Bài giảng Công thức Stokes tổng quát

Công thức Stokes: Tóm tắt bài giảng<br /> Huỳnh Quang Vũ<br /> <br /> Ngày 15 tháng 10 năm 2017<br /> <br /> ∫<br /> M<br /> <br /> dω =<br /> <br /> ∫<br /> ∂M<br /> <br /> ω<br /> <br /> 2<br /> Đây khởi đầu là bài giảng cho môn cao học “Giải tích trên đa tạp” dựa trên bài giảng của R.<br /> Sjamaar [Sja15]. Tham gia đánh máy một phần bản đầu trong các năm 2015, 2016 có Phan Đình<br /> Hiếu (học viên cao học Toán Giải tích khóa 2014), Lê Chiêu Hoàng Nguyên (sinh viên ngành Toán<br /> khóa 2012), Phan Văn Phương (học viên cao học Toán Giải tích khóa 2012).<br /> Bài giảng đang được xây dựng để phục vụ cho sinh viên đại học năm cuối và học viên cao học,<br /> nhằm trình bày đề tài dạng vi phân một cách tương đối đơn giản, ngắn gọn, và đi kèm với ứng dụng.<br /> Tài liệu này có trên web ở địa chỉ:<br /> http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/Stokes.pdf<br /> Huỳnh Quang Vũ, Khoa Toán-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia<br /> Thành phố Hồ Chí Minh, email: hqvu@hcmus.edu.vn<br /> <br /> Mục lục<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> Dạng vi phân trong không gian Euclid<br /> 1.1 Định nghĩa dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.1.1 Không gian Euclid và đạo hàm trong không gian Euclid<br /> 1.1.2 Những dạng vi phân cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.1.3 Dạng vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.2 Tính chất và phép toán cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.2.1 Tính đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.2.2 Phép nhân của dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.2.3 Đạo hàm của dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.2.4 Đổi biến trên dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.2.5 Tích phân của dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.2.6 Mối quan hệ giữa thể tích và định thức . . . . . . . . . .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> 7<br /> 7<br /> 7<br /> 8<br /> 9<br /> 10<br /> 10<br /> 11<br /> 11<br /> 14<br /> 16<br /> 17<br /> <br /> Dạng vi phân và tích phân trên đa tạp<br /> 2.1 Đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.1.1 Không gian tiếp xúc và đạo hàm . . . . . . . .<br /> 2.1.2 Định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.1.3 Đa tạp có biên . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.2 Dạng vi phân trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.2.1 Phiếm hàm đa tuyến tính trên không gian vectơ<br /> 2.2.2 Định thức trên không gian vectơ . . . . . . . .<br /> 2.2.3 Dạng vi phân trên đa tạp và tính chất . . . . .<br /> 2.2.4 Dạng thể tích của đa tạp . . . . . . . . . . . .<br /> 2.3 Tích phân trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.3.1 Định nghĩa địa phương . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.3.2 Định nghĩa toàn cục . . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.4 Công thức Stokes cho đa tạp . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> 21<br /> 21<br /> 23<br /> 24<br /> 26<br /> 27<br /> 27<br /> 30<br /> 30<br /> 32<br /> 33<br /> 34<br /> 35<br /> 37<br /> <br /> Ứng dụng<br /> 3.1 Ứng dụng trong Giải tích . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 3.1.1 Miền với biên trơn . . . . . . . . . . . . . .<br /> 3.1.2 Các công thức Green và tích phân từng phần<br /> 3.1.3 Ứng dụng trong phương trình đạo hàm riêng<br /> 3.2 Định lý điểm bất động Brouwer . . . . . . . . . . . .<br /> 3.3 Dạng khớp và dạng đóng . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 3.3.1 Bổ đề Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> 45<br /> 45<br /> 45<br /> 47<br /> 48<br /> 48<br /> 49<br /> 50<br /> <br /> 3<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> 4<br /> <br /> MỤC LỤC<br /> <br /> Mở đầu<br /> ∬<br /> ∬<br /> Trong phép tính vi tích phân hàm nhiều biến ta xét những tích phân như D x 2 y 3 dxdy hay D x 2 ydA.<br /> ∫<br /> Ở đó dxdy hay dA được gọi là “phần tử diện tích”. Chúng ta cũng thấy những biểu thức như γ xdy +<br /> ∫<br /> ∬<br /> ydx hay γ ds với ds là “phần tử chiều dài”, hay S dS với dS là “phần tử diện tích mặt”. Chúng chưa<br /> được định nghĩa rõ ràng.<br /> Các dạng vi phân mà ta đã thấy dx, dxdy, dxdydz, dA, dV, ds, dS không tách rời các tích phân.<br /> Các dạng này khi nằm cạnh các hàm thực chỉ loại tích phân có thể lấy. Chúng đều liên quan tới việc<br /> lấy tích phân và đo thể tích. Chẳng hạn, nếu D là một tập con của R2 thì hệ thức sau phải được thỏa<br /> ∬<br /> 1dxdy = diện tích(D).<br /> D<br /> <br /> Lý thuyết về dạng vi phân nhằm đưa ra một cách hiểu và các cách làm việc thống nhất và tổng<br /> quát cao trên các đối tượng này.<br /> Các công thức Newton–Leibniz, Green, Stokes, Gauss–Ostrogradsky trong phép tính vi tích phân<br /> hàm nhiều biến được xây dựng cho không gian 1, 2, hay 3 chiều, gồm đường và mặt. Khóa học này<br /> nhằm thảo luận việc tổng quát hóa các công thức này lên không gian nhiều chiều. Chúng ta sẽ khảo<br /> sát dạng vi phân, đa tạp – tổng quát hóa của đường và mặt, và tích phân trên đó.<br /> Chúng ta sẽ xét vài ứng dụng, như ứng dụng trong Phương trình đạo hàm riêng, và đối đồng điều<br /> de Rham trong Tôpô.<br /> <br /> 5<br /> <br />