Công thức Stokes: Tóm tắt bài giảng
Huỳnh Quang Vũ
Ngày 15 tháng 10 năm 2017
∫M
dω=∫∂M
ω
2
Đây khởi đầu là bài giảng cho môn cao học “Giải tích trên đa tạp” dựa trên bài giảng của R.
Sjamaar [Sja15]. Tham gia đánh máy một phần bản đầu trong các năm 2015, 2016 có Phan Đình
Hiếu (học viên cao học Toán Giải tích khóa 2014), Lê Chiêu Hoàng Nguyên (sinh viên ngành Toán
khóa 2012), Phan Văn Phương (học viên cao học Toán Giải tích khóa 2012).
Bài giảng đang được xây dựng để phục vụ cho sinh viên đại học năm cuối và học viên cao học,
nhằm trình bày đề tài dạng vi phân một cách tương đối đơn giản, ngắn gọn, và đi kèm với ứng dụng.
Tài liệu này có trên web ở địa chỉ:
http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/Stokes.pdf
Huỳnh Quang Vũ, Khoa Toán-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia
Thành phố Hồ Chí Minh, email: hqvu@hcmus.edu.vn
Mục lục
1 Dạng vi phân trong không gian Euclid 7
1.1 Định nghĩa dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Không gian Euclid và đạo hàm trong không gian Euclid . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Những dạng vi phân cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Dạng vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Tính chất và phép toán cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Tính đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Phép nhân của dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Đạo hàm của dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Đổi biến trên dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.5 Tích phân của dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.6 Mối quan hệ giữa thể tích và định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Dạng vi phân và tích phân trên đa tạp 21
2.1 Đatạp.......................................... 21
2.1.1 Không gian tiếp xúc và đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.3 Đa tạp có biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Dạng vi phân trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 Phiếm hàm đa tuyến tính trên không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 Định thức trên không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.3 Dạng vi phân trên đa tạp và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.4 Dạng thể tích của đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Tích phân trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Định nghĩa địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2 Định nghĩa toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Công thức Stokes cho đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Ứng dụng 45
3.1 Ứng dụng trong Giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.1 Miền với biên trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.2 Các công thức Green và tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.3 Ứng dụng trong phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Định lý điểm bất động Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Dạng khớp và dạng đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.1 Bổ đề Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3
4MỤC LỤC
Mở đầu
Trong phép tính vi tích phân hàm nhiều biến ta xét những tích phân như ∬Dx2y3dxdyhay ∬Dx2ydA.
Ở đó dxdyhay dA được gọi là “phần tử diện tích”. Chúng ta cũng thấy những biểu thức như ∫γxdy+
ydx hay ∫γds với ds là “phần tử chiều dài”, hay ∬SdS với dS là “phần tử diện tích mặt”. Chúng chưa
được định nghĩa rõ ràng.
Các dạng vi phân mà ta đã thấy dx,dxdy,dxdydz,dA,dV,ds,dS không tách rời các tích phân.
Các dạng này khi nằm cạnh các hàm thực chỉ loại tích phân có thể lấy. Chúng đều liên quan tới việc
lấy tích phân và đo thể tích. Chẳng hạn, nếu Dlà một tập con của R2thì hệ thức sau phải được thỏa
∬D
1dxdy=diện tích(D).
Lý thuyết về dạng vi phân nhằm đưa ra một cách hiểu và các cách làm việc thống nhất và tổng
quát cao trên các đối tượng này.
Các công thức Newton–Leibniz, Green, Stokes, Gauss–Ostrogradsky trong phép tính vi tích phân
hàm nhiều biến được xây dựng cho không gian 1, 2, hay 3 chiều, gồm đường và mặt. Khóa học này
nhằm thảo luận việc tổng quát hóa các công thức này lên không gian nhiều chiều. Chúng ta sẽ khảo
sát dạng vi phân, đa tạp – tổng quát hóa của đường và mặt, và tích phân trên đó.
Chúng ta sẽ xét vài ứng dụng, như ứng dụng trong Phương trình đạo hàm riêng, và đối đồng điều
de Rham trong Tôpô.
5