Bài giảng Đàn hồi ứng dụng và phần tử hữu hạn: Chương 5 - PGS. TS. Lương Văn Hải

Chương này giới thiệu về các bài toán phẳng trong tọa độ vuông góc thuộc lĩnh vực lý thuyết đàn hồi. Nội dung bao gồm các khái niệm cơ bản, thiết lập phương trình chủ đạo và các phương pháp giải quyết bài toán, từ giải tích cổ điển đến các phương pháp số hiện đại.

Tài liệu này được biên soạn dành cho sinh viên, kỹ sư và nhà nghiên cứu trong lĩnh vực kỹ thuật xây dựng, cơ khí và các ngành liên quan đến cơ học vật liệu, đặc biệt là những ai quan tâm đến lý thuyết đàn hồi và các phương pháp giải quyết bài toán ứng suất – biến dạng trong kết cấu.

Chương 5 của tài liệu này tập trung vào các bài toán phẳng trong lý thuyết đàn hồi, một sự đơn giản hóa các bài toán ba chiều phức tạp. Tài liệu bắt đầu bằng việc định nghĩa hai loại bài toán phẳng chính: ứng suất phẳng (áp dụng cho các tấm mỏng chịu tải trong mặt phẳng của chúng) và biến dạng phẳng (dành cho các lăng trụ dài có mặt cắt không đổi chịu tải vuông góc với trục). Tiếp theo, chương trình bày chi tiết cách thiết lập các phương trình chủ đạo, bao gồm phương trình cân bằng, phương trình biến dạng và phương trình vật liệu (định luật Hooke), đồng thời giới thiệu khái niệm hàm ứng suất Φ, một công cụ mạnh mẽ giúp đơn giản hóa hệ phương trình thành phương trình bi điều hòa (∇⁴Φ = 0). Các đường lối giải bài toán lý thuyết đàn hồi cũng được thảo luận sâu rộng, từ đường lối thuận (giải trực tiếp phương trình bi điều hòa bằng các phương pháp giải tích hoặc số) và đường lối ngược (giả thiết hàm ứng suất và suy ra tải trọng), đến đường lối nửa ngược Saint-Venant (dựa trên các lời giải đã biết và nguyên lý Saint-Venant) và các phương pháp hiện đại như Phương pháp Phần tử Hữu hạn (PTHH) và Phương pháp Phần tử Biên (PTB), nhấn mạnh ưu điểm và ứng dụng rộng rãi của chúng trong thực tế kỹ thuật. Đặc biệt, chương dành phần lớn để minh họa Phương pháp Đa thức theo đường lối ngược qua các ví dụ cụ thể với hàm ứng suất đa thức bậc khác nhau, phân tích cách xác định các thành phần ứng suất. Ví dụ về dầm consol chịu lực tập trung tại đầu mút được sử dụng để chứng minh sự tương đồng với lý thuyết sức bền vật liệu và thảo luận về các giới hạn của phương pháp này khi tải trọng biến đổi đột ngột. Cuối cùng, đường lối nửa ngược được áp dụng để giải quyết hai bài toán kinh điển: dầm consol chịu lực phân bố đều và tường chắn hình tam giác, phân tích chi tiết quá trình thiết lập và kiểm tra các điều kiện biên để tìm ra trường ứng suất.