Bài giảng Chương 1: Giới thiệu về tín hiệu và hệ thống

CHƢƠNG 1 GIỚI THIỆU VỀ TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG Nội dung

1.1 Phân loại tín hiệu 1.2 Các mô hình và phép tính tín hiệu 1.3 Phân loại hệ thống 1.4 Mô hình hệ thống: Mô tả quan hệ ngõ vào – ngõ ra hệ thống Tài liệu tham khảo: B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 Chương trình bày một số đặc tính cơ bản của tín hiệu, đồng thời giới thiệu các ý niệm cơ bản chính và giải thích định tính phương thức hoạt động của hệ thống, tạo cơ sở cho phần còn lại của tài liệu. Tín hiệu

Tín hiệu là tập các thông tin hay dữ liệu, Thí dụ tín hiệu trong điện thoại hay truyền hình, doanh số bán của một công ty, hay chỉ số giá chứng khoán hàng ngày (thí dụ chỉ số Dow Jones). Các thí dụ trên cho thấy tín hiệu là hàm theo biến thời gian độc lập, tuy không phải lúc nào cũng đúng. Thí dụ điện tích được phân bố trong một vật thì tín hiệu là điện tích lại phụ thuộc nhiều vào yếu tố không gian, không phải là thời gian. Tài liệu này quan tâm chủ yếu đến các tín hiệu phụ thuộc theo thời gian. Tuy nhiên, phương thức này còn áp dụng được cho các dạng biến độc lập khác. Hệ thống

Hệ thống xử lý các tín hiệu, nhằm thay đổi hay lấy thêm thông tin từ tín hiệu. Thí dụ, người lính phòng không cần thông tín từ mục tiêu di động của đối phương mà radar của mình đang theo bám. Thông qua xử lý đúng tín hiệu radar (ngõ vào), anh ta có thể ước lượng được vị trí sắp tới của mục tiêu. Như thế, hệ thống là một thực thể (entity) nhằm xử lý tập các tín hiệu (ngõ vào) để tạo một tập tín hiệu khác (ngõ ra). Hệ thống có thể được tạo lập từ các thiết bị vật lý, như các hệ thống điện, hệ thống cơ, hay thủy lực (phần cứng), hay có thể là một thuật toán để tính toán ngõ ra khi có tín hiệu ngõ vào (phần mềm). 1.1 Kích thƣớc của tín hiệu (đo lƣờng tín hiệu)

Kích thước của một thực thể là con số nhằm chỉ thị độ lớn hay cường độ của thực thể này. Nói chung, biên độ tín hiệu thay đổi theo thời gian. Như thế, làm cách nào để đo lường một tín hiệu tồn tại trong một khoảng thời gian với biên độ có thay đổi dùng chỉ một con số nhằm chỉ thị kích thước hay cường độ của tín hiệu? Đo lường này không chỉ xem xét về tín hiệu biên độ, mà còn xem xét đến thời gian tồn tại. Thí dụ nếu ta có ý định chỉ dùng một số V để đo kích thước của con người, ta không chỉ xem xét vòng ngực mà còn phải xem thêm về chiều cao. Nếu ta dùng giả thiết là hình dạng con người là một hình khối tròn có bán kính r (thay đổi theo chiều cao h) thì đo lường hợp lý kích thước của người có chiều cao H là thể tích V, cho theo công thức:

Năng lƣợng tín hiệu Từ đó, tiếp tục xem xét vùng điện tích của tín hiệu f(t) như phép đo kích thước, do phần này không chỉ dùng biên độ, mà còn quan tâm đến thời gian tồn tại của tín hiệu. Tuy nhiên, phương pháp này có thể cho kết quả đo lường sai khi f(t) là tín hiệu lớn, tạo các vùng diện tích có giá trị dương và giá trị âm, có khả năng triệt tiêu nhau, làm cho phép đo có giá trị nhỏ hơn giá trị thực. Vấn đề này được hiệu chỉnh bằng cách định nghĩa kích thước của tín hiệu là vùng điện tích của f2(t), là vùng điện tích luôn có giá trị dương. Gọi đo lường này là năng lượng tín hiệu Ef, được định nghĩa (cho tín hiệu thực) là:

(1.1)

Khi f(t) là tín hiệu phức, ta có công thức tổng quát:

(1.2)

Tuy còn có thể đo lường tín hiệu bằng nhiều cách khác, thí dụ như vùng điện tích , nhưng phép đo năng lượng với khả năng biểu diễn dạng toán học, còn có ý

khi

Trong một số trường hợp, thí dụ khi biên độ của f(t) không khi

của nghĩa chỉ thị năng lượng của tín hiệu (sẻ được minh họa ở phần sau). Công suất tín hiệu Năng lượng tín hiệu cần hữu hạn để đo lường được kích thước tín hiệu, Điều kiện (xem hình 1.1a), nếu cần để năng lượng hữu hạn là biên độ tín hiệu không tích phân trong phương trình (1.1) sẽ không hội tụ. , (hình 1.1b), thì năng lượng tín hiệu là vô hạn. Trường hợp này, cần đo kích thước tín hiệu theo trị trung bình theo thời gian của năng lượng, nếu tồn tại. Đo lường này gọi là công suất của tín hiệu. Định nghĩa công suất Pf của tín hiệu f(t) là:

(1.3)

Khi f(t) là tín hiệu phức, ta có công thức tổng quát:

(1.4)

Ta thấy là công suất tín hiệu Pf là trung bình theo thời gian của bình phương biên độ tín hiệu, tức là trị bình phương trung bình của f(t). Hơn nữa, căn bình phương của Pf là trị rms (root mean square) của f(t). Trung bình của tín hiệu trong khoãng thời gian dài vô hạn tồn tại nếu tín hiệu là tuần hoàn hay statistical regularity. Khi không thỏa điều kiện này thì có thể không tồn tại trị trung bình. Thí dụ, tín hiệu hàm dốc f(t) = t tăng vô hạn khi , như thế không tồn tại công suất cũng như năng lượng của tín hiệu này. Nhận xét Năng lượng tín hiệu được định nghĩa từ phương trình (1.1) và (1.2) không chỉ thị năng lượng thực của tín hiệu do năng lượng tín hiệu không chỉ phụ thuộc vào tín hiệu mà còn phụ thuộc vào tải của tín hiệu. Năng lượng này có thể được biểu diễn như năng lượng tiêu tán (dissipated) của một tải chuẩn hóa với giá trị 1 ohm khi áp điện áp f(t) vào hai đầu trở (hay khi cho dòng f(t) qua trở 1 ohm này). Trường hợp này đo lường “năng lượng” chỉ thị khả năng của năng lượng chứ không là năng lượng thực. Như thế, các ý niệm về bảo toàn năng lượng không dùng được cho ý niệm “năng lượng tín hiệu” này. Lý luận tương tự cho trường hợp “công suất tín hiệu” theo định nghĩa (1.3) và (1.4). Các đo lường này không chỉ thị thích hợp cho kích thước tín hiệu, là ý niệm hữu ích trong nhiều ứng dụng. Thí dụ, ta xấp xỉ tín hiệu f(t) bằng tín hiệu g(t), sai số xấp xỉ là e(t) = f(t) –g(t). Năng lượng (hay công suất) của e(t) là chỉ thị thích hợp tính đúng của phép xấp xỉ, nhằm cung cấp cho ta một đo lường định lượng nhằm xác định tính khớp của phép xấp xỉ. trong hệ thống thông tin, khi truyền qua kênh truyền, tín hiệu tin tức bị sai lệch do tín hiệu không mong muốn (nhiễu). Chất lượng tín hiệu thu được được đánh giá thông qua kích thước tương đối của tín hiệu mong muốn và tín hiệu không mong muốn (nhiễu). Trường hợp này, tỉ số giữa công suất tín hiệu mang tin tức và công suất nhiễu (tỉ số tín hiệu trên nhiễu) là chỉ thị tốt để đánh giá chất lượng tín hiệu thu được. Đơn vị đo năng lƣợng và công suất:

Phương trình (1.1) và (1.2) chưa có thứ nguyên đúng, do ta không dùng ý niệm năng lượng theo nghĩa qui ước, mà chỉ dùng chỉ thị kích thước tín hiệu. Tương tự cho trường hợp công suất ở (1.3) và (1.4). Trường hợp này, đơn vị của năng lượng và công suất được định nghĩa theo bản chất của tín hiệu f(t). Nếu f(t) là tín hiệu điện áp, thì năng lượng Ef có thứ nguyên là V2s (vôn bình phương-giây) và công suất Pf có thứ nguyên là V2 (vôn bình phương). Khi f(t) là tín hiệu dòng điện, thì năng lượng Ef có thứ nguyên là A2s (vôn bình phương-giây) và công suất Pf có thứ nguyên là A2 (ampe bình phương). ■ Thí dụ 1.1:

Xác định đo lường thích hợp cho các tín hiệu trong hình 1.2 Trong hình 1.2a, biên độ tín hiệu khi , vậy đo lường thích hợp cho

tín hiệu là năng lượng Ef, cho bởi:

Trong hình 1.2b, biên độ tín hiệu không khi

. Đồng thời, tín hiệu là tuần hoàn nên tồn tại công suất. Dùng công thức (1.3) xác định công suất. Đơn giản hóa phép tính do quan sát thấy tín hiệu tuần hoàn lập lại mỗi chu kỳ 2 giây (trong trường hợp này). Vậy:

.■

Xác định công suất và trị rms của: Nhắc lại: công suất tín hiệu chính là bình phương của trị rms. Do đó, trị rms của tín hiệu là ■ Thí dụ 1.2: (a) , (b) ,

.

(c) (a) Tín hiệu tuần hoàn, chu kỳ

. Đo lường thích hợp là công suất. Tín hiệu tuần hoàn, nên công suất là trung bình của năng lượng trong một chu kỳ . Tuy nhiên, để minh họa, ta giải theo cách lấy trung bình trong

khoảng thời gian vô hạn, phương trình (1.3).

. Hơn nữa, thừa số thứ hai triệt tiêu do tích phân Thừa số đầu tiên của vế phải là trong thừa số này là phần diện tích của tín hiệu sin trong khoãng thời gian rất lớn T và . Phần diện tích này bằng với phần diện tích của một bán kỳ do phần diện tích dương và âm của tín hiệu sin triệt tiêu nhau. Thừa số thứ hai là phần diện tích này nhân

với với . Rõ ràng, thừa số này là zêrô, và: (1.5a)

(b) Trong chương 4, ta chứng minh được là tổng hai sin có thể là tuần hoàn hay không tuần hoàn, điều này tùy thuộc vào tỉ số là hữu tỉ hay không, Do đó, chưa xác định được chu kỳ của tín hiệu này. Như thế, xác định công suất dùng phép lấy trung bình của năng lượng trong T giây, với . Vậy:

Tích phân thứ nhất và thứ hai của vế phải là các công suất của hai tín hiệu sin, có giá trị là như tính toán ở phần (a). Tương tự trong phần (a), ta thấy thừa số thứ và ba triệt tiêu, sau cùng:

(1.5b)

.

Có thể mở rộng kết quả này để tính tổng nhiều tín hiệu sin có tần số khác nhau. Và giá trị rms là Như thế, nếu

Với các tần số không giống nhau, thì

(1.5c)

(c) Khi tín hiệu là phức, dùng phương trình (1.4) để tính công suất:

Do nên , và

(1.5d)

. ■

Trị rms là Nhận xét:

là

Phần (b) đã chứng minh được là công suất của tổng hai tín hiệu sin thì bằng tổng công suất các tín hiệu sin. Nhận thấy là công suất của . Điều không may là kết quả này không phải luôn luôn đúng, mà chỉ đúng trong một số trường hợp (trực giao) sẽ được trình bày trong phần 3.1-3.

Bài tập E 1.1

Chứng tõ năng lượng của các tín hiệu trong hình 1.3a, b, c và d lần lượt là 4, 1, 4/3, và 4/3. Nhận thấy khi nhân đôi tín hiệu thì năng lượng tăng gấp 4, và khi dời tín hiệu theo thời gian không ảnh hưởng đến năng lượng. Chứng minh là công suất của tín hiệu trong hình 1.3e là 0,4323. Tìm trị rms của tín hiệu trong hình 1.3e?

Bài tập E 1.2 Làm lại thí dụ 1.2a để tìm công suất tín hiệu sin bằng cách lấy

trung bình năng lượng tín hiệu trong một chu kỳ (thay vì lấy trung bình

trong khoãng thời gian vô hạn). Chứng tõ là công suất của tín hiệu hằng là

.

và trị rms là Bài tập E 1.3 Chứng tõ khi , thì công suất của

, không bằng giá trị .

là 1.2 Phân loại tín hiệu

Có nhiều lớp tín hiệu, trong tài liệu này ta chỉ quan tâm đến các lớp tín hiệu sau: 1. Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc theo thời gian 2. Tín hiệu analog và tín hiệu số 3. Tín hiệu tuần hoàn và tín hiệu không tuần hoàn 4. Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất 5. Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên

1.2-1 Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc theo thời gian Tín hiệu xác định với mọi giá trị của thời t (hình 1.4a) được gọi là tín hiệu liên tục theo thời gian, và tín hiệu chỉ xác định với các giá trị thời gian rời rạc (hình 1.4b) là tín hiệu rời rạc theo thời gian. Ngõ ra của máy điện thoại và máy ghi hình là tín hiệu liên tục theo thời gian (ngày nay, điều này là chưa đúng?!!), trong khi giá trị GNP theo quí, giá trị bán hàng của công ty, và chỉ số chứng khoán từng ngày là các tín hiệu rời rạc.

1.2-2 Tín hiệu analog và tín hiệu số Ý niệm về tín hiệu liên tục theo thời gian thường bị hiểu lầm là tín hiệu analog. Hai ý niệm này khác nhau, tương tự như ý niệm giữa tín hiệu rời rạc và tín hiệu số. Tín hiệu có biên độ với biên độ có thể có giá trị bất kỳ trong tầm liên tục thi được gọi là tín hiệu analog. Điều đó có nghĩa là biên độ tín hiệu analog có thể có vô hạn giá trị. Tín hiệu số, thì biên độ chỉ có thể có số hữu hạn các giá trị. Tín hiệu dùng trong máy tính số là tín hiệu số do chỉ có hai giá trị biên độ (tín hiệu nhị phân). Tín hiệu số có thể có M giá trị là tín hiệu bậc M, trong đó nhị phân (M=2) là một trường hợp đặc biêt. Cụm từ liên tục theo thời gian và rời rạc theo thời gian cho thấy bản chất của tín hiệu theo trục thời gian (trục ngang). Cụm từ analog và số, thì lại cho thấy bản chất của tín hiệu theo trục biên độ (trục dọc). Hình 1.5 vẽ tín hiệu analog rời rạc theo thời gian. Tín hiệu analog có thể

chuyển thành tín hiệu số (qua bộ chuyển đổi ADC) qua quá trình lượng tử hóa (làm tròn giá tri) như giải thích ở phần 5.1-3.

Tín hiệu f(t) là tuần hoàn khi có một số hằng số dương T0 1.2-3 Tín hiệu tuần hoàn và tín hiệu không tuần hoàn với mọi giá trị t (1.6)

Trị bé nhất của T0 thỏa điều kiện tuần hoàn (1.6) là chu kỳ của f(t). Các tín hiệu trong hình 1.2b và 1.3e là tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ lần lượt là 2 và 1, Tín hiệu không tuần hoàn là tín hiệu không có chu kỳ. Các tín hiệu trong hình 1.2a, 1.3a. 1.3b, 1.3c và 1.3d đều là tín hiệu không tuần hoàn. gian. Do đó, tín hiệu tuần hoàn phải bắt đầu từ Từ định nghĩa, tín hiệu tuần hoàn f(t) không thay đổi khi dời một chu kỳ theo thời , nếu không, giả sử khi bắt đầu từ và , thì tín hiệu dời theo thời gian một chu kỳ sẽ bắt đầu từ

sẽ không giống tín hiệu . Như thế một tín hiệu tuần hoàn phải bắt đầu tại

và liên tục không dừng, như vẽ ở hình 1.6

Một đặc tính quan trọng của tín hiệu tuần hoàn f(t) là f(t) có thể được tạo ra từ cách mở rộng tuần hoàn (periodic extension) một đoạn bất kỳ của f(t) với thời khoảng T0 (chu kỳ). Từ đó, ta có thể tạo f(t) từ bất kỳ đoạn nào của f(t) với thời khoảng một chu kỳ bằng cách đặt đoạn này và tái tạo tín hiệu. Hình 1.7 vẽ tín hiệu tuần hoàn f(t) với chu kỳ T0 = 6. Phần tô đen trong hình 1.7a cho thấy một đoạn của tín hiệu f(t) bắt đầu tại và có thời khoảng một chu kỳ (6 giây). Đoạn này, khi lặp lại không dừng theo các hướng, tạo ra tín hiệu tuần hoàn f(t). Độc giả có thể kiểm nghiệm lại là có thể tạo với bất kỳ đoạn nào của f(t) , thời điểm nào với thời khoảng là một chu kỳ. Tín hiệu bắt đầu từ

và tiếp tục không dừng được gọi là tín hiệu không dừng (everlasting signals). Như thế, tín hiệu không dừng tồn tại suốt trong khoãng . Các tín hiệu trong hình 1.1b và 1.2b là thí dụ về tín hiệu không dừng. Rõ ràng là từ định nghĩa thì tín hiệu tuần hoàn là tín hiệu không dừng. Tín hiệu không bắt đầu trước khi t = 0, được gọi là tín hiệu nhân quả. Tức là, f(t) là tín hiệu nhân quả nếu:

khi (1.7)

được gọi là tín hiệu phản nhân quả (anticausal signal).

Các tín hiệu trong hình 1.3a, b, c cùng các hình 1.9a và 1.9b là các tín hiệu nhân quả. Tín hiệu khởi đầu trước t = 0 được gọi là tín hiệu không nhân quả; tuy nhiên tín hiệu không nhân quả trong hình 1.1 và 1.2 là tín hiệu dừng. Một tín hiệu có giá trị zêrô với mọi Nhận xét:

Rõ ràng là trong thực tế, ta không tạo ra được tín hiệu không dừng thực. Như thế tại sao ta lại bận tâm đến chúng như thế? Các chương kế cho thấy một số tín hiệu (bao gồm cả các tín hiệu không dừng sin) tuy không tạo ra được trong thực tế nhưng lại rất hữu ích khi nghiên cứu về tín hiệu và hệ thống.

1.2-4 Tín hiệu năng lƣợng và tín hiệu công suất. Tín hiệu có năng lượng hữu hạn gọi là tín hiệu năng lƣợng, và tín hiệu có công suất hữu hạn và khác không thì được gọi là tín hiệu công suất. Các tín hiệu trong hình 1.2a và 1.2b lần lượt là các tín hiệu năng lượng và tín hiêu công suất. Nhận thấy công suất chính là trung bình theo thời gian của năng lượng. Khi lấy trung bình trong khoảng

thời gian vô hạn, tín hiệu có năng lượng hữu hạn sẽ có công suất bằng không, và tín hiệu có công suất hữu hạn sẽ có năng lượng là vô hạn. Từ đó, một tín hiệu thì không thể vừa là tín hiệu công suất vừa là tín hiệu năng lượng. Nếu đã là tín hiệu công suất thì không thể là tín hiệu năng lượng và ngược lại. Trường hợp tín hiệu hàm dốc là một thí dụ. Nhận xét: Mọi tín hiệu thực tế đều có năng lượng hữu hạn nên là tín hiệu năng lượng. Một tín hiệu công suất thì cần phải có độ rộng vô cùng; công suất của chúng, tức là năng lượng trung bình trong thời khoảng lớn vô hạn, sẽ không tiến về giới hạn (khác không). Rõ ràng là không thể tạo ra được tín hiệu công suất thực trong thực tế do tín hiệu này có độ rộng vô hạn và năng lượng vô hạn.

Đồng thời, do các tín hiệu tuần hoàn có vùng diện tích của

trong một chu kỳ là hữu hạn, nên là tín hiệu công suất; tuy nhiên, không phải mọi tín hiệu công suất đều là tín hiệu tuần hoàn. Bài tập E 1.4

Chứng minh là hàm mủ không dừng

không thể là tín hiệu năng lượng hay tín hiệu công suất với mọi giá trị thực của a. Tuy nhiên, khi a là số phức, thì tín hiệu này lại là tín hiệu công suất có công suất , bất chấp giá trị của a.

1.2-5 Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên. Một tín hiệu là tín hiệu xác định khi biết được hoàn toàn mô tả vật lý của tín hiệu, dạng mô tả toán học hay dạng đồ thị. Một tín hiệu mà giá trị không thể dự báo được một cách chính xác nhưng chỉ biết được các thừa số về mô tả thống kê, như trị trung bình, trung bình bình phương, thì được gọi là tín hiệu ngẫu nhiên. Giáo trình này chưa nghiên cứu về các tín hiệu dạng này. 1.3 Một số phép tính lên tín hiệu

Phần này trình bày ba phép tính hữu ích cho tín hiệu: phép dời, phép tỉ lệ, và phép đảo. Do biến độc lập của tín hiệu là biến thời gian, nên các phép tính ở đây là: phép dời theo thời gian, phép tỉ lệ theo thời gian, và phép đảo theo thời gian (phép gấp). Tuy nhiên, phương pháp này còn dùng được cho biến độc lập dạng khác (thí dụ biến tần số hay biến cự ly). 1.3-1 Phép dời theo thời gian.

Xét tín hiệu f(t) trong (Hình 1.8a) và tín hiệu dời T giây theo thời gian (Hình 1.8b) tại thời điểm . Thay đổi của f(t) tại thời điểm t cũng là thay đổi của

được gọi là t+T. Vậy: (1.8)

(1.9)

Và Do đó, khi dời tín hiệu một khoảng T, ta thay t bằng t – T. Vậy f(t – T) biểu diễn tín hiệu f(t) được dời một khoảng T giây. Nếu T > 0, ta có phép dời phải (phép trễ: delay). Nếu T < 0, ta có phép dời trái (phép sớm: advanced). Do đó, f(t – 2) là phép làm trễ f(t) 2 giây (dời phải 2 giây) và f(t + 2) là phép làm sớm f(t) 2 giây (dời trái 2 giây).

■ Thí dụ 1.3:

Hàm mủ vẽ ở hình 1.9a đã được là trễ 1 giây. Vẽ tìm mô tả toán học

của hàm này. Làm lại bài tập khi f(t) được làm sớm 1 giây. Hàm f(t) có mô tả toán học như sau:

(1.10)

Gọi là hàm f(t) được làm trễ (dời phải) một giây như hình 1.9b. Hàm này là

f( t - 1); mô tả toán học có được từ f(t) bằng cách thay t bằng t – 1 vào (1.10). Vậy:

(1.11)

Gọi là hàm f(t) được làm sớm (dời trái) một giây như hình 1.9c. Hàm này là

f(t+1); mô tả toán học có được từ f(t) bằng cách thay t bằng t+1 vào (1.10). Vậy:

(1.12) ■

Bài tập E 1.5 Viết mô tả toán học của tín hiệu của hình 1.3c. Tín hiệu này được làm trễ đi

2 giây. Vẽ tín hiệu trễ. Chứng minh tín hiệu trễ có thể mô tả toán học thành

với

được làm sớm 1 giây. Chứng minh tín hiệu sớm , và bằng 0 trong các trường hợp khác. Làm lại khi tín hiệu có thể mô tả toán học thành

, và bằng 0 trong các trường hợp khác. với

1.3-2 Phép tỉ lệ theo thời gian.

Tỉ lệ là phép nén hay giãn tín hiệu theo thời gian. Xét tín hiệu f(t) trong hình trong hình 1.10b là f(t) nén theo thời gian với tỉ lệ 2. Như thế, thay

1.10a. Tín hiệu đổi của f(t) tại thời điểm t cũng xuất hiện trong

(1.13) tại thời điểm t/2, nên

Và (1.14)

tại thời điểm và tại Do , ta cần có

được cho bởi:

(1.15) ), tín hiệu

và như hình 1.10b. Nếu tín hiệu f(t) được ghi vào băng từ và phát lại với tốc độ hai lần tốc độ lúc ghi, ta sẽ có f(2t). Thông thường, nếu f(t) được nén theo thời gian theo tỉ lệ a ( Tương tự, khi tín hiệu f(t) được giãn ra theo thời gian với tỉ lệ a (a>1) thì (1.16)

Hình 1.10c vẽ , với f(t) giãn theo thời gian với tỉ lệ 2. Trong phép tỉ lệ theo

thời gian, tại gốc t = 0, f(t)= f(at)= f(0).

Tóm lại, khi tỉ lệ tín hiệu theo thời gian với tỉ lệ a, ta thay t bằng at. Nếu a >1, phép tỉ lệ này là phép nén theo thời gian, nếu a<1, thì phép tỉ lệ này là phép giãn theo thời gian.

Hình 1.11a vẽ tín hiệu f(t). Vẽ và viết mô tả toán học tín hiệu sau khi nén theo

■ Thí dụ 1.4: thời gian với tỉ lệ 3. Làm lại khi tín hiệu được làm giãn theo tỉ lệ 2. Tín hiệu f(t) có thể được mô tả theo

(1.17)

Hình 1.11b vẽ , là tín hiệu f(t) được nén theo thời gian với tỉ lệ 3, nên mô tả

toán học là f(3t), có được bằng cách thay t bằng 3t trong vế phải của phương trình 1.17

(1.18a)

Nhận thấy là tại thời điểm t = -1,5 và 3 của f(t) tương ứng với t = -0,5 và 1 của tín

Hình 1.11c vẽ , là tín hiệu f(t) được giãn theo thời gian với tỉ lệ 2; nên có mô

, thay t bằng t/2 trong f(t). Vậy hiệu nén f(3t). tả toán học là

(1.18b)

Nhận thấy là tại thời điểm t = -1,5 và 3 của f(t) tương ứng với t = - 3 và 6 của tín hiệu giãn f(t/2). ■

Bài tập E 1.6

Chứng tõ khi nén tín hiệu sin với tỉ lệ n (n > 1) ta có tín hiệu sin với cùng biên độ và pha, nhưng có tần số tăng n lần. Tương tự, khi giãn tín hiệu sin với tỉ lệ n (n > 1) ta có tín hiệu sin với cùng biên độ và pha, nhưng có tần số giảm n lần. Minh họa bằng cách vẽ tín hiệu sin 2t và các tín hiệu có từ tín hiệu này lần lượt được nén với tỉ lệ 3 và giãn với tỉ lệ 2. 1.3-3 Phép đảo theo thời gian. Xét tín hiệu vẽ ở hình 1.12a. Xem

là một khung đồng cứng, có khớp nối theo thời gian, ta xoay khung 1800 theo trục dọc. theo trục dọc], tạo (hình 1.12b). Nhận xét thấy các thay đổi trong hình 1.12a tại thời điểm t

theo trục dọc. Để thực hiện đảo Phép đảo theo thời gian hay còn gọi là phép gấp [phản chiếu của tín hiệu cũng là thay đổi ở hình 1.12b tại thời điểm - t. Vậy:

tín hiệu Vậy, khi thực hiện phép đảo theo thời gian, ta thay t bằng - t . Như thế, phép đảo theo trục dọc và . Do đó, tín hiệu phản ảnh của cho tin hiệu

. Nhắc lại là tín hiệu phản ảnh của theo trục tung là - .

Xét tín hiệu vẽ ở hình 1.13a, vẽ là tín hiệu đảo của .

■ Thí dụ 1.5: Giá trị của tại các thời điểm – 1 và – 5 được ánh xạ thành các thành điểm 1 và 5 của

. Do , nên . Tín hiệu được mô tả ở hình 1.13b. Có

và theo:

thể mô tả

Tín hiệu đảo theo thời gian có được bằng cách thay t bằng – t trong là

■

1.3-4 Tổ hợp các phép tính. Một số phép tính phức tạp cần thực hiện đồng thời nhiều phép tính vừa nêu. Trong đó,

1. Dời , thực hiện phép tỉ lệ a với tín hiệu

đòi hỏi thực hiện cả ba phép tính, và được thực hiện theo hai cách: một đoạn b để có (tức là thay t bằng at) để có .

2. , để có . Dời tiếp theo

Thực hiện tỉ lệ a theo thời gian bằng (tức là thay để có tức là .

Thí dụ, tín hiệu đi 6 để có

có thể được thực hiện theo hai cách: (a) trước hết, làm trễ , rồi thực hiện phép nén theo tỉ lệ 2 (thay t bằng 2t) để có , rồi làm trễ đi 3 (thay t bằng t – theo tỉ lệ 2 để có

; (b) đầu tiên, nén .

3) để có 1.4 Một số tín hiệu hữu ích

Các hàm bước, hàm xung, và hàm mủ rất hữu dụng trong lĩnh vực tín hiệu và hệ thống. Chúng không chỉ biểu diễn tín hiệu, mà còn giúp đơn giản hóa quá trình khảo sát tín hiệu và hệ thống.

1. Hàm bƣớc đơn vị u(t) Ta đã biết là tín hiệu nhân quả (causal) là tín hiệu bắt đầu từ . Các tín hiệu như vẽ ở hình

này có thể được mô tả một cách thích hợp theo hàm bước đơn vị 1.14a và được định nghĩa là:

(1.20)

Nếu muốn tín hiệu bắt đầu từ (có giá trị là 0 khi

hiệu này với . Thí dụ, tín hiệu là tín hiệu không dừng bắt đầu từ ) thì chỉ cần nhân tín . Dạng

.

nhân quả của tín hiệu này, vẽ ở hình 1.14b, là dạng Tín hiệu bước đơn vị còn rất hữu ích khi đặc trưng hàm với nhiều dạng mô tả toán học khác nhau trong các thời khoảng khác nhau. Thí dụ các hàm được vẽ ở hình 1.11. Các hàm này có nhiều mô tả toán học tại các thời khoảng khác nhau, như vẽ ở hình 1.17, 1.18a, và 1.18b. Các mô tả này thường dài dòng và không thích hợp cho phép xử lý toán học. Khi dùng hàm bước đơn vị, ta có thể mô tả các hàm này thành một biểu thức xác định với mọi t.

Thí dụ, xét xung vuông vẽ ở hình 1.15a, do tín hiệu xung vuông

có thể viết thành tổng của hai hàm bước đơn vị dời theo thời gian như hình 1.15b. Hàm bước đơn vị , làm trễ T giây là . Theo hình 1.15b, thì:

Mô tả tín hiệu hình 1.16a Tín hiệu hình 1.16 có thể được chia thành hai thành phần

■ Thí dụ 1.6: vẽ ở hình 1.16b và 1.16c. Hình 1.16b cho thấy , lần lượt và là hàm dốc t nhân với tín hiệu cổng

. Vậy:

là tích của hàm có độ dốc - 2, có giá trị là

, nên , là , với xung cổng là . Hàm dốc . Vậy:

■

Hình 1.16c cho thấy qua gốc 0 khi Và

.

■ Thí dụ 1.7: Biểu diễn tín hiệu trong hình 1.11a dùng một biểu thức xác định với mọi t. Trong khoảng từ -1,5 đến 0, tín hiệu là hằng số 2, và từ 0 đến 3, có giá trị là Vậy:

So sánh biểu thức này với trường hợp phương trình 1.17 ■ Bài tập E 1.7 Chứng tõ là các tín hiệu mô tả trong hình 1.17a và 1.17b có thể biểu diễn lần lượt

và .

theo Bài tập E 1.8 Chứng tõ là các tín hiệu mô tả trong hình 1.18 có thể mô tả thành: .

2. Hàm xung đơn vị Xung đơn vị là một trong những hàm rất quan trọng để nghiên cứu về tín hiệu và hệ thống, được P.A.M Dirac định nghĩa theo:

(1.21)

với độ cao là

và vô cùng lớn tại tại mọi

Có thể xem xung đơn vị là một xung vuông rất cao, có độ rộng rất hẹp và diện tích là đơn vị, vẽ ở hình 1.19b. Độ rộng xung rất hẹp và là . Do đó, có thể xem xung đơn vị như xung vuông có độ rộng cực kỳ bé, cao độ cực kỳ lớn và tổng , được diện tích xung luôn là đơn vị. Vậy vẽ ở hình 1.19a.

, cao độ của xung , và độ rộng Các dạng xung khác, như xung dạng mủ, xung tam giác hay dạng hàm Gauss cũng có thể được dùng xấp xỉ hàm xung. Đặc tính quan trọng của xung đơn vị không nằm ở hình dạng xung, mà do độ rộng xung tiến về không trong khi diện tích được giữ không đổi. vẽ ở hình 1.20a càng trở nên cao và hẹp dần Thí dụ, trường hợp xung hàm mủ khi  tăng. Tại giới hạn . Trong khi đó, phần diện tích của xung đơn vị luôn là đơn vị, bất chấp giá trị của do:

(1.22)

Từ phương trình (1.21), cho thấy hàm với mọi , và có điện tích là

Tương tự cho các xung trong hình 1.20b và 1.20c. k. Vậy là hàm xung có diện tích là k (khác với xung đơn vị, có diện tích là 1).

. Do xung chỉ tồn

Phép nhân hàm với xung đơn vị Xét trường hợp nhân hàm tại (liên tục tại t = 0) với hàm là , ta có:

(1.23a)

với xung

, (xung tại vị trí t = T), thì (1.23b)

là liên tục tại .

tại tại t = 0, và giá trị của Tương tự, nếu nhân Cho thấy là Đặc tính lấy mẫu của hàm xung đơn vị Tử phương trình (1.23a):

(1.24a)

liên tục tại t = 0. Điều này có nghĩa là vùng diện tích của tích một Cho thấy là thì bằng với giá trị hàm này tại thời điểm tồn tại của xung đơn hàm với xung đơn vị vị. Đặc tính này rất quan trọng và hữu dụng, và được gọi là đặc tính lấy mẫu hay đặc tính sàng lọc (sifting) của xung đơn vị. Từ phương trình (1.23b):

(1.24b)

Phương trình (1,24b) là một dạng khác của đặc tính lấy mẫu hay đặc tính sàng lọc. . Như vậy, diện ) với tồn tại ở tại thời điểm mà xung tồn tại (tại , giá trị của là

Trong trường hợp phương trình (1.24b) thì xung tích do giả sử là hàm là liên tục tại thời điểm tồn tại của xung.

cũng thỏa được phương trình (1.21)*. Hơn nữa,

Xung đơn vị là hàm tổng quát Định nghĩa toán học chưa chặt chẻ của xung đơn vị trong phương trình (1.21), tạo ra nhiều khó khăn lớn. Đầu tiên, hàm xung chưa được định nghĩa là hàm độc nhất: thí dụ, ta chứng minh được là cũng chưa thực sự là một hàm theo nghĩa thông thường. Một hàm thường được đặc trưng bởi các giá trị của nó theo mọi giá trị thời gian. Hàm xung thì triệt tiêu với mọi giá trị, trừ giá trị . Khó khăn này được giải quyết bằng cách định nghĩa hàm xung là một hàm tổng quát thay vì là hàm bình thường. Một hàm tổng quát được định nghĩa từ ảnh hưởng của mình lên các hàm khác chưa không từ giá trị theo mỗi thời điểm.

Từ đó, hàm xung được định nghĩa từ đặc tính lấy mẫu [phương trình (1.24)]. Ta chưa nói hàm xung là gì hay nó ra sao, mà định nghĩa hàm xung theo ảnh hưởng của nó lên . Ta định nghĩa hàm xung đơn vị là hàm có phần diện tích của tích số gữa hàm thử hàm với tại thời điểm tồn tại của xung đơn vị, với giả bằng với giá trị của hàm sử là hàm liên tục tại thời điểm tồn tại xung đơn vị. Theo hướng này thì cả hai phương trình (1.24a) và (1.24b) đều chưa định nghĩa được hàm xung. Nên nhớ rằng đặc tính lấy mẫu [phương trình (1.24)] là hệ quả của định nghĩa truyền thống (Dirac) về xung [phương trình (1.21)]. Ngược lại, đặc tính lấy mẫu [phương trình (1.24)] định nghĩa hàm xung theo hướng hàm tổng quát.

không liên tục tại

xung. Do hàm bước đơn vị không tồn tại tại Tiếp đến, ta giới thiệu ứng dụng quan trọng của hàm tổng quát để định nghĩa hàm , nên không tồn tại đạo hàm theo nghĩa thông thường. Ta sẽ chứng minh là các đạo hàm . Để chứng minh, ta ước

này tồn tại theo nghĩa tổng quát, và thực ra, đó chính là hàm lượng tích phân của với cách lấy tích phân từng phần:

(1.25)

(1.26)

Điều này chứng tõ là thỏa đặc tính lấy mẫu của . Như thế, theo nghĩa

tổng quát thì xung được định nghĩa theo:

(1.27)

Vậy:

(1.28)

là phần diện tích từ Kết quả này còn có thê tìm được dùng phương pháp đồ thị từ hình 1.19b. Ta thấy trong hình 1.19b là zêrô nếu đến t trong dạng giới hạn của

và bằng đơn vị nếu .

Vậy:

(1.29)

Bài tập E 1.9 Chứng tõ là:

(a)

(b)

(c)

(d)

Hướng dẫn: Dùng phương trình (1.23) .

Bài tập E 1.10 Chứng tõ là:

(a)

(b)

(c)

Hướng dẫn: Trong phần c, cần nhớ là tồn tại tại . Như thế tồn tại tại

, tức là .

3. Hàm mủ est Tín hiệu hàm mủ est là một trong những tín hiệu quan trọng nhất trong lĩnh vực tín hiệu và hệ thống, với s thường là số phức:

Vậy (1.30a)

(lượng liên hợp), thì Gọi

(1.30b)

Và

(1.30c)

So sánh phương trình này với công thức Euler, ta thấy là dạng tổng quát của trong đó biến thời gian là biến từ của biến tổng quát phức , . Do đó, biến s

bao hàm rất nhiều lớp hàm, như là biến tần số. Phương trình (1.30) cho thấy hàm sau: (minh họa ở hình 1.21)

1 Hằng số

2 Hàm mủ đơn điệu 3 Hàm

4 Hàm

Tần số phức thường được biểu diễn trong mặt phẳng tần số phức (mặt phẳng s) như ). Trị tuyệt ) còn trục dọc là trục ảo (trục hình 1.22. Trục ngang là trục thực (trục

đối của phần ảo của s là (tần số radian), chỉ thị tần số dao động của ; phần thực

của  (tần số neper) cho thông tin về tốc độ tăng hay giảm của biên độ .

Khi tín hiệu có tần số phức nằm trên trục thực (trục , với  = 0) thì tần số dao động là zêrô và tín hiệu tăng hay giảm đơn điệu theo dạng hàm mủ (hình 1.21a).

Khi tín hiệu có tần số nằm trên trục ảo (trục , với  = 0), thì và tín hiệu có

dạng hàm sin truyền thống với biên độ không đổi (hình 1.21b).

thì tín hiệu là tín hiệu hằng (dc) do ( .

Trường hợp Tín hiệu vẽ ở hình 1.21c và 1.21d có  và  đều khác không; tần số s có dạng phức và không nằm trên các trục.

Tín hiệu trong hình 1.21c giảm theo hàm mủ, có  âm và nằm bên trái trục ảo. Ngược lại, tin hiệu hình 1.21d tăng theo dạng mủ, với  dương và nằm bên phải trục ảo.

Vậy, mặt phẳng s (hình 1.21) có thể được phân thành hai phần: nửa mặt phẳng trái (LHP) tương ứng với tín hiệu giảm theo dạng mủ và nửa mặt phẳng phải (RHP) tương ứng với tín hiệu tăng theo dạng mủ. Trục ảo phân cách hai vùng này và tương ứng với các tín hiệu có biên độ không đổi.

Thí dụ, tín hiệu sin tăng theo dạng mủ có thể xem là tổng của hai hàm

với các tần số phức lần lượt là (2 + j5) và (2 – j5) và nằm bên phải và mủ mặt phẳng phức.

Tín hiệu sin giảm theo dạng mủ có thể xem là tổng của hai hàm mủ

với các tần số phức lần lượt là (- 2 + j5) và (- 2 – j5) và nằm bên phải và mặt phẳng phức. Tín hiệu sin với biên độ không đổi có thể xem là tổng của hai hàm mủ

và với các tần số phức lần lượt là và nằm trên trục phức.

Ta thấy là hàm mủ đơn điệu là tín hiệu sin tổng quát với tần số phức là .

1.5 Các hàm đối xứng chẵn và đối xứng lẻ. Hàm được gọi là hàm chẵn theo t nếu

(1.31)

Hàm được gọi là hàm lẻ theo t nếu

(1.32)

Hàm chẵn có cùng giá trị tại các thời điểm t và –t, tức là đối xứng qua trục dọc, như vẽ ở hình 1.23a. Mặt khác, Hàm lẻ có giá trị ngược dấu nhau tại các tại thời điểm t và –t, còn gọi là phản đối xứng theo trục dọc, như vẽ ở hình 1.23b.

1.5-1 Các đặc tính của hàm đối xứng chẵn và đối xứng lẻ. Hàm chẵn và hàm lẻ có các đặc tính sau: hàm chẵn x hàm lẻ = hàm lẻ hàm lẻ x hàm lẻ = hàm chẵn hàm chẵn x hàm chẵn = hàm chẵn Có thể chứng minh các đặc tính này từ định nghĩa hàm chẵn và hàm lẻ [(phương trình (1.31) và (1.32)].

Diện tích Do đối xứng theo trục dọc, theo hình 1.23a thì

(1.33a)

Và theo hình 1.23b thì

(1.33b)

Chứng minh: dùng các định nghĩa trong các phương trình (1.31) và (1.32) và xem như bài tập.

1.5-2 Thành phần chẵn và thành phần lẻ của tín hiệu. Tín hiệu có thể biểu diễn thành tổng hai thành phần chẵn và lẻ, do:

(1.34)

= thành phần chẵn + thành phần lẻ Tử định nghĩa của phương trình (1.31) và (1.32), ta thấy thừa số thứ nhất của vế

phải là hàm chẵn và thừa số thứ hai là hàm lẻ Xét hàm , phân tích thành phần chẵn và lẻ , ta có:

(1.35a) Từ phương trình (1.34)

(1.35b)

cùng các thành phần chẵn và thành phần lẻ.

Hình 1.24 vẽ tín hiệu

■ Thí dụ 1.8: Tìm thành phần chẵn và lẻ của tín hiệu .

Từ phương trình (1.34)

Với

Và ■

1.6 Hệ thống.

Theo phần 1.1, ta thấy hệ thống được dùng xử lý tín hiệu nhằm thay đổi hay rút thông tin từ tín hiệu. Một hệ thống có thể gồm các phần tử vật lý (phần cứng) hay có thể gồm thuật toán để tính toán tín hiệu ngõ ra từ tín hiệu ngõ vào (phần mềm).

Hệ thống được đặc trưng bởi các ngõ vào, các ngõ ra (hay đáp ứng) và luật hoạt động (hay luật) đủ để mô tả hoạt động của hệ thống. Thí dụ, trong hệ thống điện, luật hoạt động là các quan hệ dòng – áp quen thuộc của điện trở, tụ điện, cuộn dây, biến áp, transistor, v.v,…, cùng các quan hệ liên kết (thí dụ luật Kirchoff). Dùng các luật này, tìm được phương trình toán học mô tả quan hệ giữa các ngõ vào và các ngõ ra. Các phương trình này được gọi là mô hình toán học của hệ thống. Vậy, hệ thống được đặc trưng từ các ngõ vào, các ngõ ra và mô hònh toán học.

Một hệ thống có thể được mô tả dùng “hộp đen” với một tập các điểm vào của các và một tập các điểm để quan sát các biến ra biến vào

. Chú ý, chiều mủi tên trong các biến trong hình 1.25 chỉ thị chiều

của tác động .

Việc nghiên cứu hệ thống có ba lĩnh vực: mô hình toán học, phân tích và thiết kế. Tuy đã đề cập đến mô hình toán học, nhưng ta quan tâm nhiều đến quá trình phân tích và thiết kế. Phần lớn nội dung trong sách này trình bày về bài toán phân tích, tức là phương thức xác định ngõ ra của hệ thống dưới tác động của các ngõ vào và mô hình toán học của hệ thống (hay luật điều khiểun hệ thống). Ngoài ra, ta còn khảo sát bài toán thiết kế hệ thống, là phương thức tạo hệ thống đẻ có ngõ ra mong muốn khi có tác động của các ngõ vào. Dữ liệu cần thiết để tính toán đáp ứng hệ thống. Để hiểu thêm về dữ liệu cần thiết khi tính toán đáp ứng hệ thống, xét mạch RC đơn giãn (hình 1.26) với ngõ vào là nguồn dòng . Điện áp ngõ ra cho bởi:

(1.36a)

Cận của tích phân ở vế phải là từ đến , và điện tích này là kết quả của dòng điện qua tụ từ do tích phân biểu diễn diện tích mà . Viết

tụ nạp từ nguồn dòng lại phương trình (1.36a)

(1.36b)

Thừa số thứ hai trong vế phải là điện áp tụ tại t = 0, điện áp , vậy

(1.36c)

Phương trình này có thể được tổng quát hóa là:

(1.36d)

điện vào qua tụ trong suốt thời gian qua khứ (từ dòng điện vào , phương trình (1.26d) cho phép tính tại thời điểm với

Như thế, đáp ứng của hệ thống tại Phương trình (1.36a) cho phép tính điện áp ngõ ra tại thời điểm t khi biết được dòng đến t ). Mặt khác, khi ta biết được . được xác định từ các ngõ vào trong khoảng từ t0

đến t và các điều kiện đầu tại .

Trong thí dụ trên, ta chỉ có một điều kiện đầu. Tuy nhiên, các hệ thống phức tạp hơn cần có nhiều điều kiện đầu hơn. Thí dụ, trong mạch thụ động RCL, cần có các giá trị dòng điện qua cuộn dây và điện áp qua tụ để xác định các ngõ ra tại khi các ngõ vào trong trong tầm .

1.7 Phân loại hệ thống.

khi tác động riêng lẻ, tạo ảnh hưởng , và nếu nếu nguyên nhân

Hệ thống được phân loại thành: 1. Hệ thống tuyến tính và hệ thống phi tuyến; 2. Hệ thống có tham số không đổi và hệ thống có tham số thay đổi theo thời gian; 3. Hệ thống tĩnh (không nhớ) và hệ thống động (có nhớ); 4. Hệ thống nhân quả và hệ thống không nhân quả; 5. Hệ thống có tham số tập trung và hệ thống có tham số phân bố 6. Hệ thống liên tục và hệ thống rời rạc theo thời gian; 7. Hệ thống tương tự và hệ thống số; 1.7-1 Hệ thống tuyến tính và hệ thống phi tuyến Ý niệm về tính tuyến tính Hệ thống có ngõ ra tỉ lệ với các ngõ vào là một thí dụ về hệ thống tuyến tính. Tuy nhiên, tính tuyến tính còn bao hàm cả đặc tính cộng. Đặc tính này có thể được trình bày khi tác động riêng lẻ, tạo ảnh hưởng như sau: Hệ thống là tuyến tính nếu nguyên nhân , thì khi tác động . Vậy, nếu: cả hai nguyên nhân này vào hệ thống, sẽ tạo ra ảnh hưởng chung

và (1.37)

(1.38)

(1.39) Thì với cả c1 và c2: Ngoài ra, hệ thống tuyến tính còn thỏa mãn tính đồng nhất hay tính tỉ lệ, tức là: Thì với mọi k thực hay ảo Vậy, tuyến tính có hai đặc tính: tính đồng nhất (tỉ lệ) và tính cộng. Các đặc tính này được tổ hợp thành một đặc tính gọi là tính xếp chồng, có thể được biểu diễn như sau: và

Nếu Thì với mọi giá trị hằng số k1 và k2.

(1.40)

Đúng với mọi c1 và c2. Có vẽ như tính cộng đa bào hàm tính đồng nhất, tuy nhiên trong một số trường hợp, điều này không đúng, xem bài tập E1.11 dưới đây.

Bài tập E 1.11

Chứng tõ là hệ thống có ngõ vào (nguyên nhân) c(t) và ngõ ra (ảnh hưởng) e(t) với quan hệ e(t) = Re{c(t)} thỏa đặc tính cộng nhưng vi phạm tính đồng nhất. Vậy, tín hiệu là không tuyến tính: Hướng dẫn: chứng tõ phương trình (1.39) không thỏa khi k là số phức .

Đáp ứng của hệ thống tuyến tính Để đơn giãn, ta chỉ khảo sát hệ một ngõ và, một ngõ ra (hệ SISO), tuy nhiên còn mở rộng được cho trường hợp hệ nhiều ngõ vào, nhiều ngõ ra (hệ MIMO). Đáp ứng ra của hệ thống khi và ngõ vào tại

tại

là kết quả của hai nguyên nhân độc lập: điều kiện đầu của hệ thống (hay trạng thái hệ thống) tại . Nếu hệ thống tuyến tính, thì ngõ ra phải là tổng của hai thành phần do hai nguyên nhân trên: và thành phân đáp ứng khi ngõ vào là zêrô chỉ phụ thuộc vào điều kiện đầu tại tại ngõ vào và thành phần đáp ứng trạng thái zêrô chỉ phụ thuộc ngõ vào với điều kiện đầu được giả sử là zêrô. Khi mọi điều kiện đầu thích hợp đều là zêrô, thì hệ thống là trạng thái zêrô. Ngõ ra của hệ thống chỉ là zêrô khi ngõ vào là zêrô nếu hệ thống ở trạng thái zêrô. Tóm lại, đáp ứng của hệ tuyến tính được diễn tả thành tổng của thành phần ngõ vào zêrô và thành phần trạng thái zêrô.

Đáp ứng tổng= đáp ứng ngõ vào zêrô + đáp ứng trạng thái zêrô (1.41)

Đặc tính của hệ tuyến tính cho phép phân chia ngõ ra thành các thành phần tử điều kiện đầu và từ ngõ vào được gọi là đặc tính phân giải (decomposition property).

Trường hợp mạch RC trong hình 1.26, đáp ứng được tính từ phương trình

(1.36c).

+ (1.42)

= Thành phần ngõ vào-zêrô + thành phần trạng thái zêrô Phương trình (1.42) cho thấy: nếu , ngõ ra tại , thì ngõ ra

; Do đó, là thành phần ngõ vào zêrô của đáp ứng . Tương tự, nếu

) là zêrô tại t = 0, ngõ ra là thành phần

trạng thái của hệ thống (trường hợp này là thứ hai của vế phải (1.42) và chính là thành phần trạng thái zêrô của đáp ứng .

Hơn nữa, theo đặc tính phân giải, tính tuyến tính đòi hỏi các thành phần ngõ vào zêrô và thành phẩn trạng thái zêrô đều phải tuân thủ nguyên lý xếp chồng theo từng nguyên nhân tác động. Thí dụ, nếu ta tăng điều kiện đầu k lần, thành phần đáp ứng ngõ vào zêrô

cũng phải tăng k lần. Tương tự, nếu tăng ngõ vào k lần, thì thành phần đáp ứng trạng thái zêrô cũng phải tăng k lần.

Điều này đã được chứng minh ở phương trình (1.42) cho trường hợp mạch RC ở hình , thì thành phần đáp ứng ngõ vào zêrô 1.26. Thí dụ, nếu ta tăng đôi điều kiện đầu cũng tăng đôi; nếu ta tăng đôi ngõ vào, thì thành phần đáp ứng trạng thái zêrô cũng tăng đôi. ■ Thí dụ 1.9: Chứng tõ hệ thống mô tả bằng phương trình vi phân:

(1.43)

lần lượt là đáp ứng của hệ thống đối với các ngõ vào và là hệ thống tuyến tính. và Gọi

, thì:

Nhân phương trình đầu với k1, và phương trình thứ hai với k2, rồi cộng lại, có:

Với: Và: Vậy khi ngõ vào là , thì đáp ứng của hệ thống là

, nên là hệ thống là tuyến tính. Từ đây, ta có thể tổng quát hóa kết quả để chứng minh hệ thống mô tả phởi phương trình vi phân có dạng

(1.44)

Là hệ thống tuyến tính. Các hệ số ai và bi trong phương trình có thể là hằng số hay là hàm theo thời gian. ■

Bài tập E 1.12 Chứng tõ hệ thống mô tả bằng phương trình vi phân sau là hệ tuyến tính:

.

Bài tập E 1.13 Chứng tõ là hệ thống mô tả bằng phương trình vi phân sau là hệ phi tuyến:

.

Nhận xét thêm về hệ thống tuyến tính Hầu hết các hệ thống quan sát được trong thực tế đều trở thành phi tuyến khi áp tín hiệu vào đủ lớn. Tuy nhiên, nhiều hệ thống cũng phi tuyến đối với tín hiệu vào nhỏ. Phân tích các hệ này thường khó khăn. Tính phi tuyến có thể xuất hiện với nhiều dạng, nên thường không thể mô tả chúng theo dạng toán học thông thường được. Các hệ thống không chỉ được xếp theo lớp, mà trong từng hệ thống, khi thay đổi điều kiện đầu hay biên độ tín hiệu vào cũng làm thay đổi bản chất của vấn đề. Nói cách khác, đặc tính xếp chồng của hệ thống tuyến tính là nguyên lý độc nhất đủ mạnh để tìm nghiệm tổng quát. Đặc tính xếp chồng (tuyến tính ) đơn giản hóa rất nhiều việc phân tích hệ tuyến tính. Đặc tính phân giải cho phép ước lượng riêng biệt hai thành phần của ngõ ra. Thành phần ngõ vào zêrô có thể được tính với giả sử ngõ vào là zêrô, và thành phần trạng thái zêrô được thành tổng những tính với giả sử với điều kiện đầu là zêrô. Tuy nhiên, khi biểu diễn hàm đơn giãn hơn.

được viết thành

Do tính tuyến tính, đáp ứng (1.45)

Với là đáp ứng trạng thái zêrô của ngõ vào

. Điều này đưa đến nhiều hàm ý quan trọng, được nhắc tới nhiều trong các chương kế, cho thấy tính cực kỳ hữu dụng và mở ra hướng mới trong phân tích hệ thống tuyến tính.

Thí dụ, xét hàm bất kỳ vẽ ở hình 1.27a. Có thể xấp xỉ

và độ cao thay đổi. Quá trình xấp xỉ được cải thiện khi giây (với vuông có độ rộng là khi các xung vuông biến thành các xung cách nhau ngõ vào bất kỳ có thể được thay bằng tổng trọng các xung cách nhau

dùng tổng của xung , tức ). Như thế, giây (với ). Do đó, nếu ta biết được đáp ứng của hệ thống với xung đơn vị, thì có thể xác bằng cách cộng các đáp ứng

định ngay được đáp ứng hệ thống với ngõ vào bất kỳ hệ thống của từng thành phần xung của .

. Phép xấp xỉ được cải thiện khi

được xấp xỉ dùng phép tổng nhiều hàm bước có Tương tự, trong hình 1.27b, thì biên độ khác nhau và cách khoảng nhau giảm nhỏ dần. Như thế, nếu biết được đáp ứng hệ thống với tín hiệu vào là hàm bước đơn vị, thì có bất kỳ. Xu hướng này được thể tính được dễ dàng đáp ứng hệ thống với ngõ vào dùng trong chương 2 khi phân tích hệ thống tuyến tính trong miền thời gian.

Trong các chương 4, 6, 10 và 11 xu hướng này cũng được dùng với các tín hiệu cơ bản có dạng hàm sin hay hàm mủ. Khi đó, ta chứng minh là tín hiệu vào bất kỳ có thể được xem là tổng trọng của hàm sin (hay hàm mủ) với nhiều tần số khác nhau. Hiểu biết về đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào sin cho phép ta xác định đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào bất kỳ.

1.7-2 Hệ thống tuyến tính và hệ thống phi tuyến Hệ thống có tham số không đổi theo thời gian là hệ thống bất biến (hay hệ có tham số hằng). Trong các hệ thống này, khi ngõ vào được làm trể T giây, thì ngõ ra vẫn như củ nhưng được trễ đi T giây (với giả sử có cùng điều kiện đầu). Đặc tính này được vẽ trong hình 2.28

Có thể chứng tõ được là hệ thống trong hình 1.26 là hệ bất biến theo thời gian. Mạch điện gồm các phần tử RCL và các phần tử tích cực thường dùng như transistor là hệ thống bất biến theo thời gian. Một hệ thống có quan hệ vào –ra mô tả dùng phương trình vi phân có dạng (1.44) là hệ thống tuyến tính - bất biến (LTI) khi các hệ số ai và bi của phương trình là hằng số. Khi các hệ số này là hàm theo thời gian, thì hệ thống là tuyến tính – thay đổi theo thời gian.

Hệ thống mô tả trong bài tập E1.12 là hệ tuyến tính – thay đổi theo thời gian. Thí dụ khác của hệ tuyến tính – thay đổi theo thời gian là micrô than, trong đó giá trị điện trở R là hàm theo theo áp suất cơ học do âm thanh tác động lên các hạt than của micrô. Mạch

tương được của micrô được vẽ ở hình 1.29. Đáp ứng là dòng điện i(t) và phương trình mô tả mạch là:

Phương trình có hệ số R(t) thay đổi theo thời gian, nên là hệ thay đổi theo thời gian. Bài tập E 1.14

Chứng tõ hệ thống mô tả bằng phương trình sau là hệ có tham số thay đổi theo

.

thời gian: Hướng dẫn: Chứng tõ là hệ thống không có được đặc tính bất biến theo thời gian.

1.7-3 Hệ thống tức thời (tĩnh) và hệ thống động

Từ quan sát trước, ta thấy ngõ ra của hệ thống tại thời điểm t thường phụ thuộc vào toàn bộ ngõ vào trước đó. Tuy nhiên, có một dạng đặc biệt mà ngõ ra tại thời điểm t chỉ phụ thuộc các ngõ vào tại thời điểm này. Thí dụ, trong mạng thuần trở, ngõ ra của mạng tại thời điểm t nào đó chỉ phụ thuộc ngõ vào tại thời điểm t này. Trong các hệ thống dạng này, không cần thông tin quá khứ khi xác định đáp ứng. Các hệ thống này được gọi là hệ thống tức thời (không có tính nhớ hay hệ thống tĩnh). Nói rõ hơn thì, hệ thống là hệ tức thời (hay không có tính nhớ) nếu ngõ ra tại thời điểm t, chỉ phụ thuộc vào cường độ của các tín hiệu vào tại thời điểm này, không phụ thuộc vào các giá trị quá khứ hay tương lai của các ngõ vào. Ngược lại là hệ thống động (hệ thống có nhớ). Hệ thống có đáp ứng tại t được xác định hoàn toàn bởi tín hiệu vào trong khoảng T giây trước đó [khoảng thời gian từ (t - T) đến T] được gọi là hệ thống có nhớ hữu hạn (finite-memory) trong T giây. Mạng chứa phần tử cảm và điện dung thường là nhớ hữu hạn do đáp ứng của các mạng này tại thời điểm t, thì được xác định từ các ngõ vào trong suốt quá khứ (-, t). Điều này đúng với mạch RC trong hình 1.26. Trong tài liệu này, ta chủ yếu khảo sát hệ thống động. Hệ thống tức thời được xem là trường hợp đặc biệt của hệ thống động.

1.7-4 Hệ thống nhân quả và hệ thống không nhân quả. Hệ nhân quả (còn gọi là hệ vật lý hay hệ không dự đoán trƣớc (non- anticipative)) là hệ có ngõ ra tại thời điểm bất kỳ t0 chỉ phụ thuộc vào giá trị của ngõ vào . Nói cách khác, giá trị của ngõ ra hiện tại chỉ phụ thuộc vào các giá trị quá f(t) tại

khứ và hiện tại của f(t), không phụ thuộc vào giá trị tương lai của f(t). Đơn giãn hơn thì trong hệ nhân quả, ngõ ra không thể bắt đầu trước khi áp tín hiệu vào. Nếu đáp ứng bắt đầu trước khi có ngõ vào, tức là hệ thống biết được trị của tương lai trong tương lai và tác động dựa theo kiến thức này trước khi có tín hiệu vào. Hệ thống vi phạm điều kiện nhân quả thì được gọi là không nhân quả (hay hệ dự đoán trƣớc).

Các hệ thống thực tế vận hành trong thời gian thực thì nhất thiết phải là hệ nhân quả. Ta vẫn chưa biết cách nào để xây dựng hệ thống đáp ứng được với các ngõ vào tương lai (các ngõ vào chưa được áp vào hệ thống. Hệ thống không nhân quả là hệ thống tiên tri, đáp ứng được với các ngõ vào tương lai và đáp ứng với chúng trong thời gian hiện tại. Vậy, nếu ta áp vào một tín hiệu tại t = 0 vào hệ thống không nhân quả, thì ngõ ra có thể bắt đầu trước cả khi t = 0. Thí dụ, xét hệ thống đặc trưng bởi (1.46)

hiện diện tại mỗi điểm trên trục x từ

Tín hiệu vào f(t) trong hình 1.30a, tạo ngõ ra y(t), tính từ phương trình 1.46 (vẽ ở hình 1.40b), bắt đầu trước khi áp tín hiệu ngõ vào. Phương trình (1.46) cho thấy ngõ ra y(t) tại thời điểm t, được cho bởi tổng của giá trị vào trước t hai giây và ngõ vào sau t hai giây (tại t – 2 và t + 2). Nhưng nếu ta vận hành hệ thống theo thời gian thực của t, ta sẽ không biết được giá trị của ngõ sau sau t hai giây. Tức là không thể thiết lập được hệ thống này trong thời gian thực. Do đó, không thực hiện được hệ không nhân quả trong thời gian thực. Tại sao cần nghiên cứu hệ không nhân quả? Từ thảo luận nói trên, có vẽ như là hệ không nhân quả không có mục đích thực tế. Điều này chưa đúng, việc nghiên cứu hệ không nhân quả có giá trị do nhiều nguyên nhân. Thứ nhất, hệ không nhân quả thực hiện được khi biến độc lập không phải là thời gian (thí . dụ là biến không gian). Thí dụ, xét điện tích có mật độ q(x) đặt theo trục x với Mật độ điện tích này tạo điện trường . Trong trường hợp ngõ vào [thí dụ điện tích q(x)] bắt đầu từ x = 0. Rõ ràng, hệ đến

điện tích không gian này là không nhân quả. Phần thảo luận này cho thấy là chỉ có hệ có biến thời gian độc lập cần phải là nhân quả để có thể thực hiện được. Các hệ không dùng biến thời gian độc lập, như các hệ quang học, thực hiện được dù không là hệ nhân quả. Tuy nhiên, ngay cả với các hệ dùng biến thời gian độc lập dùng trong xử lý tín hiệu thì việc nghiên cứu hệ không nhân quả vẫn quan trọng. Trong các hệ không nhân quả này, ta có thể có được dữ liệu đã được ghi nhận trước đó (thường xuất hiện trong các tín hiệu tiếng nói, địa vật lý, và khí tượng dùng các đầu dò không gian). Trong các trường hợp này, ta đã có được các giá trị tương lai của tín hiệu (so với thời điểm khảo sát t). Thí dụ, giả sử ta đã có tập ghi giá trị các tín hiệu vào của hệ thống mô tả bởi phương trình (1.46). Từ đó, tính được y(t), do tại từng thời điểm t, chỉ cần tìm trong tập dữ liệu đã có để biết được các giá trị ngõ vào tại các thời điểm trước hai giây hay sau hai giây so với t. Vậy là thực hiện được hệ không nhân quả, dù không tại thời gian thực. Ta có thể thực hiện được hệ không nhân quả, với điều kiện chấp nhận ngõ ra với thời gian trễ. Xét hệ thống có ngõ trong phương trình (1.46) được làm trễ hai giây (hình 1.30c), nên: ra

là tín hiệu Với giá trị của ngõ ra

tại các thời điểm t là tổng các giá trị của ngõ vào f và t tại thời điểm sớm hơn t bốn giây [tại (t – 4)]. Trường hợp này, ngõ ra tại thời điểm t không của phụ thuộc vào giá trị tương lai của ngõ vào, nên hệ thống là nhân quả. Ngõ ra hệ, giống với phương trình (1.46) hay hình 1.30 trừ yếu tố trễ hai giây. Như thế, hệ không nhân quả có thể thực hiện được hay thỏa một cách xấp xỉ trong thời gian thực dùng hệ nhân quả có trễ.

Lý do thứ ba để nghiên cứu hệ không nhân quả do hệ cung cấp biên trên của tính năng hệ nhân quả. Thí dụ nếu muốn thiết kế mạch lọc để tách tín hiệu khỏi nhiễu, thì bộ lọc tối ưu rõ ràng là hệ không nhân quả. Dù không thực hiện được, tính năng của hệ không nhân quả hoạt động như giới hạn trên phần hiệu năng thực hiện được và cung cấp chuẩn để ước lượng tính năng của mạch lọc nhân quả.

Thoáng nhìn thì hệ không nhân quả có vẽ bí hiểm. Thực ra, hệ không có gì là bí mật và có thể thực hiện xấp xỉ dùng hệ vật lý với khâu trễ. Nếu ta muốn biết việc sắp xảy ra trong năm tới, thì có hai lựa chọn: đến gặp nhà tiên tri (nhân vật không thực hiện được) cho ta kết quả tức thời, hay tìm gặp một nhà thông thái, và cho ông ta một thời gian trễ là một năm để cho ta kết quả. Nếu nhà thông thái này thực sự là thông thái, ông ta có thể đoán được tương lai trong thời gian trễ ít hơn một năm thông các xu hướng phát triển. Đó chính là trường hợp của hệ không nhân quả, không hơn không kém.

Bài tập E 1.15 Chứng tõ hệ thống mô tả bởi phương trình sau là không nhân quả

Chứng tõ là có thể thực hiện được hệ nếu ta chấp nhận ngõ ra với khâu trễ 5 giây .

1.7-5 Hệ thống có tham số tập trung và hệ tham số phân bố Khi nghiên cứu hệ thống điện, ta thường dùng quan hệ dòng – áp cho nhiều linh kiện khác nhau (thí dụ, do luật Ohm). Khi thực hiện, ta thường giả sử là dòng qua các linh kiện (điện trở, tụ, v.v,…) là như nhau tại mọi vị trí của linh kiện. Như thế, ta đã giả sử tín hiệu điện lan truyền tức thời qua linh kiện, Tuy nhiên, thực tế thì tín hiệu điện là sóng không gian điện từ đòi hỏi thời gian lan truyền hữu hạn.

Thí dụ, dòng điện lan truyền qua linh kiện với vận tốc hữu hạn và có thể có các giá trị khác nhau tại các vị trí khác nhau trong cùng linh kiện. Như thế, dòng điện là hàm không chỉ theo thời gian mà còn theo không gian. Tuy nhiên, khi kích thước thật của linh kiện nhỏ so với bước sóng của tín hiệu truyền, ta có thể giả sử dòng điện qua linh kiện là không đổi. Giả sử này tạo ra hệ có tham số tập trung, trong đó từng linh kiện được xem là có giá trị tập trung tại một điểm trong không gian. Giả sử này thường đúng ở tần số thấp (bước sóng dài). Như thế, trong mô hình tham số tập trung, tín hiệu được xem là chỉ phụ thuộc vào biến thời gian, nên phương trình hệ thống chỉ cần một biến độc lập (biến thời gian), và là phương trình vi phân thông thường.

Ngược lại, trong hệ thống tham số phân bố như đường dây dài, ống dẫn sóng, anten, và đèn ở tần số vi ba, thì các giả sử về tham số tập trung không còn giá trị. Các tín hiệu này làm hàm của cả không gian và thời gian, nên mô hình toán học phải có dạng phương trình vi phân riêng phần. Tài liệu này chỉ thảo luận về hệ có tham số tập trung.

1.7-6 Hệ thống liên tục và hệ rời rạc theo thời gian. Phần 1.2-1 đã phân biệt rõ giữa tín hiệu rời rạc và liên tục theo thời gian. Hệ thống có các ngõ vào và các ngõ ra là tín hiệu liên tục theo thời gian được gọi là hệ thống liên tục. Mặt khác, hệ có các ngõ vào và các ngõ ra là tín hiệu rời rạc theo thời gian được gọi là hệ thống rời rạc. Khi lấy mẩu tín hiệu liên tục, ta có tín hiệu rời rạc. Có thể xử lý tín hiệu liên tục thông qua xử lý các mẩu này dùng hệ thống rời rạc.

1.7-7 Hệ thống analog và hệ thống số (digital) Các tín hiệu analog và số đã được thảo luận trong phần 1.2-2. . Hệ thống có các ngõ vào và các ngõ ra là tín hiệu analog được gọi là hệ thống analog. Mặt khác, hệ có các ngõ vào và các ngõ ra là tín hiệu số được gọi là hệ thống số. Máy tính số là một thí dụ về hệ thống số (hệ nhị phân), và ta thấy rằng máy tính cũng đồng thời là hệ thống số và là hệ thống rời rạc theo thời gian.

Các phƣơng pháp khác dùng xếp loại hệ thống Còn có nhiều dạng hệ thống khác, như hệ thống khả nghịch (invertible) và hệ thống không khả nghịch (noninvertible). Một hệ thống S thực hiện một số tác động lên tín hiệu vào, nếu có thể dùng ngõ ra y(t) để tái tạo tín hiệu ngõ vào f(t), hệ thống S được gọi là hệ thống khả nghịch. Hệ thống không khả nghịch, thì nhiều ngõ vào khác nhau có thể tạo ra cùng ngõ ra (thí dụ bộ nắn điện), nên không thể xác định được tín hiệu vào từ ngõ ra đã

biết. Như thế, trong hệ thống khả nghịch, mỗi tín hiệu vào riêng biệt sẽ tạo ra được tín hiệu ra riêng biệt tương ứng, tức là phép áp một-một giữa ngõ vào và ngõ ra tương ứng, đảo bảo là mỗi ngõ ra chỉ có một ngõ vào độc nhất. Hệ thống nhằm tạo tác động nghịch nhằm khôi phục tín hiệu vào từ tín hiệu ra được gọi là hệ thống nghịch của S. Thí dụ, hệ là hệ thống khả thống có ngõ ra quan hệ với ngõ vào theo phương trình

là hệ thống không

nghịch. Nhưng bộ nắn điện, đặc trưng bởi phương trình khả nghịch vì không tái tạo được ngõ ra từ hệ thống dạng này.

, ngõ ra của bộ vi phân là

phân, thì ngõ ra là , thí dụ , ta có thể xác định được ngõ vào là

Bộ vi phân lý tưởng là không khả nghịch do khi lấy tích phân ngõ ra ta không khôi phục lại được tín hiệu gốc, trừ khi biết được một phần thông tin về tín hiệu. Thí dụ, nếu . Nếu ngõ ra này được áp vào bộ tích , với c là hằng số bất kỳ. Nếu ta biết một phần thông tin về . Như thế, bộ vi phân có biết một phần thông tin (được gọi là thông tin phụ) là hệ thống khả nghịch. Tương tự, hệ thống gồm hai bộ vi phân nối đuôi nhau là hệ thống khả nghịch, nếu ta biết được hai thông tin phụ về tín hiệu vào.

Ngoài ra, hệ thống còn có thể là hệ thống ổn định và hệ thống không ổn định. Các

chương tiếp sẽ thảo luận kỹ hơn về ý niệm ổn định. Bài tập E 1.1

Chứng tõ hệ thống mô tả bởi phương trình là không khả nghịch.

1.8 Mô hình hệ thống: Mô tả vào – ra.

Như đã nói, lý thuyết hệ thống liên quan đến nhiều dạng hệ thống, như điện, cơ, thủy lực, âm học cơ – điện, và hóa học cùng các hệ xã hội, kinh tế, và sinh học. Bước đầu trong phân tích bất kỳ hệ thống nào là kiến tạo mô hình hệ thống, là biểu thức toán học hay luật nhằm thỏa mãn một cách xấp xỉ đặc tính động của hệ thống. Chương này chỉ xem xét hệ thống liên tục theo thời gian. (Chương 8 thảo luận về hệ thống rời rạc theo thời gian.)

Để kiến tạo mô hình hệ thống, ta cần nghiên cứu quan hệ giữa nhiều biến trong hệ thống. Thí dụ trong hệ thống điện, ta cần xác định mô hình thỏa quan hệ dòng – áp của từng phần tử, như luật Ohm cho điện trở. Hơn nữa, ta còn phải xác định nhiều dạng ràng buộc về điện áp và dòng điện khi kết nối nhiều linh kiện điện lại với nhau. Các luật về kết nối như luật Kirchoff về điện áp và dòng điện. Từ các phương trình này, ta lượt bớt các biến không mong muốn, để có được quan hệ giữa biến ra theo biến vào. Thí dụ sau đây trình bày phương pháp tìm quan hệ vào – ra của một số hệ tuyến tính – bất biến dạng điện.

■ Thí dụ 1.10: Trong mạch RCL hình 1.31, tìm phương trình vào – ra giữa điện áp vào và dòng

điện ta y(t).

(1.47)

Dùng luật Kirchoff về điện áp qua vòng kín, ta có: Áp dụng luật dòng – áp cho từng thành phần mạch (cuộn dây, trở và tụ), ta viết được phương trình có dạng:

(1.48)

Lấy vi phân hai vế của phương trình

(1.49)

Phương trình vi phần này là quan hệ vào – ra giữa ngõ ra y(t) và ngõ vào f(t). ■

Thực tế cho thấy nên dùng ý niệm D thay cho , với

(1.50)

(1.51)

(1.52)

Và tiếp tục, từ đó phương trình (1.49) được viết lại thành Toán tử vi phân là nghịch của toán tử tích phân, nên có thể dùng toán tử 1/D để biểu diễn tích phân.

(1.53)

Phương trình (1.48) cũng được viết lại thành

(1.54)

Do đó, phương trình (1.48) được viết lại thành: (1.55)

Đây chính là phương trình (1.52) Nhắc lại là phương trình (1.55) không phải là phương trình đại số, và

không phải là thừa số đại số nhân với y(t); mà là toán tử tác động lên y(t). Tức là ta phải thực hiện các phép tính sau lên y(t). Lấy đạo hàm bậc hai lên y(t) và cộng với 3 lần đạo hàm bậc nhất của y(t) và 2 lần y(t). Rõ ràng, đa thức chứa D nhân với y(t) biểu diễn một số toán tử vi phân tác động lên y(t).

■ Thí dụ 1.11: Tìm phương trình quan hệ vào – ra của mạch RC nối tiếp trong hỉnh 1.32 khi điện áp ngõ vào f(t) và ngõ ra lần lượt là: (a) dòng điện vòng x(t) (b) điện áp ra trên tụ y(t).

(a) Phương trình vòng của mạch là

(1.56)

Hay (1.57)

Dùng ý niệm toán tử, viết lại phương trình

(1.58)

(1.59a)

Nhân hai vế của phương trình với D, (tức là lấy vi phân hai vế), ta có hay

(1.59b)

(b) Hơn nữa, do

Thế vào phương trình (1.59a)

(1.60)

Hay

(1.61)

■ Bài tập E 1.7 Từ mạch hình 1.31, tìm quan hệ vào – ra khi ngõ ra là điện áp qua cuộn dây .

Hướng dẫn: . Đáp số .

Bài tập E 1.8 Từ mạch hình 1.31, tìm quan hệ vào – ra khi ngõ ra là điện áp qua tụ .

Hướng dẫn: . Đáp số .

■ Thí dụ 1.12:

Hệ chuyển động quay có phương trình chuyển động tương tự như trong trường hợp . Thay vì khối lượng M, ta có momen . Phương trình chuyển động , ta có gia tốc góc

hệ dịch chuyển. Thay vì lực F, ta có momen xoắn quán tính J, thay vì gia tốc tuyến tính cho hệ quay là (thay vì là ).

Rất nhiều hệ thống điện cơ chuyển đổi năng lượng điện thành chuyển động cơ học và ngược lại. Hảy xem xét thí dụ đơn giản về hệ thống điều khiển phần ứng (với dòng điện không đổi) của động cơ DC, như vẽ ở hình 1.33a. Gọi à vị trí góc quay của phần cảm

do rôto tạo ra tỉ lệ với dòng điện phần ứng , vậy:

(1.62)

rôto, momen Với là hằng số của động cơ. Momen này truyền động một tải cơ khí được vẽ ở

hình 1.33b. Hệ số nhờn đàn hồi (có hệ số B), tỉ lệ với vận tốc quay hao , tạo momen tiêu . Với J là momen quá tính của tải (bao gồm cả rôto của động cơ) thì momen

phải bằng với ; vậy

(1.63)

Nên (1.64)

và . ■

Có thể viết thành Với 1.8-1 Mô tả nội tại và mô tả bên ngoài của hệ thống Từ kiến thức về cấu trúc nội tại của hệ thống, ta viết được phương trình hệ thống dùng mô tả nội tại của hệ thống. Ngược lại, khi mô tả hệ thống từ ngõ vào và đầu ra của hệ thống thì gọi là mô tả bên ngoài. Để hiểu được mô tả bên ngoài, giả sử hệ thống được đặt trong một “hộp đen” chỉ quan sát được các ngõ vào và các đầu ra mà thôi. Để mô tả đặc tính của hệ thống dạng này, ta cần thực hiện một số đo lường tại các điểm trên. Thí dụ, ta có thể áp vào một tín hiệu đã biết, thí dụ hàm xung hay hàm bước, rồi đo lường tại ngõ ra của hệ thống. Mô tả có được từ phép đo này cho ta mô tả bên ngoài của hệ thống.

Giả sử mạch trong hỉnh 1.34a có ngõ vào f(t) và ngõ ra y(t) được được gói gọn trong “hộp đen” và chỉ truy cập được từ các đầu vào và đầu ra. Trong điều kiện này thì chỉ có một phương pháp để mô tả hay đặc trưng hệ thống là dùng pháp đo lường bên ngoài. Thí dụ ta có thể áp nguồn điện áp đã biết f(t) tại đầu vào và đo ngõ ra tương ứng y(t). Từ thông tin này, ta có thể mô tả hay đặc trưng được hệ thống. Đây là phương pháp mô tả bên ngoài.

Giả sử điện áp ban đầu của tụ là zêrô, điện áp vào f(t) tạo dòng điện ra i (hình 1.34a), được chia đều giữa hai nhánh do bản chất cân bằng của mạch điện. Do đó, điện áp qua tụ tiếp tục được giữ ở zêrô. Như thế, khi tính dòng điện i, có thể gở bỏ tụ hay thay thế bằng ngắn mạch. Mạch tương được được vẽ lại ở hình 1.34b. Như thế theo hình 1.34b thì f(t) nhìn thấy trở , và

Đồng thời, do

(1.66)

rồi đo ngõ ra

Mạch tương đương nhìn từ đầu bên ngoài của hệ thống được vẽ ở hình 1.34b. Rõ ràng là trong mô tả bên ngoài, tụ không tồn tại. Trong hầu hết các hệ thống thì mô tả nội tại và mô tả bên ngoài giống nhau, nhưng cũng có một ít ngọai trừ, thí dụ như trường hợp vừa nêu, theo đó mô tả bên ngoài chưa mô tả đúng hình ảnh của hệ thống. Điều này xuất hiện khi hệ thống là không điều khiển đƣợc và/hay không quan sát đƣợc. Hình 1.35a và 1.35b cho thấy biểu diễn cấu trúc của một hệ thống đơn giản lần lượt có tính chất không điều khiển được và không quan sát được. Trong hình 1.35a, ta ghi nhận là phần của hệ thống (hệ con S2) nằm bên torng hộp không thể điều khiển được từ ngõ vào f(t). Trong hình 1.35b một số ngõ ra của hệ thống (nằm trong hệ con S2) không thể quan sát được từ các đầu ra. Nếu muốn mô tả một trong các hệ thống này dùng phép áp tín hiệu bên ngoài , thì đo lường không đặc trưng được toàn bộ hệ thống mà chỉ đặc trưng một phần của hệ (trường hợp này là hệ con S1) là hệ có cả tính quan sát được và điêu khiển được (kết nói được được cả ngõ vào và ngõ ra). Hệ thống loại này thường không mong muốn trong thực tế và cần tránh trong các thiết kế hệ thống.

đến

đến .

Tín hiệu có thể được phân loại theo: 1.9 Tóm tắt Tín hiệu là tập thông tin hay dữ liệu. Hệ thống xử lý tín hiệu vào, biến đổi hay rút thêm thông tin từ chúng để tại tín hiệu ra (đáp ứng). Hệ thống có thể thực hiện dùng phần tử vật lý (phần cứng) hay dùng thuật toán để tính tín hiệu ra từ tính hiệu vào (phần mềm) Đo lường thích hợp kích thước của tín hiệu là năng lượng khi tín hiệu là vô hạn. Nếu năng lượng tín hiệu là vô hạn, thì đo lường thích hợp là công suất, nếu tồn tại. Công suất tín hiệu là trung bình theo thời gian của năng lượng tín hiệu (trung bình trong toàn bộ thời gian từ . Đối với tín hiệu tuần hoàn, thì phép trung bình chỉ thực hiện trong một chu kỳ, do tính lặp lại có chu kỳ của tín hiệu). Công suất tín hiệu là trị trung bình – bình phương của tín hiệu (lấy trung bình trong toàn thời gian từ

1. Tín hiệu liên tục theo thời gian xác định tại giá trị liên tục của biến độc lập (thường là biến thời gian t). Tín hiệu rời rạc theo thời gian chỉ xác định với tập các thời điểm hữu hạn hay đếm được.

2. Tín hiệu analog là tín hiệu có giá trị biên độ là liên tục. Mặt khác, tín hiệu có biên độ chỉ có số hữu hạn giá trị là tín hiệu số. Thuật ngữ rời rạc theo thời gian hay liên tục theo thời gian cho thấy bản chất của tín hiệu dọc theo trục thời gian (truc ngang), Thuật ngữ analog hay số , thì cho thấy bản chất của biên độ tín hiệu (trục dọc) 3. Tín hiệu tuần hoàn được định nghĩa với với trịc bé nhất của

với độ rộng là

thỏa hệ thức trên được gọi là chu kỳ. Tín hiệu tuần hoàn giữ nguyên giá trị khi được dời đi các khoảng là bội số của chu kỳ. Tín hiệu tuần hoàn còn được tạo ra từ bằng cách mở rộng theo chu kỳ các đoạn của . Cuối cùng, theo định nghĩa thì tín hiệu tuần hoàn phải tồn tại trong suối thời gian . Tín hiệu là không tuần hoàn khi không có chu kỳ. đến . Tín hiệu nhân quả là . Do đó, tín hiệu tuần hoàn là tín hiệu không dừng. Tín hiệu không dừng bắt đầu bắt đầu từ tín hiệu là zêrô khi đến .

4. Tín hiệu có năng lượng hữu hạn bắt đầu từ 5. Tín hiệu đã biết được hoàn toàn mô tả vật lý dạng toán học hay dạng đồ thị được gọi là tín hiệu xác định. Tín hiệu ngẫu nhiên là tín hiệu chỉ biết được các thừa số củ mô tả ngẫu nhiên như trị trung bình, trị trung bình bình phương, v. v,…, thay vì dạng mô tả toán học hay dạng đồ thị.

. Tín hiệu nghịch theo thời gian viết thành f( - t).

Tín hiệu f(t) được làm trễ T giây (dời phảỉ) được viết thành f( t- T) ; mặt khác, f(t) được làm sớm (dời trái) được viết thành f(t + T . Tín hiệu f(t) được nén theo theo thời gian với tỉ lệ a (a>1) viết thành f(at), mặt khác, tín hiệu giãn theo thời gian được viết thành Hàm bước đơn vị u(t) rất hữu dụng để biểu diễn tín hiệu nhân quả và tín hiệu có nhiều dạng mô tả toán học tại các thời khoảng khác nhau.

Theo định nghĩa truyền thống, hàm xung đơn vị

được đặc trưng bằng diện tích đơn vị, và tín hiệu tập trung chỉ tại một thời điểm t = 0. Hàm xung có đặc tính lấy mẩu (hay đặc tính dời), theo đó phần diện tích của tích một hàm với xung đơn vị thì bằng với giá trị hàm này tại thời điểm tồn tại xung đơn vị (với giả sử là hàm liên tục tại vị trí tồn tại của xung). Theo xu hướng hiện đại, hàm xung được xem là hàm tổng quát và được định nghĩa từ đặc tính lấy mẩu.

Hàm mủ est, trong đó s là số phức, liên quan đến nhiều loại tín hiệu bao gồm từ hằng số, hàm mủ đơn điệu, hàm sin, và hàm sin thay đổi theo dạng mủ.

Tín hiệu đối xứng theo trục dọc (t = 0) là hàm chẵn theo thời gian và phản đối xứng theo trục dọc là hàm lẻ theo thời gian. Tích của hàm chẵn với hàm lẻ là hàm lẽ theo thời gian. Tuy nhiên, tích của hàm chẵn với hàm chẵn hay tích của hàm lẻ với hàm lẻ là một hàm chẳn. Diện tích của hàm lẻ từ t = - a đến a luôn luôn là zêrô, bất chấp giá trị của a.

Mặt khác, diện tích của phần chẵn từ t = - a đến a luôn là hai lần phần diện tích của tích hiệu lấy từ t =0 đến a (hay từ t =-a đến 0). Các tín hiệu đều có thể viết thành tổng của hàm chẵn và hàm lẻ theo thời gian.

Hệ thống xử lý các tín hiệu ngõ vào để tạo các tín hiệu ngõ ra (đáp ứng). Ngõ vào là nguyên nhân còn ngõ ra là hậu quả. Thông thường, ngõ ra bị tác động bởi hai nguyên nhân: điều kiện nội tại của hệ thống (như các điều kiện đầu) và tín hiệu tác động bên ngoài. Có nhiều phương pháp phân loại hệ thống: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Hệ thống tuyến tính được đặc trưng từ tính tuyến tính, bao hàm tính xếp chồng; nếu có nhiều nguyên nhân (thí dụ như có nhiều ngõ vào và nhiều điều kiện đầu) tác động vào hệ thống tuyến tính, thì đáp ứng tổng là tổng của đáp ứng do từng nguyên nhân, với điều kiện các tác động khác là không tồn tại. Hệ phi tuyến là hệ không tuyến tính. Hệ bất biến theo thời gian được đặc trưng từ các tham số của hệ thống là không đổi theo thời gian. Tham số của hệ không bất biến thì thay đổi theo thời gian. Trong hệ thống không có tính nhớ (hệ tức thời), đáp ứng ra tại thời điểm t chỉ phụ thuộc vào giá trị hiện tại của ngõ vào (tại thời điểm t). Trong hệ có tính nhớ (còn gọi là hệ thống động), đáp ứng của hệ thống tại thời điểm bất kỳ t không chỉ phụ thuộc vào giá trị hiện tại của ngõ vào, mà còn phụ thuộc trị quá khứ của ngõ vào (trị trước thời gian t). Ngược lại, nếu đáp ứng của hệ thống tại t chỉ phụ thuộc vào các giá trị tương lai của ngõ vào (giá trị của ngõ vào sau t), thì hệ thống là không nhân quả. Trong hệ nhân quả, đáp ứng không phụ thuộc vào trị tương lai của ngõ vào. Ngõ ra hệ không nhân quả phụ thuộc vào các giá trị tương lai của ngõ vào, nên đáp ứng ra xuất hiện trước khi có nguyên nhân. Khi hệ không nhân quả có biến độc lập là thời gian (hệ thời gian), thì hệ là hệ dự báo, nên không thể thực hiện được hệ thống trong thực tế, dù cho có được phép xấp xỉ gần đúng với một số khâu trễ tại ngõ ra. Hệ không nhân quả có biến độc lập khác biến thời gian (thí dụ có biến không gian) thì thực hiện được. Nếu các phẩn tử trong hệ thống có kích thước bé so với độ dài sóng của tín hiệu, ta có thể giả sử là mỗi phần tử là có tham số tập trung, và hệ thống được xem là hệ có tham số tập trung. Trong giả sử này thì các tín hiệu chỉ là hàm theo thời gian. Khi giả sử này không đúng thì tín hiệu là hàm theo không gian và thời gian; và còn được gọi là hệ có tham số phân bố. Hệ thống có các ngõ vào và các ngõ ra liên tục theo thời gian là hệ liên tục theo thời gian; hệ thống có các tín hiệu vào và ngõ ra là rơòi rạc theo thời gian là hệ rời rạc theo thời gian. Khi lấy mẩu tín hiệu liên tục theo thời gian, ta có tín hiệu rời rạc theo thời gian. Có thể xử lý tín hiẹu liên tục theo thời gian dùng hệ rời rạc xử lý các mẩu của tín hiệu này. Hệ thống có tín hiệu các ngõ vào và các ngõ ra là tín hiệu analog là hệ thống analog; còn hệ có tín hiệu các ngõ vào và các ngõ ra là tín hiệu số được gọi là hệ thống số.

8.

Nếu có thể khôi phục tín hiệu vào f(t) từ ngõ ra y(t) của hệ thống S thông qua một số phép tính, thì hệ thống S được gọi là hệ khả nghịch, ngược lại là hệ không khả nghịch.

Hệ thống có mô hình tìm được từ kiến thức của cấu trúc bên trong của hệ thống được gọi là mô tả nội tại. Ngược lại, mô tả bên ngoài của hệ thống có mô tả được nhìn từ các đầu ngõ vào và ngõ ra của hệ thống; mô tả này có được từ bằng cách đưa vào hệ thống một ngõ vào đã biết rồi đo lường ngõ ra. Trong hầu hết các hệ thống thực tế, thì mô tả nội tại thường tương đương với mô tả từ bên ngoài. Tuy nhiên, trong một số trường hợp mô tả bên ngoài không cung cấp đủ thông tin về hệ thống, trường hợp này, hệ được gọi là hệ không điều khiểun được hay không quan sát được.

Tài liệu tham khảo

1.

2.

3. 4. Papoulis, A., The Fourier Integral and Its Applications, McGraw-Hill, New York, 1962. Kailath, T., Linear Systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1980. Lathi, B.P., Signals, Systems and Communications, Viley, New York, 1965. Lathi, B.P., Signals and Systems, Berkeley-Cambridge Press, Carmichael, California, 1987.

Bài tập

1.1-1

1.1-2 1.1-3

Tìm năng lượng của tín hiệu trong hình P1.1-1. Nhận xét về năng lượng khi tín hiệu đổi dấu. Nhận xét về năng lượng khi tín hiệu được nhân với k. Làm lại bài tập 1.1-1 dùng hình P1.1-2. (a) Tìm năng lượng của cặp tín hiệu x(t) và y(t) được vẽ ở hình P1.1-3a và P1.1-3b. Vẽ và tìm năng lượng của tín hiệu x(t) + y(t) và x(t) + y(t). Nhận xét gỉ tử các kết quả ? (b) Làm lại phần (a) dùng hình P1.1-3, cho biết nhận xét trong phần (a) còn có giá trị không?

1.1-4 Tìm công suất của tín hiệu tuần hoàn f(t) trong hình P1.1-4. Tìm tiếp công suất và trị rms của (a) – f(t) (b) 2 f(t) (c) c f(t). Nhận xét.

1.1-5 Chứng minh là công suất của tín hiệu

là

Với giả sử các tần số là phân biệt, với với mọi

1.1-6 Tìm công suất và trị rms của từng tín hiệu sau

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

1.3-1 Trong hình P1.3-1, tín hiệu

theo và , , ,

. Biểu diễn các tín hiệu và các tính chất: dời theo thời gian, tỉ lệ theo thời gian và tính khả nghịch theo thời gian. Thí dụ .

1.3-2 ở hình P1.3-2, vẽ các tín hiệu (a) (b)

Từ tín hiệu (c) (d)

1.3-3 ở hình P1.3-3, vẽ các tín hiệu (a) (b)

Từ tín hiệu (c) (d) (e)

1.4-1 Vẽ các tín hiệu (a) (b)

(d)

(c) 1.4-2 Biểu diễn các tín hiệu trong hình P1.4-2 dùng biểu thức xác định với mọi t. 1.4-3 Tín hiệu , chứng tõ là năng lượng của các tín hiệu có năng lượng

, và đều có giá trị . Chứng tõ là năng lượng của tín

là cùng tín hiệu

. Điều này cho thấy phép dời và hiệu phép nghịch theo thời gian không ảnh hưởng lên năng lượng tín hiệu. Mặt khác, phép nén theo thời gian (a > 1) giảm năng lượng và phép giãn theo thởi gian (a < 1) làm tăng năng lượng. Cho biết năng lượng thay đổi ra sao khi nhân tín hiệu với hằng số a.

1.4-4 Đơn giãn các biểu thức sau:

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

1.4-5 Tính các tích phân sau:

(a) (e)

(b) (f)

(c) (g)

(d) (h)

Hướng dẫn: tồn tại tại 1 – t = 0 và tính tiếp.

(a) Tìm và vẽ tồn tại tại x = 0. Thí dụ của tín hiệu ở hình P1.3-3

1.4-6 (b) Tìm và vẽ của tín hiệu ở hình P1.4-2a

1.4-7 Tìm và vẽ giá trị của tín hiệu trong hình P1.4-7

1.4-8 Dùng định nghĩa hàm tổng quát, chứng tỏ

là hàm chẵn theo t. . Thay biến t = - x

Hướng dẫn: Dùng phương trình (1.24a) để định nghĩa để chứng minh

1.4-9 Chứng minh là

Hướng dẫn: chứng minh

1.4-10 Chứng minh trong đó và liên tục tại t = 0, và

khi là hàm tổng quát.

. Tích phân nhằm định nghĩa Hướng dẫn: dùng phương pháp tích phân từng phần.

1.4-11 Tín hiệu có thể được xem là tổng của hàm mủ và và

(phương trình (1.30c) dùng tần số phức . Xác định các tín hiệu sin sau trong mặt phẳng phức: (a) cos3t (b) e-3tcos3t (c) e2tcos3t (d) e-2t (d) e2t (f) 5. 1.5-1 Tìm và vẽ các thành phần chẵn và lẻ của (a) u(t) (b) tu(t) (c)

(e) (f)

(d) 1.6-1 Tìm quan hệ vào-ra của bộ tích phân lý tưởng. Xác định thành phần đáp ứng với ngõ vào zêrô và đáp ứng trạng thái zêrô. 1.7-1 Hệ thống được mô tả từ các phương trình sau, với ngõ vảo , ngõ ra , xác

định hệ tuyến tính và hệ phi tuyến.

(a) (c)

(b) (f)

(e) (g)

(d) (h)

1.7-2 Hệ thống được mô tả từ các phương trình sau, với ngõ vảo , ngõ ra , xác

định hệ bất biến và hệ thay đổi theo thời gian. (a) (d)

(b) (e)

(c) (f)

1.7-3 Hệ thống tuyến tính bất biến (TT-BB) có ngõ vảo , và hai điều

, ngõ ra , ta ghi nhận được quan sát sau: kiện đầu và

Tìm khi cả hai ngõ vào đều bằng zêrô và ngõ vào có dạng hình P1.7-3.

Hướng dẫn: Có ba nguyên nhân: ngõ vào và từng điều kiện đầu. Từ tính tuyến tính, khi nguyên nhân tăng giá trị k, thì đáp ứng cũng tăng với cùng giá trị k. Tuy nhiên, khi cộng thêm nguyên nhân một giá trị, thì đáp ứng cũng được cộng thêm một giá trị tương ứng.

1.7-4 Hệ thống được đặc trưng bởi quan hệ vào-ra là

.

Chứng minh là hệ thống thỏa tính đồng nhất nhưng không thỏa tính cộng. 1.7-5 Chứng minh là trong mạch hình P1.5-7 là hệ tuyến tính trạng thái zêrô, nhưng phi

tuyến với ngõ vào zêrô. Giả sử các điốt có đặc tính giống nhau. Hướng dẫn: trong trạng thái (khi điện áp đầu của tụ ) thì mạch là tuyến

tính. Nếu ngõ vào , và khác zêrô, dòng điện không có tính

tuyến tính theo nguyên nhân .

1.7-6 Cuộn L và tụ C trong hình P1.7-6 là linh kiện phi tuyến, nên là mạch không tuyến của mạch phi tính. Ba phần tử còn lại là tuyến tính. Chứng tõ là ngõ ra tuyến thỏa điều kiện tuyến tính theo ngõ vào và các điều kiên đầu (tất cả các dỏng điện ban đầu qua cuộn dây và điện áp ban đầu qua tụ). Chú ý là nguồn dòng là hở mạch khi dòng điện là zêrô. 1.7-7 Hệ thống được mô tả từ các phương trình sau, với ngõ vảo , ngõ ra , xác

định hệ nhân quả và hệ không nhân quả. (c) (a) (d) (b)

1.7-8 Hệ thống được mô tả từ các phương trình sau, với ngõ vảo , ngõ ra

, xác định hệ khả nghịch và hệ không khả nghịch. Trường hợp hệ khả nghịch, tìm quan hệ vào-ra của hệ khả nghịch.

(a) (c) n: số nguyên

(b) (d)

vào với ngõ vào và

1.8-1 Cho mạch hình 1.8-1, tìm phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa những ngõ . 1.8-2 Làm lại bài tập 1.8-1 dùng hình 1.8-2. 1.8-3 Nước vào thùng chứa với lưu lượng đơn vị/giây và lưu lượng ra khỏi vòi là

đơn vị/giây (hình P1.8-3). Tìm phương trình của quan hệ giữa ngõ ra và ngõ

vào . Lưu tốc tỉ lệ với h. Nên với R là lực cản của vòi. Xác định

phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa h và ngõ vào .

là , còn có giá trị là

Hướng dẫn: lưu tốc thực của nước tại thời điểm vớ A là diện tích mặt cắt của thùng chứa.