Trần Ngọc Hội Trần Ngọc Hội Xác suất thống kê – Đề tham khảo 1 Xác suất thống kê – Đề tham khảo 1 Lời giải
Câu 1. Gọi A là biến cố sản phẩm chọn ra sau cùng là 1 sản phẩm tốt. Aj (j = 0, 1, 2) là biến cố có j sản phẩm tốt và (2 − j) sản phẩm xấu có trong 2 sản phẩm lấy từ hai lô hàng. Khi đó A0, A1, A2 là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi. Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có
ĐỀ THAM KHẢO 1 MÔN: XÁC SUẤT THỐNG KÊ THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 PHÚT (Được sử dụng tài liệu và máy tính)
P(A/A ) = 0; 0
=
P(A/A ) =
;
1
1 2
=
P(A/A ) =
1.
2
1 0 C C 1 1 1 C 2 1 0 C C 2 0 1 C 2
P(A) = P(A0)P(A/A0) + P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2). Ta có: (GV: Trần Ngọc Hội - 2009)
0
1
6
8
=
=
P(B)
;
1
8 14
C C C
Bây giờ ta tính P(A1); P(A2). Gọi B, C lần lượt là các biến cố chọn được sản phẩm tốt từ lô hàng I, II. Khi đó B, Câu 1. Có hai lô hàng I và II. Lô I chứa 8 sản phẩm tốt và 6 sản phẩm xấu; lô II chứa 5 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm xấu. Từ mỗi lô chọn 1 sản phẩm. Sau đó, từ 2 sản phẩm thu được, chọn ra 1 sản phẩm. Tính xác suất chọn được sản phẩm tốt. Câu 2. Có hai máy sản xuất cùng một loại sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm tốt do máy I sản xuất là 60%, do máy II là 30%. Cho mỗi máy sản xuất 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 4 sản phẩm thu được. a) Tìm luật phân phối của X. b) Tìm kỳ vọng và phương sai của X. C độc lập. - Đối với lô hàng I: Câu 3. Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và có kết qủa sau:
= −
=
P(B) 1
.
14 8 14
6 14
0
1
10
5
=
=
P(C)
;
1
5 15
12−14 11 18−20 32 22−24 16 14−16 24 20−22 20 24−26 11 X(cm) 16−18 Số sản phẩm 27 a) Nếu muốn ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X với độ tin cậy 95% và độ chính xác 0,5cm thì phải điều tra thêm ít nhất bao nhiêu sản phẩm nữa? -Đối với lô hàng II:
C C C
= −
=
P(C) 1
.
15 5 15
10 15
⇒
+
b) Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 16cm−22cm là những sản phẩm loại A. Ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A với độ tin cậy 99%. Với độ tin cậy đó, nếu trong kho có 10.000 sản phẩm thì số sản phẩm loại A có trong kho khoảng bao nhiêu?
= P(A ) = P(BC + BC ) P(B)P(C) P(B)P(C)
1
1
=
+
=
Ta có: A = BC + BC
6 5 . 14 15
11 21
=
⇒
=
.
A = BC
P(A ) = P(B)P(C)
2
2
8 10 . 14 15 8 5 . 14 15
4 21
Câu 4. Trọng lượng của một loại sản phẩm theo qui định là 10kg. Người ta dùng một máy mới để sản xuất 150 sản phẩm thì thấy trọng lượng trung bình của một sản phẩm là 10,5kg và phương sai mẫu 8,5kg2. a) Máy được xem là hoạt động bình thường nếu sản phẩm có trọng lượng trung bình bằng trọng lượng qui định. Với mức ý nghĩa 1%, hãy nhận định về chiếc máy trên. b) Với mức ý nghĩa 3%, có thể khẳng định sản phẩm do máy trên sản xuất có trọng lượng trung bình cao hơn trọng lượng qui định hay không?
P(A) = P(A )P(A/A ) + P(A )P(A/A ) + P(A )P(A/A ) 2
1
1
2
+
=
= 0+
.1
0, 4524.
0 11 1 . 21 2
0 4 21
Suy ra
Kết luận: Xác suất chọn được sản phẩm tốt là 0,4524.
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
1 2
Trần Ngọc Hội Trần Ngọc Hội Xác suất thống kê – Đề tham khảo 1
2
Xác suất thống kê – Đề tham khảo 1 Câu 2. Gọi X1, X2 lần lượt là các ĐLNN chỉ số sản phẩm tốt do máy I, máy II sản xuất. Khi đó X1, X2 độc lập và ta có: Xi 13 15 17 19 21 23 25 ni 11 24 27 32 20 16 11
=
=
=
0,16;
(0, 4)
P(X
0)
1
0 0 2 p q 1 1 2
2
=
n 141;
i
i
Ta có: - X1 có phân phối nhị thức X1 ∼ B(n1, p1); n1 = 2; p1 = 0,6. Cụ thể ta có: = = iX n 2633; = iX n 50773.
∑
∑
=
=
=
=
P(X
1)
2.(0, 6)(0, 4)
0, 48;
1
1 1 1 p q 1 1 2
2
=
=
=
=
P(X
2)
(0, 6)
0, 36.
1
2 2 0 p q 1 1 2
C C C
=
=
X
18, 6738(cm).
X n i
i
1 n
2
• Kỳ vọng mẫu của X là
=
=
=
0, 49;
(0, 7)
P(X
0)
2
0 0 2 p q 2 2 2
2
2
2
=
=
=
=
P(X
1)
2.(0, 3)(0, 7)
0, 42;
2
=
−
=
(cid:3) 2 S
X (3, 3739) (cm ).
2 X n i
i
- X2 có phân phối nhị thức X2 ∼ B(n2, p2); n2 = 2; p2= 0,3. Cụ thể ta có: =
∑
∑ • Phương sai mẫu của X là: 1 n
2
=
=
=
=
P(X
2)
(0, 3)
0, 09.
2
1 1 1 p q 2 2 2 2 2 0 p q 2 2 2
C C C
• Phương sai mẫu hieu chỉnh của X là:
2
2
=
=
S
(cid:3) 2 S
2 (3, 3859) (cm ).
a) Ta có X = X1 + X2. Luật phân phối của X có dạng:
n − n 1
X 0 1 2 3 4
P p0 p1 p2 p3 p4 a) Nếu muốn ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X với độ tin cậy 95% và độ chính xác 0,5cm thì phải điều tra thêm ít nhất bao nhiêu sản phẩm nữa?
αε = z
S n
Đây là bài toán xác định cỡ mẫu khi ước lượng kỳ vọng của chỉ tiêu X với độ chính xác ε = 0,5cm và độ tin cậy γ = 1− α = 95% = 0,95. Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng: trong đó: p0 = P(X = 0) = P(X1=0)P(X2=0) = 0,0784; p1 = P(X = 1)= P(X1 = 0)P(X2 = 1) + P(X1 = 1)P(X2=0) = 0,3024; p2 = P(X = 2) = P(X1 = 0)P(X2 = 2) + P(X1 = 1)P(X2 = 1) , + P(X1 = 2) P(X2=0) = 0,3924;
2
2
=
=
≈
n
176,17.
z S α ε
× 1, 96 3, 3859 0, 5
trong đó ϕ(zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được zα = 1,96. Suy ra
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
≥
=
177.
n
⎤ ⎥
p3 = P(X = 3) = P(X1 = 1)P(X2 = 2) + P(X1 = 2)P(X2 = 1) = 0,1944 p4 = P(X = 4) = P(X1 = 2)P(X2 = 2) = 0,0324. Vậy luật phân phối của X là: 0 1 3 Thực tế yêu cầu: X P 0,0784 2 0,3024 0,3924 0,1944 4 0,0324
176,17 ⎡ ⎢ Vì n1 = 177 > 141 (141 là cỡ mẫu đang có) nên ta cần điều tra thêm ít nhất là 177 – 141 = 36 sản phẩm nữa.
b) Vì X = X1 + X2 và X1, X2 độc lập nên ta có: - Kỳ vọng của X là
M(X) = M(X1) + M(X2) = n1p1 + n2p2 = 1,8. - Phương sai của X là b) Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 16cm-22cm là những sản phẩm loại A. Ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A với độ tin cậy 99%. Với độ tin cậy đó, nếu trong kho có 10.000 sản phẩm thì số sản phẩm loại A có trong kho khoảng bao nhiêu?
D(X) = D(X1) + D(X2) = n1p1q1 + n2p2q2 = 0,9. Đây là bài toán ước lượng khoảng cho tỉ lệ p các sản phẩm loại A với độ tin cậy γ = 1− α = 99% = 0,99. Ta có công thức ước lượng khoảng
Câu 3. Lập bảng
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
3 4
n
n
Trần Ngọc Hội Trần Ngọc Hội Xác suất thống kê – Đề tham khảo 1 Xác suất thống kê – Đề tham khảo 1
, − + ) z α z α (F n ; F n Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, máy hoạt động bình thường. − F (1 F ) n n − F (1 F ) n n b) Với mức ý nghĩa 3%, có thể khẳng định sản phẩm do máy trên sản xuất có trọng lượng trung bình cao hơn trọng lượng qui định hay không?
−
+
(0, 5603 2, 58
; 0, 5603 2, 58
)
− 0, 5603(1 0, 5603) 141
− 0, 5603(1 0, 5603) 141
=
(45, 25%; 66, 81%).
(X
) n
=
=
z
2,1004.
− μ 0 S
Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghĩa α = 3% = 0,03: trong đó ϕ(zα) = γ /2 = 0,99/2 = 0,495. Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được zα = 2,58. Mặt khác, trong n =141 sản phẩm có m = 27 + 32 + 20 = 79 sản phẩm có chỉ tiêu X từ 16cm-22cm nên số sản phẩm loại A có trong mẫu là m = 79. Suy ra tỉ lệ mẫu sản phẩm loại A là Fn =m/n = 79/141 = 0,5603. Vậy ước lượng khoảng là: H0: μ = 10 với giả thiết đối H1: μ > 10. Vì n ≥ 30; σ2 = D(X) chưa biết, nên ta kiểm định như sau: Bước 1: Tương tự như câu a), ta có
Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoả ϕ(z2α) = (1 − 2α)/2 = 0,94/2 = 0,47 ta được z2α = 1,88. Bước 3: Vì z = 2,1004 > 1,88 = z2α nên ta bác bỏ giả thiết H0: μ = 10, nghĩa là chấp nhận H1: μ > 10. Nói cách khác, với độ tin cậy 99%, tỉ lệ sản phẩm loại A nằm trong khoảng từ 45,25% đến 66,81%. Khi trong kho có N = 10000 sản phẩm, gọi mA là số sản phẩm loại A có trong kho, ta có tỉ lệ sản phẩm loại A là mA/10000. Theo kết quả trên, với độ tin cậy 99%, tỉ lệ sản phẩm loại A nằm trong khoảng từ 45,25% đến 66,81%, do đó:
A
A
Kết luận: Với mức ý nghĩa 3%, có thể khẳng định sản phẩm do máy trên sản xuất ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ 45,25% 66,81% 45,25%.10000 m 66,81%.10000 m A 10000 có trọng lượng trung bình cao hơn trọng lượng qui định. ------------------------ ⇔ ≤ ≤ 6681
4525 m Vậy với độ tin cậy 99%, ta ước lượng trong kho có từ 4525 đến 6681 sản phẩm loại A. Câu 4. Gọi X là trọng lượng của sản phẩm. Giả thiết cho ta:
=
.
• Cỡ mẫu n = 150. • Kỳ vọng mẫu của X là X 10,5 (kg) • Phương sai mẫu hiệu chỉnh của X là S2 = 8,5(kg2). • Độ lệch mẫu hiệu chỉnh của X là S = 2,9155(kg).
−
(X
) n
0
=
=
=
z
2,1004.
− μ S
(10, 5 10) 150 2, 9155
a) Máy được xem là hoạt động bình thường nếu sản phẩm có trọng lượng trung bình bằng trọng lượng qui định. Với mức ý nghĩa 1%, hãy nhận định về chiếc máy trên. Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghĩa α = 1% = 0,01: H0: μ = 10 với giả thiết đối H1: μ ≠ 10. Vì n ≥ 30; σ2 = D(X) chưa biết, nên ta kiểm định như sau: Bước 1: Ta có
Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα) = (1− α)/2 = 0,99/2 = 0,495 ta được zα = 2,58.
Bước 3: Vì |z| = 2,1004 < 2,58 = zα nên ta chấp nhận giả thiết H0: μ = 10.
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
5 6
