Bài giảng chương 1: Giải phương trình đại số - ThS. Hồ Thị Bạch Phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng chương 1 "Giải phương trình đại số" được biên soạn bởi ThS. Hồ Thị Bạch Phương. Bài giảng trình bày phương pháp số, cách giải các phương trình phi tuyến; Các phương pháp lặp để giải các phương trình phi tuyến; định nghĩa sai số - sai số thực;... Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo chi tiết bài giảng tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng chương 1: Giải phương trình đại số - ThS. Hồ Thị Bạch Phương

Đại Học Công Nghiệp Tp.HCM Khoa Kỹ Thuật Cơ Khí Chương 1: Giải phương trình đại số ThS. Hồ Thị Bạch Phương IUH - 2022
Phương pháp số Phương pháp số: Các giải thuật được dùng để đạt giải pháp số của một vấn đề toán học. Tại sao cần phương pháp số ? 1. Không có giải pháp giải tích để giải bài toán. 2. Một giải pháp giải tích thì khó khăn để có được hoặc không thực tế. Cơ bản trong phương pháp số: Thực hành: Có thể được tính trong một khoảng thời gian hợp lý. Chính xác: Xấp xỉ tốt so với giá trị thực, Thông tin về các sai số xấp xỉ. 2
Giải các phương trình phi tuyến Một vài phương trình đơn giản có thể được giải bằng pp giải tích: x 2  4x  3  0 Nghiệm giải bằng pp giải tích  4  4 2  4(1)(3) 2(1) x  1 and x  3 Nhiều các pt khác không thể giải bằng pp giải tích: x 9  2x 2  5  0  x  xe  3
Các phương pháp lặp để giải các phương trình phi tuyến. - Phương pháp Bisection (Phương pháp chia đôi) - Phương pháp Newton-Raphson (hay còn gọi là pp Newton – pp tiếp tuyến) - Phương pháp Secant (Phương pháp cát tuyến, dây cung) Độ chính xác Độ chính xác có liên quan đến sự gần với các giá trị thực. 4
Định nghĩa sai số – Sai số thực Có thể được tính nếu giá trị thực được biết: Sai số thực tuyêt đối Et = |Giá trị thực – Giá trị xấp xỉ| Phần trăm sai số tương đối εt = {|Giá trị thực – Giá trị xấp xỉ|/|Giá trị thực|}*100 Sai số ước tính Khi giá trị thực không được biết: Sai số tuyêt đối ước tính Ea = |Giá trị ước tính hiện tại – Giá trị ước tính trước| Phần trăm sai số tương đối εa = {| Giá trị ước tính hiện tại – Giá trị ước tính trước|/| Giá trị ước tính hiện tại |}*100 5
Tìm nghiệm phương trình Cho trước một hàm liên tục f(x), tìm giá trị r sao cho f(r) = 0 Những vấn đề này được gọi là tìm nghiệm phương trình. Nghiệm của phương trình Một số r thỏa mãn một phương trình được gọi là nghiệm của phương trình. Pt: x 4  3x 3  7x 2  15x  18 Có 4 nghiệm:  2, 3, 3,and  1 . i.e., x 4  3x 3  7x 2  15x  18  (x  2)(x  3) 2 (x  1) Pt có 2 nghiêm đơn -2 và -1 và 1 nghiệm kép 3 (lặp lại 2 lần). Khoảng phân ly nghiêm: Khoảng [a,b] được gọi lã khoảng phân ly nghiêm của phương trình nếu nó chứa 1 và chỉ một nghiệm của phương trình đó. 6
Zero của 1 hàm f(x) là 1 hàm số thực của 1 biến thực. Bất cứ số r mà làm f(r) = 0 được gọi là zero của hàm. Ví dụ: 2 và 3 là các zero của hàm f(x) = (x-2)(x-3). Các Zero đơn Các Zero kép f ( x)   x  1( x  2) f ( x)  x  1 2 f (x)  (x  1)  x  2   x 2  x  2 f (x)   x  1  x 2  2x  1 2 Có 2 zero ở x = -1 và x = 2. Có 2 zero (lặp lại 2 lần) tại x = 1 7
Lập luận  Bất kỳ thứ tự đa thức bậc n có đúng n zero. (Zero có thể gồm : số thực và phức và có thể lặp nhiều lần).  Bất kỳ đa thức với bậc lẻ có ít nhất một zero thực.  Nếu 1 hàm có 1 zero ở x = r với lặp lại m lần khi đó hàm và đạo hàm (m-1) đầu tiên là zero ở x = r và đạo hàm lần m ở r thì không là zero. Nghiệm của phương trình và Zero của hàm. Cho pt: x 4  3x 3  7x 2  15x  18 Chuyển vế tất cả sang 1 bên của pt: x 4  3x 3  7x 2  15x  18  0 Gọi f(x) là: f (x)  x 4  3x 3  7x 2  15x  18 Các zero của hàm f(x) giống với nghiệm của pt: 8 Chúng là -2, 3, 3 và -1.
Phương pháp số Nhiều phương pháp có sẵn để giải phương trình phi tuyến. Trong môn học này chúng ta sẽ học 3 phương pháp:  Phương pháp Bisection  Phương pháp Newton  Phương pháp Secant Các tiêu chuẩn hội tụ Tiêu chuẩn hội tụ x n 1  x Một chuỗi x1, x2, …., xn, được xem Hội tụ tuyến tính C là hội tụ tới x nếu mỗi ε > 0 tồn xn  x tại N sao cho x n 1  x Hội tụ bậc 2 C xn  x 2 x n  x   n  N x n 1  x Hội tụ bậc p C xn  x p 9
Tốc độ hội tụ • Chúng ta có thể so sánh các phương pháp khác nhau về tốc độ hội tụ của chúng. • Hội tụ bậc hai là nhanh hơn so với tụ tuyến tính. • Một phương pháp với hội tụ bậc q hội tụ nhanh hơn so với một phương pháp với hội tụ bậc p nếu q> p. • Phương pháp hội tụ bậc p> 1 được cho là có sự hội tụ siêu tuyến tính. 10
Phương pháp Bisection : Giới thiệu - Phương pháp Bisection là một trong những phương pháp đơn giản nhất để tìm zero của một hàm phi tuyến. - Để sử dụng phương pháp này chúng ta cần biết khoảng nghiệm ban đầu mà được biết đến có chứa zero của hàm. - Phương pháp này làm giảm một cách hệ thống các khoảng phân ly nghiệm này. Nó làm điều này bằng cách chia khoảng này thành hai phần bằng nhau, thực hiện một thử nghiệm đơn giản và dựa trên kết quả của các thử nghiệm, một nửa trong khoảng này được bỏ đi. - Quá trình này được lặp đi lặp lại cho đến khi kích thước khoảng phân ly nghiệm mong muốn thu được. 11
 Để hàm f(x) định nghĩa trên khoảng f(a) phân ly nghiệm [a,b]. Nếu 1 hàm là liên tục và f(a) và f(b) trái dấu (i.e. f(a)*f(b) < 0) khi đó hàm a b có tối thiểu 1 zero trong khoảng [a,b]. f(b) Ví dụ  Nếu f(a) và f(b) cùng dấu, hàm có thể có một số chẳn của zero a b thực hoặc không có zero trong khoảng [a, b]. Hàm có 4 zero thực.  Phương pháp Bisection có thể không dùng cho trường hợp sau: a b 12 Hàm không có zero.
Ví dụ: Nếu f(a) và f(b) trái dấu hàm có ít a b nhất 1 zero thực. Hàm có 1 zero thực. Phương pháp Bisection có thể được dùng để tìm 1 trong các zero. a b Phương pháp Bisection Hàm có 3 zeros thực. Nếu hàm là liên tục trên [a,b] và f(a), f(b) trái dấu, phương pháp Bisection đạt 1 khoảng phân ly nghiệm mới mà còn lại chỉ một nữa của khoảng phân ly nghiệm hiện tại, và các dấu của hàm tại các điểm cuối của khoảng phân ly nghiệm khác nhau. Điều này cho phép chúng ta lặp quá trình Bisection để giảm khoảng nghiệm mong muốn. 13
Phương pháp Bisection Các giả định:  Cho trước khoảng phân ly nghiệm [a,b]  f(x) liên tục trên [a,b]  f(a) và f(b) trái dấu với nhau (i.e. f(a)*f(b) < 0 ). Những giả định này bảo đảm tồn tại tối thiểu 1 zero trên [a,b] và phương pháp bisection có thể được dùng để đạt một khoảng nghiệm nhỏ hơn mà chứa zero. Giải thuật Bisection f(a) Vòng lặp 1. Tính toán điểm giữa c =(a+b)/2 2. Tính hàm f(c) c b 3. Nếu (If) f(a)*f(c) < 0 (then) khi đó khoảng mới [a, c] a Nếu (If) f(a)*f(c) > 0 (then) khi đó khoảng mới [c, b] f(b) Kết thúc vòng lặp 14
Phương pháp Bisection b0 a0 a1 a2 + + - Sau mỗi lần lặp khoảng phân ly + - - nghiệm sẽ giảm 1 nữa. + + - 15
Sơ đồ của pp Bisection. Bắt đầu: Cho trước a,b và ε Đặt: u = f(a) ; v = f(b) c = (a+b) /2 ; Đặt w = f(c) Sai Đúng xét Sai xét Dừng Đúng (b-a) /2
Ví dụ: 1. Có thể dùng pp Bisection để tìm zero cho hàm dưới trong khoảng [0, 2] f (x)  x  3x  1 3 Giải f(x) thì liên tục trên khoảng [0, 2] và f(0)*f(2) = 1*3 = 3 > 0. Giả định không thỏa mãn. PP Bisection không thể dùng. 2. Có thể dùng pp Bisection để tìm zero cho hàm dưới trong khoang [0,1] f (x)  x  3x  1 3 Giải f(x) thì liên tục trên khoảng [0, 1] và f(0)*f(1) = 1*(-1) = -1 < 0. Giả định thỏa mãn. PP Bisection có thể được dùng. 17
Ước tính tốt nhất và sai số Phương pháp bisection đạt được một khoảng phân ly nghiệm mà bảo đảm để chứa một zero của hàm. Các ước tính tốt nhất cho zero của hàm f (x) sau lần lặp đầu tiên của phương pháp bisection là điểm giữa của khoảng nghiệm ban đầu: ba f(a) Ước tính zero: r  2 c b Sai số:  ba a 2 f(b) 18
Tiêu chuẩn dừng Hai tiêu chuẩn dừng thông thường 1. Dừng sau 1 số lần lặp cho trước. 2. Dừng khi sai số tuyệt đối nhỏ hơn 1 giá trị cho trước. cn: là đểm giữa của khoảng nghiệm ở lần lặp thứ n (cn thường được dùng để tìm nghiệm). r: là zero của hàm. Sau n lần lặp b  a  x 0 Sai số  r -c n  E an  n  n 2 2 19
PP Bisection Tìm nghiệm pt f(x) = x – cos(x) Đổi giá trị từ radian sang độ Khoảng phân ly nghiệm ban đầu [0.5, 0.9] f(a)=-0.3776 f(b) = 0.2784 Sai số < 0.2 =(b-a)/2n n=1 a =0.5 c= 0.7 b= 0.9 -0.3776 -0.0648 0.2784 Sai số < 0.1 0.5 0.7 0.9 n=2 -0.0648 0.1033 0.2784 Sai số < 0.05 0.7 0.8 0.9 n=3 -0.0648 0.0183 0.1033 Sai số < 0.025 n=4 0.7 0.75 0.8 -0.0648 -0.0235 0.0183 Sai số < 0.0125 20 0.70 0.725 0.75 n=5