ Đnh lý thu nị ậ
Tam th c b c hai luôn có d u c a h s a; v i m i giá tr c a x; và ch lo i ứ ậ ấ ủ ệ ố ớ ọ ị ủ ỉ ạ
tr hai tr ng h p :ừ ườ ợ
+ N u ế
0 af 0
2
b
a
� �
∆ = − =�� �
� �
+ N u ế
( ) ( )
1 2
0 af 0; ;x x x x∆ > < ∀� �
ﾡ Đnh lý đoị ả
N u t n t i s th c ế ồ ạ ố ự
α
th a mãn ỏ
af ( ) 0
α
<
thì tam th c b c hai có hai nghi m ứ ậ ệ
phân bi t ệ
1
x
,
2
x
và
1 2
x x
α
< <
ﾡ H quệ ả
N u t n t i hai s ế ồ ạ ố
α
và
β
sao cho
( ) ( ) 0f f
α β
<
, thì tam th c b c hai có hai ứ ậ
nghi m phân bi t ệ ệ
1
x
và
2
x
và có m t nghi m n m ngoài kho ng ộ ệ ằ ả
( )
,
α β
(v i ớ
α
<
β
)
ﾡ Cách nhớ
V i ớ
0
∆ >
x
−
x1 x2
+
2
( )f x ax bx c= + +
cùng d u a 0 trái d u a 0 cùng d u aấ ấ ấ
V i ớ
0∆ =
x
−
x1= x2 =
2
b
a
−
+
2
( )f x ax bx c= + +
cùng d u a 0 cùng d u aấ ấ
V i ớ
0
∆ <
x
−
+
2
( )f x ax bx c= + +
cùng d u aấ
ﾡ So sánh nghi m c a tam th c b c hai v i m t s ệ ủ ứ ậ ớ ộ ố
α
cho tr cướ
TH1:
1 2
af ( ) 0 x x
α α
< < <�
Không c n xét d u ầ ấ
∆
và luôn có
0∆ >
TH2:
0∆ <
vi c so sánh không đt raệ ặ
TH3:
( )
1 2
0
af 0
0
2
x x
S
α α
α
∆ >
> < <�
− >
TH4:
( )
1 2
0
af 0
0
2
x x
S
α α
α
∆ >
> < <�
− <
II/ GIÁ TR L N NH T- GIÁ TR NH NH T Ị Ớ Ấ Ị Ỏ Ấ (GTLN và GTNN)
Tìm GTLN – GTNN c a hàm s b ng cách áp d ng tam th c b c haiủ ố ằ ụ ứ ậ
C s c a ph ng pháp này là s d ng s đánh giá c a hàm s b ng ba công c ơ ở ủ ươ ự ụ ự ủ ố ằ ụ
sau đây c a tam th c b c haiủ ứ ậ
Th nh t là:ứ ấ
i, f(x) =
[ ]
2
( )u x a a+
0 0
( ) 0 : ( )u x f x a∃ = =�
0
min ( ) ( )
x R
f x f x a
= =�
ii, f(x) =
[ ]
2
( )b u x b−
0 0
( ) 0 : ( )u x f x b∃ = =�
0
m ax ( ) ( )
x R
f x f x b
= =�
Th hai là: Đ tìm GTLN – GTNN c a hàm s y = f(x) ta th c hi n t ng b c nh ứ ể ủ ố ự ệ ừ ướ ư
sau
B c 1: Tìm t p xác đnhướ ậ ị
B c 2: Chuy n (1) v d ngướ ể ề ạ
