VẼ KỸ THUẬT - GIAO CỦA HAI MẶT

CH

NG

ƯƠ 1: GIAO C A HAI M T

Ủ

Ặ

M C ĐÍCH - YÊU C U Ụ Ầ

ng này, sinh viên có kh năng : ả

ặ Sau khi h c xong ch ọ ươ c giao c a hai đa di n. - V đ ệ ẽ ượ c giao c a đa di n v i m t cong. - V đ ẽ ượ ệ ớ c giao c a hai m t cong. - V đ ặ ẽ ượ ủ ủ ủ

N I DUNG (6 ti Ộ t ) ế

1.1. Giao c a hai đa di n 1.2. Giao c a đa di n v i m t cong 1.3. Giao c a hai m t cong ủ ủ ủ

ng kính khác nhau và tr c tâm không giao ệ ệ ớ ặ ặ 1.3.1. Giao c a hai m t tr ặ ụ ủ 1.3.2. Giao c a hai m t tr có đ ặ ụ ủ ườ ụ nhau 1.3.3. Giao c a m t tr và m t nón ặ ụ ủ ặ 1.4. Câu h i và bài t p ỏ ậ

CH

NG 1:

GIAO C A HAI M T

ƯƠ

Ủ

Ặ

, ta th Trong th c t ng g p m t s v t th hay chi ti ặ ể ườ ộ ố ậ ố t máy đ ế ọ ị c c u t o ượ ấ ạ ự ế ẳ b i các kh i hình h c không hoàn toàn, nghĩa là các kh i hình h c b các m t ph ng ặ ọ ố ở c t đi m t ph n nh : ư ắ i đ c (hình 1.1a) là hình lăng tr b vát ph ng.

ụ ị ị ầ ắ ẳ ặ ẳ ẳ ắ ặ ể ậ ấ ố t máy) có ng th y các kh i hình h c t o thành v t th (hay chi ti ế ọ ạ ề ặ ủ ng đ i khác nhau làm thành các giao tuy n khác nhau gi a các b m t c a ữ ế ố

ữ ặ ố tr ngang. ầ ộ - L ưỡ ụ - Đ u vít (hình 1.1b) là hình ch m c u b các m t ph ng c t thành rãnh. ầ ỏ - Đ u tr c (hình 1.1c) là hình tr b các m t ph ng c t hai bên. ụ ụ ị ầ Ta cũng th ườ v trí t ươ ị v t th nh : ể ư ậ ng n i (hình 1.2a) có giao tuy n gi a m t tr và m t nón. - ế Ố - Đ u máy khoan (hình 1.2b) có giao tuy n gi a m t nón v i l ầ ặ ụ ữ ớ ỗ ụ ế ặ

Hình 1.1 Hình 1.2

ợ ặ ủ ể ặ

ộ ả ế ủ ộ ọ ế ườ ủ ệ ặ ợ Giao c a hai m t là t p h p các đi m thu c c hai m t đó . ộ D i đây ta nghiên c u cách v giao tuy n c a các kh i hình h c trong m t ố ẽ ướ ng h p mà m t trong các hình chi u c a giao ng h p đ c bi ợ t, nghĩa là m t trong hai kh i hình h c là hình lăng tr th ng hay tr tròn ọ ế ụ ẳ ụ ố s tr ố ườ tuy n đã bi ế có tr c vuông góc v i m t ph ng hình chi u. ụ ậ ứ t. Đó là tr ộ ặ ế ẳ ớ Đ tìm các hình chi u khác c a giao tuy n, ta ph i áp d ng cách xác đ nh ủ ụ ế ế ả ị ể đi m thu c m t. ộ ể ặ

ệ ườ ng là m t hay nhi u đ ng gãy khúc là giao tuy n c a hai m t bên c a hai đa di n. 1.1. GIAO C A HAI ĐA DI N Ủ Ệ Giao c a hai đa di n th ườ ủ ủ ườ ộ ế ủ ỗ ỉ ề ặ ỗ ng gãy khúc khép kín. M i ệ M i đ nh ủ ệ ng gãy khúc là giao đi m c a m t c nh nào đó c a m t đa di n v i đa di n ộ ạ ủ ủ ể ệ ộ ớ c nh c a đ ạ c a đ ủ ườ i. ạ còn l ể ẽ ủ ườ ủ ỉ Đ v giao c a hai đa di n, c n tìm các đ nh c a đ ệ - Khi n i các đ nh c a giao c n l u ý : Ch đ ng gãy khúc khép kin ạ c n i hai đ nh b ng m t đo n ằ ủ ộ ỉ ố ỉ ẳ ỉ ệ ầ ầ ư ặ - Khi xét th y, khu t c a giao hai đa di n c n l u ý : M t đi m thu c giao s th ng khi hai đ nh đó cùng thu c hai m t bên nào đó c a hai đa di n. ể ộ ấ ủ ấ ộ ộ ỉ ượ ố ủ ệ ầ ư ủ ặ ộ ộ ẽ ệ th y trên m t hình chi u nào đó khi và ch khi nó thu c hai m t bên (c a hai đa di n) ỉ ấ đ u th y trên hình chi u đó. ề ế ế ấ

ế ủ ụ ẽ DEF có các c nh bên vuông góc v i m t ph ng hình chi u b ng P Ví d 1ụ : V giao tuy n c a hai hình lăng tr tam giác ABC và DEF, trong đó 2 (hình ụ ế ặ ẳ ằ ạ ớ lăng tr 1.3). Gi i :ả

2E2F2 , nên hình chi u b ng ằ ng có th th y ngay trên hình v . M t bên DE và m t bên EF ẽ

DEF là tam giác D ế ủ ế ế ặ i các đi m 1, 2 và 3, 4. ạ ặ ể Bi Hình chi u b ng c a lăng tr ụ ằ c a giao tuy n là đ ể ấ ườ ủ c a lăng tr DEF c t hai c nh c a lăng tr ABC t ủ ắ ủ ằ ế ủ ứ 2 , 22 , 32 , 42 , gióng lên hình chi u đ ng ế ế c các đi m 1 đ ụ ạ ụ t hình chi u b ng c a chúng là 1 1 , 21 , 31 , 41 (Hình 1.3). ể ượ Các m t bên c a lăng tr ABC c t c nh c a lăng tr DEF t ủ ụ ạ ắ ạ ụ 2 và 62 trùng v i đi m E ủ ể ể ớ ồ i hai đi m 5 và 6, ể 2 . Đi m 5 và 6 đ ng th i n m trên m t ặ ờ ằ ườ ng ể ằ ẻ hình chi u b ng 5 ế c a lăng tr ể ủ n m trên m t c a lăng tr ABC và song song v i c nh c a lăng tr đó. ằ ặ ằ ABC. Xác đ nh hai đi m đó b ng cách k qua đi m 5 và 6 hai đ ụ ặ ủ ớ ạ ị ụ ủ ụ

Hình1.3. Giao tuy n hai đa di n ệ ế

Các đi m 1, 2, 3, 4, 5 và 6 là các đ nh c a giao tuy n. N i các đi m đó l ỉ ủ ế ể ố ạ i theo nguyên t c sau :

1) Ch n i hai đi m b ng m t đo n th ng khi hai đi m đó cùng n m trên ộ ạ ằ giao tuy n c a hai m t bên nào đó c a hai đa di n. Không n i hai đi m cùng n m ủ ế ủ trên m t c nh c a đa di n. Do đó, n i 1 – 5, 5 – 2, 2 – 4, 4 – 6, 6 – 3 và 3 – 1.

1 – 51 , 51 – 21, 41 – 61 , 61 – 31 là các đo n th y và 1

ể ắ ỉ ố ể ẳ ằ ằ ể ố ể ệ ặ ủ ố ộ ạ 2) M t đi m c a giao tuy n s th y đ ệ ủ ế ộ ượ ế ể ẽ ấ ệ ể ộ c trên hình chi u nào đó, khi hai c trên hình chi u đó. Do ế 1 – 31 , 21 – 41 là các ượ ấ ấ ạ đi m đó cùng thu c hai m t c a hai đa di n cũng th y đ ặ ủ đó các đo n 1ạ đo n khu t trên hình chi u đ ng. ế ứ ạ ấ

đáy hình thang và lăng tr đáy Ví d 2ụ : V giao tuy n c a hai hình lăng tr ế ủ ẽ ụ ụ tam giác (hình 1.4).

ụ ặ ớ Hình 1.4 ặ đáy hình thang có các m t bên vuông góc v i m t ph ng hình ủ 2 , nên hình chi u b ng c a giao tuy n trùng v i hình chi u b ng c a ẳ ằ ủ ế ế ế ằ ớ ế

Hình lăng tr chi u b ng P ằ các m t bên đó. ặ Hình lăng tr ụ ặ ẳ ớ đáy tam giác có các m t bên vuông góc v i m t ph ng hình 3 nên hình chi u c nh c a giao tuy n trùng v i hình chi u c nh c a các ế ặ ế ạ ế ạ ủ ủ ớ chi u c nh P ế ạ m t bên đó. ặ ặ ủ ụ ạ ụ ớ ặ ể ụ C nh a và b c a lăng tr ủ hình thang giao nhau v i hai m t bên ef và eg c a ớ i các đi m H, K và I, L. C nh f và g c a lăng tr tam giác v i hai ủ ạ ụ ủ ể ạ ế ế ế ườ ủ ế ể ng gióng t ứ ế ể ế ủ ụ ế ặ ạ lăng tr tam giác t m t bên ad và bc c a lăng tr hình thang t i các đi m M, N và P, Q (hình 1.4). Hình chi u b ng và hình chi u c nh c a các giao đi m đó đã bi ằ t, nên b ng ạ ằ ể các đi m đã bi t hai ế ở ẻ ể ừ c hình chi u đ ng c a các đi m đó. C hai ứ ủ ẽ ẽ ượ ố thì n i ủ ng gãy khúc khép kín H – K – P – Q – L – I – N – c giao tuy n là đ ườ ế ủ cách tìm hình chi u th ba c a đi m (k các đ ứ hình chi u b ng và c nh), ta s v đ ằ ạ đi m cùng n m trên giao tuy n chung c a hai m t bên c a hai hình lăng tr ằ ể i, ta s v đ l ẽ ẽ ượ ạ M – H (hình 1.5).

Hình 1.5

Có th dùng m t c t ph tr đ v giao tuy n, các v nh hình 1.6. ụ ợ ể ẽ ẽ ư ặ ắ ể ế

Hình 1.6 Hình 1.7

ạ ắ ụ ợ ắ ố ữ ậ ệ ạ ữ ặ ụ ể ủ ể ạ ụ ự ạ ươ ượ ế ụ ể ố ố i ta đ ượ Trong th c t ng g p giao tuy n này d ặ Qua hai c nh a và b, dùng m t ph ng c t ph tr c t hai kh i đa di n, m t ẳ ủ c t c t lăng tr hình thang và lăng tr tam giác theo hai hình ch nh t, các c nh c a ụ ắ ắ ố i 4 đi m H, K, I, L, đó là 4 đi m chung c a hai kh i hai hình ch nh t c t nhau t ậ ắ nh v y qua hai c nh g và f ta ng t lăng tr nên chúng n m trên giao tuy n. T ư ậ ằ c 4 đi m M, N, P, Q. N i các đi m đó dùng hai m t c t c t hai kh i lăng tr , ta đ ể ặ ắ ắ c giao tuy n c a hai kh i lăng tr . l ế ủ ụ ạ ta th ườ i d ng v t th có rãnh (hình ể ướ ạ ự ế ố ặ ế ậ 1.7).

1.2. GIAO C A ĐA DI N V I M T CONG Ệ Ớ Ặ Ủ

ặ ệ ủ ặ ủ ủ ệ ế ố ườ kh i m t cong, nên giao tuy n là các đ ẽ ớ ế ế ủ ạ m t ph ng hình chi u đ ng P ớ Giao c a đa di n v i m t cong là giao tuy n c a các m t c a đa di n v i ặ Ví d 3ụ : V giao tuy n c a lăng tr tam giác ABC có c nh bên vuông góc v i ớ ẳ ế ứ ặ ng cong ph ng khép kín. ẳ ụ 1 và hình nón (Hình 1.8). Gi i :ả là hình tam giác A ủ 1B1C1 , hình chi u đ ng c a ứ ế ế ụ

đi qua đ nh hình nón, nên c t m t nón theo hai đ ủ 1B1C1 . ụ ỉ ắ ế ặ ạ ụ ặ ng ườ ặ 2 – 32 và 22 – 42 . M t bên AC vuông góc v i ớ ấ ng tròn, hình chi u b ng là cung tròn khu t ằ ế

26222.

Hình chi u đ ng c a lăng tr ứ giao tuy n n m trên A ế ằ M t bên c a lăng tr ủ ặ sinh, hình chi u b ng là các đo n th y 1 ấ ằ tr c hình nón, nên c t m t nón theo đ ườ ắ 325242 (Hình 1.8b). ặ ặ ủ M t bên AB nghiêng t o v i m t đáy hình nón m t góc bé h n góc đáy c a ộ ơ ớ ng elip, hình chi u b ng là elip th y 1 ế ằ ườ ấ ạ hình nón nên c t m t nón theo đ ặ ắ

Hình 1.8. Giao tuy n c a lăng tr tam giác v i hình nón ế ủ ụ ớ

Ví d 4ụ : Giao tuy n c a hình h p ch nh t v i hình tr (hình 1.9) ộ ữ ậ ớ ế ủ ụ

Hình 1.9

hình h p (hình 1.10) Ví d 5ụ : V t th hình tr có l ụ ể ậ ỗ ộ

Hình 1.10

Ủ Ặ 1.3. GIAO C A HAI M T CONG

ố ặ ể ộ ợ

ng là đ ế ủ hai kh i m t cong đó. ặ ế ủ ng cong gh nh khép kín. ề ườ ặ ố ế ả ầ ư ể ẽ ạ ố ế ặ ằ ủ ể Giao tuy n c a hai kh i m t cong là t p h p đi m chung thu c b m t c a ề ặ ủ ậ ố Giao tuy n c a hai kh i m t cong th ườ ồ Đ v giao tuy n, ta ph i tìm m t s đi m chung cho hai kh i m t cong r i ộ ố ể i. Trong đó c n l u ý tìm nh ng đi m c a giao tuy n n m trên các ữ ng bao hình chi u c a hai kh i m t cong. n i chúng l ố đ ườ ế ủ ố ng pháp tìm đi m chung c a hai kh i m t cong là dùng m t c t ph tr ố ặ ắ ụ ợ ể ặ ặ ủ Ph c t hai m t cong. ắ ươ ặ

ế

ụ

ắ

ế

ẳ

thì dùng m t ph ng ph tr ụ

ặ tròn ụ ợ ể ắ đ c t

ng sinh.

ặ

ườ ụ ợ ắ

ắ

ẳ

ụ

Hình 1.11. M t ph ng c t ph ặ trợ

ủ

m t kặ ẻ - N u m t cong là ặ (nón, tr ) thì dùng m t ph ng ẳ ặ ườ ng ph trụ ợ c t m t k theo đ ặ ẻ sinh. - N u m t cong là m t ặ xoay ặ vuông góc v i tr c quay ớ m t tròn xoay theo đ M t ph tr c t hai kh i ố ặ m t cong theo các giao tuy n ế ph . Các giao đi m c a giao ủ tuy n ph là các đi m chung c a

ặ ụ ế

ể ể

ụ

hai kh i m t cong (Hình 1.11).

ặ

ố

1.3.1. Giao c a hai m t tr ủ ặ ụ

Hình 1.12. Giao tuy n c a hai hình tr ế ủ ụ

2 và m t ph ng hình chi u c nh P

3 (Hình 1.12).

ụ ẳ có tr c vuông góc v i m t ph ng ụ ặ ớ hình chi u b ng P Ví d 6 ụ : Tìm giao tuy n c a hai hình tr ế ạ ế ằ ế ủ ẳ ặ

Gi i :ả

H // x c t hình tr ắ

ặ ụ ẳ ặ ặ ụ ể ắ Hai m t tr là hai m t k , nên dùng m t ph ng ph tr song song v i đ ọ ụ ủ ụ ẳ theo b n đ ớ 1 . ế ằ ụ ố ng t ụ ợ M t ph ng Q có v t b ng Q ặ ủ ố ng sinh. Giao ự ườ ặ ắ ươ ể ng ớ ườ ụ ợ ặ ẻ ặ ớ 2 và P3 nên ta ch n m t sinh c a hai m t tr đ c t. Vì tr c hình tr vuông góc v i P ph ng ph tr song song v i P ẳ đi m c a b n đ nh v y s tìm đ ng sinh này là các đi m 5, 6, 5’, 6’. Dùng các m t c t t c các đi m khác c a giao tuy n (Hình 1.12b). ể ư ậ ẽ ườ ượ ủ ế ể

1.3.2. Giao c a hai m t tr có đ ặ ụ ủ ườ ng kính khác nhau và tr c tâm không giao nhau ụ

Ví d 7 ụ : Tìm giao tuy n c a hai hình tr có tr c vuông góc v i P ế ủ ụ ớ 2 , có đ ngườ ụ kính khác nhau và tr c tâm không giao nhau (Hình 1.13). ụ

Gi i :ả

2 đ c t chúng thành hai

ặ Hai hình tr là hai m t k , đ ng th i là hai m t tròn xoay nên có th dùng m t ặ ẻ ồ ể ặ ẳ ườ Tìm đi m 1, 2 ta dùng m t ph ng ph tr Q // P ụ ph ng ph tr c t chúng theo hai đ ụ ợ ắ ặ ể ờ ng tròn. ẳ ụ ợ ể ắ đ ng tròn có hình chi u b ng cũng là hai đ ng tròn. ườ ế ằ ườ

a) b)

ng kính khác nhau ụ Hình 1.13. Giao tuy n c a hai hình tr có đ ế ủ ườ và tr c tâm không giao nhau ụ

2 đ c t chúng thành hai

1 - 11 khu t.ấ

Tìm đi m 3, 4 ta dùng m t ph ng ph tr R // P ể ẳ ặ ể ắ đ ụ ợ ng tròn. ườ ườ ế ế ằ ủ ứ ụ ng kính khác nhau và 1 , 21 , 31 , 41 . Các ườ ể ụ ậ ộ ng tròn có hình chi u b ng cũng là hai đ ế ủ ữ ấ Hình chi u đ ng c a giao tuy n c a hai hình tr có đ tr c tâm không giao nhau là m t hình ch nh t đi qua các đi m 1 đo n 1ạ ạ

1 - 21 , 21 - 31 , 31 - 41 là các đo n th y, đo n 4 ạ 2 ” 2 ” 42 , đi m 2ể Trên hình chi u b ng, đi m 1 ế

32 (Hình 1.13). ể ằ

1.3.3. Giao c a m t tr và m t nón ặ ụ ủ ặ

ặ Ví d 8 ụ : Tìm giao tuy n c a hình nón và hình tr có tr c vuông góc v i m t ụ ụ ớ ph ng hình chi u b ng P ế ủ 2 (Hình 1.14). ế ằ ẳ Gi i :ả

Hình 1.14. Giao tuy n c a hình tr v i hình nón ế ủ ụ ớ

ể ặ ng tròn. ẳ ng th ng hay theo hai đ ặ ườ ụ ợ ủ ườ ụ ể ẳ ặ và nón là hai m t k , đ ng th i là hai m t tròn xoay nên có th Hai m t tr ặ ẻ ồ ờ ặ ụ dùng m t ph ng ph tr c t chúng theo các đ ụ ợ ắ ẳ ặ Tìm đi m 6 trên đ ể ườ đ nh nón đ c t thành các đ ể ắ ỉ P2 đ c t chúng thành hai đ ế ằ ụ ợ ng tròn. ng pháp dùng m t ph ng ph tr trên cũng có th áp d ng cho tr ể ắ Ph ng sinh c a hình tr , ta dùng m t ph ng ph tr Q đi qua ng sinh. Tìm đi m 3, 4 ta dùng m t ph ng ph tr R // ườ ẳ ng tròn có hình chi u b ng cũng là hai đ ườ ườ ụ ặ ườ ng ể ươ ụ ợ

ủ t hình chi u b ng và hình chi u c nh c a giao t hình chi u b ng c a giao tuy n, đ u có th áp ằ ằ ế ế ế ạ ề ế ế ể ẳ h p tìm giao tuy n c a hai đa di n. ệ ợ ế ủ ng h p bi Ví d 6, là tr ế ợ ụ ng h p bi tuy n, ví d 7, 8 là tr ế ợ ụ d ng cách xác đ nh đi m thu c m t cong đ tìm giao đi m. ặ ộ ụ ườ ườ ể ủ ể ể ị

* Tr t c a giao tuy n c a hai m t tròn xoay ườ ng h p đ c bi ợ ặ ệ ủ ế ủ ặ

ặ ế ộ ế ặ ầ ế ng b c hai ậ ườ ủ ế ụ ủ ế ặ ớ a) N u hai m t tròn xoay có cùng m t m t c u n i ti p thì giao tuy n c a ủ ộ ế (elip, parabole, hyperbole). Hình chi u c a giao tuy n chúng là hai đ trên m t ph ng hình chi u song song v i hai tr c c a hai m t tròn xoay là hai đo n ạ ẳ ặ th ng (hình 1.15, 1.16). ẳ

Hình 1.15. Giao tuy n c a hai m t tròn xoay có m t m t c u n i ti p ộ ế ế ủ ặ ầ ặ ộ

Hình 1.16

ộ b)N u hai m t tròn xoay có cùng tr c quay thì giao tuy n c a chúng là m t ế ủ ụ ế ặ ng tròn hay hai đ đ ng tròn (hình 1.17). ườ ườ

Hình 1.17. Giao tuy n hai m t tròn xoay có chung tr c quay ặ ụ ế

th ng g p giao tuy n c a hai kh i tròn d i d ng v t th ủ ế ặ ố ướ ạ ậ ể ự ế ườ (hình 1.18). tròn xoay có l Trong th c t ỗ

Hình 1.18 1.4. CÂU H I VÀ BÀI T P Ỏ Ậ

1. Giao tuy n c a hai đa di n, c a đa di n v i kh i tròn xoay, c a hai ủ ủ ệ ệ ố ớ ế ủ kh i tròn xoay có d ng th nào ? ế ạ ố Nêu các nguyên t c n i các đi m thu c giao tuy n c a hai kh i đa 2. ế ủ ể ắ ố ộ ố di n.ệ Đ v giao tuy n c a hai kh i tròn xoay th ng dùng ph ng pháp 3. ế ủ ể ẽ ố ườ ươ gì ? 4. V các hình chi u c a giao tuy n hai kh i đa di n . ế ủ ế ẽ ệ ố

a ) Lăng tr l c giác đ u và lăng tr tam giác (Hình 1.19) ụ ụ ụ ề

Hình 1.19 b) Hình chóp t giác đ u và lăng tr tam giác đ u (hình 1.20) ứ ụ ề ề

5. V các hình chi u c a giao tuy n c a kh i đa di n v i kh i tròn ế ủ ẽ ế ệ ố ớ ố Hình 1.20 ủ xoay

a) Lăng tr tam giác đ u và n a hình c u (Hình 1.21). ụ ử ề ầ

Hinh 1.21 b) Hình tr và lăng tr tam giác vuông (hình 1.22) ụ ụ

Hình 1.22

6. V các hình chi u c a hai kh i tròn xoay ế ủ ẽ ố a) Hình tr và hình nón (Hình 1.23) ụ

Hình 1.23 b) Hình c u và hình tr (hình 1.24) ụ ầ

Hình 1.24

7. Quan sát các bài t p m u v chi ti ệ t n p (hình 1.26, hình 1.27), th c hi n ự ậ v các chi ti ẽ ẽ ộ

ứ ế ụ ế ắ

c trên các hình chi u vuông góc. ắ ướ ế ụ ế t v i hình c t trên hình chi u tr c đo. ế ớ ụ ế ế ắ ẫ t hình 1.25 theo các n i dung sau : ế ở a) Chép l i hai hình chi u đã cho. ế ạ b) V hình chi u th ba. ẽ c) Áp d ng hình c t trên các hình chi u vuông góc. d) Ghi kích th e) V hình chi u tr c đo c a chi ti Th c hi n bài t p trên gi y A4. ậ ẽ ự ủ ấ ệ

a) BÀN TR TƯỢ

2 loã

b) B NEO Ệ

4 loã

3 loã

Hình 1.25 c) GIÁ GÓC

d) TR C Ổ Ụ

Hình 1.25