Bài giảng Giải tích - Chương 1: Phép tính vi phân hàm một biến và nhiều biến. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: hàm số khả vi và một số định lý về giá trị trung bình; khai triển Taylor; sơ lược về chuỗi số, chuỗi Taylor, chuỗi Maclaurin; hàm nhiều biến;... Mời các bạn cùng tham khảo!
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Giải tích - Chương 1: Phép tính vi phân hàm một biến và nhiều biến
- Giải tích
Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến và
nhiều biến
Vũ Hữu Nhự
PHENIKAA University
- Tên học phần và tài liệu tham khảo
• Tên học phần: Giải tích
• Số tín chỉ: 03
• Tài liệu tham khảo:
1 Erwin Kreyszig (10th Edition, 2011), Advanced
Engineering Mathematics.
2 Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ
Quỳnh (2014),Toán học cao cấp Tập III, Nhà xuất bản
Giáo dục Việt Nam.
3 Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ
Quỳnh (2014),Toán học cao cấp Tập II- Phép tính giải
tích một biến số, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.
Giải tích Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến và nhiều
Vũ Hữu Nhự
- 1.1 Hàm số khả vi và một số định lý về giá trị trung bình
1.1.1 Đạo hàm và hàm số khả vi
Definition
Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b).
- Đạo hàm của hàm số tại x = x0 :
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 )
f 0 (x0 ) := lim = lim . (1)
∆x→0 ∆x x→x0 x − x0
Giải tích Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến và nhiều
Vũ Hữu Nhự
- 1.1 Hàm số khả vi và một số định lý về giá trị trung bình
1.1.1 Đạo hàm và hàm số khả vi
Definition
Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b).
- Đạo hàm của hàm số tại x = x0 :
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 )
f 0 (x0 ) := lim = lim . (1)
∆x→0 ∆x x→x0 x − x0
- Nếu hàm số có đạo hàm tại x = x0 , ta nói hàm số khả vi tại
x = x0 .
Giải tích Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến và nhiều
Vũ Hữu Nhự
- 1.1 Hàm số khả vi và một số định lý về giá trị trung bình
1.1.1 Đạo hàm và hàm số khả vi
Definition
Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b).
- Đạo hàm của hàm số tại x = x0 :
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 )
f 0 (x0 ) := lim = lim . (1)
∆x→0 ∆x x→x0 x − x0
- Nếu hàm số có đạo hàm tại x = x0 , ta nói hàm số khả vi tại
x = x0 .
• Ý nghĩa Vật lý: Xét một chất điểm M chuyển động theo công
thức:
S = f (t).
- Vật tốc v = f 0 (t)
- Gia tốc a = f 00 (t)
Giải tích Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến và nhiều
Vũ Hữu Nhự
- 1.1 Hàm số khả vi và một số định lý về giá trị trung bình
• Ý nghĩa hình học (vẽ hình)
+ Đường cong (C ) có phương trình y = f (x)
=⇒ Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M(x0 , f (x0 ))?
Giải tích Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến và nhiều
Vũ Hữu Nhự
- 1.1 Hàm số khả vi và một số định lý về giá trị trung bình
• Ý nghĩa hình học (vẽ hình)
+ Đường cong (C ) có phương trình y = f (x)
=⇒ Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M(x0 , f (x0 ))?
Tiếp tuyến của (C ) tại M(x0 , y0 ) ∈ (C ) là:
d : y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ).
Giải tích Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến và nhiều
Vũ Hữu Nhự
- 1.1 Hàm số khả vi và một số định lý về giá trị trung bình
Nhắc lại một số công thức đạo hàm của các hàm số cơ bản
(c)0 = 0 (c = hằng số), (x α )0 = αx α−1 (α ∈ R)
0 0
(sin x) = cos x (cos x) = − sin x
1 1
(tan x)0 = (cot x)0 = − 2
cos2 x sin x
1 1
(ln |x|)0 = 0
(loga (|x|) = (0 < a 6= 1)
x x ln a
x 0
(e ) = e x
(ax )0 = ax ln a (a > 0)
1 1
(arcsin x)0 = √ (|x| < 1) (arccos x)0 = − √ (|x| < 1)
1 − x2 1 − x2
1 1
(arctan x)0 = 2
(arccotx)0 = −
1+x 1 + x2
Giải tích Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến và nhiều
Vũ Hữu Nhự
- Các quy tắc tính đạo hàm
(1) Định lí 1. Giả sử f (x) và g (x) xác định trên (a; b) và có đạo
hàm tại x ∈ (a; b). Khi đó: f (x) + g (x) và f (x)g (x) khả vi tại x.
Hơn nữa:
(i) [f (x) + g (x)]0 = f 0 (x) + g 0 (x),
(ii) [f (x)g (x)]0 = f 0 (x)g (x) + f (x)g 0 (x),
(iii) Nếu g (x) 6= 0, thì gf (x)
(x) cũng khả vi tại x và
f (x) 0 f 0 (x)g (x) − f (x)g 0 (x)
= .
g (x) g 2 (x)
Giải tích Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến và nhiều
Vũ Hữu Nhự
- • Hàm số hợp.
Giải tích Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến và nhiều
Vũ Hữu Nhự
- • Hàm số hợp. Cho hàm số u : (a; b) → (c; d) và
f : (c; d) → (m; n). Khi đó ta có hàm số: h : (a; b) → (m; n) cho
bởi:
Giải tích Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến và nhiều
Vũ Hữu Nhự
- • Hàm số hợp. Cho hàm số u : (a; b) → (c; d) và
f : (c; d) → (m; n). Khi đó ta có hàm số: h : (a; b) → (m; n) cho
bởi:
h(x) = f (u(x)).
Giải tích Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến và nhiều
Vũ Hữu Nhự
- • Hàm số hợp. Cho hàm số u : (a; b) → (c; d) và
f : (c; d) → (m; n). Khi đó ta có hàm số: h : (a; b) → (m; n) cho
bởi:
h(x) = f (u(x)).
Hàm số h(x) được gọi là hàm số hợp của hai hàm số u(x) và f (u).
Kí hiệu: h(x) = f (u(x)) hoặc h = f ◦ u.
Giải tích Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến và nhiều
Vũ Hữu Nhự
- • Hàm số hợp. Cho hàm số u : (a; b) → (c; d) và
f : (c; d) → (m; n). Khi đó ta có hàm số: h : (a; b) → (m; n) cho
bởi:
h(x) = f (u(x)).
Hàm số h(x) được gọi là hàm số hợp của hai hàm số u(x) và f (u).
Kí hiệu: h(x) = f (u(x)) hoặc h = f ◦ u.
• Ví dụ. Cho u(x) = x 2 + x − 2 và f (u) = sin 3u.
Giải tích Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến và nhiều
Vũ Hữu Nhự
- • Hàm số hợp. Cho hàm số u : (a; b) → (c; d) và
f : (c; d) → (m; n). Khi đó ta có hàm số: h : (a; b) → (m; n) cho
bởi:
h(x) = f (u(x)).
Hàm số h(x) được gọi là hàm số hợp của hai hàm số u(x) và f (u).
Kí hiệu: h(x) = f (u(x)) hoặc h = f ◦ u.
• Ví dụ. Cho u(x) = x 2 + x − 2 và f (u) = sin 3u. Khi đó:
h(x) = f (u(x)) = sin 3(x 2 + x − 2).
Giải tích Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến và nhiều
Vũ Hữu Nhự
- (2) Định lí 2.
(Đạo hàm hàm số hợp) Giả sử hàm số u = u(x) khả vi tại x0 , hàm
số f (u) khả vi tại u0 = u(x0 ). Khi đó hàm số hợp
y = h(x) = f (u(x)) khả vi tại x0 và
h0 (x0 ) = fu0 (u0 )ux0 (x0 ).
Giải tích Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến và nhiều
Vũ Hữu Nhự
- (2) Định lí 2.
(Đạo hàm hàm số hợp) Giả sử hàm số u = u(x) khả vi tại x0 , hàm
số f (u) khả vi tại u0 = u(x0 ). Khi đó hàm số hợp
y = h(x) = f (u(x)) khả vi tại x0 và
h0 (x0 ) = fu0 (u0 )ux0 (x0 ).
Hay ta hay dùng công thức sau:
yx0 = yu0 ux0 .
Giải tích Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến và nhiều
Vũ Hữu Nhự
- (2) Định lí 2.
(Đạo hàm hàm số hợp) Giả sử hàm số u = u(x) khả vi tại x0 , hàm
số f (u) khả vi tại u0 = u(x0 ). Khi đó hàm số hợp
y = h(x) = f (u(x)) khả vi tại x0 và
h0 (x0 ) = fu0 (u0 )ux0 (x0 ).
Hay ta hay dùng công thức sau:
yx0 = yu0 ux0 .
• Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số: y = e sin x .
Giải tích Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến và nhiều
Vũ Hữu Nhự
- (2) Định lí 2.
(Đạo hàm hàm số hợp) Giả sử hàm số u = u(x) khả vi tại x0 , hàm
số f (u) khả vi tại u0 = u(x0 ). Khi đó hàm số hợp
y = h(x) = f (u(x)) khả vi tại x0 và
h0 (x0 ) = fu0 (u0 )ux0 (x0 ).
Hay ta hay dùng công thức sau:
yx0 = yu0 ux0 .
• Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số: y = e sin x .
Đặt u = sin x =⇒ y = e u . Ta có:
Giải tích Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến và nhiều
Vũ Hữu Nhự
- (2) Định lí 2.
(Đạo hàm hàm số hợp) Giả sử hàm số u = u(x) khả vi tại x0 , hàm
số f (u) khả vi tại u0 = u(x0 ). Khi đó hàm số hợp
y = h(x) = f (u(x)) khả vi tại x0 và
h0 (x0 ) = fu0 (u0 )ux0 (x0 ).
Hay ta hay dùng công thức sau:
yx0 = yu0 ux0 .
• Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số: y = e sin x .
Đặt u = sin x =⇒ y = e u . Ta có:
ux0 = cos x, yu0 = e u
Giải tích Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến và nhiều
Vũ Hữu Nhự
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
