MÔ HÌNH ARIMA
Nguyễn Văn Phong
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
1 / 47
UFM - 2013
Một số quá trình đơn giản
t ∈ Z}. Khi đó, Xét một chuỗi thời gian {Xt,
Định nghĩa
i) IID noise. Xt được gọi là IID noise, nếu chúng độc lập có cùng phân phối, với trung bình 0, và phương sai hữu hạn σ2, ký hiệu
Xt ∼ IID (cid:0)0, σ2(cid:1)
ii) White noise. Xt được gọi là White noise, nếu chúng không tương quan, với trung bình 0, và phương sai hữu hạn σ2, ký hiệu
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
1 / 47
Xt ∼ WN (cid:0)0, σ2(cid:1)
Một số quá trình đơn giản
t ∈ Z}. Khi đó, Xét một chuỗi thời gian {Xt,
Định nghĩa iii) Random walk. Là một quá trình ngẫu nhiên thỏa
t (cid:88)
i=1
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
2 / 47
ui , ut ∼ WN(0, σ2). Xt = Xt−1 + ut =
Các công cụ
i) Toán tử độ trể (Lag Operation)
LXt = Xt−1 và LmXt = Xt−m
ii) Trung bình µt = E (Xt)
iii) Hiệp phương sai, AVCF Autocovariance Function
(cid:104) γ (t, s) = E [(Xt − µt) (Xs − µs)] (Xt − µt)2(cid:105) Var (Xt) = γ (t, t) = E
iv) Hệ số tương quan, ACF (Autocorrelation Function)
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
3 / 47
ρ (t, s) = γ (t, s) (cid:112)γ (t, t)(cid:112)γ (s, s)
Một số tính chất
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
4 / 47
i) γ (t, s) = γ (s, t) ii) |γ (t, s)| (cid:54) (cid:112)γ (t, t)(cid:112)γ (s, s) iii) γ (t, s) = E [XtXs] − E (Xt) E (Xs) iv) |ρ (t, s)| (cid:54) 1
Các công cụ
∞ (cid:88)
v) Filter linear (Wold Decomposition)
i=0
Xt = µt + ψi ut−i
trong đó
∞ (cid:88)
ut ∼ WN (cid:0)0, σ2(cid:1)
i < ∞.
i=0
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
5 / 47
và ψ2 ψ0 = 1
Các công cụ
k (cid:88)
vi) Phương trình sai phân thuần nhất cấp k
i=1
Cách giải:
+) Giải phương trình đặc trưng: P (λ) = λk −
ai λk−i = 0
k (cid:80) i=1
+) Với mỗi nghiệm bội m của PTĐT, ta có m nghiệm của PTSP có dạng
xn = nr λn, 0 ≤ r ≤ m − 1
+) Nghiệm tổng quát của PTSP là tổ hợp tuyến tính của các nghiệm.
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
6 / 47
xn − ai xn−i = 0, xi = bi , i = 1, k − 1, ∀n ≥ k.
Ví dụ
Ví dụ 1. Xét phương trình sau:
n ≥ 2 (cid:26) xn + 3xn−1 − 4xn−2 = 0,
x0 = 2, x1 = 1
Ta có, phương trình đặc trưng: λ2 + 3λ − 4 = 0, có 2 nghiệm bội 1 là: λ1 = 1, λ2 = −4. Do đó, nghiệm tổng quát của PTSP:
xn = 1nA + (−4)nB, n ≥ 0
Sử dụng các điều kiện đầu, ta tìm được nghiệm của PTSP là:
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
7 / 47
+ (−4)n xn = 9 5 1 5
Ví dụ
Ví dụ 2. Xét phương trình sau:
n ≥ 3
(cid:26) xn − 3xn−2 − 2xn−3 = 0, x0 = 0, x1 = 1, x2 = 4
Ta có, phương trình đặc trưng: λ3 − 3λ − 2 = 0, có 1 nghiệm bội 1 là: λ = 2 và một nghiệm bội 2 là λ = −1. Do đó, nghiệm tổng quát của PTSP:
xn = 2nA + (−1)nB + n(−1)nC
Sử dụng các điều kiện đầu, ta tìm được nghiệm của PTSP là:
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
8 / 47
2n − (−1)n + n(−4)n xn = 2 3 2 3
Ví dụ
Ví dụ 3. Xét phương trình sau:
n ≥ 0 (cid:26) xn+2 + 4xn+2 + 8xn = 0,
x0 = 0, x1 = 2
4
√ 2 (cid:0)cos 3π (cid:1) .
4 + N sin 3π
4
(cid:16) (cid:1) Ta có, phương trình đặc trưng: λ2 + 4λ + 8 = 0, có 2 4 + i sin 3π nghiệm phức là: λ = −2 ± 2 i = 2 Do đó, nghiệm tổng quát của PTSP: √ 2 (cid:17)n (cid:0)M cos 3π 2 xn =
Sử dụng các điều kiện đầu, ta tìm được nghiệm của PTSP là:
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
9 / 47
√ (cid:16) 2 sin (cid:17)n 2 xn = 3nπ 4
Tính dừng của chuỗi thời gian
Định nghĩa Một chuỗi thời gian Xt được gọi là dừng nếu
i) E (Xt) = µt = µ, với mọi t ii) var (Xt) = E (Xt − µt)2 = σ2, và hữu hạn với mọi t iii) cov (Xt, Xs) = E (Xt − µt) (Xs − µs) = γ (|t − s|),
i.e., chỉ phụ thuộc vào độ trể
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
10 / 47
Chú ý rằng, khái niệm dừng bên trên theo nghĩa (weak stationary)
Tính dừng của chuỗi thời gian
(cid:104) Nếu Xt là một chuỗi dừng, khi đó ta ký hiệu 1) γ(h) = cov (Xt, Xt+h) = E [(Xt − µ) (Xt+h − µ)] 2) γ(0) = E
(Xt − µ)2(cid:105) Khi đó, ta có một số tính chất sau
i) γ(0) (cid:62) 0 ii) |γ(h)| (cid:54) γ0 iii) γ(h) = γ(−h)
, ρ0 = 1 iv) ρh =
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
11 / 47
γ(h) γ(0) v) |ρh| (cid:54) 1, ρh = ρ−h
Các ước lượng
Nếu Xt, t = 1, 2, . . . , n là một dãy các dữ liệu quan sát, khi đó ta có
n−h (cid:80) t=1
i) ˆγ (h) = (cid:0)Xt+h − ¯X (cid:1) (cid:0)Xt − ¯X (cid:1), h = 1, n − 1
ii) rh = 1 n ˆγ (h) ˆγ (0)
n (cid:80) t=1
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
12 / 47
Trong đó, ¯X = Xt 1 n
Một số ví dụ về tính dừng
1) Chuỗi Xt ∼ IID(0, σ2) là chuỗi dừng vì
E (Xt) = 0, ∀t
(cid:26) σ2 γ (t, s) = E (XtXs) = t = s 0 t (cid:54)= s
2) Chuỗi Xt ∼ WN(0, σ2) là chuỗi dừng vì
E (Xt) = 0, ∀t
(cid:26) σ2 γ (t, s) = E (XtXs) =
t (cid:80) j=1 thì Xt là chuỗi không dừng vì
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
13 / 47
t = s 0 t (cid:54)= s ut, với ut ∼ wn (cid:0)0, σ2(cid:1), 3) Chuỗi Xt = Xt−1 + ut =
Một số ví dụ về tính dừng
i=1 ui
i=1 E (ui ) = 0, ∀t
(cid:1) = (cid:80)t E (Xt) = E (cid:0)(cid:80)t
3 (ut−1 + ut + ut+1) ∼ MA(3) là chuỗi
γ (t, s) = E (XtXs) = min {t, s} σ2
4) Chuỗi Xt = 1 dừng vì
E (Xt) = 0, ∀t
t = s
γ (t, s) = E (XtXs) =
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
14 / 47
3/9 2/9 |s − t| = 1 1/9 |s − t| = 2 |s − t| ≥ 3 0
Một số ví dụ về tính dừng
∞ (cid:80) j=0
5) Xét bộ lọc tuyến tính, Xt = µt + ψjut−j, là một
quá trình dừng vì
j = γ (0)
ψ2 E (Xt) = µt, ∀t ∞ (cid:80) γ (t, t) = σ2 j=0
γ (t, t + h) = σ2 ψjψj+h = γ (h)
∞ (cid:80) j=0 ∞ (cid:80) j=0
ψjψj+h
∞ (cid:80) j=0
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
15 / 47
ρ (h) = = γ (h) γ (0) ψ2 j
Quá trình tự hồi quy bậc 1, AR(1)
Quá trình AR(1), có dạng
(1) Xt = δ + φXt−1 + ut, ut ∼ WN(0, σ2).
h (cid:88)
h (cid:88)
Phương pháp bộ lọc tuyến tính. Biểu diễn (1) dưới dạng
j=0
j=0
Xt = δ φjut−j φj + φhXt−h +
j=0
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
16 / 47
Với |φ| < 1, cho h → ∞. Khi đó ∞ (cid:88) + Xt = φjut−j δ 1 − φ
Quá trình tự hồi quy bậc 1, AR(1)
Phương pháp toán tử Lag Biểu diễn (1) dưới dạng
+ (1 − φL) Xt = δ + ut ⇔ Xt = δ 1 − φL ut 1 − φL
∞ (cid:88)
Với = 1 + φL + (φL)2 + . . ..Khi đó 1 1 − φL
j=0
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
17 / 47
+ Xt = φjut−j δ 1 − φ
Quá trình tự hồi quy bậc 1, AR(1)
Trung bình của AR(1)
= µ E (Xt) = δ 1 − φ
ACVF của AR(1)
γ (h) = φh σ2 1 − φ2
ACF của AR(1)
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
18 / 47
ρ (h) = φh, h = 0, 1, 2, . . .
Phương pháp Moment
Lấy kỳ vọng hai vế của (1), ta được
E [Xt] = E [δ + φXt−1 + ut] = δ + φE [Xt−1] + E [ut]
Nếu E [Xt] = µ, thì µ = δ 1 − φ
Đặt (cid:101)Xt = Xt − µ, thì (1) trở thành
(2) (cid:101)Xt = φ (cid:101)Xt−1 + ut
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
19 / 47
Khi đó, E [ (cid:101)Xt] = 0
Phương pháp Moment
Nhân hai vế của (2) cho (cid:101)Xt+h, h ≥ 0 và lấy kỳ vọng hai vế, ta được
E [ (cid:101)Xt (cid:101)Xt+h] = φE [ (cid:101)Xt−1 (cid:101)Xt+h] + E [ut (cid:101)Xt+h]
Chú ý rằng
E [ut (cid:101)Xt+h] = (cid:26) σ2 h = 0 0 h > 0
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
20 / 47
Khi đó, ta có
Phương pháp Moment
Với h = 0
t ] = φE [ (cid:101)Xt−1 (cid:101)Xt] + σ2
E [ (cid:101)X 2
hay
γ (0) = φγ (1) + σ2
Với h ≥ 1
E [ (cid:101)Xt (cid:101)Xt+h] = φE [ (cid:101)Xt−1 (cid:101)Xt+h]
hay
γ (h) = φγ (h − 1) ⇔ ρ (h) = φρ (h − 1)
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
21 / 47
Với σ2 γ(0) = 1 − φ2 ⇔ ρ (0) = 1
Quá trình tự hồi quy bậc 2, AR(2)
Quá trình AR(2), có dạng
(3) Xt = φ1Xt−1 + φ2Xt−2 + ut, ut ∼ WN(0, σ2).
Áp dụng phương pháp moment cho AR(2), ta cũng có
+ σ2
+ + + φ2γ (2) φ2γ (1) φ2γ (0) φ1γ (1) φ1γ (0) φ1γ (1) h = 0 : γ (0) = h = 1 : γ (1) = h = 2 : γ (2) = h ≥ 2 : γ (h) = φ1γ (h − 1) + φ2γ (h − 2)
Hay
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
22 / 47
ρ(h) = φ1ρ(h − 1) + φ2ρ(h − 2), h ≥ 2
Quá trình tự hồi quy bậc 2, AR(2)
Ví dụ. Xét quá trình
Xt = 1 + 1.5Xt−1 − 0.56Xt−2 + ut, ut ∼ WN(0, 1)
= 16.67, và Ta có, E [Xt] = 1 1 − 1.15 + 0.56
+ 1
0.56γ (2) 0.56γ (1) 0.56γ (0) 1.5γ (1) 1.5γ (0) 1.5γ (1)
− γ (0) = − γ (1) = γ (2) = − γ (h) = 1.5γ (h − 1) − 0.56γ (h − 2) h ≥ 2
Ta có phương trình sai phân cho ACF là
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
23 / 47
ρ(h) − 1.5ρ(h − 1) + 0.65ρ(h − 2) = 0, h ≥ 2
Quá trình tự hồi quy bậc 2, AR(2)
Ví dụ. Xét quá trình
Xt = 1.4Xt−1 − 0.85Xt−2 + ut, ut ∼ WN(0, 1)
+ 1
0.85γ (2) 0.85γ (1) 0.85γ (0) 1.4γ (1) 1.4γ (0) 1.4γ (1)
Ta có, E [Xt] = 0, và γ (0) = − γ (1) = − − γ (2) = γ (h) = 1.4γ (h − 1) − 0.85γ (h − 2) h ≥ 2
Ta có phương trình sai phân cho ACF là
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
24 / 47
ρ(h) − 1.4ρ(h − 1) + 0.85ρ(h − 2) = 0, h ≥ 2
Quá trình tự hồi quy bậc p, AR(p)
Quá trình AR(p), có dạng
(4) Xt = δ + φ1Xt−1 + φ2Xt−2 + . . . + φpXt−p + ut
Áp dụng phương pháp moment cho AR(p), ta cũng có γ(0) = φ1γ(1) + φ2γ(2) + · · · + φpγ(p) + σ2 γ(1) = φ1γ(0) + φ2γ(1) + · · · + φpγ(p − 1) ... γ(p) = φ1γ(p − 1) + φ2γ(p − 2) + · · · + φpγ(0)
Hay
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
25 / 47
ρ(h) = φ1ρ(h − 1) + φ2ρ(h − 2) + . . . + φpρ(h − p) (5)
Quá trình tự hồi quy bậc p, AR(p)
Tìm các điều kiện đầu cho (5), ta giải hệ sau
φ1 + φ2ρ(1) + · · · + φpρ(p − 1) φ1ρ(1) + φ2 + · · · + φpρ(p − 2)
ρ(1) = ρ(2) = ... ρ(p) = φ1ρ(p − 1) + φ2ρ(p − 2) + · · · + φp
Hay dưới dạng ma trận ρ = Rφ trong đó, ρ(cid:48) = (ρ(1), ρ(2), ..., ρ(p)) , φ(cid:48) = (φ1, φ2, ..., φp)
R = 1 ρ(1) ... ρ(1) 1 ...
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
26 / 47
· · · ρ(p − 1) · · · ρ(p − 2) . . . ρ(p − 1) ρ(p − 2) · · · ... 1
Hàm tự tương quan riêng, PACF
Ta xét mô hình dưới dạng sau
(6) Xt = φk1Xt−1 + φk2Xt−2 + . . . + φkkXt−k + ut
=
1 ρ(1) ...
ρ(1) 1 ...
ρ(1) ρ(2) ... ρ(k)
ρ(k − 1) ρ(k − 2)
· · · ρ(k − 1) · · · ρ(k − 2) . . . · · ·
... 1
φk1 φk2 ... φkk
Với k = 1, 2, . . .
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
27 / 47
Các hệ số φkk thỏa hệ Yule-Walker
Hàm tự tương quan riêng, PACF
Áp dụng phương pháp Cramer, ta có
1 ρ(1) ...
ρ(1) · · · ρ(1) 1 · · · ρ(2) ... ... . . . ρ(k − 1) ρ(k − 2) · · · ρ(k) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) , k = 1, 2, ... φkk =
1 ρ(1) ... ρ(1) 1 ...
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
28 / 47
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) · · · ρ(k − 1) · · · ρ(k − 2) . . . ρ(k − 1) ρ(k − 2) · · · ... 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
Quá trình trung bình trượt MA(1)
Quá trình MA(1) có dạng
(7) Xt = µ + ut − βut−1
hay
(8) Xt − µ = (1 − βL)ut
Trung bình: E (Xt) = µ
ACVF: γ(h) =
(cid:0)1 + β2(cid:1) σ2 h = 0 h = 1 h ≥ 2
ACF: ρ(h) =
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
29 / 47
−βσ2 0 1 h = 0 −β 1+β2 h = 1 h ≥ 2 0
Quá trình trung bình trượt MA(1) Nhận xét 1: Nếu ta xem ρ(1) = f (β) = −β
1+β2 . Khi đó
f (0) = 0, f (β) = −f (−β) và |f (β)| ≤ 0.5 f (β) → max, β = −1 và f (β) → min, β = 1 Để ước lượng cho tham số β trong MA(1), ta xét
β + 1 = 0 (1 + β2)ρ(1) + β = 0 ⇔ β2 + 1 ρ(1)
Phương trình này có hai nghiệm là
(cid:16) (cid:17) 1 ± (cid:112)1 − 4ρ2(1) β1,2 = − 1 2ρ(1)
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
30 / 47
Với β1 · β2 = 1
Quá trình trung bình trượt MA(1)
Nhận xét 2: Để chọn một nghiệm của β, từ (8) ta có
+ ut = − Xt. µ 1 − β 1 1 − βL
Khi |β| < 1, ta nhận được quá trình AR(∞)
Xt + βXt−1 + β2Xt−2 + · · · = + ut µ 1 − β
Ta có kết quả sau
Định lý Quá trình MA(1) là khả nghịch nếu và chỉ nếu phương trình 1 − βL = 0 có nghiệm lớn hơn 1 (theo giá trị tuyệt đối)
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
31 / 47
Quá trình trung bình trượt MA(1)
1+β2 = 0.4
Ví dụ: Xét quá trình : Xt = ut − βut−1, ut ∼ WN(0, 22) Với β = −0.5, ta có
Trung bình: E (Xt) = 0 ACVF: γ(0) = (1 + 0.52) · 4 = 5 ACF: ρ(0) = 1 và ρ(1) = −β ρ(h) = 0, h ≥ 2
1+β2 = 0.4
Với β = −2, ta có
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
32 / 47
Trung bình: E (Xt) = 0 ACVF: γ(0) = (1 + 22) · 1 = 5 ACF: ρ(0) = 1 và ρ(1) = −β ρ(h) = 0, h ≥ 2
Quá trình trung bình trượt MA(1)
Tương tự ta cũng có PACF cho MA(1):
= − φ22 = ρ(1)2 1 − ρ(1)2 < 0
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ρ(1) ρ(1)
ρ(1) 0 ρ(1) 1
= φ33 = ρ(1)3 1 − 2ρ(1)2 ...
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
33 / 47
φ11 = ρ(1) 1 ρ(1) 1 ρ(1) 1 ρ(1) 0 1 ρ(1) 0 1 ρ(1) ρ(1) 1 ρ(1) 0 0 0 ρ(1) 1
Quá trình trung bình trượt MA(q)
Quá trình MA(q) có dạng
(9) Xt = µ + ut − β1ut−1 − β2ut−2 − · · · − βqut−q
2 + · · · + β2
qLq)σ2
hay Xt − µ = (1 − β1L − β2L2 − · · · − βqLq)ut = β(L)ut (10)
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
34 / 47
E (Xt) = µ γ(h) = cov (Xt, Xt+h) = E [(Xt − µ) (Xt+1 − µ)] h = 0, γ(0) = (1 + β2 1 + β2 h = 1, γ(1) = (−β1 + β1β2 + · · · + βq−1βq)σ2 h = 2, γ(2) = (−β2 + β1β3 + · · · + βq−2βq)σ2 · · · h = q, γ(q) = −βqσ2; h > q, γ(h) = 0.
Quá trình trung bình trượt MA(p)
Định lý Quá trình MA(q) là khả nghịch nếu và chỉ nếu phương trình sau có nghiệm lớn hơn 1
1 − β1L − β2L2 − · · · − βqLq = 0
∞ (cid:88)
Khi đó ta có thể viết lại
j=0
+ ut = − cjXt−j + β−1(L)Xt = − µ β(1) µ β(1)
Với các hệ số cj thỏa
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
35 / 47
(1 − β1L − · · · − βqLq) (cid:0)1 + c1L + c2L2 + · · ·(cid:1) = 1
Quá trình trung bình trượt MA(q)
Ví dụ. Xét quá trình MA(2):
Xt = ut + 0.6ut−1 − 0.1ut−2, ut ∼ WN(0, 1).
1 + β2
Khi đó, ta có
E (Xt) = 0 γ(0) = (1 + β2 2)σ2 = 1.37 γ(1) = (−β1 + β1β2)σ2 = 0.54 γ(2) = −β2σ2 = −0.1 γ(h) = 0., với h > 2 ρ(0) = 1; ρ(1) = 0.39; ρ(2) = −0.07
Để kiểm tra tính khả nghịch của quá trình trên, ta xét phương trình
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
36 / 47
1 + 0.6L − 0.1L2 = 0
Quá trình trung bình trượt MA(q)
Phương trình trên có 2 nghiệm là L1 = −1.36, L2 = 7.36, do đó quá trình trên là khả nghịch. Khi đó, ta viết
Xt = (1 + 0.6L − 0.1L2)ut
hay
ut =
1 1 + 0.6L − 0.1L2 Xt = (cid:0)1 + c1L + c2L2 + · · ·(cid:1) Xt
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
37 / 47
Với các cj thỏa (cid:0)1 + 0.6L − 0.1L2(cid:1) (cid:0)1 + c1L + c2L2 + c3L3 + · · ·(cid:1) = 1
Quá trình ARMA(1,1)
Quá trình ARMA(1, 1) có dạng
(11) Xt = δ + αXt−1 + ut − βut−1
hay
(12) (1 − αL)Xt = δ + (1 − βL)ut
hay
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
38 / 47
+ (13) Xt = ut δ 1 − α 1 − βL 1 − αL
Quá trình ARMA(1,1)
Ta có
(14) = ψ0 + ψ1L + ψ2L2 + ψ3L3 + · · · 1 − βL 1 − αL
Suy ra
1 − βL = (1 − αL)(ψ0 + ψ1L + ψ2L2 + ψ3L3 + · · · ) (15)
hay
1 − βL = ψ0
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
39 / 47
+ψ1L + ψ2L2 + ψ3L3 + · · · −αψ0L − αψ1L2 − αψ3L3 − · · ·
Quá trình ARMA(1,1)
Đồng nhất hai vế ta có
: ψ0 = 1 : ψ1 − αψ0 = −β, suy ra ψ1 = α − β : ψ2 − αψ1 = 0, suy ra ψ2 = α(α − β) : ψ3 − αψ2 = 0, suy ra ψ2 = α2(α − β)
L0 L1 L2 L3 · · · Lj
: ψj − αψj−1 = 0, suy ra ψ2 = αj−1(α − β) Các ψj, j ≥ 2, ta xác định bằng cách giải phương trình sai phân sau
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
40 / 47
(16) ψj − αψj−1 = 0, ψ1 = α − β.
Quá trình ARMA(1,1)
Khi đó (13) được viết lại như sau
Xt = + ut + (α − β)ut−1 + α(α − β)ut−2 δ 1 − α (17)
+ α2(α − β)ut−3 + · · ·
+ ut = − Xt Mặt khác từ (12), ta có 1 − αL 1 − βL
= − + (1 − αL)(1 + βL + β2L2 + · · · )Xt
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
41 / 47
= − δ 1 − α δ 1 − α δ 1 − α + Xt + (β − α)Xt−1 + β(β − α)Xt−2 + · · · (18)
Các đặc trưng của ARMA(1,1)
Trung bình: µ = δ/(1 − α) Hiệp phương sai ACVF: Giả sử δ = 0, từ
(19) E [Xt, Xt+h] = E [(αXt−1 + ut − βut−1) Xt+h]
Với h = 0, ta có
(20) γ(0) = αγ(1) + E [utXt] − βE [ut−1Xt] .
Với E [utXt] = σ2, E [ut−1Xt] = (α − β) σ2. Ta có
γ(0) = αγ(1) + (1 − β (α − β)) σ2, (21)
và với h = 1, ta có
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
42 / 47
γ(1) = αγ(0) − βσ2. (22)
Các đặc trưng của ARMA(1,1)
Từ (21) và (22), ta tìm được
γ(0) = σ2; γ(1) = σ2 1 + β2 − 2αβ 1 − α2 (α − β) (1 − αβ) 1 − α2
Với h ≥ 2, ta có
γ(h) = αγ(h − 1) (23)
hay
ρ(h) = αρ(h − 1) (24)
Với
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
43 / 47
ρ(1) = (α − β) (1 − αβ) 1 + β2 − 2αβ
Các đặc trưng của ARMA(1,1)
φ11 = ρ(1) = (α − β) (1 − αβ) 1 + β2 − 2αβ
1 1
= = φ22 = ρ(1) (α − ρ(1)) 1 − ρ(1)2
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
44 / 47
ρ(1) ρ(1) ρ(2) ρ(1) 1 1 ρ(1) ρ(1) ρ(1) αρ(1) ρ(1) 1 1 ρ(1) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
Các đặc trưng của ARMA(1,1)
ρ(1) ρ(1) 1 ρ(1) ρ(2) 1 ρ(2) ρ(1) ρ(3) = , φ33 =
1 1
1 ρ(1) ρ(2) ρ(1) ρ(1) ρ(2) ρ(1) 1 ρ(1) ρ(1) 1 ρ(1) αρ(1) 1 αρ(1) ρ(1) α2ρ(1) ρ(1) αρ(1) ρ(1) 1 1 ρ(1) αρ(1) ρ(1) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
45 / 47
...
Quá trình ARMA(p,q)
Quá trình ARMA(p, q) có dạng
(25) α(L)Xt = δ + β(L)ut,
trong đó
α (L) = 1 − α1L − α2L2 − · · · − αpLp
và
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
46 / 47
β (L) = 1 − β1L − β2L2 − · · · − βqLp.
Quá trình ARMA(p,q)
Với h > p và h > q, ta có
(26) γ (h) = α1γ (h − 1) · · · + αpγ (h − p)
hay
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
MÔ HÌNH ARIMA
UFM - 2013
47 / 47
(27) ρ (h) = α1ρ (h − 1) + · · · + αpρ (h − p)
