Tr
2008-2009
ườ
ng THPT Tân Qu i ớ
PH NG TRÌNH-BÂT PH NG TRÌNH-H PH NG TRÌNH VÔ T ƯƠ ƯƠ Ệ ƯƠ Ỷ
n
n
ng trình ch a căn th c ứ ứ ấ ươ ng đ ng ng trình - b t ph ng pháp bi n đ i t ươ ươ ươ ế
(
2
n
A. Ph I. Ph ế ổ ươ 1. Ki n th c c n nh : ớ ứ ầ = a a 1.
)
) = (cid:219) a b
2
2
n
+ 1
+ = 1 n
= 2 n 2. a b > ab
( (
2
n
2
n
" 0 ) 3. = (cid:219) a b a b a b ,
2
n
+ 1
2
n
+ 1
‡ ‡ (cid:219) ‡ 4. a b 0 a b
(
)
‡ (cid:219) ‡ " a b a b a b ,
)
)
( f x
( g x
( ) f x ‡
2
) )
(
)
( g x ( f x
5. 2. Các d ng c b n: ơ ả ạ (cid:236) ‡ 0 (cid:239) = (cid:219) (cid:237) 0 ) * D ng 1: ạ (Không c n đ t đi u ki n ệ ề ầ ặ = (cid:239) g x (cid:238)
)
)
( f x
( g x
> * D ng 2: ạ ườ ng h p: ợ
2
(
)
( g x ( f x
(cid:236) < ‡ (cid:236) 0 (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:237) TH1: TH2: ‡ xét 2 tr ) ) (cid:239) g x ( ) 0 ( ) > f x g x (cid:239) 0 (cid:238) (cid:238)
)
)
( f x
( g x
2
(
)
(cid:236) ‡ (cid:239) £ (cid:219) ‡ (cid:237) 0 * D ng 3: ạ (cid:239) £ f x ( ) 0 ( ) g x ( ) f x g x (cid:238)
+ g(x) th ng là nh th c b c nh t ( ư ấ ax+b) nh ng có m t s tr ườ 0 ậ ng 2 v r i bình ph L u ý: ộ ố ườ ậ (ax2+bx+c), khi đó tuỳ theo t ng bài ta có th m nh d n đ t đi u ki n cho ệ ị ứ ừ ư ạ ể ạ ợ g(x) là tam th c b c hai ng h p ( ) g x ‡ ế ứ ươ ề ặ ồ
n
1
n
2
- b t ph ấ ứ
n
n
n
2
1
ng trình đ a ph ư ươ - - ng trình v d ng quen thu c. + + + + = L a 0 - có nghi m ệ x=a a x 2 - - ề ạ ươ a a x 1 + 2 - ộ n a x ng trình 0 ) ( + 1 + ) = + L x a x n 1 0 - - b x 0 b x 1 b n + x b n , t ng t ươ + Chia đa th c tìm nghi m: Ph ệ c ượ ( x–a ta đ ế ươ ự cho b t ph ấ ươ ng
- b t ph ng trình ng trình b c 3: N u nh m đ ế ậ ấ đúng, n u không nh m đ c nghi m thì ta có th s d ng ph ẩ ể ử ụ ượ ệ pháp hàm s không đ c n a thì ta ph i quay l i s d ng ph ố ạ ử ụ ượ ữ - b t ph * Ph ấ ậ trình theo h ẩ ớ trình b c 3 và n u không ta ph i chuy n sang h
2
+
=+
thì chia v trái cho cho trình. i theo h ươ ươ ẩ ệ ệ ả i ti p và n u ph * Ph ế ố ể ả ế ng này là ươ ng ướ ế c 1 nghi m thì vi c gi ng pháp hàm s đ gi ng pháp khác. ả ng trình b c 4, lúc này ta ph i nh m đ ệ ệ ẩ c 1 nghi m thì s d ng nh ph ng trình ươ ướ ượ ươ ươ ả ệ c 2 nghi m thì vi c gi ươ ượ ử ụ i ph ả - b t ph ấ ư ng ươ ươ ng ượ ng khác. ng trình ươ ng này m i đúng, còn n u nh m đ ướ ế ế ể ả ậ ” “Cũng nh không ?! ư - - i ph ng trình: (ĐH Kh i D – 2006) ả ươ Ví d 1:ụ Gi ố
+
01 x 1 - = - ặ 1 2 1 x x 3 c nghi m ta d d ng nh m đ ượ ễ ạ
x 3 + 2 x ẩ
8
x
x 2 Bi n đ i ph ng trình thành: ươ ổ =+ 2 3 6 x x x 11 2 0 (*)(cid:219) (x – 1)2(x2 – 4x + 2) = 0.
2
- (*), đ t đi u ki n r i bình ph ề ệ ồ ng 2 v ta đ ế ượ c: ế 4 - - c: ươ ệ x = 1 sau đó chia đa th c ta đ ứ ượ
(
(
) 2
) 1
) ( 10 1
‡x
3- 2
+ ‡ - 4 x + x 2 + 3 2 x i b t ph , ĐK: Ví d 2:ụ Gi ả ấ ươ
( +
) + x
(
) ( +
) 2 1
+ (cid:219) (cid:219) - pt + 2 x + ‡ 2 x 1 x ng trình: ) ( + - 5 2 x 3 2 + x ( ‡ + 5) 3 2 x 9 5 x x ‡ hai v (1) đ u không (1), V i ớ ế ề 3 2 (cid:219) - ‡ âm nên ta bình ph ng 2 v : x 3 x ươ
)
)
)
)
( f x
( g x
< ‡ ế x3 – x2 – 5x – 3 0‡ ( g x 0 ( f x b) T ng t v i 2 d ng * ươ ự ớ ạ : *
22 x
) ( 2 0 1
2
- i b t ph ng trình Ví d 1:ụ Gi ả ấ ươ + - + < x 1 x 6
Chuyên đ : PT – BPT – H PT vô t
THÁI THANH TÙNG
ề
ệ
ỷ
(cid:219) - Gi ( ng trình t ng đ b t ph ấ ươ ươ ươ ng v i h : ớ ệ iả ) 1 2 x + < - 6 x 1 x 2
1
2008-2009
Tr
ườ
ng THPT Tân Qu i ớ
2
2
2
> (cid:236) x 2 - > (cid:236) x 2 0 (cid:239) - (cid:239) (cid:239) 3 7 + 3 7 + 3 7 - (cid:219) £ (cid:218) ‡ (cid:219) £ £ (cid:237) (cid:237) x x x 3 2 x 6 2 2 2 (cid:239) (cid:239) - 2 x + ‡ x 1 0 + < - x x 1 6 2 (cid:238) (cid:239) - < < x 1 3 (cid:238)
22 x
2
)
2
- - ng trình có nghiêm. ể ươ x mx + = 1 2 m 2 iả ệ (cid:219) ng trình này có D =2m2- 4m+3>0 v i m i ươ ươ ọ m. ớ Ví d 2:ụ Tìm m đ ph Gi * N u ế m < 2 (cid:222) 2 (cid:222) * N u ế m ‡ V y v i ng trình vô nghi m. ng trình 2 thì ph x2- 2mx- m2+4m- 3=0. Ph ươ ng trình đã cho có nghiêm. ph ph ớ m ‡ + ươ ng trình t. ể ươ có hai nghi m phân bi ệ ệ mx - = + x 3 1 ậ Ví d 3:ụ Tìm m đ ph Gi i: ả ‡ - (cid:236) x (cid:239) (cid:219) (cid:237) PT Cách 1: , ph ươ ệ ng trình (*) luôn có 2 nghi m: + - 1 ( (cid:239) x m 2 - = x 4 0, (*) (cid:238)
2
2
2
)
+ 2 - - - - - 2 + m + 4 m 20 2 m 4 m 20 = > = (*) có ươ ệ (cid:219) ng trình đã cho có 2 nghi m 0, < . Ph 0 x 1 x 2 m 2 m 2 £ (cid:236) 4 (cid:239) (cid:219) ‡ - (cid:219) - ‡ - (cid:219) (cid:219) £ - - (cid:237) 1 4 m + m 4 m 20 m 1 x ‡ 1 2 nghi m ệ x 2 - ‡ - m ( (cid:239) 4 m m + 4 m 20 (cid:238)
) (
(
(
) - = 1
) 21 +
Chú ý: + x1 > 0, x2 < 0 vì x1 > x2 và a.c < 0 nên pt có 2 nghi m trái d u. ng dùng khi h s ệ ố a luôn d ườ ươ ‡ - (cid:222) ‡ ấ ng ho c luôn âm. t 0 . ệ + Cách 1 th ặ x + Cách 2: Đ t ặ t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó v i ớ - - - - 1 1 x ‡ (**). Đ (*) có 2 nghi m 4 0 t t 2 m ể ệ ệ thì (**) ph i có 2 nghi m ả
.
2
(
)
) - = x
m đ ph ng trình có hai nghi m th c phân bi t: ể ươ ự ệ ệ + 2 x mx + = 2 2 x + , 1 (*) tr thành: ở 0‡t Ví d 4:ụ (ĐH Kh i B – 2006). Tìm ố (1) (cid:236) 2 x (cid:239) (cid:219) (cid:237) pt đ (1) có hai nghi m th c phân bi Gi ự ể ệ ệ ơ t thì (2) có hai nghi m l n h n ệ ớ i: ả - - + ‡ 1 0 ( (cid:239) 3 x m 4 1 0, 2 (cid:238)
(
) 24 +
(cid:236) (cid:239) D = - m > 12 0 (cid:239) (cid:239) (cid:230) (cid:246) - ‡ (cid:219) ‡ - (cid:237) 0 m f (cid:231) ‚ hay . ho c b ng ặ ằ Ł ł 9 2 1 2 (cid:239) (cid:239) > - (cid:239) (cid:238) S 2
)
(
- t x= + , khi đó đ (2) có hai nghi m l n h n ho c b ng thì Chú ý : Cách 2: đ t ặ ặ ằ ể ệ ớ ơ 1 2 1 2 1 2 1 2 (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) - - - - 1 0 t 3 m 4 t có hai nghi m th c l n h n ho c b ng 0. ự ớ ặ ằ ệ ơ (cid:231) ‚ (cid:231) ‚ Ł ł Ł ł 1 - = 2
21 2 3. Các k năng: ỹ a. Đ bình ph
2
ng trình thì m t là ta bi n đ i cho 2 v ể ế ươ ươ ộ ế ổ ế ng 2 v ph ệ - - - ặ i b t ph ả ấ ng trình – b t ph ế 1 - > x 5 4 x (ĐH Kh i A – 2005) ế x ư ượ - ươ ề ng trình: ậ ế khi đó ta bình ph i. ả ng 2 v r i đ a v d ng c b n đ gi ể ả ổ ơ ả ươ ư x - + 1 x ế 5 2 x
) =
( x x
) + 1
) 1
- ấ không âm hai là đ t đi u ki n cho 2 v không âm. Ví d 1:ụ Gi ố 2 1 c do đó ta ph i bi n đ i thành: V ph i không âm, nh ng v trái ch a nh n xét đ ả - > ế ồ ư ề ạ 1 4 ( ng trình: i ph . ươ ( + x x 2 2 x Ví d 2:ụ Gi ả ươ
Chuyên đ : PT – BPT – H PT vô t
THÁI THANH TÙNG
ề
ệ
ỷ
Gi iả
2
2008-2009
Tr
ườ
ng THPT Tân Qu i ớ
2
2
2
(
)
(
(
(
)
) ( = x 1
) 1
) 1
2
2
2
)
( 2 *
) ( + 1 (
)
2
(
(cid:219) - (cid:219) - - 4 x x + x 2 2 x 2 x x x 2 2 x ‡ Ø 1 x Œ £ - (cid:219) - x + + 2 x x ( Đi u ki n: ệ ề + - 2 x 4 x = 2 2 x = 2 ) 1 x Œ Œ = x 0 º (cid:219) - x ) x 8 x = 9 0
2
V y ph ng trình đã cho có hai nghi m ậ ươ ệ x=0, 9 x = . 8 i khác
2
- - ) ng trình (Hãy tìm thêm cách gi ả Ví d 3:ụ Tìm m đ ph ể ươ có nghi m.ệ 2 x mx - = 2 x 4 0
2
– - m 16 = HD: Chuy n v , đ t đi u ki n, bình ph c ế ặ ể ề ệ ươ ng hai v tìm đ ế ượ . K t h p v i đi u ki n ta ớ ế ợ ề ệ x 1,2 m 2 tìm đ ng trình tích: ươ ng trình – b t ph ằ ử ặ ẳ ng pháp này ta ph i chú ý đ n vi c thêm, b t, tách, phân tích... ế ệ ớ ươ ng trình: ượ m| ‡ 4. c | b. Chuy n v ph ể ề ươ - Đ t nhân t Đ s d ng ph ể ử ụ i ph ả ươ ấ chung, h ng đ ng th c ứ ả + = . 7 x+ 7 x L u ý:ư Ví d 4:ụ Gi HD:
2
2
2
2
)
(
)
ẳ - ng hai v . ế ứ a2 - b2=0. 29 1 = = 2, x x . • Bình ph ươ • Dùng h ng đ ng th c ằ • Nghi m ệ 2 x > - x 4 - - - ‡ x 3 x 2 x 3 x 2 0 b. ( i các b t ph ng trình: a. Ví d 5:ụ Gi ả ấ ươ + + 1 1 x
{
)
[
} 2
2
)
(cid:230) ø - ¥ - ; 3; U +¥ U (cid:231) œ ĐS: a. - 1£ x<8, b. . Ł ß 1 2 ng c a tham s ng trình sau có hai ị ươ ố m, ph ủ ươ ố ớ ọ + - ằ ( m x - = 8 2 2 x .(1) t: ệ ệ
=
x
)
)
=
+
pt
2
4
2
x
x
" m
0>
3
2
=
2 +
m
)2(,
x
6
x
Gi ả Ø Ví d 6:ụ (Kh i B – 2007): Ch ng minh r ng v i m i giá tr d ứ x nghi m th c phân bi ự 2‡x )( i: ĐK: ( (cid:219) - - (cid:219) , do m > 0. ( xm Œ . Đ ch ng minh , ph ng trình (1) ể ứ ươ - º
)
( f x
32 ng trình (2) có m t nghi m khác 2. ộ 26 x
'
( f x
" m
+
(
(
)
ệ ứ = - ‡ 32, 2 x t thì ch c n ch ng minh ph ươ + 3 x f(2) = 0, , ỉ ầ đ t ặ ‡ có 2 nghi m phân bi ệ Th t ậ ) = +¥ có ) > " x 0, x 2 ệ v y: ậ ) ( = x 12 3 + 2 x ta [ 2; +¥ nên f(x) là hàm liên t c trên ả và đ ng bi n trên kho ng ế ồ ụ ¥+ ng trình (2) luôn có nghi m . ệ x0 mà 2 < x0 < ươ , f lim fi+¥ x 0> đó suy ra M t s d ng chuy n thành tích: ộ ố ạ ph ể
) a c x
-
b d -
- D ng:ạ
+ – ax b
= + cx d
)
(
)
+ – m ax b
(
+ cx
d
= )
+ cx
d
- Ta bi n đ i thành: ổ ế
m ( + ax b +
3
2
3
3
x 3 4 x + - 1 - = 2 x 3 . i ph ng trình: ĐS: x=2. Ví d :ụ Gi ả ươ 5
4
3
2
4
+ u+v=1+uv (cid:219) : ng trình ĐS: x=0, x=- 1. - D ng:ạ i ả ph ươ Ví d :ụ Gi (u-1)(v-1)=0 + + 1 x + = + 2 1 x x 3 x + . 2
2
+ : . ĐS: x=0, x=1. Ví d :ụ Gi i ả ph ươ x + + 1 x x
2
3
2
2
+ + : ĐS: x=0, x=1. - D ng:ạ i ả ph Ví d 1:ụ Gi ng trình au+bv=ab+uv (cid:219) ng trình ươ x = + 1 x (u- b)(v- a)=0 + = + + x x 3 2 1 2 x x 4 x + . 3
+ = + ng trình : ĐS: x=0. . Ví d 2:ụ Gi i ả ph x 3 x x + + 3 2 x 2 x
Chuyên đ : PT – BPT – H PT vô t
THÁI THANH TÙNG
ề
ệ
ỷ
ươ a3- b3 (cid:219) + + + x 3 (a- b)(a2+ab+b2)=0 (cid:219) 2 x a=b - D ng:ạ
3
Tr
2008-2009
ườ
ng THPT Tân Qu i ớ
2
3
(
)
) 2
( x x
+ + = + + ng trình : . ĐS: x=1. Ví d :ụ Gi i ả ph ươ 2 3 9 x x 2 2 x 3 3 3 2
‡ £ £ ,0 1 i n khi đó pt t ng đ ươ ươ ớ ng v i:
iA
= 0 ,
+ = -
1 + A2 +....+ An = 0 v i ớ = . 0 ng trình
24 x
: . c. Chuy n v d ng: A ể ề ạ = A A 0 , 2 1 Ví d 1:ụ Gi L n A ươ i ả ph 3 4 + + 3 x 1
) 1
2
- - - + ( 3 x 24 x x x + + + x 3 2 2 ) ( 3 1 2 2 4 x x - + x 1 2 = x 0 HD: Ph ng trình t ng đ ng . ĐS: x=1. ươ ươ ươ
- - i ph ng trình: . ả ươ 4 x y + = y 2 + 2 x 4 y
2 +
2 +
Ví d 2:ụ Gi Gi iả
(
)
(
) 1
) ( 2 4
) = (cid:219) = 0
+ 2 - 2 x + y 2 + y 2 x y x y 2. Bình ph ng hai v ta đ ươ ế ượ ( c 1 = - , 2
3
3
3
3
3
3 =
(
)
)
( ab a b 3
33
d. S d ng l p ph 3 – V i d ng t ng quát ử ụ ổ ớ ạ ta l p ph ậ ươ ế ử ụ ằ ẳ ậ 3 a ươ = b ng: 3 c (cid:236) – (cid:239) ứ ng hai v và s d ng h ng đ ng th c = b a c – – – – (cid:237) khi đó ph ng trình t ng đ . Gi i h này ta a b a b ươ ươ ươ ng v i h ớ ệ ả ệ – – (cid:239) a b = abc c (cid:238)
3
3
3
ng trình. có nghi m c a ph ệ ủ ươ
2
= = = - x 1; x 2; x i b t ph ng trình . ĐS: Ví d :ụ Gi ả ấ ươ x - + 1 - = x 2 2 x 3 3 2 . ế ứ ẩ ở ẩ e. N u b t ph ươ ấ - TH1: M u luôn d ẩ m u: ử ẩ : ng ho c luôn âm thì ta quy đ ng kh m u ồ
)
- 2004)
(
) 1
2
2
- ng trình ch a n ặ ươ ( 16 2 x - 7 x i b t ph ng trình: Ví d 1:ụ Gi ả ấ ươ (ĐH Kh i Aố + x - > 3 - - x 3 x 3 Gi iả
(
(
)
)
( > 2
) 1
(cid:219) - (cid:219) - - 2 x + - > - 16 x 3 7 x x 16 10 2 x 4‡x ĐK: .
2
(
) 2
Ø ‡ (cid:236) x 4 (cid:237) (cid:219) > x 5 Œ - 10 2 < x 0 (cid:238) Œ (cid:219) Œ - ‡ (cid:236) x (cid:239) Œ (cid:219) - (cid:237) 10 < £ 34 x 5 Œ - - 10 2 ( 0 ) > 2 x 16 10 2 x (cid:239) (cid:238) º
> - ng trình là: . V y t p nghi m c a b t ph ệ ủ ấ ậ ậ ươ x 10 34
-
2
ng trên t ng kho ng thì ta chia thành t ng tr TH2: M u âm d ẩ ươ ừ ừ ả ườ ng h p: ợ
2
(
)
- - x - - < i các b t ph ng trình: a. b. . Ví d 2:ụ Gi ả ấ ươ x 3 + £ 2 4 x x 9 1 - 51 2 1 x x
< - (cid:218) ‡ x 3 x ĐS: . HD: a. Xét ba tr ng h p ườ ợ x=3, x>3 và x<3.
- 5 6 £ < - x 52 (cid:218) > 5 x 1 ĐS: 1 . b. Xét hai tr ng h p c a ừ ợ ủ x- 1.
) 1
2
3
2
Bài t pậ Bài 1: Gi i các ph ả - - - - a. . x 2 x 1 ng trình sau: ươ ( - = + 2 x x x x 0
- - - HD: Bình ph . ươ ng 2 v và bi n đ i thành: ế ế ổ 2 x x x 4 - + 2 x x x + 4 x - = 6 x 4 0
2
2
(cid:219) - - ( x 2)(2 - + 2 x x + 2 x = 2 x 2) 0
2
2
Chuyên đ : PT – BPT – H PT vô t
THÁI THANH TÙNG
ề
ệ
ỷ
+ + - - b. ng liên h p. ượ ợ x x 1 2 x 3 - ‡ - 4 Bài 2: Gi 5 i b t ph + - = x 1 9 x ng trình sau: ả ấ ươ 1 2 x x . - . HD: Nhân l + + x 1 2 4 t = - (cid:222) . Cách 2: Bình ph A1+A2 = 0, t 1 2 + x + 1 2 x = - x HD: Cách 1: Đ t ặ ươ ng r i đ a v d ng: ồ ư ề ạ 2 2 t 4 16 . v i ớ A1, A2 0‡
4
2008-2009
Tr
ườ
ng THPT Tân Qu i ớ
- - . (HD: Bình ph i ph ng trình ươ ng hai l n ra ph ầ ươ ầ ng trình b c 4 đ y ậ = - x x 2 Bài 3: Gi ả đ _nh m nghi m ( ủ ươ ệ ẩ
2
= 2 + - - 1 x x + x 1 x Bài 4: Gi i ph ng trình . ả ươ 4 3 10 3 x=3) chia đa th c). ứ 2 3
3
3
3
3
Bài 5: Gi i ph ng trình ả ươ + 6 x + = + . x 1 1 x 2 ng trình sau: ươ ả 2. 3 x 3 1 3 4. x - + 2 - + 1 - = 2 x + = x 1 x Bài 6: Gi - = 2 1 1. x 3. 3 x 2 i các ph + 1 x - = + + 3 2 2 x x 2 2 2 x + = 3 3 x + + 1 6. 5. + + x 1 - = - 2 x 1 2 - + x 4 9 x 4 . (HD:Bình ph ng r i s d ng d ng: ). ươ A1+A2 = 0, v i ớ A1, A2 0‡ x 3 1 ồ ử ụ + + - = - - + 7. 5 1 3 x Bài 7: Tìm m đ ph x ng trình sau có nghi m: . ể ươ ệ m x ạ - = m x m
= + 2 - ng trình: . ươ 4x x m x
2
2
t. Bài 9: Gi ệ ng trình sau: ươ ả Bài 8: Tìm m sao cho ph a. Có nghi m.ệ b. Có hai nghi m phân bi ệ i các b t ph ấ 2 - - 1 x a. < . 3
2
2
1 4 x + + + 2 b. . 3 x x + + 2 x 6 x + £ 5 2 x + x 9 7
3
3
2
2
3
3
2
+ 2 - £ - . 3 + x 4 x 5 c. x Bài 10: Gi + - + 2 x ph i các : 2 x x ng trình ươ ả 4 = x + + 3 4 x + + = + a. b. . 1x x x x + . x x + x 3
2
+ = + + = - - 4 x 3 1 4 x c. d. . 2 x 3 9 x x 4 3 + . x
+ 2 e. . 2 x x - + + x 1 4 3 + = x 1 2 x + x 2 6
n
II. Ph ươ
)
( f x
2
2
= t (l u ý n u 0). D ng 1: ạ ng pháp đ t n ph : ụ ặ ẩ ) ( ( ) f x = , đ t ặ nF 0 ư ệ t ‡ ế n ch n ta ph i thêm đi u ki n ả ề ẵ
) =
) ( 5 2
2
+ + 2 - + i các ph ng trình: a. . b. ( . Ví d 1: Gi ụ ả ươ x x x x+ = 11 31
= + ‡ HD: . x 3 3 x ĐS: x=– 5. a. Đ t ặ t x 11, t 0
2
2
2
- – 3 109 = = + ‡ . ĐS: . b. Đ t ặ x t x 3 , x t 0 2
( +
) 2 1
2
+ + - - ng trình sau có nghi m: . ể ươ ệ x 2 x 2 m 5 2 x = 2 x m Ví d 2: Tìm m đ ph Gi ụ iả Ø ø = - - - (cid:222) ˛ t 5 2 x = 2 x x 6 t 0; 6 . Đ t: ặ º ß
(
) (cid:219) =
- = 2 - – t + mt m 2 5 0 * t m 5 Khi đó ph ng trình tr thành . Ph ng trình đã cho có nghi m khi ươ ở ươ ệ
2
Ø Ø £ £ - £ £ - 0 + m 5 6 5 m 6 5 Ø ø ˛ (cid:219) Œ Œ t 0; 6 hay . (*) có nghi m ệ º ß £ - £ £ £ Œ Œ 0 m 5 6 5 + m 6 5 º º
(
)
2
2
2
Ø ø ˛ - - £ x 3 . Ví d 3: Tìm ng trình: , (1) có nghi mệ ụ m đ b t ph ể ấ ươ m x ( + + + 2 1) x 2 x 2 x 0 º ß
[
(
=
˛x
1;0 +
= = - - - - thì Gi . N u ế ả i: Đ t ặ
]3
t
x
) 1 2
˛+ 1
2
t 2 x x t + 0;1 ]2;1 [
)
( m t
2
(
)
Chuyên đ : PT – BPT – H PT vô t
THÁI THANH TÙNG
ề
ệ
ỷ
2 + £ + (cid:222) 2 x ) + - 2 1 x 2 ( 0, 2 t BPT tr thành: ở 2 - - t t £ £ = ‡ t 2 m £ Khi đó ta có c . m f t , v i ớ 1 . Đ t ặ , dùng đ th ta tìm đ ồ ị ượ + + 2 3 2 1 t t 2 1
5
2008-2009
Tr
ườ
ng THPT Tân Qu i ớ
(
)
)
)
)
)
)
) ( ) + n f x g x
( ( + n f x
) ( + g x
( g x
)
( f x
( g x
– – = – = p 0 2 t , bình ph ng hai , đ t ặ ươ
(
) (
)
D ng 2: ạ ( ( m f x v đ bi u di n các đ i l ế ể ể ễ ạ ượ ạ - ng còn l + + x 3 t. i qua + - = x m 6 + 3 x 6 x Ví d 1: Cho ph ng trình . ụ ươ
( +
) (
)
(
)
ng trình khi m=3. ả a. Gi i ph b. Tìm m đ ph ng trình đã cho có nghi m. ươ ể ươ ệ Gi = - (cid:222) - t + + x 6 x = + 2 t 9 2 3 x 6 x * . Áp d ng b t đ ng th c Cauchy ấ ẳ ụ ứ
)
+ - £ iả Đ t: ặ ( 3 ) ( £ £ 2 3 x x 9 6 nên t (*) ta có . ừ t 3 2
2
)
ng trình đã cho tr thành ươ 3 t2- 2t- 9=- 2m (1). t =3. Thay vào (*) ta đ Ø ø ˛ = - - t t t t 2 9 Ph a. V i ớ m=3 (1) (cid:219) b. PT đã cho có nghi m khi và ch khi (1) có nghi m ở t2- 2t- 3 (cid:219) ệ ỉ c ượ x=- 3, x=6. ệ v iớ º ß
Ø ø Ø ø ˛ £ £ ˛ 3; 3 2 ) ( . Xét hàm s ố ( f ) ( = - t 3; 3 2 - = 6 f (3) f t 3 2 9 6 2 f t 3; 3 2 , ta th y f(t) là m t hàm đb nên: ấ ộ v i ớ . Do v yậ º ß º ß
- Ø ø ˛ - £ - £ - (cid:219) £ £ t 3; 3 2 khi và ch khi (1) có nghi m ệ ỉ 6 2 m 9 6 2 m 3 º ß
3
3
3
6 2 9 2 ng dùng nh sau: ể ề ươ Chú ý: Đ tìm mi n giá tr c a t ta có 2 cách th ị ủ Cách 1: dùng BĐT nh bài trên ư 2: dùng pp hàm s ( xem ph n PP hàm s ). ư ầ ố ố
= 3 - - x 35 x + x 35 x 30
)
(
3
i ph ng trình . Ví d 2: Gi ụ ả ươ
3
3
3
3
- t 35 = = - (cid:222) - . ĐS: x=2, x=3. t 35 x x 35 x HD: đ t: ặ
+ 2 - £ - i b t ph ng trình . Ví d 3: Gi ụ ả ấ ươ t 3 + + 7 7 x 7 x - + 6 2 49 x 7 x 42 181 14 x
n
n
)
)
(
£ = - ‡ x£ 6 (cid:222) … . HD: Đ t ặ 0 t 7 x + + 7 7 x 6 6 7
)
F , 0 D ng 3ạ : ( ( f x ộ ươ ng trình đ ng c p b c ẳ ậ k. ấ
) g x = . 0
g x = , trong đó F(t) là m t ph ( TH1: Ki m tra nghi m v i ể ệ ớ
n
(
) g x „
kg
) x và đ t ặ
) )
( f x ( g x
3
2
= 0 t TH2: Gi chia hai v ph ng trình cho . ả ử ( s ế ươ
)
3
2
+ 5 x x 2 1 2 i ph ng trình . Ví d 1: Gi ụ ả ươ
(
( )
( + x
) ( 1
) = 1
( - + 2 x
) 1
) 1
+ = + (cid:219) - + = ( 5 x 1 2 - + 2 x x 2 + x + 2 x x 2 5 x ‡ 1 ĐK: .
2
2
2
(cid:219) - 2 5 2 0 + x 1 - + x x 1 x + 1 x + = - + 2 1 x =Ø t 2 Œ - = ‡ t 2 + = (cid:219) 5 t 2 0 . Ph ng trình tr thành . t , t 0 Đ t ặ ươ ở Œ = t + 1 x - + x x 1 º 1 2
• V i ớ t=2: Ph • V i ớ
2
2
ng trình đã cho vô nghi m. ươ ệ – 5 37 = x ng trình đã cho có nghi m . ươ ệ 1 t = : Ph 2 2
2
2
2
2
+ - - i ph ng trình . ả ươ 5 x 14 x + - 9 x x = 20 + 5 x 1
2
2
+ + - - - - 5x ‡ Ví d 2: Gi ụ iả Gi ĐK: . 5 x 14 x x x 1 5 x 9 x 1 x x 20
)
(
Chuyên đ : PT – BPT – H PT vô t
THÁI THANH TÙNG
ề
ệ
ỷ
- - - - + (cid:219) 5 x ) + + 5 ) + - 9 ( + = 14 x ) ( x + 5 4 x = 20 ( + x 3 = 4 x 5 4 x + 5 x 4 2 Bình ph ng hai v : ươ ế
6
2008-2009
Tr
ườ
ng THPT Tân Qu i ớ
2
2
• V i ớ t = 1: Ph
- - x 5 - = ‡ t 2 + = (cid:219) = 5 t 3 0 t = 1, t ph ng trình tr thành . Đ t ặ ươ ở t , t 0. 4 + 3 2 x 4 x + - 5 61 5 61 = > = x 5, x ng trình đã cho có nghi m < . 5 ươ ệ 2 2
• V i ớ
4
2
= > x 8 5, x 5 ng trình đã cho có nghi m . ươ ệ 3 t = : Ph 2 7 = - < 5 + 5 61 = V y ph ng trình đã cho có hai nghi m: ậ ươ ệ x x = . 8 ,
4
2
+ = - 2 ng trình sau có nghi m: . ụ ể ươ ệ 3 x - + 1 m x 1 2 x 1
4
4
) 1t< <
2
Ví d 3: Tìm m đ ph 1x ‡ HD: ĐK . Xét hai tr ng h p ng trình cho ườ ợ x = 1 và x ≠ 1, Chia hai v ph ế ươ đ tặ x - 1 - £ = = - 0 - < 1 m t 1 ( . ĐS . 1 3 x x x
)
)
)
( ) g x t
( h x
( h x
( f x
( f x
2
+ + = ặ ẩ ) at + D ng 4: ạ ) ( + af x t , khi đó ph ng trình tr thành = . 0 ươ ở
( 2 1
2
+ 2 - - - 2 1 + 1 1 t đ (Đ t n ph không tri ệ ể). ụ ) ( = . Đ t ặ + g x 0 ) ng trình i ph . Ví d : Gi ụ ươ ả x x - = x 1 2 x 2 x 1
+ = - (cid:222) . x 2 6 1 x ng trình, b t ph ng trình l ng giác, mũ, logrit,… r t hay! ) –L = - x ng pháp này có th áp d ng cho các ph ể 1 ụ ươ ấ ươ ượ ấ
2
3
)
3
i các ph HD Đ t ặ t (Ph ươ Bài t pậ Gi ả ươ – – 9 - - - = = ng trình sau: ( 2 x + = x 5 2 4 2 x x 21 20 1. ĐS: . x , x 17 3 73 4
) 3
2
= = - - - 2. 193 4 + , ĐS: . 2 y x= x 2, x 2 2 3 Đ t ặ x + 23 x 2 2 = 6 x 0 + x
(
( ) =
+ 3 - x 2 + x 3 2 3 x 8 3. ĐS: . x = – 3 13
2
2
2
2
- + x 1 1 5 + = = + - - = x x 3 1 2 4. t 1 , ĐS: . Đ t ặ x 1 x 2 D ng 5: ạ ặ ẩ ả ). ươ ng tìm m i cách đ t n ph đ ọ ng h p cách là ng ể ề ườ ườ ụ ể ặ ẩ ượ ạ ỏ i t ra ng giác ng giác ta s đ a các bài toán đ i s v bài toán l ng giác chúng ta th ấ ượ ng trình đ i s . Tuy nhiên, trong nhi u tr ấ ủ ng trình l ạ ố ượ ẽ ư c l ượ ợ ạ ố ề 1 1 + x x x (Đ t n ph v i hàm l ng giác ượ ụ ớ ng trình, b t ph Khi gi i các ph ươ ng trình, b t ph chuy n v ph ề ươ ươ ấ khá hi u qu , b ng nh ng tính ch t c a hàm l ữ ả ằ ệ i quy t bài toán l và gi ượ ế ả ng giác này. ấ ơ ả £ £ + ư 1, cos 1 a a L u ý vài tính ch t c b n: . * sin * sin a cos
2
= = + 1 cot a + 1 tan a * . * = . a 1 1 2 sin a
+ = 2 - . 1 2 cos i ph a ng trình ươ ả 1 1 x 2 x
[
]
2
2
= p ˛ x £ 1 x t cos , t 0; Ví d 1: Gi ụ Gi iả ĐK . Khi đó ph ng trình tr thành . Đ t ặ ươ ở
+ - (cid:219) sin Ta tìm đ c: t = . Khi đó ượ 1 1 cos = t 2 cos t + 2 2 sin t - = sin t 1 0. 1 2
)
)
( u x
( u x
)
[
]
( u x
)
)
[
( u x
]0; a
( u x
2 t sin ,
Chuyên đ : PT – BPT – H PT vô t
THÁI THANH TÙNG
ề
ệ
ỷ
= = – - . x cos t 1 sin = – 2 t 3 2 Ø ø = ˛ - a t sin , t a£ Nh n xét: * N u bài toán có t p xác đ nh . Ta có th nghĩ đ n cách đ t ế ậ ậ ị ể ế ặ Œ œ º ß p p ; 2 2 = p ˛ a t cos , t 0; . ho c đ t ặ ặ p Ø ø = ˛ ˛ a t 0; ta có th đ t . * N u ế ể ặ Œ œ º ß 2
7
Tr
2008-2009
ườ
ng THPT Tân Qu i ớ
3
2
2
3 =
(
)
)
( 2 1
+ - - i ph . Ví d 2: Gi ụ ả ươ x 1 x x x
(
) (
) =
= p ˛ + - ng trình ] [ x t cos , t 0; sin t cos t 1 sin cos t t t 2 sin cos t ng trình l ng giác HD: Đ t ặ ượ . Để
d a v ph = ư ề ươ + £ cos , t u 2 sin u t ng trình này ta l i đ t . g i ph ả ươ ạ ặ
- - - 1 2 2 2 = = ĐS: . x , x 2 2 2
3
+ 1 2 2 = - = 2 - - i ph ng trình . ĐS: . Ví d 3: Gi ụ ả ươ x = – x , 1 x 4 x 3 x 4 2 D ng 6: (Đ t n ph đ a v h ph ). ạ ặ ẩ
n
m
)
)
+ - ng trình ) ( , a
( f x
, b
( f x
) = 0
ụ ư ề ệ ươ ( F f x ng trình có d ng * Khi g p ph . ươ ạ ặ
)
( F u v
n
m
)
)
( f x
( f x
n
m
n
m
= (cid:236) , 0 (cid:239) = + = - (cid:237) u a , v b . Khi đó ta đ ng trình sau: . Gi i h này tìm Đ t ặ c h ph ượ ệ ươ ả ệ = + (cid:239) u v a b (cid:238)
)
)
( f x
= + = - + ( f x u a v b . i tìm x. Khi tìm x ta ch gi i m t trong hai ph ho c ặ u, v r i ta l ồ ạ ỉ ả ộ
(
= = - - ng trình ươ ) ) ( x 0, x 3 3 + + x 6 - = + x 3 6 x x + 3 ĐS: . i ph ng trình: . Ví d 1: Gi ụ ả ươ
3 24 + 4
2
3
3
= - x = - x 88, = x 3 ĐS: . i ph ng trình: . Ví d 2: Gi ụ ả ươ 6 = 24, = x 1, x 16 ĐS: . i ph ng trình: - = x . Ví d 3: Gi ụ ả ươ 3
3
2 +
)
(
)
) ( + x
3
= = - - - - x 1, x 6 x ( + + x 4 17 ) 12 - = x ( ĐS: . i ph ng trình: . Ví d 4: Gi ụ ả ươ 2 x + 7 x 2 7 = x 3
3
3
3
3
3
3
3
3
(cid:236) + = (cid:239) u v 2 = - - (cid:237) i ph ng trình: pt tr thành: Ví d 5: Gi ụ ả ươ , đ t ặ ở x - + 1 - = 3 x 2 u x 1, = v x 3, = 3 - (cid:239) u v 2 (cid:238)
3
3
= = + - i ph ng trình: - = x 1 u x v , + + x x Ví d 6: Gi ụ ả ươ , đ t ặ 1 2 1 2
1
x
a
1 + 2
3
3
=
=
+
u
1
vx ,
1
x
+ ( a u + =
- Ví d 7: V i giá tr nào c a ng trình: 1 2 ủ a thì ph ụ ớ ị ươ 1 2 =+ x 2 (cid:236) - có nghi m.ệ ) = (cid:239) uv 2 v (cid:237) - . Ph ng trình tr thành: Đ t ặ ươ ở (cid:239) u v a (cid:238)
2
2
TH1: a = 0 h ph ng trình vô nghi m. ệ ươ ệ (cid:236) u + = v a (cid:239) - ‡ (cid:237) (cid:230) (cid:246) a „ 0 TH2: , h ph ng trình tr thành . H có nghi m khi ệ ươ ở ệ ệ . V yậ S 4 P (cid:219) < £ 0 0 a 2 = - uv a (cid:231) ‚ (cid:239) Ł ł (cid:238) 1 3 2 a
0 2 ph ng trình có nghi m khi ươ ệ . n
n
(
)
(
)
n
- f x + = b a af x * Khi g p ph b . a< £ ng trình có d ng ạ ặ ươ
n
)
)
( f x
( af x
n
(cid:236) + = (cid:239) t = = - (cid:237) t , y b . Đ t ặ ta có h ệ b ay + = (cid:239) y b at (cid:238)
3
3
2
(
) 1
2
2
(
( + x
) 2 - = 1
) - = 1 x
Chuyên đ : PT – BPT – H PT vô t
THÁI THANH TÙNG
ề
ệ
ỷ
- – 5 1 + = = = - i ph ng trình . ĐS: . Ví d 1: Gi ụ ả ươ 2 x 1 2 2 x 1 x 1, x 2 + x 3 + = i ph ng trình . 2 x 4 x Ví d 2: Gi ụ ả ươ 2 Gi iả + + + + x 2 x 1 x 3 - + = + (cid:219) (cid:219) x ‡ 3 ĐK . . 2 x 4 x 2 2 1 1 2 1 + 2 2 2
8
Tr
2008-2009
ườ
ng THPT Tân Qu i ớ
2
2
(cid:236) y t - = 1 (cid:239) (cid:239) + x 1 = (cid:237) . Ta đ ng trình . Gi i thêm chút t = + x 1, y + = 1 + (cid:222) 1 - = 2 y 1 Đ t ặ c h ph ượ ệ ươ ả 2 t 2 t 2 (cid:239) t y - = 1 (cid:239) (cid:238) 1 2 1 2 ĐS: n a ta đ ữ - - – - – 3 c k t qu ! ả ượ ế 17 5 13 = = . x , x 4 ng pháp bình ph ẩ ươ ượ ế c nghi m, nên ta ph i bi n ệ ả 4 ể ử ụ ể Chú ý: bài này không th s d ng ph ươ đ i đ xu t hi n nh ng bi u th c gi ng nhau và t ố ổ ể ừ ữ ứ ệ ấ
24 x
= - + + = = , x = - x 1, x i ph ng trình + . ĐS: . Ví d 3: Gi ụ ả ươ 7 x 1 2 x 2 ng vì không nh m đ đó ta đ t n ph . ụ ặ ẩ 7 4 1 4 ng pháp bình ph ng. ươ ươ ể ử ụ
2
2
2
2
2
ươ + + + = + - 2. Chú ý: Bài này có th s d ng ph Bài t p:ậ Bài 1: Gi 1. x 5 x 2 x 2 x x x ng trình sau: - + x i các ph - = x ả - + 2 9 2 3 1 4 3 x
2
2
2
2
+ - - + + + + + = + + 3. 4. . x 2 x x 4 x x 2 1 x 2 x 2 x 9 4 x 1 = + x x 5 x ươ ng trình sau: 2 - £ i cácb t ph ấ + > - - Bài 2: Gi ả + 1. 2. 3 24 + + x 12 x 6 5 x 10 x 1 7 2 x x
3
3
- £ - + - 3. 4. . + + x 1 1 x 2 2 x x - > x + 6 10 x 5 15 x 4 ng trình sau: - - 2. Bài 3: Gi 1. 3 12 ả - + x i các ph 3 14 ươ + = x 2 x - = 3 x 3 2
3 2 1
2
- - + 2 - - 3. 4. 1 + = 2 2 x 2 x 1 x = 2 x
= - 5. ). + + x 1 - = - 2 x 1 (đ t ặ t + + x 1 1 x
3 x 4 ng pháp hàm s ố
( ) f v ng trình
(
c
)
)
( F b
)
( F c ' (
a;b) thì ph ng trình ặ ế ươ ả f(x)=k (k˛ R) có không quá m tộ ệ = (a,b) ta có ặ f tăng (ho c gi m) trên kho ng ( ả a;b). f tăng (ho c gi m) trên kho ng ( ả f tăng và g là hàm h ng ho c gi m trong kho ng ( f u ( ) a;b) thì ph a;b) thì " u, v ˛ ả ả ặ ế ế ả ươ ề ệ ả ộ ˛ $ (cid:219) = u v . f(x)=g(x) có )ba ; : i a;b) thì ằ a;b). ụ ạ a;b] và t n t ị ồ ạ F'(x) trên kho ng ( ả - III. Ph ươ Các tính ch t:ấ N u hàm Tính ch t 1:ấ nghi m trong kho ng ( ả N u hàm Tính ch t 2:ấ N u hàm Tính ch t 3:ấ nhi u nh t m t nghi m thu c kho ng ( ộ ấ Cho hàm s ố F(x) liên t c trên đo n [ Đ nh lý Lagrange: ( F a = . Khi áp d ng gi i ph ng trình: n u có F(b) – F(a) = 0 thì ụ ả ươ ế - $ ˛ 0 có nghi m thu c ( ệ ộ a;b).
i hoăc lõm trên mi n ng trình f(x)=0 s không có quá hai ồ ề D thì ph ươ ẽ c ị b a ( ) ) ( ) = = (cid:219) ' F x a b F c : 0 ' ; Đ nh lý Rôn: ố y=f(x) l N u hàm s ế ộ D. nghi m thu c ệ
ng án bi n đ i nh sau: ổ ư f(x) = k, nh m m t nghi m r i ch ng minh ế ế f(x) đ ng bi n ứ ệ ẩ ộ ồ ồ ấ ế ề ạ ệ ề ạ ệ ậ ẳ ộ ị ồ ệ ế f(x) đ n đi u khi đó ta có: u = v. Bi n đ i ph ươ ị ươ ệ ơ ươ ng trình v d ng: ng trình có nghi m duy nh t. f(x) = g(x), nh m m t nghi m r i dùng l p lu n kh ng đ nh ng trình v d ng: ậ ẩ ng trình có nghi m duy nh t. g(x) ngh ch bi n ho c hàm h ng suy ra ph ấ ươ ằ ặ f(u) = f(v) ch ng minh ng trình v d ng: ề ạ ứ - = 2 i ph T các tính ch t trên ta có 3 ph ấ ừ ng án 1 Ph : Bi n đ i ph ươ ổ ươ (ngh ch bi n) suy ra ph ị ươ ế Ph ng án 2: ổ ế ươ f(x) đ ng bi n còn ế ồ ng án 3 : Bi n đ i ph Ph ế ươ ổ ng trình: Ví d : Gi ươ ả ụ 4 x 1 1 4 x - + 1
'
2
(
)
)
( f x
2
Chuyên đ : PT – BPT – H PT vô t
THÁI THANH TÙNG
ề
ệ
ỷ
2 4 x = + > x f 0 = - x ‡ x ‡ ĐK: . Mi n xác đ nh: , . . Đ t ặ ề ị 4 x - + 1 4 x 1 - - 4 x 1 1 2 1 2 4 x 1
9
Tr
2008-2009
ườ
ng THPT Tân Qu i ớ
x ‡ , nên ph Do đó hàm s đ ng bi n v i ố ồ ế ớ ươ ấ ng trình n u có nghi m thì đó là nghi m duy nh t. Th y ế ệ ệ ấ 1 2
x = ng trình. ủ ươ là nghi m c a ph ệ
ng trình ch a tham s ta th c hi n nh sau: ố ư ự ệ ứ f(x,m) = g(m), (1) ng trình (1) là s giao đi m c a đ th ( ươ ệ ủ ồ ị C ): y = f(x,m) và đ ể ố ườ ng th ng ẳ
(
)
)
) ( f x m g m
( f x m ,
2
1 2 Đ i v i ph ươ ố ớ ng trình Xét ph ươ B1: L p lu n s nghi m ph ậ ố ậ d: y = g(m). B2: L p b ng bi n thiên cho hàm s ả ậ ế £ £ , ng trình có nghi m: . B3: K t lu n: * ph ậ ế ươ ệ ˛ ˛ max x D ố y = f(x,m) min x D d c t (ắ C) t ng trình có ng trình vô nghi m khi: i ạ k đi m.ể d không c t (ắ C ) .
x
- + = 2 x 1
x
m
2
)
( f x
2
2
) > 1
'
2
(
) 1
( + 2
) 1
2
2
( (
(
(
) = 1
) 1
) 1
ng trình: * ph ươ * ph ươ m đ ph ể ươ có nghi m.ệ k nghi m: ệ ệ + + - x 1 Ví d 1: Tìm ụ TXĐ: R + - 2 2 = - y ' = = Xét hs: , Df = R, y x + + - 1 x - + 2 x x 1 x x 1 - + x 1 x 1 (cid:236) - 0 2 x (cid:239) - (cid:237) y = (cid:219) 0 2 x + + = x x 1 x - + (cid:219) 2 x x 1 - x 1 + + x ) ( + x 1 2 ( ) 1 x + + 2 x 2 x + x 2 - + 2 x x (cid:239) (cid:238)
(v.nghi m)ệ M t khác: ặ ố ồ ế
2
2
x
x
2
2
= - 1 fi - ¥ fi - ¥ = lim lim x f’(0) = 1 > 0 suy ra y’ > 0 nên hàm s đ ng bi n. x 2 + + + x - + x 1 x x Gi i h n: ớ ạ = 1 = lim lim fi+¥ fi+¥ x 1 x 2 + + + 1 x x x - + x 1
¥+
¥ - BBT: + x y’ y 1 - 1
- 1 < m < 1.
V y ph ậ ươ ng trình có nghi m khi và ch khi ệ ỉ
i h n hàm s , r t có th chúng ta ng ị ể ố ấ ng trình có nghi m v i m i ậ ậ ớ ạ ằ ị ủ ẩ ố ộ ọ m. ệ ớ
'
fi+¥
x
(
) 2 1
- - £ x ‡ ự ế ả ng trình sau có nghi m: ươ ụ ệ Chú ý: Trong bài toán trên n u không th c hi n vi c xác đ nh gi ế nh n t p giá tr c a hàm s là ầ t đ tìm ra t p giá tr . i h n trong bài toán kh o sát là r t c n thi Do đó vi c tìm gi ế ể ớ ạ ị ệ + 3 m đ b t ph Ví d 2: Tìm ể ấ x 1 3 ệ ệ R và d n đ n vi c k t lu n sai l m r ng ph ươ ậ ệ ế ậ ấ ầ , ĐK: mx m + - - 1 x 3 5 x + - 1 3 = (cid:222) y 0 y = y ' (cid:219) ‡ y = (cid:219) = x 0 5 , xét hs . . lim = và f(3) = . m bpt - - - x 1 - x 3 2 x 1 2 x 1 x
¥+
BBT: 3 + - 5 0 y(5) x y’ y
1 2 0
(
)
(cid:219) ‡ (cid:219) £ V y b t ph ng trình có nghi m ậ ấ ươ ệ 5 y m m
)
(
Chuyên đ : PT – BPT – H PT vô t
THÁI THANH TÙNG
ề
ệ
ỷ
+ + = - x x x 12 m x 4 + 3 1 4 - + x 5 Ví d 3: Tìm m đ ph ng trình: ụ ể ươ có nghi m.ệ
10
2008-2009
Tr
ườ
ng THPT Tân Qu i ớ
=
)
(
)
(
)
12)
- + 5
x
4
x
m
pt
(
( f x
£ 4 0 Gi ả = = + + (cid:219) - - y ( x x x 12) 5 - + x 4 x xét hs . Mi n xác ề
i: ĐK: + x x [ D = x£ + x ]0; 4 đ nh: ị
= + + x x x 12 Nh n xét: D. ậ đ ng bi n trên ế ồ
) )
= - - + x 4 x D. Hàm s ố ( h x Hàm s ố ( g x
)
(
(
)
2
5 ồ đ ng bi n trên ế ồ D. V y ph ậ ươ ế ng trình có nghi m khi và ch khi ệ ỉ £ £ Suy ra y = f(x) = h(x).g(x) là hàm đ ng bi n trên f m f 0 4
2
2
¥+
+ m s nghi m ph ng trình: Ví d 4: Bi n lu n theo ệ ụ ậ ệ ố ươ x + = 3 m x 1 + x = m Gi i: Ph ng trình đ c vi i d ng: t l ả ươ ượ i d ế ạ ướ ạ 3 + x 1 + x = y ng trình là s giao đi m c a ( và đ y = m. S nghi m c a ph ệ ủ ố ươ ủ C): ể ố ườ ng th ng: ẳ 3 + x 1 L p BBT : ậ ¥ -
- + 1/3 0
10
x y’ y
1
- 1 > m
10
£ - (cid:218) KL: ng trình vô nghi m. ươ ệ 1 £ : ph ng trình có nghi m duy nh t. ho c ặ ươ ệ ấ
)
(
x
3
x
x
m
1m < : ph t. : ph 10 =m ươ ệ m - < 1 m< 1 10 - - - - ng trình có 2 nghi m phân bi ệ - + 1 Ví d 5: Tìm m đ ph ng trình sau có nghi m: , (1) ụ ể ươ ệ
) ( = 1 3 x 3x£
£ £ = - £ £ 1 3x£ Gi i: ĐK: ả . Đ t ặ , l p BBT c a t(x) v i ủ ớ 1 ậ t x - + 1 3 x ta có 2 t 2
- £ £ Khi đó ph ng trình (1) tr thành: t2 + t + 1 = m, l p b ng bi n thiên c a hàm s v trái v i ươ ở ố ế ủ ế ả ậ ớ 2 t 2 1 2 £ . m£ 2 ậ 1
2
+ ng trình sau có nghi m: . ệ x 9 - = - x + 2 x + 9 x m i các ph ng trình sau:
x
x
-
3 1 )
3
x
x
x
x
+
+
=
- - - - t đó k t lu n: ế ừ Bài t p:ậ Bài 1: Tìm m đ ph Bài 2. Gi ả + + - 1. x 1 - + 1 2.
x x
12
x
- + x
12
5
4
x
- ể ươ ươ - + = 2 1 x ) ( ( = 1 3 ( 3.
ng trình - h b t ph
1 ) ươ
ứ ệ ấ ng đ ng pháp bi n đ i t ng trình ch a căn. ươ : ng ế ổ ươ c sau: ướ
- h ph
ng trình – b t ph ng trình t cách gi ươ ấ ệ ươ ng trình đ n gi n mà ta đã bi ả ơ ế ả ằ i b ng
ng đ B. H ph ệ ươ 1. Ph ươ Ta th c hi n theo các b ệ ự B1: Đ t đi u ki n (n u có). ề ặ ế ệ B2: Bi n đ i v ph ế ổ ề ươ cách: th , kh bi n... ử ế ế B3: K t lu n. (chú ý đi u ki n và s bi n đ i t ề ậ ế ệ ươ ng hay h qu ) ả ệ (cid:236) ự ế + + 5 x ổ ươ - = 2 y 7 (cid:239) (cid:237) . ng trình: Ví d 1: Gi ụ i h ph ả ệ ươ (cid:239) x - + 2 + = 5 y 7 (cid:238)
Chuyên đ : PT – BPT – H PT vô t
THÁI THANH TÙNG
ệ
ề
ỷ
Gi iả ‡ (cid:236) x 2 (cid:237) Đi u ki n: . ệ ề ‡ y 2 (cid:238)
11
Tr
2008-2009
ườ
ng THPT Tân Qu i ớ
(
) (
) =
(
) ( + y
) (cid:219) = 5
+ - - x 5 y 2 x 2 x y Bình ph . ươ ng 2 v và tr v theo v ta có: ừ ế ế ế
‡yx ,
0
Thay x = y vào 1 trong 2 ph ng trình, gi c ươ ả ượ x = y = 11. (cid:236) (cid:239) 1 x 2 (cid:237) i h b t ph ng trình: Ví d 2: Gi ụ ả ệ ấ ươ (cid:239) i ra ta đ ‡ = y ‡ + x 1 y 2 (cid:238)
2
Gi Đi u ki n: . iả ề ệ
(
)
(
) 1
+ + - - £ 2 x y ‡ + + (cid:219) 2 y x x x y 0 y c: c ng v theo v ta đ ộ ế ế ượ
( 2
) 2 (cid:219) = = 1 0 = y m
- - (cid:236) x 0 (cid:239) (cid:237) Ví d 3: Tìm m đ h ph ng trình sau có nghi m duy nh t: ụ ể ệ ươ ệ ấ + = (cid:239) x xy 1 (cid:238)
2
(
)
2
(
) m x
(
)
= - (cid:236) y = - (cid:236) - y (cid:239) (cid:239) x - = 2 1 = (cid:219) (cid:219) (cid:222) - (cid:219) - (cid:237) (cid:237) + x m 2 x 2 1 0 (*) hpt - 2 ( x m ) x 1 (cid:239) x = £ „ x m 2 = - 1 x xy (cid:239) (cid:238) y , x 1, x 0 (cid:238) x £ „ x 1, x 0 m đ (*) có đúng m t nghi m tho : . ệ ả ộ ả
(
) 2
2
2
2
2
2
2
: ệ 1x £ < < 1 : Ph i tìm ể TH1: xét x = 1: TH2: (*) có nghi m kép x TH3: (*) có 2 nghi m ệ 1 x 2 - 1 x = £ „ Chú ý: Có th dùng đ th đ i v i ồ ị ố ớ ể y , x 1, x 0 x (cid:236) + + + = ( x xy y ) x y 185 (cid:239) (cid:237) i: Ví d 4: gi ụ ả + 2 = 2 - (cid:239) ( x + xy y ) x y 65 (cid:238)
2
2
)
ả ượ c: ừ 2 ộ 2 i: C ng t ng v c a 2 ph + 2 ế ủ = 2 + + = (cid:219) (cid:219) Gi ( 2 x 250 y x y ng trình ta đ ươ ) 3 ( = + 2 2 x y 125 x y 5 .
+
+
x
y
x
= y
) ( 2, 1
+
y
x
y
= x
1, (2)
(cid:236) - (cid:239) (cid:237) ng trình: Ví d 5: Gi ụ i h ph ả ệ ươ (cid:239) - - (cid:238)
2
(
)
) 1
(cid:236) £ ‡ (cid:236) (cid:239) x y (cid:219) - (cid:219) (cid:219) (cid:219) ‡ ‡ (cid:237) 2 - = 2 y 1 2 y x (cid:237) - = - 2 x y 2 x y x , x y Gi i: ĐK: . ( ả 4 x 2 - = y 4 (cid:238) (cid:239) - 1 2 4 4 x = - y 1 (cid:238)
(cid:230) (cid:246) (cid:231) ‚ KQ: . Ł ł
i các h : ph ng trình sau: ả ệ ươ 17 5 ; 12 3 Bài t pậ : Gi (cid:236) (cid:236) = (cid:239) (cid:239) x - = 3 y xy 3 x (cid:237) (cid:237) 1. 2. (cid:239) x + + y - = y 3 (cid:239) (cid:238) y - = 3 x (cid:238)
2
2
3
3
2 x y
(cid:236) (cid:236) - + = x - = y xy
)
x y xy 420
(
2
3
3
(cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:237) 3. 4. + = (cid:239) (cid:239) y x xy 280 (cid:238) - 7 2 = y x 3 (cid:238)
2
2
2
2
2
2
(cid:236) (cid:236) - x + - y x = y 1 + - y x - = x y 2 (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:237) 5. 6. + + = 2 + + = 2 - - (cid:239) (cid:239) x y x y 1 x y x y 4 (cid:238) (cid:238)
2
2
2
2
2
(cid:236) (cid:236) - + - - x + - y x = y a x y x = y 2 (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:237) 7. (a > 0) 8. + + = 2 - (cid:239) (cid:239) + 2 x y x y a (cid:238) x - + y x = y 4 (cid:238)
3
3
(
)
2 x y
2 y x
(cid:236) + = + (cid:236) + = 2 x y 3
)
(
3
3
Chuyên đ : PT – BPT – H PT vô t
THÁI THANH TÙNG
ề
ệ
ỷ
(cid:239) x y y x 30 (cid:239) (cid:237) (cid:237) 9. 10. + = (cid:239) (cid:239) x x y y 35 + = (cid:238) y x 6 (cid:238)
12
2008-2009
Tr
ườ
ng THPT Tân Qu i ớ
(cid:236) = 2 - x 1 y (cid:239) (cid:239) (cid:237) 11. (cid:239) = 2 - y 1 x (cid:239) (cid:238) 1 4 1 4 (cid:236) = (cid:239) xy a x (cid:237) Bài 2: Tìm a đ h ph ng trình có 2 nghi m: ể ệ ươ ệ (cid:239) x + + y - = y a (cid:238)
(cid:236) (cid:239) y + = 2 m (cid:237) Bài 3. Tìm m đ h ph ng trình có nghi m: ể ệ ươ ệ (cid:239) + + 1 x + = y m 3 x (cid:238)
ng pháp đ t n ph : ụ c sau: ướ ươ ự ế ẩ ụ
u v ‡ ,
0
cho nghi m t 2. Ph ặ ẩ Ta th c hi n theo các b ệ B1: Đi u ki n (n u có). ệ ề B2: L a ch n n ph , tìm đk cho n ph ụ ự ọ ẩ c, t i h nh n đ B3: Gi ậ ượ ừ ả ệ B4: Ki m tra tính h p l ợ ệ ể ệ (cid:236) ệ x, y. đó suy ra nghi m đó k t lu n. ậ ế - = - + y x 1 ừ 1 1 (cid:239) (cid:237) x y £ , 1 i h b t ph ng trình: đi u ki n: Ví d 1: Gi ụ ả ệ ấ ươ ệ ề + £ (cid:239) x y (cid:238) 3 2 = - - 1 = x v , 1 y ĐK: , khi đó h đ c bi n đ i v d ng: Đ t ặ ệ ượ ổ ề ạ ế
2
2
) 2
(cid:236) u + = v 1 u £ £ (cid:236) 0 u (cid:239) (cid:219) (cid:219) £ £ (cid:219) ‡ (cid:219) £ £ (cid:237) (cid:237) 0 u 1 x 0 0 x 1 - £ - 1 + - 2 1 u v u 4 1 + ‡ u 4 1 0 (cid:238) (cid:239) (cid:238) 3 2 £ £ (cid:236) 0 x (cid:239) (cid:237) V y ngh êm c a h là c p nghi m ( ủ ệ ệ ậ ặ ị x; y) tho : ả - - 1 ( y = - 1 1 x 1 (cid:239) (cid:238)
(cid:236) x + - y = xy 3 (cid:239) ˛ (cid:237) x y R ( , ) Ví d 2: (ĐH Kh i A – 2006) Gi ng trình: ụ ố i h ph ả ệ ươ + = (cid:239) x + + 1 y 1 4 (cid:238) ‡ ‡ - ‡ - = xy 0, x 1, y 1 (cid:222) + = + 3 . Bình ph ng ph ng trình 2, thay n ph . Đ t ặ ươ ươ ẩ ụ
ệ i tìm đ c x t i thêm chút xíu n a ta đ Đi u ki n: ề vào, gi ả ượ t = 3. Gi ả xy ữ y c nghi m. ượ t ệ
2
2
3
ng trình sau: ệ ươ ả (cid:236) (cid:236) = + + = (cid:239) i các h ph ) xy 4 y 3 x (cid:239) x y 2 xy 8 2 (cid:237) (cid:237) 2. 1. + = = (cid:239) (cid:239) x y 4 Bài t p:ậ Gi ( + xy 9 (cid:238) (cid:238)
3
(cid:236) (cid:236) = - x - = y x y 2 x + + 1 y 3 (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:237) 4. 3. + = + + = (cid:239) (cid:239) x y x + - y 4 x 1 2 y 2 (cid:238) (cid:238)
2
2
- H tế -
Chuyên đ : PT – BPT – H PT vô t
THÁI THANH TÙNG
ệ
ề
ỷ
(cid:236) + + (cid:239) x x + - = y 3 3 (cid:236) = (cid:239) (cid:239) x xy 1 y (cid:237) (cid:237) 6. ` 5. + + y + + 14 = (cid:239) (cid:239) x y xy 84 (cid:238) = 2 x + + y 8 (cid:239) 1 y (cid:238)
13
