Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
www.datechengvn.com
Copyright @datechengvn – 2010-2015
Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC LƯU CHẤT
) Lưu chất có thể chuyển động bên trong biên rắn (trong kênh, trong ống, …) hoặc bao quanh
biên rắn (máy bay, tàu thuyền…), và được xem như một môi trường liên tục. Mỗi phần tử
lưu chất được xem như có kích thước (một điểm) và có khối lượng vô cùng nhỏ.
) Chương này sẽ đề cập đến hai phần: động học và động lực học. Trong phần động học,
những thông số của dòng chảy được quan tâm xem xét là vận tốc, gia tốc và sự biến thiên
của chúng theo thời gian. Bên cạnh đó, phương trình liên tục của lưu chất cũng được trình
bày ở nhiều dạng khác nhau.
) Trong phần động lực học, cơ sở lý thuyết sự chuyển động của phần tử lưu chất có xét đến
nguyên nhân gây ra chuyển động (lực) và việc xây dựng các phương trình vi phân chuyển
động được trình bày. Các nguyên lý biến thiên động lượng và bảo toàn năng lượng được áp
dụng để xây dựng các phương trình cơ bản động lực học như Euler, Navier-Stoke, phương
trình năng lượng và động lượng được đề cập. Sau đó việc áp dụng các phương trình này cho
đoạn dòng chảy lưu chất trọng lực, không nén được, chuyển động ổn định được trình bày.
3.1 Hai phương pháp mô tả chuyển đông của lưu chất :
3.1.1 Phương pháp Lagrange :
+ Xét một hệ thống trục tọa độ cố định OXYZ (hình H.3.0a).
+ Chuyển động của lưu chất được mô tả bằng vị trí của các phần tử lưu chất theo thời gian.
t = 0 ⇒ o
r
r (xo , yo, zo)
∀ t ⇒ r
r (x, y, z) → r
r
= f
r
(o
r
r
, t) (3.1)
hay x = x(xo , yo, zo, t)
y = y(xo , yo, zo, t)
z = z(xo , yo, zo, t)
z
H.3.0a
Mo(xo,yo,zo) M(x,y,z)
y
x
O
o
r
r
r
r
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
www.datechengvn.com
Copyright @datechengvn – 2010-2015
→ xo , yo, zo và t được gọi là những biến số Lagrange.
+ Nếu như biết r
r
, ta có thể tính được vận tốc u
r
(ux, uy, uz) và gia tốc a
r
(ax, ay, az) của phần tử lưu
chất tại thời điểm nào đó như sau :
dt
rd
u
r
r= & 2
2
dt
rd
a
r
r=
dt
dx
ux=, dt
dy
uy=, dt
dz
uz= (3.2.a)
2
2
dt
xd
ax=, 2
2
dt
yd
ay=, 2
2
dt
zd
az= (3.2.b)
+ Đường nối vị trí của phần tử lưu chất theo thời gian được gọi là quỹ đạo của chuyển động của
phần tử lưu chất đó. Phương trình (3.2a) chính là phương trình quỹ đạo của phần tử lưu chất.
+ Nhận xét :
- Phương pháp này được dùng rộng rãi trong cơ học chất rắn, rất thuận tiện nếu như số lượng
phần tử ít.
- Trong cơ học lưu chất phương pháp này khó thực hiện vì số lượng phần tử rất lớn.
- Ngòai ra, trong lưu chất, tồn tại hiện tượng khuếch tán phân tử → các phân tử lưu chất chỉ giữ
được đặc tính riêng trong một khoảng thời gian rất ngắn → việc xác định quỹ đạo rất khó khăn.
- Trong thực tế việc nghiên cứu từng phần tử riêng lẽ là không cần thiết vì việc giải các bài toán
này rất phức tạp nên phương pháp này ít được dùng.
- Phương pháp Lagrange chủ yếu được áp dụng trong một số trường hợp như để nghiên cứu hiện
tượng sóng biển, quan sát vết sau vật.
3.1.2 Phương pháp Euler :
+ Trong phương pháp này, các thông số động học của các phần tử chất lỏng cùng đi qua một điểm
nào đó trong miền chuyển động được quan tâm. Ví dụ trạm đo vận tốc đặt cố định trên sông.
+ Trong một hệ tọa độ xác định, chuyển động của lưu chất được mô tả bằng vận tốc của các phần
tử lưu chất tại mỗi vị trí theo thời gian.
+ Tại một điểm M(x,y,z) cố định trong không gian, ở thời điểm t có một phần tử lưu chất qua M có
vận tốc u
r (M(x,y,z), t). Ở thời điểm t + dt có một phần tử khác đi qua M có vận tốc u
r
(M(x,y,z),
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
www.datechengvn.com
Copyright @datechengvn – 2010-2015
t+dt). Như vậy trong toàn môi trường lưu chất (∀ M ∈ miền chuyển động), ta xác định được
trường các vectơ vận tốc u
r = u
r (M, t), hay u
r
= u
r
(x,y,z,t), với các thành phần :
ux =ux(x,y,z,t)
uy =uy(x,y,z,t) (3.3)
uz =uz(x,y,z,t)
x, y, z và t được gọi là các biến Euler.
+ Nhận xét :
- Phương pháp Euler đặc biệt có ưu thế trong việc tìm lời giải của các bài toán lien quan đến
chuyển động của lưu chất nhờ vào lý thuyết trường → có thể xác định các đặc trưng chuyển
động tại những vị trí cần thiết (ví dụ : dòng chảy bao quanh vật, xác định vận tốc, áp suất tại các
điểm trên bề mặt vật rắn).
- Ngòai ra, vì số lượng các phương trình vi phân hữu hạn và có thể được biến thành các phương
trình sai phân tuyến tính, nên có thể tìm được lời giải bằng phương pháp gần đúng, chẳng hạn
phương pháp sai phân và được giải số thông qua chương trình máy tính.
3.2 Một số khái niệm thường dùng :
1. Đường dòng (lưu tuyến) :
+ Đường dòng tại một thời điểm t, là đường
vạch ra trong lưu chất sao cho các vectơ vận
tốc của các phần tử lưu chất trên đường đó
đều tiếp xúc với nó.
+
Đường dòng được xác định từ vectơ vận tốc
của các phần tử lưu chất khác nhau tại một
thời điểm xác định (≠ quĩ đạo là vết của
một phần tử lưu chất theo thời gian).
+ Theo định nghĩa, tiếp tuyến của đường dòng
tại mỗi điểm trùng với vectơ vận tốc tại
điểm đó → u
r // d r
r hay u
r x d r
r
= 0
r
Ở đây :
u
r= ux i
r
+ uy j
r
+ uz k
r
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
www.datechengvn.com
Copyright @datechengvn – 2010-2015
rd r= dx. i
r
+ dy. j
r
+ dz. k
r
→ Phương trình vi phân của đường dòng :
)4.3(
zyx u
dz
u
dy
u
dx ==
+ Nhận xét :
- Hai đường dòng trong cùng một thời điểm không thể cắt nhau hoặc tiếp xúc nhau. Điều này
có thể được chứng minh bằng phương pháp phản chứng: ở một điểm, ở một thời điểm chỉ có
một véctơ vận tốc u
rduy nhất (hình H.3.0b) , hoặc nếu chúng tiếp xúc nhau thì sẽ không bảo
đảm được phương trình bảo tòan khối lượng (hình H3.0.c); hoặc có thể được cứung minh
như trong chương thế lưu, đối với bài toán phẳng (chuyển động 2 chiều), trên mỗi đường
dòng, hàm dòng ψ = const và lưu lượng Q chảy giữa hai đường dòng bằng (ψ1 - ψ2) → ở
một điểm không thể có hai giá trị ψ khác nhau. Tuy nhiên, ngọai trừ trường hợp tại các điểm
kỳ dị trong trường chuyển động. Ví dụ điểm dừng trong chuyển động đều quanh hình trụ
tròn đứng yên (H.3.0d).
(C1)
(C2)
M
1
u
r
2
u
r
(C1)
(C2)
M
H.3.0b H.3.0c
H.3.0
d
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
www.datechengvn.com
Copyright @datechengvn – 2010-2015
- Trong chuyển động ổn định, đường dòng trùng với quỹ đạo và hình dạng các đường dòng
không thay đổi theo thời gian.
2. Dòng nguyên tố (sợi lưu tuyến) và dòng chảy:
+ Dòng nguyên tố là tập hợp tất cả các đường dòng đi qua các điểm trên dA (vi phân diện tích
trong không gian chứa lưu chất chuyển động).
+ Dòng chảy là tập hợp tất cả các dòng nguyên tố đi qua diện tích A hữu hạn.
+ Ống dòng là bề mặt bao quanh dòng chảy ⇔ tập hợp tất cả đường dòng đi qua các điểm trên
chu vi bề mặt của A. Vì vận tốc của các phần tử lưu chất trên ống dòng luôn theo phương tiếp
tuyến nên lưu chất không thể đi xuyên qua ống dòng.
3. Mặt cắt ướt, chu vi ướt, bán kính thủy lực :
H.3.1a H.3.1b
H.3.1d
m = cotang(α) ; A=(b+m.h).h
P = 2
1.2 mhb ++ ; R = A/P
H.3.1c