Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm và ứng dụng: Khóa luận tốt nghiệp phát triển năng lực cho học sinh

ỦY BAN NHÂN DÂN TP. HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN

VŨ THỊ PHƯƠNG DUNG BÙI KIM TÙNG

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN

TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. PHẠM SỸ NAM

TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 6 NĂM 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của chúng tôi, các số liệu và kết

quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử

dụng và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác.

TP.Hồ Chí Minh, ngày 02 tháng 5 năm 2016

TÁC GIẢ LUẬN VĂN

Vũ Thị Phương Dung

Bùi Kim Tùng

iii

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, chúng tôi đã cố gắng nỗ lực

hết sức mình. Để hoàn thành tốt khóa luận này, chúng tôi đã nhận được sự động viên,

giúp đỡ tận tình của Quý thầy, cô, gia đình và bạn bè. Nhân đây chúng tôi xin được gửi

lời cảm ơn chân thành nhất.

Đầu tiên, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Quý thầy, cô trong Khoa

Toán – Ứng dụng trường Đại học Sài Gòn đã tận tình giảng dạy suốt bốn năm học để

chúng tôi có được nền tảng tri thức cũng như kinh nghiệm cuộc sống quý báu làm hành

trng cho chúng tôi sau này.

Đặc biệt, chúng tôi xin chân thành cảm ơn TS. Phạm Sỹ Nam. Thầy là người đã

giảng dạy những kiến thức nền tảng, tận tình giúp chúng tôi hoàn thành khóa luận một

cách tốt nhất. Tiếp xúc với thầy chúng tôi học hỏi được cách thức làm việc khoa học, sự

nhiệt tình, tính cẩn thận trong nghiên cứu và những bài học bổ ích trong cuộc sống.

Chúng tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã luôn quan tâm

động viên, khích lệ tinh thần chúng tôi trong suốt thời gian thực hiện khóa luận.

Cuối cùng, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Quý thầy, cô trong hội

đồng chấm khóa luận đã dành thời gian quý báu để xem xét và góp ý cho những điểm còn

thiếu sót giúp chúng tôi rút được kinh nghiệm cho khóa luận cũng như quá trình nghiên

cứu sau này. Rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của Quý thầy, cô cũng như sự góp ý

chân thành của các bạn. Xin chân thành cảm ơn.

TP. Hồ Chí Minh, ngày 02 tháng 5 năm 2016

Tác giả khóa luận

Vũ Thị Phương Dung – Bùi Kim Tùng

MỤC LỤC Trang

Trang phụ bìa ................................................................................................................. i

Lời cam đoan ................................................................................................................. ii

Lời cảm ơn .................................................................................................................... iii

Mục lục ........................................................................................................................... 1

Danh mục các cụm từ viết tắt ....................................................................................... 3

MỞ ĐẦU

I. Lý do chọn đề tài ........................................................................................................ 4

II. Mục tiêu nghiên cứu ................................................................................................ 5

III. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................................. 5

IV. Đóng góp của luận văn ........................................................................................... 5

Chương I

KIẾN THỨC CHUNG

1. Định nghĩa, vai trò và ý nghĩa của đạo hàm ........................................................... 6

1.1. Định nghĩa ....................................................................................................... 6

1.2. Ý nghĩa ............................................................................................................ 7

1.3. Vai trò của đạo hàm trong chƣơng trình Toán phổ thông ............................... 9

1.4. Vai trò của đạo hàm trong cuộc sống .............................................................. 9

2. Các khái niệm và phân loại cấp độ nhận thức ..................................................... 10

2.1. Khái niệm năng lực ....................................................................................... 10

2.2. Các cấp độ nhận thức .................................................................................... 11

3. Thực trạng việc dạy học giải bài tập đạo hàm và ứng dụng ở các trường THPT

3.1. Về việc học của học sinh ............................................................................... 12

3.2. Về giảng dạy của giáo viên ........................................................................... 13

3.3. Biện pháp ....................................................................................................... 13

Chương II

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG NHẰM PHÁT

TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH.

1. Bài tập liên quan đến khái niệm đạo hàm ............................................................ 14

2. Bài tập ứng dụng đạo hàm ..................................................................................... 23

2.1. Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số ........................................... 23

2.2. Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị .................................................................. 32

2.3. Ứng dụng đạo hàm chứng minh phƣơng trình có nghiệm ............................ 39

2.4. Ứng dụng đạo hàm giải phƣơng trình ........................................................... 43

2.5. Ứng dụng đạo hàm giải bất phƣơng trình ..................................................... 49

2.6. Ứng dụng đạo hàm giải hệ phƣơng trình ....................................................... 54

2.7. Ứng dụng đạo hàm tìm tham số để phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ

phƣơng trình có nghiệm ................................................................................ 62

2.8. Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức ............................................. 80

2.9. Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ............ 99

2.10. Ứng dụng đạo hàm để giải bài tập có liên quan đến thực tiễn .................. 113

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 118

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 119

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ CÁI VIẾT TẮT

: Với tất cả.

: Tƣơng đƣơng.

: Thuộc.

: Tồn tại ít nhất.

: Suy ra.

: Vô cùng.

: Khoảng.

: Nửa khoảng.

: Đoạn.

VT: Vế trái.

VP: Vế phải.

PT: Phƣơng trình.

THPT: Trung học phổ thông.

GV: Giáo viên.

HS: Học sinh.

SGK: Sách giáo khoa.

HD: Hƣớng dẫn.

PPDH: Phƣơng pháp dạy học.

MỞ ĐẦU

I. Lý do chọn đề tài

Môn Toán là môn học tạo nhiều cơ hội giúp học sinh (HS) phát triển năng lực

và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho HS tƣ duy trừu tƣợng, chính xác, hợp logic, phƣơng

pháp khoa học trong suy nghĩ, suy luận, từ đó rèn cho HS trí thông minh, sáng tạo.

Trong chƣơng trình Giải tích lớp 12 – THPT, nội dung đạo hàm và ứng dụng

giữ vai trò chủ đạo, chiếm một khối lƣợng kiến thức và thời gian của chƣơng trình môn

Toán, kiến thức về đạo hàm chiếm tỷ trọng khá lớn trong các đề thi THPT quốc gia và

đề thi tuyển sinh vào các trƣờng Đại học, Cao đẳng và Trung cấp chuyên nghiệp. Bởi

vậy, việc sử dụng đạo hàm của hàm số để giải toán là một nội dung rất cần thiết và hữu

ích đối với các em HS lớp 12.

Đạo hàm là nội dung cơ bản trong chƣơng trình toán phổ thông, là một trong hai

phép tính cơ bản của giải tích. Đạo hàm là công cụ giúp chúng ta nghiên cứu các tính

chất của hàm số nhƣ tính đồng biến, nghịch biến, tính lồi lõm, cực trị, các điểm tới hạn

của hàm số. Vận dụng tính chất của đạo hàm còn giúp HS giải đƣợc các bài toán Đại số

nhƣ: giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, bất đẳng thức…

Ngoài ra, đạo hàm còn ứng dụng trong lĩnh vực khác nhƣ: bài toán tính vận tốc, gia tốc

của một chuyển động vật lý, bài toán cực trị trong kinh tế, trong chuyển động…

Thực tế dạy học Toán ở trƣờng THPT cho thấy còn nhiều học sinh gặp khó khăn

khi sử dụng kiến thức đạo hàm để giải bài tập, một trong những nguyên nhân chính là

do các em không hiểu sâu sắc khái niệm và những ứng dụng của kiến thức này.

Chính vì những lý do nêu trên chúng tôi đã chọn đề tài để nghiên cứu:

“Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm và ứng dụng nhằm phát triển năng lực

cho học sinh”.

II. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của khóa luận là phân loại các dạng bài tập về đạo hàm và xây dựng hệ

thống bài tập phù hợp với các cấp độ nhận thức nhằm giúp HS phát triển năng lực

trong học Toán.

III. Nhiệm vụ nghiên cứu

Khóa luận nghiên cứu và trình bày các nội dung sau:

+ Hệ thống các kiến thức cơ bản về đạo hàm.

+ Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm và ứng dụng nhằm phát triển năng lực cho HS.

IV. Đóng góp của luận văn

Về mặt lý luận, tổng hợp các kiến thức về năng lực, cấp độ nhận thức và phân

tích ý nghĩa của kiến thức đạo hàm trong chƣơng trình phổ thông.

Về mặt thực tiễn, khóa luận là tài liệu tham khảo cho GV và HS trong giảng dạy

và học tập về khái niệm đạo hàm và ứng dụng.

Chương I

KIẾN THỨC CHUNG

1. Định nghĩa, vai trò và ý nghĩa của đạo hàm.

1.1. Định nghĩa.

1.1.1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm.

1.1.1.1. Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm.

Cho hàm số xác định trên khoảng và

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

thì giới hạn đó đƣợc gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm ký hiệu là

hoặc , tức là:

1.1.1.2. Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa

Cách 1:Tính trực tiếp

Cách 2: Để tính đạo hàm của hàm số f tại điểm , ta thực hiện 4 bƣớc:

Bƣớc 1: Cho số gia tính

Bƣớc 2: Lập tỉ số

Bƣớc 3: Tính .

Bƣớc 4: Kết luận.

[9]

1.1.2. Định nghĩa đạo hàm cấp cao.

Giả sử hàm số có đạo hàm tại mỗi điểm . Khi đó, hệ thức

xác định một hàm số mới trên khoảng (a;b). Nếu hàm lại có đạo

hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của là đạo hàm cấp hai của hàm số tại x và kí

hiệu là hoặc

Chú ý:

+ Đạo hàm cấp 3 của hàm số đƣợc định nghĩa tƣơng tự và kí hiệu là hoặc

hoặc

+ Cho hàm số có đạo hàm cấp , kí hiệu là

Nếu có đạo hàm thì đạo hàm của nó đƣợc gọi là đạo hàm cấp n của , kí

hiệu là hoặc

1.2. Ý nghĩa.

1.2.1. Ý nghĩa hình học.

1.2.1.1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Cho hàm số xác định trên (a;b) và có đạo hàm tại Gọi là đồ

thị của hàm số đó.

Đạo hàm của hàm số tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến của

tại điểm [9]

1.2.1.2. Bài tập liên quan:

Loại 1: Phƣơng trình tiếp tuyến tại tiếp điểm

Loại 2: Phƣơng trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc.

Loại 3: Tiếp tuyến đi qua điểm A cho trƣớc.

1.2.2. Ý nghĩa vật lý.

1.2.2.1.Vận tốc tức thời.

Vận tốc tức thời là đạo hàm của vị trí theo thời gian.

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phƣơng trình , với là một hàm số có

đạo hàm. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm là đạo hàm của hàm số

tại :

1.2.2.2. Cường độ tức thời.

Nếu điện cƣờng truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: với

là một hàm số có đạo hàm thì cƣờng độ tức thời của dòng điện tại thời điểm

là đạo hàm của hàm số tại :

1.2.3. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai.

Đạo hàm cấp hai là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.

Xét chuyển động xác định bởi phƣơng trình , trong đó là một hàm số có

đạo hàm đến cấp hai. Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là Lấy số gia

tại t thì có số gia tƣơng ứng là . Tỷ số đƣợc gọi là gia tốc trung bình của

chuyển động trong khoảng thời gian . Nếu tồn tại ta gọi

là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t. Vì nên

1.3. Vai trò của đạo hàm trong chương trình Toán phổ thông.

Trong chƣơng trình Giải tích THPT, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm giữ

vai trò chủ đạo. Đạo hàm là công cụ mạnh giúp chúng ta nghiên cứu nhiều tính chất

của hàm số nhƣ tính đồng biến, nghịch biến, cực trị, lồi lõm, điểm uốn…

Phƣơng pháp đạo hàm giúp chúng ta giải nhiều bài toán đại số nhƣ: giải phƣơng trình,

bất phƣơng trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

1.4. Vai trò của đạo hàm trong cuộc sống.

Khái niệm đạo hàm có nhiều ứng dụng trong điện từ học, động lực học, kinh tế

học, tràn chất lỏng, kiểu mẫu dân số, lý thuyết sắp hàng,....Vì thế, đạo hàm là một công

cụ quan trọng giúp giải quyết nhiều bài toán trong nhiều lĩnh vực. Do vậy đạo hàm có

nhiều ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống. Chẳng hạn:

+ Nhiệt độ thay đổi trong thời gian nhất định.

+ Vật tốc của một vật thể rơi tự do trong khoảng thời gian nhất định.

+ Dòng điện qua mạch trong thời gian nhất định.

+ Sự biến thiên của thị trƣờng chứng khoán trong khoảng thời gian nhất định.

+ Sự gia tăng dân số trong khoảng thời gian nhất định.

+ Nhiệt độ gia tăng theo tỉ trọng trong bình gas.

+…

Sau đây, chúng tôi đƣa ra một số ví dụ điển hình:

 Vật lý điện tử:

Nếu ta xem Q(t) là một hàm số biểu diễn điện tích có trong 1 đoạn dây dẫn ở một thời

điểm t, thì đạo hàm Q'(t) s cho ta cƣờng độ dòng điện chạy qua đoạn dây đó.

Dễ thấy, khi xét khoảng thời gian giữa hai thời điểm t1, t2 bất kì, lƣợng điện tích chạy

qua tiết diện của đoạn dây là:

Khi đó, cƣờng độ dòng điện trung bình (tức là, lựơng điện tích trên một đơn vị thời

gian) trong khoảng thời gian này đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

Cƣờng độ dòng điện tức thời I(t) ở một thời điểm t1 bất kì có thể đƣợc tính bởi giới hạn

 Trong hoá học:

Trong Hóa học, chúng ta có các bài toán liên quan đến khái niệm đạo hàm đó là: bài

toán về tốc độ phản ứng.

 Các bài toán kinh tế :

Qua số liệu thông kê, ngƣời ta nhận định rằng, doanh thu của công ty FPT sau t năm

tính từ đầu năm 2010 là: tỷ đồng. Hãy tính tốc độ thay đổi phần trăm

doanh thu của công ty vào đầu năm 2016 ?

 Trong xây dựng:

Bài toán cực tiểu của Bác Thợ Xây (ứng dụng đạo hàm tìm cực đại, cực tiểu)

Bạn muốn xây dựng một bình chứa nƣớc hình trụ thể tích . Đáy bằng bê tông giá

, thành bằng tôn, giá , bề mặt bằng nhôm không han

giá . Vậy kích thƣớc của bình chứa nƣớc nhƣ thế nào để số tiền xây

dựng nó là ít nhất ?

Nhƣ vậy: Đạo hàm cung cấp cho chúng ta một công cụ mạnh để nghiên cứu nhiều vấn

đề trong thực tế. Do vậy, trong dạy học khái niệm đạo hàm thông qua các bài tập cần

giúp học sinh thấy rõ ứng dụng này.

2. Các khái niệm và phân loại mức độ nhận thức.

2.1. Khái niệm năng lực.

Các nhà tâm lí học cho rằng năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính tâm lí

của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trƣng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo

cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao.

Ngƣời ta chia năng lực thành năng lực chung, cốt lõi và năng lực chuyên môn,

trong đó năng lực chung cốt lõi là năng lực cơ bản cần thiết làm nền tảng để phát triển

năng lực chuyên môn. Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trƣng ở một lĩnh vực nhất

định, ví dụ nhƣ năng lực toán học, năng lực ngôn ngữ [1].

Tuy nhiên, năng lực chung cốt lõi và năng lực chuyên môn không tách rời quan

hệ chặt ch với nhau.

2.2. Các mức độ nhận thức.

2.2.1. Nhận biết.

Bao gồm việc ngƣời học có thể nhớ lại các điều đặc biệt hoặc tổng quát, trọn

vẹn hoặc một phần các quá trình, các dạng thức, cấu trúc đã đƣợc học. Ở cấp độ này

ngƣời học cần nhớ lại đúng điều đƣợc hỏi đến.

Từ khóa đánh giá: Trình bày, nhắc lại, mô tả, liệt kê…

2.2.2. Thông hiểu.

Ở cấp độ nhận thức này ngƣời học cần nắm đƣợc ý nghĩa của thông tin, thể hiện

qua khả năng diễn giải, suy diễn, liên hệ.

Từ khóa đánh giá: Giải thích, phân biệt, khái quát hóa, cho ví dụ, so sánh…

2.2.3. Vận dụng.

2.2.3.1. Mức độ thấp.

Ngƣời học có khả năng áp dụng thông tin đã biết vào tình huống, điều kiện mới.

Từ khóa đánh giá: Vận dụng, áp dụng, tính toán, chứng minh, giải thích, xây dựng…

Ngƣời học có khả năng chia các nội dung, các thông tin thành những phần nhỏ

để có thể chỉ ra các yếu tố, các mối liên hệ, các nguyên tắc cấu trúc của chúng.

Từ khóa: Phân tích, lý giải, so sánh, lập biểu đồ, phân biệt, hệ thống hóa…

2.2.3.2. Mức độ cao

Ngƣời học có khả năng đƣa ra nhận định, phán quyết của bản thân đối với một

vấn đề dựa trên các chuẩn mực, các tiêu chí đã có.

Từ khóa: Đánh giá, cho ý kiến, bình luận, tổng hợp, so sánh…

Đạt đƣợc cấp độ nhận thức cao nhất này ngƣời học có khả năng tạo ra cái mới,

xác lập thông tin, sự vật mới trên cơ sở những thông tin, sự vật đã có.

Từ khóa: Thiết lập, tổng hợp, xây dựng, thiết kế, đề xuất….

Dựa vào các mức độ nhận thức, trong dạy học toán, nhằm giúp học sinh phát triển năng

lực, chúng tôi thiết kế các bài tập theo các cấp độ nhận thức trên [2].

3. Thực trạng việc dạy học giải bài tập đạo hàm và ứng dụng ở các trường THPT

3.1. Về việc học của học sinh:

Mặc dù đa số HS đã có ý thức về tầm quan trọng của môn Toán, tuy nhiên chất

lƣợng học tập môn Toán chƣa thật sự cao, vẫn chƣa đồng đều. Chất lƣợng chỉ tƣơng

đối ổn định ở lớp chọn và lớp nâng cao. Còn đa số các lớp thuộc chƣơng trình chuẩn

chất lƣợng thƣờng rất thấp. Theo suy nghĩ của chúng tôi, có những nguyên nhân sau:

+ Năng lực của học sinh trong các lớp không đồng đều, trong khi đó các bài tập trên

lớp và trong sách giáo khoa chƣa thực sự phù hợp với các đối tƣợng học sinh.

+ HS thƣờng mắc phải những sai sót rất cơ bản trong quá trình học tập, chẳng hạn làm

sai từ các phép biến đổi đơn giản, cách giải phƣơng trình, bất phƣơng trình cơ bản…

+ Có nhiều lỗ hỏng kiến thức vì vậy HS dễ chán nản và không thích học Toán. Khả

năng tiếp thu của HS còn hạn chế và chƣa linh động trong việc xử lý các tình huống

Toán học đơn giản nên kết quả học tập còn rất hạn chế.

+ Đa phần HS chƣa xác định đúng động cơ và mục đích học tập, không thể hiện đƣợc ý

thức phấn đấu, vƣơn lên.

+ Chƣa thấy đƣợc ý nghĩa của việc học toán, khả năng liên hệ đến thực tiễn rất hạn chế,

đặc biệt khi học về đạo hàm, HS chƣa biết đƣợc đạo hàm đƣợc ứng dụng vào việc gì.

[2]

3.2. Về giảng dạy của giáo viên:

+ GV chƣa có các bài tập phù hợp để giúp HS yếu, kém hiểu hơn về khái niệm đƣợc

học. Các bài tập ở mức độ nhận biết, thông hiểu rất ít khi xuất hiện trong các ví dụ

minh họa cho bài giảng và trong bài tập về nhà.

+ GV thƣờng đƣa ra câu hỏi nêu vấn đề nhƣng chƣa thực sát tình huống thực tế.

+ Trong quá trình giảng dạy GV chú ý nhiều đến việc truyền thụ khối lƣợng kiến thức

và ít chú trọng đến cách dẫn dắt HS tìm hiểu khám phá và lĩnh hội kiến thức.

+ Trong quá trình giảng dạy thực tập tại các trƣờng THPT chúng tôi nhận thấy nhiều

GV chuẩn bị bài rất công phu, bên cạnh đó vẫn còn một số GV chuẩn bị nội dung và

bài giảng chƣa đúng với trọng tâm, chƣa thật chu đáo. Trong qua trình giảng dạy chƣa

khơi dậy đƣợc niềm say mê và hứng thú học tập. Chƣa góp phần tích cực vào việc xác

lập động cơ học tập đúng đắn cho HS. [2]

3.3. Biện pháp:

Nhằm khắc phục đƣợc hạn chế trên, chúng tôi cho rằng, trong dạy học GV nên

thiết kế bài tập minh họa trên lớp và bài tập về nhà theo các mức độ nhận thức: nhận

biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao. Sở dĩ cần làm điều này bởi điều này

giúp HS hiểu rõ nội dung kiến thức. HS yếu, kém cho đến HS khá, giỏi đều hiểu khái

niệm căn bản và tất cả đối tƣợng đều có cơ hội để học tập trong một tiết học.

Chương II

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG NHẰM PHÁT

TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH

1. Bài tập liên quan đến khái niệm đạo hàm.

1.1. Bài tập nhận biết.

Hoàn thành bài trắc nghiệm về định nghĩa đạo hàm qua các câu hỏi sau đây:

Câu 1: Cho hàm số . Giá trị của hàm số tại là?

A. C.

B. D.

Đáp án: B.

Câu 2: Cho hàm số . Số gia của đối số tại là?

A. C.

B. D.

Đáp án: B.

Câu 3: Cho hàm số . Số gia hàm số tại là?

A. C.

B. D.

Đáp án: A.

Câu 4: Cho hàm số xác định tại . Đạo hàm của hàm số tại là?

A. C. (nếu tồn tại giới hạn).

D. (nếu tồn tại giới hạn)

Đáp án: D.

1.2. Bài tập thông hiểu.

Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống.

Câu 1: Cho hàm số . Số gia của đối số tại là ……………?

Đáp án:

Câu 2: Cho hàm số . Số gia của hàm số tại là ……………?

Đáp án:

Câu 3: Cho hàm số xác định tại . Khi đó =......?

Đáp án:

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số tại bằng định nghĩa?

Bài giải: Hàm số xác định trong một lân cận của . Ta có:

Vậy .

Đáp án:

Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số tại bằng định nghĩa?

Bài giải: Giả sử là …(1)… tại . Ta có:

;

Vậy

Đáp án:

(1): số gia của đối số

1.3. Bài tập vận dụng.

1.3.1. Dạng toán 1:

Tính đạo hàm của hàm số tại điểm bằng định nghĩa.

PHƢƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện một trong hai cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bƣớc:

Bƣớc 1: Giả sử là số gia của đối số tại . Tính

Bƣớc 2: Lập tỉ số

Bƣớc 3: Tìm

Bƣớc 4: Kết luận.

Cách 2: Hàm số xác định trong một lân cận của .

Ta có:

Bài tập 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số tại

HD:

Cách 1:

Giả sử là số gia của đối số tại . Ta có:

Vậy

Cách 2:

xác định trong một lân cận của . Ta có: Hàm số

Vậy .

Bài tập 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số tại

HD:

Cách 1:

Giả sử là số gia của đối số tại . Ta có:

Vậy .

Cách 2:

xác định trong một lân cận của . Ta có: Hàm số

Vậy

Bài tập 3: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số tại

HD:

Cách 1:

Giả sử là số gia của đối số tại . Ta có:

Vậy

Cách 2:

Hàm số xác định trong một lân cận của . Ta có:

Vậy .

1.3.2. Dạng toán 2:

Cho hàm số .

Tính đạo hàm hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số có đạo hàm tại điểm

PHƢƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bƣớc sau:

Bƣớc 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm .

Bƣớc 2: Tính đạo hàm bên trái: .

Bƣớc 3: Tính đạo hàm bên phải: .

Bƣớc 4: Nhận xét hoặc giải , từ đó đƣa ra kết luận.

Bài tập 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số

tại

HD:

Vì nên hàm số có đạo hàm tại điểm và .

Bài tập 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số tại

HD:

Nhận xét rằng

Vậy hàm số có đạo hàm tại điểm và

Bài tập 3: Cho hàm số

Xác định a để hàm số trên có đạo hàm tại Tính đạo hàm tại điểm đó.

HD:

Để hàm số có đạo hàm tại điểm , trƣớc hết hàm số phải liên

tục tại điểm , do đó:

Hàm số có đạo hàm tại điểm và

Bài tập 4: Cho hàm số

Tìm có đạo hàm tại điểm để

HD:

Để hàm số có đạo hàm tại điểm , trƣớc hết hàm số phải liên tục

tại điểm , do đó:

Hàm số có đạo hàm tại điểm

Thay vào ta đƣợc

Vậy hàm số có đạo hàm tại điểm khi và chỉ khi

1.3.3. Dạng toán 3:

Tính đạo hàm của hàm số trên khoảng bằng định nghĩa.

PHƢƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bƣớc sau:

Bƣớc 1: Tính .

Bƣớc 2: Lập tỉ số .

Bƣớc 3: Tìm .

Bƣớc 4: Kết luận.

Lưu ý: Trong phép tính này điểm coi nhƣ cố định còn thì tiến về 0.

Bài tập 1: Tính đạo hàm của hàm số trên khoảng bằng định nghĩa.

HD:

Với mọi thuộc khoảng ta có:

Vậy hàm số có đạo hàm trên khoảng và

Bài tập 2: Tính đạo hàm của hàm số trên khoảng bằng

định nghĩa.

HD:

Với mọi thuộc khoảng , ta có:

Vậy hàm số có đạo hàm trên khoảng và

2. Bài tập ứng dụng đạo hàm.

2.1. Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số.

2.1.1. Bài tập nhận biết.

Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số qua

các câu hỏi sau đây:

Câu 1: Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng K. Hàm số đồng biến trên

khoảng K khi nào?

C. A.

B. D.

Đáp án: D.

Câu 2: Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng K. Hàm số nghịch biến trên

khoảng K khi nào?

C. A.

B. D.

Đáp án: B.

Câu 3: Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng K và .

Khi đó hàm số :

A. Đồng biến trên khoảng K.

B. Nghịch biến trên khoảng K.

C. Không đổi trên khoảng K.

D. Vừa nghịch biến, vừa đồng biến trên khoảng K.

Đáp án: C.

Câu 4: Hàm số đồng biến đƣợc biểu thị bằng mũi tên theo hƣớng:

A. Đi lên từ trái sang phải.

C. Đi xuống từ trái sang phải.

B. Đi lên từ phải sang trái.

D. Đi xuống từ phải sang trái.

Đáp án: A.

Câu 5: Hàm số nghịch biến đƣợc biểu thị bằng mũi tên theo hƣớng:

A. Đi lên từ trái sang phải.

C. Đi xuống từ trái sang phải.

B. Đi lên từ phải sang trái.

D. Đi xuống từ phải sang trái.

Đáp án: C.

2.1.2. Bài tập thông hiểu.

Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống.

Câu 1: Cho hàm số . Tập xác định của hàm số đã cho là ………..

Đáp án:

Câu 2: Cho hàm số . Đạo hàm của hàm số đã cho là ………….

Đáp án:

Câu 3: Hoàn thành bảng biến thiên sau:

-3 0 4

- 0 …(1)… 0 ...(2)… 0 +

...(3)…

0 0

Đáp án: (1): +

(2): – (3):

Câu 4: Dựa vào bảng biến thiên. Hãy điền vào chỗ còn thiếu của nhận xét sau:

Bảng biến thiên:

- – 0 +

Nhận xét:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ...(1)… và ...(2)… trên khoảng .

Đáp án: (1):

(2): nghịch biến

Câu 5: Điền vào chỗ còn thiếu để đƣợc bài toán hoàn chỉnh.

Xét sự biến thiên của hàm số

Tập xác định

;

Bảng biến thiên:

…(2)… …(3)…

…(4)… 0 – 0 …(5)…

–3

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng …(6)…; nghịch biến trên khoảng .

Đáp án: (1): (4): +

(2): –1 (5): +

(3): 1 (6): và

2.1.3. Bài tập vận dụng.

2.1.3.1. Dạng toán 1:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số .

PHƢƠNG PHÁP CHUNG

Thực hiện theo các bƣớc sau:

Bƣớc 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bƣớc 2: Tính đạo hàm .

Bƣớc 3:Tìm các giá trị tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

Bƣớc 4: Lập bảng biến thiên.

Bƣớc 5: Dựa vào bảng biến thiên kết luận về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bài tập 1: Xét sự biến thiên của hàm số .

HD:

Tập xác định

Bảng biến thiên:

-1 0 1

- 0 + 0 - 0 +

2 2

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng và ; nghịch biến trên các khoảng

và .

Bài tập 2: Xét sự biến thiên của hàm số

HD:

Tập xác định

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên D.

Bài tập 3: Xét sự biến thiên của hàm số

HD:

Tập xác định .

Hàm số tuần hoàn với chu kì nên chỉ xét trên đoạn có độ dài chẳng hạn .

Bảng biến thiên:

- 0 + 0 - 0 +

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng và ;

nghịch biến trên các khoảng và với .

2.1.3.2. Dạng toán 2:

Tìm giá trị của tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên D.

PHƢƠNG PHÁP CHUNG

Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên D

và có hữu hạn điểm thuộc D. (*)

Để giải quyết bài toán (*) ta thƣờng đi theo hai hƣớng:

Hướng 1: Cô lập tham số để khảo sát, từ đó rút ra kết luận.

Hướng 2: Đƣa về dạng tích của các hàm bậc nhất, bậc hai để xét dấu.

Bài tập 1: Tìm để hàm số

a) Đồng biến trên .

b) Đồng biến trên khoảng .

HD:

a) , có tối đa 2 nghiệm.

Hàm số đồng biến trên nên

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khi .

b) có tối đa 2 nghiệm nên hàm số đồng biến trên khoảng

Nên do đó

có nhiều nhất 2 nghiệm.

Xét hàm số trên ta có:

Trên khoảng dấu của phụ thuộc vào dấu của tam thức .

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm nhƣ sau:

0 1

- 0 +

Từ bảng biến thiên suy ra .

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng khi .

Bài tập 2: Tìm để hàm số đồng biến trên

khoảng

HD:

Tập xác định: có tối đa 2 nghiệm. , ,

Hàm số đồng biến trên do đó

Trong bài toán này không thể cô lập đƣợc nên ta dùng cách 2.

Hàm số đồng biến trên khi do đó

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng .

Bài tập 3 : Tìm để hàm số nghịch biến trên .

HD:

Tập xác định:

; có tối đa 2 nghiệm

Hàm số nghịch biến trên nên

Nhận thấy chƣa là tam thức bậc hai nên ta phải xét hai trƣờng hợp:

+ TH1: khi đó nên hàm số nghịch biến trên .

+ TH2: khi đó là tam thức bậc 2 nên hàm số nghịch biến trên

nghịch biến trên . Vậy hàm số

Lƣu ý:

+ Nếu trong chỉ chứa tham số bậc nhất, ta s cô lập đƣợc nên có thể dùng cách 1

để giải quyết bài toán.

+ Nếu không cô lập đƣợc và dấu của là dấu của một tam thức bậc hai có chứa

tham số, chúng ta thƣờng dùng cách 2 để giải:

, nếu tồn tại min y.

, nếu tồn tại max y.

2.1.3.3. Dạng toán 3: Chứng minh: .

PHƢƠNG PHÁP CHUNG

Chứng minh:

Ta xét hàm số , lập bảng biến thiên, từ đó kết luận.

Bài tập 1 : Chứng minh rằng: .

HD:

Xét hàm số:

khi

Suy ra đồng biến trên nửa khoảng .

Do đó:

Kiến thức bổ sung:

+ Hàm số đồng biến trên đoạn thì

+ Hàm số nghịch biến trên đoạn thì .

Bài tập 2 : Chứng minh rằng: .

HD:

Xét hàm số trên .

Suy ra đồng biến trên . Do đó có không quá một nghiệm.

Mặt khác nên là nghiệm duy nhất của .

Lập bảng biến thiên ta đƣợc

Vì nên

2.2. Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị.

2.2.1. Bài tập nhận biết.

Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị qua các câu hỏi sau:

Câu 1: Nếu hàm số đạt cực đại tại điểm thì , lần lƣợt đƣợc gọi là?

A. Giá trị cực đại – Cực đại. C. Điểm cực đại – Giá trị cực đại.

B. Cực đại – Giá trị cực đại D. Giá trị cực đại – Điểm cực đại.

Đáp án: C.

Câu 2: Hàm số có đạo hàm trên khoảng và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại thì:

C. A.

B. D.

Đáp án: C.

Câu 3: Hàm số đạt cực đại tại điểm thì điểm đƣợc gọi là?

A. Điểm cực đại của hàm số. C. Cực đại của hàm số.

B. Điểm cực tiểu của hàm số. D. Cực tiểu của hàm số.

Đáp án: A.

2.2.2. Bài tập thông hiểu.

Câu 1: Hòa thành bảng biến thiên sau:

2 5

– 0 + 0 –

…(2)…

…(1)…

Nhận xét:

Hàm số đạt cực đại tại …(3)…

Hàm số đạt cực tiểu tại …(4)…

Đáp án: (1): CT (3):

(2): CĐ (4):

Câu 2: Dựa vào bảng biến thiên và điền nội dung còn thiếu ở phần nhận xét:

Bảng biến thiên:

–5 0 5

– 0 + 0 – 0 +

2 2

Nhận xét:

Hàm số đạt cực đại tại …(1)…,

Hàm số đạt cực tiểu tại …(4)…,

Đáp án: (1): (3): 6

(4): (2): (5): (6): 2

Câu 3: Dựa vào nội dung phần nhận xét. Hoàn thành bảng biến thiên:

…(1)… …(2)…

…(3)… 0 + 0 …(4)…

…(5)…

…(6)…

Nhận xét:

, Hàm số đạt cực đại tại

, Hàm số đạt cực tiểu tại

(4): – Đáp án: (1): 3

(5): (2): 5

(6): 0 (3): –

2.2.3. Bài tập vận dụng.

2.2.3.1 Phương pháp tìm cực trị hàm số bằng bảng biến thiên.

PHƢƠNG PHÁP CHUNG:

Ta thực hiện theo các bƣớc sau:

Bƣớc 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bƣớc 2: Giải phƣơng trình

Bƣớc 3: Lập bảng biến thiên và kết luận.

+ Nếu đổi dấu từ – sang + khi qua điểm (từ trái sang phải) thì hàm số đạt

cực đại tại .

+ Nếu đổi dấu từ + sang – khi qua điểm (từ trái sang phải) thì hàm số đạt

cực tiểu tại .

+ Nếu không đổi dấu khi qua điểm (từ trái sang phải) thì hàm số không

đạt cực trị tại .

Bài tập 1: Tìm cực trị của hàm số .

HD:

Tập xác định: .

Bảng biến thiên:

–1 2

+ 0 – 0 +

Vậy

Hàm số đạt cực đại tại và giá trị cực đại .

Hàm số đạt cực tiểu tại và giá trị cực đại .

Bài tập 2: Tìm cực trị của hàm số .

HD:

Tập xác định:

Bảng biến thiên:

–1 0 1

+ 0 – 0 + 0 –

8 8

Vậy

Hàm số đạt cực đại tại và giá trị cực đại .

Hàm số đạt cực tiểu tại và giá trị cực đại .

Bài tập 3: Tìm cực trị của hàm số .

HD:

Tập xác định:

Bảng biến thiên:

0 3

– 0 – 0 +

–65

Vậy

Hàm số đạt tiểu đại tại và giá trị cực tiểu .

Hàm số đã cho không có cực đại.

Bài tập 4: Tìm cực trị của hàm số .

HD:

Tập xác định .

Vậy hàm số đã cho không có cực trị.

Bài tập 5: Tìm cực trị của hàm số .

HD:

Tập xác định: .

Bảng biến thiên:

–2 –1 0

+ 0 – – 0 +

–9

–1

Vậy

Hàm số đạt cực đại tại và giá trị cực đại .

Hàm số đạt cực tiểu tại và giá trị cực đại .

Từ các bài tập trên ta có nhận xét:

+ Đối với hàm bậc ba thì phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt là điều kiện cần

và đủ để hàm số có cực trị.

+ Đối với hàm bậc bốn vì đạo hàm là hàm bậc ba nên hàm chỉ có thể có một cực trị

hoặc ba cực trị. Hàm số có một cực trị khi phƣơng trình có một hoặc hai

nghiệm (một nghiệm đơn, một nghiệm kép). Hàm số có ba cực trị khi phƣơng trình

có ba nghiệm phân biệt.

+ Đối với hàm số vì hàm số có đạo hàm không đổi dấu trên

tập xác định nên hàm số không có cực trị.

+ Đối với hàm số nếu có cực trị thì s có hai cực trị và

giá trị cực đại luôn nhỏ hơn giá trị cực tiểu của hàm số.

2.2.3.2. Phương pháp tìm cực trị hàm số bằng đạo hàm cấp 2.

PHƢƠNG PHÁP CHUNG:

Ta thực hiện theo các bƣớc sau:

Bƣớc 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bƣớc 2: Tìm đạo hàm và giải phƣơng trình . Kí hiệu là các

nghiệm của nó.

Bƣớc 3: Tính .

+ Nếu thì hàm số đạt cực đại tại .

+ Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại .

Bài tập 1: Tìm cực trị của hàm số

HD:

Tập xác định: .

Ta có:

nên hàm số đạt cực tiểu tại và giá trị cực tiểu là .

nên hàm số đạt cực đại tại và giá trị cực đại là .

Bài tập 2: Tìm cực trị của hàm số

HD:

Tập xác định: .

Ta có:

Do đó hàm số đạt cực đại tại và giá trị cực đại là .

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại và giá trị cực tiểu là

2.3. Ứng dụng đạo hàm chứng minh phương trình có nghiệm.

2.3.1. Bài tập nhận biết.

Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm để chứng minh phƣơng trình có

nghiệm qua các câu hỏi sau đây:

Câu 1: có tối đa 1 nghiệm trên D thì số nghiệm tối đa của trên D là:

C. 3 A. 1

D. 4 B. 2

Đáp án: B.

có đúng 2 nghiệm trên D thì số nghiệm của trên D là: Câu 2: Nếu

A. Đúng 3 nghiệm. C. Ít nhất 3 nghiệm.

B. Tối đa 3 nghiệm. D. Nhiều hơn 3 nghiệm.

Đáp án: A.

Câu 3: Nếu có 3 nghiệm trên D thì số nghiệm của trên D là:

A. Ít nhất 2 nghiệm. C. Nhiều nhất 2 nghiệm.

B. Có 2 nghiệm. D. Có đúng 2 nghiệm.

Đáp án: A.

Câu 4: Nếu vô nghiệm trên D thì số nghiệm của trên D là:

A. 0 (Vô nghiệm). C. Nhiều hơn 2 nghiệm.

B. Tối đa 1 nghiệm. D. Bằng 2 nghiệm.

Đáp án: B.

2.3.2. Bài tập thông hiểu.

Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống.

Câu 1: Cho hàm số có đạo hàm trên và có n nghiệm (n là số nguyên

dƣơng lớn hơn 1) trên thì …….

Đáp án: có ít nhất nghiệm trên

Câu 2: Nếu hàm số có đạo hàm trên và ……. thì có nhiều nhất một

nghiệm trên .

Đáp án: vô nghiệm trên

Câu 3: Nếu có đạo hàm trên và có nhiều nhất n nghiệm (n là …(1)… )

trên thì có nhiều nhất …(2)… nghiệm trên .

Đáp án: (1): số nguyên dƣơng

(2):

2.3.3. Bài tập vận dụng.

Một số kiến thức về phương trình và nghiệm của phương trình.

Định lí Rolle:

Nếu là hàm liên tục trên đoạn có đạo hàm trên khoảng và thì

tồn tại sao cho .

Hệ quả 1: Nếu hàm số có đạo hàm trên và có n nghiệm (n là số

nguyên dƣơng lớn hơn 1) trên thì có ít nhất nghiệm trên .

Hệ quả 2: Nếu hàm số có đạo hàm trên và vô nghiệm trên

thì có nhiều nhất 1 nghiệm trên .

Hệ quả 3: Nếu có đạo hàm trên và có nhiều nhất n nghiệm (n là

số nguyên dƣơng) trên thì có nhiều nhất nghiệm trên .

Các hệ quả trên đƣợc suy ra trực tiếp từ định lí Rolle và nó vẫn đúng nếu các nghiệm là

nghiệm bội (khi là đa thức).

Bài tập 1: Chứng minh phƣơng trình có một nghiệm duy nhất.

HD:

là hàm số liên tục và có đạo hàm trên . Hàm

Ta có:

Suy ra tồn tại sao cho . Nghĩa là phƣơng trình có nghiệm.

Mặt khác ta có nên hàm số đã cho luôn đồng biến.

Vậy phƣơng trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

Bài tập 2: Chứng minh phƣơng trình có nghiệm duy nhất.

HD:

Đặt

Tập xác định

+ Với : vô nghiệm. .Vậy

+ Với : . Vậy vô nghiệm.

+ Với : nên đồng biến.

Bảng biến thiên:

Vậy trên phƣơng trình có nghiệm duy nhất.

Vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất.

Bài tập 3: Chứng minh phƣơng trình có một nghiệm duy nhất.

HD:

Hàm xác định và liên tục trên .

Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng .

Hàm số liên tục trên đoạn có

Vì nên theo định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại số thực

sao cho tức là một nghiệm của phƣơng trình . Vì hàm số đồng

biến trên nên c là nghiệm duy nhất của phƣơng trình đã cho.

Bài tập 4: Chứng minh phƣơng trình có nghiệm duy nhất và nghiệm đó lớn

hơn .

HD:

Xét hàm số trên .

Lập bảng biến thiên thì phƣơng trình có nghiệm duy nhất là và nghiệm đó là dƣơng.

Vì là nghiệm của phƣơng trình nên

(Dấu bằng không xảy ra)

Bài tập 5: Chứng minh phƣơng trình có đúng một nghiệm.

HD:

(1)

Xét hàm số trên .

Hàm số liên tục trên .

Suy ra hàm số liên tục trên đoạn .

Ta có:

Khi đó hàm số có nghiệm trên khoảng (2)

(3) Suy ra hàm số đồng biến trên .

Từ (1), (2), (3) suy ra phƣơng trình đã cho có đúng một nghiệm.

2.4. Ứng dụng đạo hàm giải phương trình.

2.4.1. Bài tập nhận biết.

Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm để giải phƣơng trình qua các câu hỏi

sau đây:

Câu 1: là nghiệm của phƣơng trình khi và chỉ khi:

C. A.

B. D.

Đáp án: C.

Câu 2: Cho là số hàm liên tục trên đoạn có đạo hàm trên khoảng và

thì ?

. A. Tồn tại sao cho C. Tồn tại sao cho .

. B. Tồn tại sao cho D. Tồn tại sao cho .

Đáp án: A.

Câu 3: Giả sử hàm số đồng biến( nghịch biến) trên khoảng và tồn tại sao

cho thì ?

A. Phƣơng trình có nghiệm duy nhất

B. Phƣơng trình có nghiệm duy nhất

C. Phƣơng trình có nghiệm duy nhất

D. Phƣơng trình có nghiệm duy nhất

Đáp án: C.

2.4.2. Bài tập thông hiểu.

Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống.

Câu 1: Cho hàm số liên tục và xác định trên đoạn . Có .

Suy ra hàm số …(1)… trên …(2)…

Ta có: .

Khi đó: là …(3)… của phƣơng trình.

Đáp án: (1): đồng biến (3): nghiệm duy nhất

(2): khoảng

Câu 2: Tồn tại sao cho . Ta có:

Suy ra …(1)… có tối đa 1 nghiệm trên

có …(2)…

Đáp án: (1): (2): tối đa 2 nghiệm trên

2.4.3. Bài tập vận dụng.

Một số kiến thức cơ bản về hàm số và đạo hàm.

Định lý 1. Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng

a) Nếu với mọi thì hàm số đồng biến trên khoảng .

b) Nếu với mọi thì hàm số nghịch biến trên khoảng .

Mệnh đề 1. Giả sử hàm số đồng biến( nghịch biến) trên khoảng và tồn tại sao

cho thì phƣơng trình có nghiệm duy nhất

Chứng minh.

Giả sử phƣơng trình có hai nghiệm .

Khi đó: và hàm số đồng biến ( nghịch biến) trên khoảng nên

Mệnh đề 2. Giả sử , là hai hàm xác định trên khoảng và với thì

thuộc khoảng . Nếu hàm đồng biến ( nghịch biến) trên khoảng và

với mọi .

Bài tập 1: Giải phƣơng trình: . Điều kiện:

HD:

Xét hàm số trên đoạn

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng

Ta có:

Suy ra là nghiệm duy nhất của phƣơng trình.

Từ cách giải trên, ta nhận thấy phƣơng trình có một nghiệm bằng 2 nên có thể dùng

cách phân tích để đƣa về cách giải sau.

Cách khác:

Bài tập 2: Giải phƣơng trình: . Điều kiện:

HD:

Điều kiện: .

Xét hàm số trên nửa đoạn

Suy ra: đồng biến trên

. Suy ra là nghiệm duy nhất của phƣơng trình.

Bài tập 3: Giải phƣơng trình:

HD:

. Ta có:

Xét hàm số trên .

Suy ra, tồn tại sao cho .

có tối đa 1 nghiệm trên nên có tối đa 2 nghiệm trên

. và ;

Suy ra phƣơng trình có hai nghiệm là

Bài tập 4: Giải phƣơng trình: . Điều kiện:

HD:

Với . Ta có:

Xét hàm số với và

Suy ra đồng biến trên .

Ta có:

Bài tập 5: Giải phƣơng trình:

HD:

Ta có:

Xét hàm số với .

. Suy ra đồng biến trên .

Ta có:

Vậy là hai nghiệm của phƣơng trình.

Bài tập 6: Giải phƣơng trình:

HD:

(*) Ta có:

. Xét hàm số với .

Suy ra: đồng biến trên .

Từ (*) ta có:

Vậy là nghiệm duy nhất của phƣơng trình.

Bài tập 8: Giải phƣơng trình: .

HD:

Ta có:

(*)

Xét hàm số với .

(*)

Vậy là hai nghiệm của phƣơng trình.

2.5. Ứng dụng đạo hàm giải bất phương trình.

2.5.1. Bài tập nhận biết.

Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm giải bất phƣơng trình qua các câu

hỏi sau đây:

Câu 1: Hàm số đồng biến (tăng) trên K và , kết luận nào sau

đây đúng?

A. C.

B. D.

Đáp án: A.

Câu 2: Hàm số nghịch biến (giảm) trên K và , kết luận nào

sau đây đúng?

A. C.

B. D.

Đáp án: C.

Câu 3: Hàm số đồng biến (tăng) trên K và thì:

A. C.

D. Chƣa thể kết luận. B.

Đáp án: B

Câu 4: Cho hàm số có đạo hàm trên K đồng thời , phƣơng trình

vô nghiệm trên K hoặc có nghiệm rời rạc trên K. Khi đó ta khẳng định nào

sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên K. C. Hàm số không đổi trên K.

D. Cả 3 ý trên đểu sai. B. Hàm số đồng biến trên K.

Đáp án: B

Câu 5: Cho hàm số nghịch biến trên K, khi đó phát biểu nào sau đây đúng?

A. Hàm số có đạo hàm trên K đồng thời phƣơng trình vô nghiệm

trên K hoặc có nghiệm rời rạc trên K.

B. Hàm số có đạo hàm trên K đồng thời phƣơng trình vô nghiệm

trên K hoặc có nghiệm rời rạc trên K và

C. Hàm số có đạo hàm trên K đồng thời phƣơng trình vô nghiệm

trên K hoặc có nghiệm rời rạc trên K và

D. Hàm số có đạo hàm trên K đồng thời

Đáp án: C

2.5.2. Bài tập thông hiểu.

Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống.

Câu 1: Hoàn thành bài giải sau:

Giải bất phƣơng trình:

Bài giải:

Điều kiện: …(1)…

Nhận xét: Với thì vế trái của (*) nhận giá trị bằng 0

Xét hàm số liên tục trên nửa khoảng ...(2)…

Do nên hàm số đồng biến trên

Nhƣ vậy, bất phƣơng trình

Kết hợp với điều kiện ta nhận các nghiệm

Đáp án: (1): (2):

(3):

Câu 2: Hoàn thành bài giải sau:

Giải bất phƣơng trình:

Bài giải:

Điều kiện:

Nhận xét: Với thì vế trái của (*) nhận giá trị bằng …(1)…

Xét hàm số liên tục trên nửa khoảng

Do nên đồng biến trên nửa khoảng

Nhƣ vậy, bất phƣơng trình

Kết hợp với điều kiện của bất phƣơng trình ta nhận đƣợc

Đáp án: (1): 0 (2): (3):

2.5.3. Bài tập vận dụng.

PHƢƠNG PHÁP CHUNG

Định nghĩa: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên một khoảng, đoạn:

+ Hàm số đồng biến (tăng) trên K nếu

+ Hàm số nghịch biến (giảm) trên K nếu

Cho hàm số có đạo hàm trên K đồng thời phƣơng trình vô nghiệm

trên K hoặc có nghiệm rời rạc trên K. Khi đó:

+ Hàm số đồng biến trên K khi và chỉ khi

+ Hàm số nghịch biến trên K khi và chỉ khi

Phương pháp giải bất phương trình bằng cách sử dụng đạo hàm.

Nếu hàm số tăng liên tục trên K (K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) thì:

Nếu hàm số giảm liên tục trên K (K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) thì:

Bài tập 1: Giải các bất phƣơng trình sau:

HD:

a) Điều kiện:

Xét hàm số:

Ta dễ dàng chứng minh đƣợc là hàm nghịch biến.

và

Do đó:

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bất phƣơng trình là:

b) Điều kiện :

Xét hàm số , ta có:

Suy ra đồng biến

Mặt khác . Do vậy bất phƣơng trình:

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bất phƣơng trình là:

Bài tập 2: Tìm tập nghiệm của bất phƣơng trình

HD:

Điều kiện . Ta có:

Đặt thì , khi đó:

Xét hàm số .

(có lúc âm, lúc dƣơng với )

Trở lại kết hợp ta suy ra đƣợc: và

Nhƣ vậy với t là biến đặc trƣng cho và .

Ta có thể xét .

Khi ấy

Từ đó

Vậy tập nghiệm của bất phƣơng trình là

2.6. Ứng dụng đạo hàm giải hệ phương trình.

2.6.1. Bài tập nhận biết.

Câu 1: Hàm số có . Khi đó đồng biến trên khoảng nào?

C. A.

D. Cả ba ý trên đều sai. B.

Đáp án : C

Câu 2: Hàm số có . Khi đó đồng biến hay nghịch biến

trên khoảng nào?

A. Đồng biến trên C. Nghịch biến trên

D. Cả ba ý trên đều sai. B. Nghịch biến trên

Đáp án: C

Câu 3: Biết hàm số nghịch biến trên . Nếu kết luận nào

C. Chƣa thể kết luận

D. Đáp án khác.

sau đây đúng:

Đáp án: A

Câu 4: Biết hàm số đồng biến trên . Nếu kết luận nào sau

đây đúng:

C. Chƣa thể kết luận A.

D. Đáp án khác. B.

Đáp án: A.

Câu 5: Hàm số đồng biến trên khoảng nào ?

C. A.

D. Cả 3 ý trên đều sai B.

Đáp án: C.

2.6.2. Bài tập thông hiểu.

Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chổ trống.

Câu 1: Giải hệ phƣơng trình:

Bài giải:

Điều kiện:

Trừ vế theo vế

với Xét hàm số

đồng biến trên khoảng

Ta có:

Khi đó:

Nghiệm của hệ:

Đáp án:

(1): (2): (3):

Câu 2: Giải hệ phƣơng trình:

Bài giải:

Ta có:

Xét hàm số và

Suy ra đồng biến trên khoảng

Ta có:

Khi đó:

Đáp án: (1): (2): (3):

2.6.3. Bài tập vận dụng.

Bài tập 1: Giải hệ phƣơng trình:

HD:

Điều kiện:

Trừ vế theo vế:

Xét hàm số trên

đồng biến trên khoảng

Ta có:

Khi đó:

Xét hàm số trên

Ta có:

Suy ra:

Suy ra: đồng biến trên khoảng

là nghiệm duy nhất của phƣơng trình

Nghiệm của hệ: x = y = 3

Bài tập 2: Giải hệ phƣơng trình:

HD:

Trừ vế theo vế

Xét hàm số

Xét

Suy ra:

đồng biến trên khoảng Suy ra:

Ta có:

Khi đó:

Ta có:

Suy ra:

Xét hàm số với

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng

là nghiệm duy nhất của phƣơng trình.

Nghiệm của hệ: x = y = 1

Bài tập 3: Giải hệ phƣơng trình:

HD:

Điều kiện: . Ta có:

Xét hàm số: với .

đồng biến trên khoảng Suy ra:

Ta có:

Khi đó:

, Xét hàm số

Suy ra hàm đồng biến trên

là nghiệm duy nhất của phƣơng trình

Nghiệm của hệ:

Bài tập 4: Giải hệ phƣơng trình:

HD:

Điều kiện: . Ta có:

Xét hàm số với .

đồng biến trên Suy ra

Ta có:

Khi đó:

Nghiệm của hệ:

Bài tập 5: ( Khối A – 2010) Giải hệ phƣơng trình:

HD:

Điều kiện:

Xét hàm số với .

Suy ra đồng biến trên

Ta có:

với x  0

Khi đó:

Xét hàm số với

Suy ra hàm nghịch biến với

là nghiệm duy nhất của phƣơng trình .

Nghiệm của hệ

Bài tập 6: Giải hệ phƣơng trình:

(Khối A – 2012) :

HD:

Hệ phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với: .

Đặt u = x ; v = y +

Hệ đã cho thành

Xét hàm . với mọi t thỏa t  1

hay hay

 Hệ đã cho có nghiệm là .

2.7. Ứng dụng đạo hàm tìm tham số để phương trình, bất phương trình, hệ

phương trình có nghiệm.

2.7.1. Bài tập nhận biết.

Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm tìm tham số để phƣơng trình, bất

phƣơng trình, hệ phƣơng trình có nghiệm qua các câu hỏi sau đây:

Câu 1: Nếu hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số

luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm trên

D của phƣơng trình có thể có là:

A. Một nghiệm. C. Chƣa thể kết luận.

B. Không nhiều hơn một nghiệm. D. Đáp án khác.

Đáp án: B.

Câu 2: Nếu hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D

thì số nghiệm của phƣơng trình trên D: với k là hằng số là:

A. Không nhiều hơn một nghiệm. C. Chƣa thể kết luận.

D. Đáp án khác. B. Hai nghiệm.

Đáp án: A.

Câu 3: Cho hàm số chọn câu trả lời đúng:

A. Hàm số luôn nghịch biến trên

B. Hàm số nghịch biến trên miền D có chứa đƣờng thẳng

C. Hàm số luôn đồng biến trên

D. Cả 3 ý trên đều sai

Đáp án: D.

Câu 4: Phƣơng trình là phƣơng trình hoành độ giao điểm của:

A. và đồ thị

B. và đồ thị

C. và đồ thị

D. Cả 3 ý trên đều sai

Đáp án: A.

2.7.2. Bài tập thông hiểu.

Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống.

Câu 1: Tìm m để phƣơng trình: có nghiệm khi

Bài giải :

Phƣơng trình: (1)

Xét hàm số ,

Ta có :

Bảng biến thiên :

0 1

+ 0 -

0 -1

Từ bảng biến thiên ta suy ra phƣơng trình (1) có nghiệm khi : ;

Đáp án: (1): (2):

Câu 2: Tìm m phƣơng trình : có nghiệm khi

Bài giải:

(2) Phƣơng trình

Xét hàm số:

Ta có:

Bảng biến thiên :

0 9

+ 0 -

Từ bảng biến thiên ta suy ra phƣơng trình (1) có nghiệm khi :

Đáp án: (1): (2): 10

2.7.3. Bài tập vận dụng.

PHƢƠNG PHÁP CHUNG

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Định lí 1: Nếu hàm số luôn đồng biến (nghịch biến) và liên tục trên D thì số

nghiệm của phƣơng trình trên D: không nhiều hơn một và khi và

chỉ khi với mọi thuộc D.

Định lí 2: Nếu hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số

luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D

của phƣơng trình không nhiều hơn một.

Chú ý: Khi gặp phƣơng trình và ta có thể biến đổi về dạng trong đó

và khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của phƣơng trình và chứng minh

đó là nghiệm duy nhất.

Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán tham số

Khi giải các bài toán về phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ phƣơng trình ta

thƣờng hay gặp các bài toán liên quan đến tham số. Có l đây là dạng toán mà nhiều

HS lúng túng nhất. Trong phần này chúng ta s đi nghiên cứu một số dạng toán thƣờng

gặp (nhƣ xác định tham số để phƣơng trình có nghiệm, có k nghiệm, nghiệm đúng với

mọi x thuộc tập D… ) và phƣơng pháp giải các dạng toán đó.

Vì đây là phần đã cần đến kỹ năng vận dụng nhiều nên bài tập chủ yếu ở mức độ

thông hiểu và vận dụng.

2.7.3.1. Bài tập về phương trình.

a) Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để phƣơng trình có nghiệm trên D.

Phương pháp: Dựa vào tính chất phƣơng trình có nghiệm tƣơng đƣơng hai đồ thị của

hai hàm số và cắt nhau. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo

các bƣớc: Bƣớc 1: Lập bảng biến thiên của hàm số

Bƣớc 2: Từ bảng biến thiên suy ra kết luận.

Bài tập: Tìm m để phƣơng trình (1) trên có

nghiệm duy nhất.

HD:

Xét hàm số trên .

Ta có

Xét hàm số trên . Ta có:

Bảng biến thiên:

0 1

- 0 +

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy .

Ta có:

Suy ra . Do đó

Bảng biến thiên:

0 1

+ 0 –

Phƣơng trình (1) là phƣơng trình hoành độ giao điểm của và

(C ):

Phƣơng trình có nghiệm duy nhất khi hoặc .

b) Dạng 2: Phƣơng trình cũng chứa tham số nhƣng không ở dạng .

Phương pháp: Ta tìm cách cô lập m đƣa về dạng trên. Bài tập dạng này tƣơng đối đa

dạng và nhiều.

Bài tập 1: Tìm các giá trị của tham số m để phƣơng trình sau có hai nghiệm phân biệt.

HD:

Ta có:

Nếu x = 0 thì phƣơng trình (1) vô nghiệm.

Nếu thì

Phƣơng trình (2) là phƣơng trình hoành độ giao điểm của và đồ thị

Phƣơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt cắt

trên .Ta có:

Bảng biến thiên:

+ +

Từ bảng biến thiên ta có:

Bài tập 2: Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm:

HD:

Điều kiện: . PT (1) trở thành

(2)

Đặt . Ta có: ;

Bảng biến thiên :

9 0

+ 0 –

0 0

Do đó: . Phƣơng trình (2) trở thành (3)

Xét hàm số . Ta có:

Bảng biến thiên:

9 0

+ 0 –

Phƣơng trình (1) có nghiệm Phƣơng trình (3) có nghiệm

Bài tập 3: Tìm các giá trị của tham số m để phƣơng trình sau có nghiệm

(1)

HD:

Điều kiện :

Phƣơng trình (1) (2)

Đặt . Do

Phƣơng trình (2) trở thành (3)

Xét hàm số , . Ta có:

Bảng biến thiên:

1 0

+ 0 –

Phƣơng trình (1) có nghiệm Phƣơng trình (3) có nghiệm

Bài tập 4: Cho phƣơng trình (1). Tìm m để phƣơng

trình có nghiệm

HD :

Từ điều kiện của x, ta có: nên

(1)

Đặt . Phƣơng trình (2) trở thành (3)

Xét hàm số , . Ta có:

Bảng biến thiên:

–

Phƣơng trình (1) có nghiệm Phƣơng trình (3) có nghiệm

Kết hợp với điều kiện , ta có : .

Nhận xét: Nếu ta đƣa về phƣơng trình bậc hai theo t thì khi phƣơng trình (3) có nghiệm

t , sau đó phải kiểm tra nghiệm đó thỏa , trong khi đó ta giải theo cách trên đƣa về

dùng bảng biến thiên rất đơn giản.

Bài tập 5: Tìm m để phƣơng trình có nghiệm thực.

HD:

Điều kiện: - . Đặt .

Ta có: . Nên

Khi đó, phƣơng trình đã cho trở thành:

Xét hàm số trên . Ta có .

Suy ra là hàm số đồng biến trên . Do đó phƣơng trình đã cho có nghiệm khi và

chỉ khi

Bài tập 6: Cho phƣơng trình (1)

Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm duy nhất

HD:

, khi đó Xét

Phƣơng trình (1) (2)

Đặt . Phƣơng trình (2) trở thành

Xét hàm số . Ta có:

Bảng biến thiên:

Ứng mỗi thỏa mãn phƣơng trình (3), ta đƣợc đúng một nghiệm của

phƣơng trình (1).

Do đó phƣơng trình (1) có nghiệm duy nhất thỏa khi và chỉ khi phƣơng trình

(3) có duy nhất nghiệm . Từ bảng biến thiên ta có:

Bài tập 7: Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm.

HD:

Điều kiện :

Vì x = 0 không phải là nghiệm của phƣơng trình(1) nên (1)

Xét hàm số trên . Ta có:

Với mọi nên

Bảng biến thiên :

0 6

– –

Từ bảng biến thiên ta có: Phƣơng trình (1) có nghiệm

Bài tập 8: Chứng minh rằng phƣơng trình sau luôn có hai nghiệm thực phân biệt:

HD:

Do nên , (1)

Yêu cầu bài toán quy về chứng minh phƣơng trình (*) có một nghiệm trong

Biến đổi (*) .

Xét hàm số với . Ta có: và

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra phƣơng trình (*) có đúng một nghiệm .

Vậy phƣơng trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt .

2.7.3.2. Bài tập về hệ phương trình.

a) Dạng 1: Hệ phƣơng trình trong đó một phƣơng trình của hệ không chứa tham số

Phương pháp: Có thể giải quyết phƣơng trình không chứa tham số trƣớc. Từ phƣơng

trình này ta s tìm đƣợc tập nghiệm (đối với hệ một ẩn) hoặc s rút đƣợc ẩn này qua ẩn

kia. Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phƣơng trình thứ hai với kết quả

ta tìm đƣợc ở trên.

Bài tập 1: Tìm m để hệ phƣơng trình

(I) có nghiệm.

HD:

Ta thấy (2) là phƣơng trình không chứa tham số nên ta s giải (2) trƣớc

Ta có: (2) trở thành . Thay vào (1) đƣợc:

Hệ (I) có nghiệm khi (3) có nghiệm .

Xét hàm số với đồng biến trên các khoảng

và và

Suy ra hệ có nghiệm khi và chỉ khi .

Bài tập 2: Tìm m để hệ phƣơng trình có nghiệm.

HD:

Điều kiện:

Xét hàm số

Suy ra hàm số nghịch biến trên (3)

Ta có: x và y – 2 cùng thuộc đoạn và

Thay vào (2) ta đƣợc phƣơng trình (4)

Hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm phƣơng trình (4) có nghiệm x thuộc

Xét hàm số ,

Bảng biến thiên:

0 2

+ 0 –

Từ bảng biến thiên ta có :

Bài tập 3: Tìm m để hệ phƣơng trình sau có ba cặp nghiệm phân biệt.

HD:

Vì không là nghiệm phƣơng trình. Nên

Thay vào phƣơng trình (1) ta đƣợc: .

Hệ có ba cặp nghiệm khi (3) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn .

Xét hàm số với .

V bảng biến thiên ta kết luận phƣơng trình (3) có ba nghiệm phân biệt:

Vậy hệ phƣơng trình có ba cặp nghiệm phân biệt.

b) Dạng 2: : Hệ phƣơng trình trong đó cả 2 phƣơng trình đều chứa tham số.

Bài tập 1: Tìm m để hệ phƣơng trình (1) có nghiệm duy nhất.

HD:

Điều kiện:

Hệ (1)

Xét hàm số

Suy ra hàm số đồng biến trên . Khi đó :

Thay vào hệ ta đƣợc : (2)

Xét hàm số

Ta có : ;

Bảng biến thiên:

0 1

+ 0 –

1 1

Hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm duy nhất khi phƣơng trình (2) có nghiệm duy nhất.

Từ bảng biến thiên ta có:

Bài tập 2: Tìm m để hệ phƣơng trình (1) có nghiệm.

HD:

Hệ phƣơng trình (1)

Đặt

Hệ đã cho trở thành

Hệ phƣơng trình (1) có nghiệm khi phƣơng trình (2) có nghiệm thỏa mãn

Với , ta có: (2)

Xét hàm số , với

Ta có:

Bảng biến thiên:

+ 0 –

Từ bảng biến thiên ta có : .

Bài tập 3: Tìm m để hệ phƣơng trình (1) có nghiệm

HD:

Hệ phƣơng trình (1)

. Ta đƣợc : Đặt

. Do đó: . Vì

Hệ phƣơng trình (1) có nghiệm khi phƣơng trình (2) có nghiệm thỏa

Xét hàm số . Ta có:

Bảng biến thiên:

0 3

–

Từ bảng biến thiên ta có:

2.7.3.3. Bài tập về hệ bất phương trình.

Bài tập 1: Tìm m để hệ bất phƣơng trình sau có nghiệm:

HD:

Ta thấy (1) là bất phƣơng trình một ẩn nên ta s đi giải bất phƣơng trình này

. Ta có:

Hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm khi (2) có nghiệm .

. Đặt với

. có

Vậy hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm .

Bài tập 2: Xác định giá trị tham số m để hệ phƣơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

HD:

Điều kiện: .

(Do ).

Hệ phƣơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi phƣơng trình (2) có hai nghiệm

phân biệt .

Đặt

Khi đó:

Từ cách đặt t ta có:

Do đó với mỗi giá trị cho ta một giá trị

Suy ra phƣơng trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khi phƣơng trình (3) có 2

nghiệm phân biệt .

Xét hàm số với

Suy ra phƣơng trình (3) có 2 nghiệm phân biệt .

2.8. Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức.

2.8.1. Bài tập nhận biết.

Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức sau:

Câu 1: Cho đồng biến trên và Kết luận nào sau đây đúng?

C. A.

D. Đáp án khác. B.

Đáp án: B.

Câu 2: Cho nghịch biến trên với mọi ta có thể khẳng định:

C. A.

D. Đáp án khác. B.

Đáp án: B.

Câu 3: Cho bất đẳng thức tƣơng đƣơng với bất đẳng thức nào?

C. A.

D. Tất cả đều đúng. B.

Đáp án: B.

2.8.2. Bài tập thông hiểu.

Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống:

Câu 1: Chứng minh bất đẳng thức:

Bài giải:

Đặt:

Bảng biến thiên:

- ∞ 0 +∞

- 0 +

+∞ - ∞

…(2)…

Từ bảng biến thiên suy ra: tại )

Vậy hay

Đáp án: (1): (2): 0

Câu 2: Chứng minh:

Đặt ; ;

Bảng biến thiên:

x - ∞ 0 +∞

- 0 -

…(2)…

Từ bảng biến thiên suy ra khi hay khi

Đáp án: (1): (2): 0

Câu 3: Chứng minh

Đặt: ;

;

Bảng biến thiên:

- ∞ 0 +∞

+ 0 -

…(2)…

2 2

Từ bảng biến thiên suy ra:

Đáp án: (1): (2):

2.8.3. Bài tập vận dụng.

PHƢƠNG PHÁP CHUNG

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số và kết hợp với những bất đẳng thức quen thuộc.

Tính đơn điệu của hàm số, ta thường sử dụng:

đồng biến trên [a; b] thì với mọi .

nghịch biến trên [a; b] thì với mọi .

Những bất đẳng thức thường gặp:

1. Bất đẳng thức AM – GM (Arithmetic Mean-Geometric Mean) hay ta thường gọi

là bất đẳng thức Cauchy ( Cô si)

Nếu là các số không âm thì

Dấu “=” xảy ra khi:

Lƣu ý: Các trƣờng hợp riêng của bất đẳng thức AM – GM

+ là các số không âm.

, bất đẳng thức viết dƣới dạng khác là: 



2. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

. Cho

Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi:

3. Bất đẳng thức Bunhiacosky

là các số thực thì: Nếu

Hay

Dấu “=” xảy ra khi

(quy ƣớc mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0)

4. Các bất đẳng thức phụ quen thuộc

( với ) 

2.8.3.1. Bất đẳng thức một biến số.

a) Dạng 1: Khảo sát trực tiếp cực trị của hàm số để tìm tập giá trị của hàm số.

Bài tập: Cho số nguyên dƣơng n. Chứng minh rằng với mọi

(Bộ đề tuyển sinh Đại học)

HD:

Ta có:

Xét hàm số với .

Ta có:

Bảng biến thiên:

0 1

+ 0 –

Vậy .

Ta chứng minh:

Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số trên suy ra

sao cho . Suy ra: .

Từ (1), (2) và (3) suy ra điều phải chứng minh.

Chú ý: Định lý Lagrange:(định lý về giá trị trung bình).

Nếu hàm số liên tục trên có đạo hàm trong khoảng thì tồn tại ít nhất một

số sao cho

Nếu thì phƣơng trình có nghiệm

(Sách giáo khoa phổ thông đã có đề cập đến ứng dụng một phần của định lý này.

Cụ thể sách giáo khoa đại số và giải tích 11 cơ bản định lí 3 trang 138).

b) Dạng 2: Sử dụng tính đơn điệu.

Trong một số bài toán có thể phải đạo hàm nhiều lần liên tiếp thậm chí phải khảo sát

thêm hàm số phụ. Tính đơn điệu của hàm số, ta thƣờng sử dụng:

+ đồng biến trên thì với mọi .

+ nghịch biến trên thì với mọi .

Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi ta có .

HD:

Xét hàm số trên . Ta có :

; ;

nên đồng biến trên Ta có:

. Suy ra đồng biến trên .

và Do đó:

với (1) Tức là:

với . Ta có: (2) Lại có

Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh.

Bài tập 2: và . Chứng minh rằng

HD:

Khi đó: Xét hàm số .

Trong đó .

Ta có:

Do đó g(x) nghịch biến trên . Suy ra:

Vậy , nên f(x) đồng biến trên . Suy ra .

c) Dạng 3: Kết hợp với các BĐT khác nhƣ BĐT AM – GM, BĐT Cauchy – Schwarz,

BĐT Chebyshes,…

Bài tập1: Chứng minh rằng nếu thì .

HD:

Áp dụng BĐT AM – GM có . Ta chứng minh:

Xét hàm số liên tục trên có:

(Vì với thì và theo BĐT AM – GM có )

Do đó đồng biến trên .

Suy ra hay với mọi .

Bài tập 2: Cho . Chứng minh rằng

HD:

Ta có:

Nên hàm số đồng biến trên [0;1]. Suy ra phƣơng trình có nhiều nhất một

nghiệm trên (0; 1).

+ Nếu phƣơng trình vô nghiệm thì đơn điệu trên [0;1]. Khi đó:

Ta có

Suy ra

+ Nếu phƣơng trình có nghiệm duy nhất . Khi đó: vì đồng biến

trên [0;1] nên và .

Do đó là điểm cực tiểu của hàm số.

Mặt khác liên tục trên [0;1] nên .

Từ hai trƣờng hợp ta có điều phải chứng minh.

2.8.3.2. Bất đẳng thức có hai hay nhiều biến số.

a) Dạng 1: Khảo sát hàm đặc trƣng.

Bài tập 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) Chứng minh:

b) Chứng minh:

HD:

a) Nhận xét: Vai trò của a,b,c trong vế trái là nhƣ nhau, nên ta có thể biến đổi từng

nhóm trong vế trái thành những biểu thức “đồng dạng”.

Từ giả thiết suy ra:

Xét hàm số trên đoạn [0;1].

;

Bảng biến thiên:

A 0 1

+ 0 -

0 0

Từ bảng biến thiên suy ra:

Dấu “=” xảy ra khi

b) Giả sử: . Ta có:

Xét hàm số:

;

Bảng biến thiên:

z 0

– 0 + 0 –

Từ bảng biến thiên suy ra hay

Từ (1),(2) suy ra:

Để chứng minh BĐT có chứa nhiều biến số bằng phƣơng pháp đạo hàm thì điều quan

trọng nhất là chúng ta đƣa đƣợc về một biến và khảo sát hàm số theo biến đó.

Bài tập 2: Chứng minh rằng

b) thỏa mãn x + y + z = 3.

HD:

a) Xét hàm số . Ta có:

Và

Ta có bảng biến thiên:

+ 0 –

Từ bảng biến thiên suy ra .

Áp dụng câu a ta có:

Tƣơng tự ta có: ;

Cộng vế BĐT( 1), (2), (3) có: .

Bài tập 3: Cho A, B, C là ba góc của một tam giác nhọn. Chứng minh rằng

HD:

Xét hàm số: trên .

Ta có: .

Vì nên .

Lập bảng biến thiên của trên ta đƣợc: .

Áp dụng vào bài toán ta đƣợc:

Nhận xét: Trong BĐT trên A, B, C bình đẳng nên ta kiểm tra đƣợc dấu bằng xảy ra khi

và chỉ khi .Vì vậy cần chọn một hàm số có dạng

sao cho . Do đó k = -7 và tìm đƣợc hàm đặc trƣng cần xét.

Bài tập 4: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng: .

(ĐH Quốc gia Hà Nội, 2000)

HD:

Xét hàm số trên . Ta có:

. .

Bảng biến thiên:

- 0 +

Suy ra

Bài tập 5: Chứng minh rằng: .

(Đại học khối D, 2006)

HD:

Ta có:

Xét hàm số với x > 0. Ta có:

Nên là hàm nghịch biến trên . Do đó .

Bài tập 6: Chứng minh rằng với có: .

HD:

Nếu thì .

Xét với , .

Suy ra tăng trên (0;1). Suy ra nếu và nếu

Bài tập 7: Cho và x + y = 1. Chứng minh rằng .

HD:

Ta có y = 1 – x nên BĐT cần chứng minh là: .

. Ta có: Xét

Trong đó nghịch biến trên , nên:

Vậy . Suy ra .

Bài tập 8: Cho hai số x, y khác 0 thay đổi thỏa mãn

Chứng minh rằng .

HD:

Nhận thấy x, y đối xứng nên đặt

Khi đó (*) trở thành (do )

Ta có:

Vì

Vì từ (*) suy ra nên ta chỉ cần chứng minh: với hoặc

Xét hàm số suy ra .

Trên mỗi khoảng và do đó

Còn , từ đó ta có điều phải chứng minh.

b) Dạng 2: Kết hợp với các BĐT khác nhƣ BĐT AM – GM, BĐT Cauchy – Schwarz,

BĐT Chebyshes,…

Đối với các bài toán phức tạp, ta cần phối hợp với phƣơng pháp chặn khoảng các biến

và các BĐT phụ khác nhƣ BĐT AM – GM, BĐT Cauchy – Schwarz… hoặc các đánh

giá khác, hoặc phối hợp với các phƣơng pháp khác nhƣ phƣơng pháp tọa độ, ....

Bài tập 1: Cho các số thỏa mãn .

Chứng minh rằng: .

HD:

Ta có:

Mà:

Áp dụng BĐT AM – GM ta có , suy ra:

. Đặt t = x + y + z (0 < t < 3), ta có:

Khảo sát hàm số ta đƣợc khi .

Bài tập 2: Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [1;4] và . Tìm GTNN của

biểu thức: .

(Tuyển sinh Đại học khối A, 2011)

HD:

Trƣớc hết ta chứng minh với mọi a b dƣơng, thì (*)

Thật vậy, ta có luôn đúng do a,b dƣơng và .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1.

Áp dụng (*) với x, y thuộc đoạn [1;4] và ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hoặc (1)

. Đặt , khi đó

có Xét hàm .

Suy ra: .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (2)

Do đó . Từ (1) và (2) suy ra dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

c) Dạng 3: Khảo sát hàm số theo từng biến.

Đối với các BĐT nhiều biến, ta có thể chọn một biến là biến số biến thiên và cố định

các biến còn lại, bài toán lúc này trở thành BĐT một biến.

Bài tập 1: Cho . Chứng minh rằng: .

HD:

Giả sử . Đặt với .

. Ta có:

Do nên . Suy ra , nên đồng biến và

trên [b;1]. Vì vậy với ta có .

. Suy ra:

Đặt

Suy ra

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

. Bài tập 2: Chứng minh rằng

HD:

. BĐT đã cho tƣơng đƣơng với

. Ta có: và

. Vì nên . Xét hai trƣờng hợp: Nếu

Suy ra giảm trên [0;1]. Do đó: .

thì ta có bảng biến thiên: Nếu

0 1

- 0 +

Từ bảng biên thiên suy ra .

Nhƣ vậy trong cả hai trƣờng hợp ta đều có .

Mặt khác .

Ta s chứng minh .Đặt:

Ta có:

 Nếu . Suy ra giảm trên [0;1].

Do đó: .

 Nếu thì ta có bảng biến thiên:

y 0 1

- 0 +

Từ bảng biên thiên suy ra .

Nhƣ vậy trong cả hai trƣờng hợp ta đều có .

Ta có:

Với mọi .

2.9. Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

2.9.1. Bài tập nhận biết.

Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất qua các câu hỏi sau đây:

Câu 1: Cho hàm số xác định trên D. Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên D nếu:

A. và ký hiệu:

B. và sao cho ký hiệu:

C. và sao cho ký hiệu:

D. Cả ba ý trên đều sai.

Đáp án: B.

100

Câu 2: Cho hàm số xác định trên D. Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D nếu:

A. và sao cho , ký hiệu:

B. và , ký hiệu:

C. và sao cho , ký hiệu:

D. Cả ba ý trên đều sai.

Đáp án: A.

Câu 3: Phát biểu nào sau đây sai?

A. Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có GTLN và GTNN trên đoạn đó.

B. Mọi hàm số liên tục trên một khoảng đều có GTLN và GTNN trên khoảng đó.

C. Hàm số liên tục trên khoảng có thể không có GTLN và GTNN trên khoảng đó.

D. Một hàm số có thể có GTLN và không có GTNN hoặc ngƣợc lại.

Đáp án: B.

2.9.2. Bài tập thông hiểu.

Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống.

Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Bài giải:

Suy ra khi

Đáp án:

(1): (2): 10

Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Bài giải:

. Ta có:

khi và Suy ra:

101

Đáp án:

(2): (1):

Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Bài giải:

Ta có xác định và liên tục trên đoạn ,

. Với ,

Ta có:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của trên đoạn là:

, tại , tại

Đáp án:

(1): (2):

2.9.3. Bài tập vận dụng.

2.9.3.1.Phương pháp đưa về một biến trong các bài toán hai biến.

Biến đổi giả thiết và biểu thức cần tìm GTLN và GTNN để tìm mối quan hệ giữa

chúng rồi tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đƣa biểu thức đã cho về hàm một biến để khảo

sát. Khi đƣa về một biến, ta cần lƣu ý:

+ Nếu bất đẳng thức hai biến có điều kiện và trong điều kiện có một biến bậc nhất thì

ta có thể rút biến đó và thế vào bất đẳng thức cần chứng minh ta đƣợc một bất đẳng

thức một biến.

+ Nếu điều kiện của bài toán và bất đẳng thức cần chứng minh là những biểu thức đối

xứng hai biến thì ta có thể chuyển về tổng và tích hai biến đó. Lƣu ý .

+ Nếu trong bất đẳng thức xuất hiện các số hạng thì ta có thể đặt .

102

Bài tập 1: (Đề thi CĐ khối A, B – 2008) Cho là số thực thỏa mãn .

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: .

HD:

Với ta có:

Đặt . Khi đó:

Ta có :

Xét hàm số với

Bảng biến thiên:

– 2 1 2

+ 0 –

-7 1

Vậy

103

Bài tập 2: Cho và . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức sau :

HD:

Với và . Ta có:

Khi đó:

Đặt . Do nên

Xét hàm số với .

. Ta có ;

Bảng biến thiên :

– 0 +

Vậy :

104

khi hoặc

khi .

Bài tập 3 : ( Đề thi ĐH Khối B – 2009).

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: . Với là các số

thỏa mãn điều kiện: .

HD :

. Ta có : Với

Ta luôn có kết quả: , từ đó ta có :

Bài toán đƣợc đƣa về tìm max, min của : . Với

thỏa mãn . Ta biến đổi biểu thức A nhƣ sau :

. Vì ( do ) nên . Hay

. Đặt

Ta có hàm số với .

105

Bảng biến thiên :

Vậy khi

Suy ra . Mặt khác, ta dễ thấy thì .

Kết luận: khi và không có giá trị lớn nhất.

Bài tập 4: ( Đề thi ĐH Khối A – 2006). Cho hai số thực thay đổi thỏa mãn điều

. Tìm GTLN của biểu thức: kiện

HD:

Đặt . Từ giả thiết ta có:

Do đó .

Từ đó . Xét hàm số .

Lập bảng biến thiên ta tìm GTLN của A là 16 đạt đƣợc khi .

106

Bài tập 5: Cho a,b là các số thực dƣơng thỏa mãn .

Tìm GTLN của biểu thức (ĐH Khối B- 2011).

HD:

Biến đổi giả thiết:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta đƣợc:

. Suy ra:

Đặt , . Ta đƣợc: .

Xét hàm số:

Suy ra .

Vậy đạt đƣợc khi và chỉ khi và

hoặc

2.9.3.2. Phương pháp khảo sát lần lượt từng biến trong bài toán ba biến.

Đối với bất đẳng thức nhiều biến, ta có thể khảo sát lần lƣợt từng biến một bằng cách

chọn một biến làm tham số biến thiên và cố định các biến còn lại, bài toán lúc này trở

thành bất đẳng thức một biến. Việc nhìn biểu thức nhiều biến mà ta cần tìm GTLN,

GTNN dƣới dạng là một hàm số giúp ta sử dụng đƣợc công cụ hiệu quả trong bài toán

là đạo hàm.

107

 Sơ đồ tổng quát.

Giả sử tìm cực trị của biểu thức ba biến là với điều kiện T nào đó.

Bước 1. Xem là hàm theo biến , còn là hằng số. Khảo sát hàm này tìm

cực trị với điều kiện T. Ta đƣợc hoặc

Bước 2. Xem là hàm biến , còn là hằng số. Khảo sát hàm này với điều kiện T.

Ta đƣợc: hoặc .

Bước 3. Cuối cùng khảo sát hàm số một biến với điều kiện T ta tìm đƣợc min, max

của hàm này. Ta đi đến kết luận:

hoặc .

và Bài tập 1: (ĐH Khối A – 2011). Cho ba số thực .

Tìm GTNN của biểu thức:

HD:

Ta có : .

Xem đây là hàm theo biến ; còn là hằng số.

Theo giả thiết nếu (do )

Bảng biến thiên:

– 0 +

Min

108

Từ bảng biến thiên ta có:

Đặt , do và nên .

Xét hàm .

Ta có .

Suy ra giảm trên , do đó

Đẳng thức xảy ra: .

Vậy khi .

Bài tập 2: Cho ba số thực . Tìm GTLN của .

HD:

Đặt .

Xem đây là hàm số theo biến còn là hằng số.

Trƣờng hợp 1: và .

Suy ra nên .

109

Do đó tăng trên .

(xem đây là hàm theo biến c)

. Do đó giảm trên .

. ( xem h(b) là hàm số theo biến b) Suy ra:

. Ta có:

Ta có bảng biến thiên.

1 3

+ 0 –

Suy ra .

Vậy khi

Trƣờng hợp 2: và .

Từ kết quả của trƣờng hợp 1, ta có: .

Mặt khác : .

Vậy , đạt đƣợc khi .

110

Bài tập 3:Cho là ba số thực thỏa mãn điều kiện .

Tìm GTLN của biểu thức:

HD:

Theo giả thiết ta có và .

Thay vào biểu thức P ta đƣợc:

Xét hàm số: với và coi c là tham số

Ta có:

Ta có bảng biến thiên :

+ 0 –

Từ bảng biến thiên ta có :

Ta có: . Ta có bảng biến thiên :

+ 0 –

111

Từ bảng biến thiên suy ra : .

Vậy với thì .

Bài tập 4: Cho ba số dƣơng thỏa mãn điều kiện .

Tìm GTNN của biểu thức: .

HD:

Đặt và

Từ và .

Từ biểu thức S suy ra đƣợc:

.Ta có bảng biến thiên

f’(x) – 0 +

Khi đó từ bảng biến thiên , ta có :

Đặt thì phƣơng trình

. Ta có bảng biến thiên:

112

g’(y) – 0 +

Từ bảng biến thiên suy ra : .

Vậy với : thì .

Bài tập 5: (Đề thi Khối B – 2010).

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn . Tìm GTLN của biểu thức :

HD:

. Ta có

. Đặt , ta có:

. Xét hàm số: với

Ta có:

Dấu bằng chỉ xảy ra tại t = 0 ; suy ra nghịch biến.

Xét trên đoạn ta có:

Suy ra đồng biến. Do đó .

113

Vì thế khi

là một trong các bộ số sau: (1;0;0), (0 ;1 ;0), (0 ;0 ;1).

Do đó giá trị nhỏ nhất của M là 2.

2.10. Ứng dụng đạo hàm để giải bài toán có liên quan đến thực tiễn.

Đạo hàm là công cụ hữu hiệu trong việc tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ

nhất của hàm số. Thông qua việc dạy học kiến thức này, chúng ta có thể cho HS giải

những bài toán thực tiễn khá hấp dẫn và mang nhiều ý nghĩa. Điều này có tác dụng

giúp HS thấy đƣợc ứng dụng của kiến thức toán và đƣợc học toán trong các tình huống

có ý nghĩa, chính điều này s tạo động lực học tập.

Một số bài toán liên quan đến thực tiễn được giải bằng cách ứng dụng đạo hàm.

Bài tập 1: Một màn ảnh chữ nhật cao1,4m đƣợc đặt ở độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính

đầu mép dƣới của màn ảnh). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn

lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó?

1,4

HD:

1,8

Bài toán yêu cầu xác định OA để góc lớn nhất.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi lớn nhất.

Đặt OA = x (m) với ta có

Xét hàm số . Bài toán trở thành tìm để đạt giá trị lớn nhất.

Ta có:

114

Bảng biến thiên:

0 2,4

+ 0 –

0 0

Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2,4m.

Bài tập 2: Từ một khúc gỗ tròn hình trụ, cần xẻ thành một chiếc xà có tiết diện ngang là

hình vuông và 4 miếng phụ nhƣ hình v . Hãy xác định kích thƣớc của các miếng phụ

để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất?

HD:

Gọi x, y lần lƣợt là chiều rộng, chiều dài của miếng phụ nhƣ hình v .

x

Gọi d là đƣờng kính của khúc gỗ.

y

A

B

Khi đó tiết diện ngang của thanh xà có cạnh là

d

Và .

D

C

Ta đƣợc hình chữ nhật ABCD nhƣ hình v .

Theo Định lý Pitago có:

Suy ra với , S là diện tích một miếng phụ.

Sử dụng đạo hàm ta có S lớn nhất khi và chỉ khi .

115

Bài tập 3: Chi phí về nhiên liệu của một tàu đƣợc chia làm hai phần. Trong đó phần thứ

nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 ngàn đồng/giờ. Phần thứ hai tỷ lệ thuận

với lập phƣơng của vận tốc, khi v = 10 km/h thì phần thứ hai bằng 30 ngàn đồng/giờ.

Hãy xác định vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên 1 km đƣờng là nhỏ nhất?

HD:

Gọi x (km/h) là vận tốc của tàu. Thời gian tàu chạy quảng đƣờng 1km là (giờ).

Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là (ngàn đồng).

Tại km/h chi phí cho quảng đƣờng 1km ở phần thứ hai là (ngàn đồng).

Xét tại vận tốc x (km/h).

Gọi y (ngàn đồng) là chi phí cho quảng đƣờng1km tại vận tốc x, ta có:

(k là hệ số tỉ lệ giữa chi phí 1km đƣờng của phần thứ hai và lập phƣơng của vận tốc).

Suy ra .

Vậy tổng chi phí tiền nhiên liệu cho 1km đƣờng là .

Áp dụng Đạo hàm ta có chi phí p nhỏ nhất khi tàu chạy với vận tốc x = 20 (km/h).

Bài tập 4: Một công ty tổng thu nhập (tính bằng $) từ việc sản xuất và bán x đơn vị sản

phẩm đƣợc cho bởi công thức . Tính số x đơn vị sản phẩm cần sản

xuất và bán để tổng thu nhập lớn nhất.

HD:

Điều kiện:

116

Tập xác định:

Bảng biến thiên:

0 30

+ 0 –

Từ bảng biến thiên ta có .

Vậy cần sản xuất và bán 30 sản phẩm để tổng thu nhập lớn nhất.

Bài tập 5: Chi phí xây dựng một cao ốc có x tầng gồm 10 triệu USD để mua đất, 100

ngàn USD để xây dựng một tầng và triệu USD để thiết kế cho một tầng. Hỏi có

bao nhiêu tầng trong cao ốc văn phòng này s đƣợc xây dựng để tổng chi phí xây dựng

nhỏ nhất?

HD:

Ta có: 1 triệu USD = 1000 ngàn USD triệu USD = 100 ngàn USD.

Tổng chi phí xây dựng cao ốc (đơn vị triệu USD) là:

Điều kiện:

117

Bảng biến thiên:

0 10

– 0 +

Từ bảng biến thiên ta có .

Vậy10 tầng đƣợc xây dựng trong cao ốc văn phòng để tổng chi phí xây dựng nhỏ nhất.

118

KẾT LUẬN

Từ những vấn đề đã trình bày, có thể rút ra một số kết luận sau:

+ Khóa luận đã cũng cố kiến thức và xây dựng đƣợc hệ thống bài tập ứng dụng đạo

hàm để giải quyết các bài toán nhằm giúp HS đọc hiểu, nắm rõ tri thức, tăng cƣờng

tính thực hành và vận hành tri thức, phát huy tính tích cực của học sinh trong học tập.

+ Khóa luận đã nêu ra các hƣớng phân tích, phƣơng pháp giải cho từng dạng bài cụ thể.

+ Khóa luận phân chia cấp độ nhận thức bài toán và ứng dụng đạo hàm vào giải các bài

toán thực tiễn – điều hạn chế của đa số các sách Toán và sách tham khảo trên thị

trƣờng hiện nay.

Thứ nhất, việc phân chia cấp độ nhận thức trong các bài toán phù hợp với

nhiều đối tƣợng học. Đối tƣợng là HS yếu kém, trung bình hay khá, giỏi đều có thể học

đƣợc. Việc chia cấp độ nhận thức còn giúp cho HS hiểu rõ kiến thức căn bản, giúp HS

có nền tảng vững chắc để vận dụng vào các bài toán khó hơn.

Thứ hai, Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn và đƣợc vận dụng vào giải quyết

các vấn đề thực tiễn. Việc dùng các thí dụ thực tiễn trong giảng dạy s giúp HS hiểu rõ

các ứng dụng của kiến thức Toán học trong thực tiễn. Các thí dụ thực tiễn còn giúp bài

giảng trở nên sinh động và đƣa lớp học đến gần cuộc sống xung quanh hơn.

119

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Hoàng Thị Tuyết, phát triển chƣơng trình đại học theo cách tiếp cận năng lực: Xu

thế và nhu cầu. Đại học sƣ phạm, TP. Hồ Chí Minh, 2013.

[2] Tham khảo từ internet (Trang giáo án điện tử violet, tailieu.vn, vnmath.vn..)

[3] Bộ đề thi tự luận Toán học – Lê Hoàng Phò.

[4] Ứng dụng đạo hàm để giải toán sơ cấp – Nguyễn Phụ Hy – Tạ Ngọc Trí –

Nguyễn Thị Trang

[5] Đạo hàm, tích phân ứng dụng đƣợc gì? – Murray Bourne.

(Bản dịch trên http://www.intmath.com).

[6] Ứng dụng đạo hàm để giải toán Trung học phổ thông – Nguyễn Văn Xá.

[7] ThS. Lê Hồng Đức (Chủ biên), Vƣơng Ngọc, Lê Viết Hòa, Lê Hữu Trí, Lê

Bích Ngọc, Bài giảng trọng tâm chƣơng trình chuẩn Toán 11, NXB Đại học Quốc

gia Hà Nội, Năm 2013.

[8] Nguyễn Anh Trƣờng – Nguyễn Duy Hiếu, Phân dạng và phƣơng pháp giải bài

tập Đại số và Giải tích 11, NXB Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh, Năm 2013.

[9] Sách giáo khoa và sách bài tập Toán Giải Tích 10, 11, 12.

Khóa luận tốt nghiệp: Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm và ứng dụng nhằm phát triển năng lực cho học sinh

Chủ đề:

ỦY BAN NHÂN DÂN TP. HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN

VŨ THỊ PHƯƠNG DUNG BÙI KIM TÙNG

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN

TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC

TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 6 NĂM 2016

A. Đi lên từ trái sang phải.

C. Đi xuống từ trái sang phải.

B. Đi lên từ phải sang trái.

D. Đi xuống từ phải sang trái.

A. Đi lên từ trái sang phải.

C. Đi xuống từ trái sang phải.

B. Đi lên từ phải sang trái.

D. Đi xuống từ phải sang trái.

x

y

A

B

d

D

C

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

Xác nhận đăng nhập

Đăng nhập từ tài khoản này?

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi