Bài giảng Giải tích B1: Chương 1.1 - Cao Nghi Thục

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích B1: Chương 1 Phép tính vi phân hàm một biến, được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Giới hạn của hàm số; Sự liên tục của hàm số; Vô cùng bé, vô cùng lớn; Đạo hàm và vi phân; Đạo hàm và vi phân cấp cao; Quy tắc L’Hospital VII.Công thức Taylor. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích B1: Chương 1.1 - Cao Nghi Thục

GIẢI TÍCH B1 GV: CAO NGHI THỤC EMAIL: cnthuc@hcmus.edu.vn
Chương 1 Phép tính vi phân hàm một biến I. Giới hạn của hàm số II. Sự liên tục của hàm số III. Vô cùng bé, vô cùng lớn IV. Đạo hàm và vi phân V. Đạo hàm và vi phân cấp cao VI. Quy tắc L’Hospital VII.Công thức Taylor
Giới hạn của hàm số  Giới hạn của hàm số  Định nghĩa 1 Cho hàm số y=f(x) xác định trên miền D. Ta nói L là giới hạn của hàm f khi x tiến tới x 0 nếu với bất xn → x0 kỳ dãy xn trong D\{x 0} mà thì lim f ( xn ) = L n→∞ Page § 3
Giới hạn của hàm số Page § 4
Giới hạn của hàm số  Các tính chất của giới hạn ◦ Định lý 1 lim f ( x) = A, lim g ( x) = B Cho . Khi đó x → x0 x → x0 lim c. f ( x) = c. A i. với c là hằng số x → x0 ii. lim[ f ( x) + g ( x)] = A + B x → x0 lim[ f ( x).g ( x)] = A.B iii. x → x0 f ( x) A lim = ,B ≠ 0 iv. x → x0 g ( x) B Page § 5
Giới hạn của hàm số §Nhận xét §Cho 2 n Pn ( x) = a0 + a1 x + a2 x + ... + an x Khi đó lim Pn ( x) = Pn ( x0 ) x → x0 §Thí dụ 1 lim(2 x3 + x2 − x + 1) = lim(2.13 + 12 −1 + 1) = 3 x →1 x →1 Pn ( x ) §Cho R( x) = Khi đó Qm ( x ) Pn ( x0 ) lim R ( x) = Page § 6 x → x0 Qm ( x0 )
Giới hạn của hàm số A = +∞, B = −∞ §Khi thì lim[ f ( x) + g ( x)] → ∞ −∞ dạng vô định thứ nhất x → x0 §VD1 Tính lim x →+∞ ( 2 x − 4x − x ) §VD2 Tính lim x →+∞ ( x+ x − x ) Page § 7
Giới hạn của hàm số A = ∞, B = 0 §Khi hoặc A = 0, B = ∞ lim[ f ( x).g ( x)] → 0.∞ thì dạng vô định thứ hai x→ x 0 Page § 8
Giới hạn của hàm số A = 0, B = 0 A = ∞, B = ∞ §Khi hoặc f ( x) 0 ⎛ ∞ ⎞ lim → ⎜ ⎟ thì dạng vô định thứ ba(tư) x → x0 g ( x ) 0 ⎝ ∞ ⎠ §VD3 Tính 1 + x −1 lim x →0 x §VD4 Tính x+ x lim x →+∞ x +1 2 §VD5 Tính lim 4 x − 7x + 2 x →+∞ x2 − 8 Page § 9
Giới hạn của hàm số §Định lý 2 Cho 3 hàm số f(x), g(x), h(x) thỏa f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x), ∀x ∈ (a, b) Nếu thì lim f ( x) = lim h( x) = A lim g ( x) = A x→ x0 x→ x0 x → x0 §Áp dụng ĐL2, ta CM được sin x lim =1 x →0 x Page § 10
Giới hạn của hàm số tan x §VD6 Tính lim x →0 x §VD7 Tính 1 − cos x lim 2 x →0 x §VD8 Tính sin 4 x lim x → 0 sin 3 x Page § 11
Giới hạn của hàm số §Định lý 3: Cho f(x) là hàm số xác định trên R. Khi đó nếu f(x) tăng(giảm) và bị chặn trên (dưới) thì tồn tại lim f ( x) x →+∞ ( x →−∞ ) Áp dụng ĐL này, ta CM được x ⎛ 1 ⎞ lim ⎜ 1 + ⎟ = e x →∞ ⎝ x ⎠ Page § 12
Giới hạn của hàm số §VD9 Tính 1 lim (1 + sin x ) 3x x →0 Page § 13
Giới hạn của hàm số §Giới hạn một phía §Định nghĩa x → x0 §Giới hạn bên trái của f(x) tại x0 là giới hạn khi mà x < x0 f ( x ) = lim− f ( x) − 0 x → x0 x → x0 §Giới hạn bên phải của f(x) tại x0 là giới hạn khi mà x > x 0 f ( x ) = lim+ f ( x) + 0 x → x0 Page § 14
Giới hạn của hàm số § lim f ( x) = A ⇔ lim_ f ( x) = lim+ f ( x) = A x → x0 x → x0 x → x0 x §VD10 Cho Tìm f ( x) = f (0 ), f (0 ) + − x f (0+ ) = lim+ f ( x) x →0 f (0 ) = lim− f ( x) − x →0 Page § 15
Vô cùng bé, vô cùng lớn §Vô cùng bé, vô cùng lớn §Định nghĩa vô cùng bé(VCB) Hàm f(x) được gọi là VCB khi x→x0 nếu lim f ( x) = 0 x → x0 VD11 sinx là VCB (x→0) Vì lim sin x = 0 x →0 Page § 16
Vô cùng bé, vô cùng lớn §Các tính chất §Nếu f(x), g(x) là các VCB (x→x0 ) thì f(x)±g(x), f(x).g(x) là các VCB (x→x0 ) §Nếu f(x) là VCB (x→x0 ) và g(x) bị chặn trong lân cận x0 thì f(x).g(x) là VCB (x→x0 ) Page § 17
Vô cùng bé, vô cùng lớn So sánh các vô cùng bé Cho f(x), g(x) là các VCB (x→x0 ) và f ( x) lim =k x → x0 g ( x ) Khi đó, nếu § k=0: f(x) là VCB bậc cao hơn g(x),KH f(x)=o(g(x)) § k≠0, k ≠∞: f(x), g(x) là các VCB cùng bậc Page § 18
Vô cùng bé, vô cùng lớn §VD12 1-cosx là VCB bậc cao hơn sinx (x →0) 2 x 2 sin 1 − cos x 2 lim = lim x →0 sin x x →0 x x 2 sin cos 2 2 x sin = lim 2 =0 x →0 x cos 2 Page § 19
Vô cùng bé, vô cùng lớn §Định nghĩa vô cùng lớn(VCL) Hàm f(x) được gọi là VCL khi x→x0 nếu lim f ( x) = ∞ x → x0 VD13: ex là VCL khi x → +∞ Page § 20