Môn học : GIẢI TÍCH 1
CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN DÃY SỐ (Học trong giờ Bài tập)
CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Giới thiệu các lọai hàm : Hàm hợp, hàm ngược, các hàm lượng giác ngược, các hàm hyperbol
Giới hạn hàm số - Hàm liên tục
Vô cùng lớn – Vô cùng bé
CHƯƠNG 3: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
Đạo hàm hàm y=f(x), hàm ngược, hàm cho bởi phương trình tham số
Đạo hàm cấp cao
Vi phân, vi phân cấp cao
Công thức Taylor – Maclaurint. Ứng dụng tính giới hạn hàm Quy tắc L’Hospital
Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm y=f(x) Giới thiệu phần mềm MatLab để giải bài toán giải tích
CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN
Tích phân bất định
Tích phân xác định – Công thức Newton-Leibnitz
Tích phân suy rộng: Tích phân với cận vô tận và Tích phân hàm không bị chặn
Ứng dụng của tích phân
CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân cấp 1: 5 dạng Phương trình vi phân cấp 2: Pt giảm cấp được và Pt tuyến tính Hệ Phương trình vi phân tuyến tính
CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học
Hàm số mũ: y = ax
Nếu a=1 thì hàm làm hàm hằng, nên ta chỉ tính khi a≠1
Hàm xác định với a>0, a≠1
MXĐ: (-∞,+∞), MGT: (0,+∞)
Khi 0 x x • Hàm nghịch biến x = = +(cid:0) a a lim
(cid:0) +(cid:0) (cid:0) - (cid:0) 0, lim
x Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học Khi a>1: x x Hàm đồng biến x = +(cid:0) = a a 0 lim
(cid:0) +(cid:0) (cid:0) - (cid:0) , lim
x So sánh 3 hàm y=2x,
y=ex, y=3x Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học Hàm logarit: y=logax , a>0, a ≠1
MXĐ : (0,+∞), MGT: (- ∞,+∞) a>1: Hàm đồng biến a = - (cid:0) x (cid:0) lim log
+
x
0 a x = +(cid:0) x lim log
(cid:0) +(cid:0) Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học 0 Hàm nghịch biến a = +(cid:0) x (cid:0) lim log
+
x
0 a x = - (cid:0) x lim log
(cid:0) +(cid:0) Tính chất: y a a a
x = + x y log log = = (cid:0) x y
log ( . )
a y x a x log a a a = - x y log log log a x = "
x
, ) x x
y a r a log (
a
log a = " >
x
x
, = " (cid:0) x r x r R 0 ) log , log (
a Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học So sánh một số hàm
logarit với a>1 cụ thể a = b log b
a Đặc biệt: khi a=e, ta kí hiệu đơn giản logex=lnx
ln
và ta có công thức
ln Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã họcc Hàm lũy thừa : y=xa MXĐ, MGT : Tùy thuộc vào a a=3, 5: MXĐ: (- ∞,+∞),
MGT: (- ∞,+∞) a=2, 4, 6: MXĐ: (- ∞,+∞),
MGT: (0,+∞) Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã họcc x= y a=1/2: MXĐ (0,+∞),
MGT (0,+∞) a = -1: MXĐ: R*=R\{0},
MGT: R*. Ta còn gọi đây
là đường Hyperbol Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Y f Y Z : , (cid:0) (cid:0) Hàm hợp : Cho 2 hàm g X
:
Ta gọi hàm hợp của 2 hàm trên là h
=
Z h x
, ( ) h X
: = o
f g
f g x
( ( )) (cid:0) Được xác định như sau : Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược 2 = + = + x x f x
( ) 2 1, g x
( ) 1 o o 2 2 = = + = f x x o
f g x
( ) f g x
( ( )) ( 1) 2 + +
1 1 = + � o f g (2) 2 5 1 2 2 = + + + g x x x x o
g f x
( ) (2 + =
1) (2 1) + =
1 4 4 2 = � o g f (2) 26 o f g g f
, và tính giá trị của chúng tại x = 2 Ví dụ : Cho 2 hàm
f g g f
Tìm
, o không bằng nhau Lưu ý : Nói chung 2 hàm 3 = Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược f x
( ) x g x
( ) , - o f =
x
1
o
o
f g g f
,
, o
f g g
, 3 6 = = Ví dụ : Cho 2 hàm
Tìm các hàm và MXĐ của chúng f g x f x x o
f g x
( ) ( ( )) ( =
1) 1 3 = = - - MXĐ là [1,+∞) g x x o
g f x
( ) ( ) 1 4 = = = = o f f f x f x x x - MXĐ là [0, +∞) f x
( ) ( ( )) ( ) 3 3 3 MXĐ là [0, +∞) = = g g x g x x o
g g x
( ) ( ( )) ( =
1) 1 1 MXĐ là R - - - = Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược f X y Y f x
( )
, (cid:0) Hàm 1-1 : Hàm : : ) ) x
1 x
2 f x
(
1 f x
(
2 - > " (cid:0) (cid:0) được gọi làm hàm 1-1 nếu X Y - > - - - - - - X Y - - - - - - Hàm 1-1 Không là hàm 1-1 Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Hàm y=x2 không là hàm 1-1 Hàm y=x3 là hàm 1-1 Hàm 1-1 có đồ thị chỉ cắt mọi đường thẳng y = C,
với C thuộc MGT của hàm tại duy nhất 1 điểm. = Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược y f X
: Y f x
,
( ) (cid:0) Hàm ngược : Cho hàm 1-1 hàm ngược của hàm, đựơc kí hiệu là y = f -1(x), = f Y X 1 : f =�
y x 1( )
y f x
( ) - - (cid:0) sao cho Như vậy : f(f -1(y))=y và f -1(f(x))=x Ta có: MXĐ của hàm f -1 là MGT của hàm f và MGT
của hàm f -1 là MXĐ của hàm f Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Ví dụ: Tìm hàm ngược của hàm y = x3 - 1 3 3 = Ta sẽ tìm hàm y = f-1(x) bằng cách tính x theo y � x y =
x +
y 1 1 - 1 3 = + -=
f y x x
( ) 1 Thay x bởi y, y bởi x, ta được hàm ngược 3 3 1 3 3 = = + = + o f f x f f x f x x x ( ) ( ( )) ( 1) 1 - =
1 - MXĐ và MGT của cả 2 hàm f và f -1 đều là R Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược , x≥0 Ví dụ: Hàm y=x2 không làm hàm 1-1 trên (-∞,+∞) 2, (cid:0) Tuy vậy, nếu ta giới hạn bớt
MXĐ của hàm là (0 ,+∞) thì
ta được hàm 1-1 = y x (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 0 = Khi đó, ta vẫn có hàm ngược y x x
, 0 (cid:0) Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược
Với mọi a thuộc MXĐ của hàm y = f(x), đặt b = f(a)
thì a = f-1(b) tức là điểm (a,b) thuộc đồ thị hàm f(x)
thì điểm (b,a) thuộc đồ thị hàm f-1(x). Đồ thị của hàm y = f(x) và hàm y=f-1(x) đối xứng
nhau qua đường thẳng y = x Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol Hàm ngược của hàm y = sinx : hàm y=arcsinx p p�
,
�
2 2
� �
�
� - Trên đọan Hàm y = sinx là hàm 1-1 Hàm y=arcsinx có MXĐ là [-1.1] Tồn tại hàm ngược là hàm y=arcsinx - p p�
,
�
2 2
� �
�
� MGT là = = � y y x x y arcsin sin , 2 Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol
p�
p
��
,
2
� �
�
� - - = x
arcsin(sin ) x x
, �
�
� p p = x
sin(arcsin ) x x
, p p�
-��
,
2 2
�
[
]
-�
1,1 - = -
arcsin( 1) ,arcsin( ) 2 4 1
= -
2 p = =
arcsin(0) 0,arcsin( ) 3 3
2 - Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol Hàm ngược của hàm y = cosx : hàm y=arccosx y p y
p
= = Trên đoạn [0,π], hàm
y=cosx là hàm 1-1, tồn tại
hàm ngược y=arccosx, MXĐ là
[-1,1], MGT là [0,π]
=
x
arccos =
) ) arccos(0) ,arccos( ,arccos( =�
x
p
1
2 cos
2
3 4 2 1
2 - Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol = y x =�
x y tan arctan Hàm ngược của hàm y = tanx : hàm y=arctanx - Trên đọan �
�
� - p p�
,
�
2 2
�
Hàm y=tanx là hàm 1-1
p
p p p Hàm y=arctanx, MXĐ là R,
p p�
MGT là
,
�
2 2
� = -
) ) =
,arctan( 3) ,arctan( arctan( =
,arctan(1) 2 4 6 2
3 �
�
�
1
= -
3 - (cid:0) - Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol Hàm ngược của hàm y = cotx : hàm y=arccotx Trên đọan [0,π]
hàm là hàm 1-1 arc y cot cot p = = Hàm y=arccotx
có MXĐ là R,
MGT là [0,π]
=�
=
x
x
y arc arc arc cot(0) 0, cot( , cot( =
3) ) 3 p
5
6 1
3 - Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol Định nghĩa (hàm Hyperbolic) x x e = - - x
sinh( ) x x e = sin hyperbolic =shx x
cosh( ) e
2
-+
e
2 = x
tanh( ) cos hyperbolic =chx x
sinh( )
x
cosh( ) = tan hyperbolic =thx x
coth( ) x
cosh( )
x
sinh( ) cotan hyperbolic =cthx Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol Hàm y = sinhx (shx) Hàm y = coshx (chx) Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol Hàm y=cothx (ctx) Hàm y = tanhx (thx) Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol Có các công thức sau (tương tự công thức lượng giác) 1/ ch2x – sh2x = 1 2/ sh(2x)=2shx.chx, ch(2x) = ch2x + sh2x 3/ ch(x+y) = chx.chy + shx.shy 4/ ch(x-y) = chx.chy - shx.shy 5/ sh(x+y) = shx.chy + shx.chy 6/ sh(x-y) = shx.chy - shx.chy Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số e ) x
0 - Điểm tụ: Cho D là tập số thực. Điểm x0 được gọi là
+
xe
,
(
điểm tụ của tập D nếu trong mọi lân cận
0
của x0 đều chứa vô số các phần tử của D = D n N �
� Ví dụ. D = (0,1) mọi điểm thuộc [0,1] đều là điểm tụ 1
�
(cid:0)�
,
n
� Có duy nhất 1 điểm tụ là 0 Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số = $ >
d " >
e (cid:0) a Giới hạn hàm số (ngôn ngữ ε – δ) :
Cho hàm f(x) và x0 là 1 điểm tụ của MXĐ Df của hàm
0 0 (cid:0) f d e " - f x
lim ( )
x
x
0
� a x D x �
| - <
f x
( ) | . , <
x
0 a+ε y=a+ε a a-ε y=a-ε Chú ý:
Hàm f(x) có thể
không xác
định tại x0 x0 x0-δ x0+δ Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số 1 - Ví dụ: Tính giới hạn lim
x x
21
x 1 (cid:0) - Hàm không xác
định tại x0=1,
giới hạn đã cho
có dạng 0
0 Ta vẽ đường
cong để minh
họa cho kết
quả dễ thấy - 1 = (cid:0) - lim
x 1
2 x
21
x 1 Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số n = "� � a D ) , f x
n x
o x x
0,
n (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n a ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Giới hạn hàm số (ngôn ngữ dãy):
Cho x0 là điểm tụ của MXĐ Df của hàm f(x)
f x
x
lim ( )
(
n
x
x
0
���
f x
(
n (cid:0) Chú ý: Ta thường dùng định nghĩa bằng ngôn ngữ
dãy để chứng minh giới hạn hàm không tồn tại
bằng cách chỉ ra 2 dãy
( ) '
x
),(
n
f x
(
n x
n
sao cho 2 dãy tương ứng )
), có 2 x
0
'
f x
(
n giới hạn khác nhau Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số x Ví dụ: Chứng minh rằng giới hạn sau không tồn tại lim sin
x (cid:0) (cid:0) = = { } { } � p
n p
n n ) sin = "
0 x
n f x
(
n + + n n p
1) (2 p
1) Chọn 2 dãy = = � (cid:0) (cid:0) n ) sin = "
1, �
� x
n f x
(
n 2 2 (2
�
�
� = ) 0,lim ( =
) 1 f x
n f x
n (cid:0) lim (
n n (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số " >
e a 0A$ > 0 f x
lim ( )
(cid:0) +(cid:0) x > e Giới hạn ở vô cực :
= (cid:0) y=a � - <
a �
| f x
( ) | . x D x A
,
f " = " >
e y=a a (cid:0) x f x
lim ( )
< (cid:0) - (cid:0) � 0B$ <
0
- <
e
a
| . �
| f x
( ) x D x B
,
f " Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số $ >
d >
0M 0 Giới hạn ra vô cực :
= +(cid:0) (cid:0) " f x
lim ( )
x
x
0 d (cid:0) � � f x M ,| | >
( ) . x D x
f <
x
0 " - = - x0-δ x0+δ $ >
d <
0M 0 (cid:0) (cid:0) " d (cid:0) f x
lim ( )
x
x
0
� � f x M ,| | <
( ) . x D x
f <
x
0 " - y=M Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số = = b a Tính chất của giới hạn hàm =
a + = + Cho : (cid:0) (cid:0) g x
, lim ( )
x
x
0 R f a
a g a b f ) , ) (cid:0) f x
lim ( )
x
x
0
a
1) lim (
x 2) lim (
x x
0 x
0 = (cid:0) (cid:0) =� �
a b f g ) b , 0 3) lim (
x x
0 4) lim
x
x
0 a
b (cid:0) (cid:0) (cid:0) ) ( Σ f
g
a b ( ), f x
( ) g x
( ) 5) x V x
e
0 " (cid:0) = � a 6) g x
lim ( )
x x
0 f h x
( )
=
a
h (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (Định lý kẹp) (cid:0) (cid:0) f x
( )
lim
x
x
0 g x
( )
=
lim
x
x
0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số x e lim 1
(cid:0) +(cid:0)
x 1
� �+
=
� �
x
� � x e lim 1 Số e : x 1
� �+
=
� �
x
� � x + = ) 1 x e (cid:0) - (cid:0) (
lim 1
x
0 (cid:0) Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số = >
a 0 (cid:0) Giả sử : (cid:0) (cid:0) = b (cid:0) ( ) u x v x v x
( ) v x ( ) ln u x
( ) lim ( ) ln( ( ))
x = ) x
0 e e (cid:0)= (cid:0) (cid:0) (cid:0) Giới hạn dạng u(x)v(x) :
u x
lim ( )
x
x
0
v x
lim ( )
x
x
0 x
0 lim
x
x
0 b a b ln = = e a . v x
( ) v x
lim ( )
x
0 (cid:0) (cid:0) Ta có :
(
u x
lim ( )
x = Vậy: u x
lim ( )
x
x
0 u x (cid:0)
lim ( ) x
x
x
0 (cid:0) (cid:0) Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số x x = = 1 1) 7) lim 1 Giới hạn cơ bản thường gặp khi x→0 lim
x 0 x 0 sin
x
x (cid:0) (cid:0) e 1 = 1 2) - = lim
x
0 8) 1 (cid:0) lim
x
0 (cid:0) x = x 3) 2 - lim
x
0 arcsin
x
x
tan
x
+ a = ) 1/ x a
e 1
2 (cid:0) (
9) lim 1
x 0 + x ) = 4) 1 (cid:0) lim
x
0 = a 1 (cid:0) + x 10) lim
0 (1 1 = a 5) lim (cid:0) - x 0 1 = (cid:0) - x x 11) lim
0 = 1
2 shx
x
chx
2
x 1 (cid:0) x lim
0 6) x
1 cos
x
ln(1
x
x
)
x
arctan
x (cid:0) Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số a > a x , 0 1) lim (cid:0) +(cid:0) x a = +(cid:0) > ) a x 2) , 0 (
lim ln
(cid:0) +(cid:0)
x x = +(cid:0) > a a 3) lim , 1 (cid:0) +(cid:0) x x = a
e 4) lim 1
(cid:0) +(cid:0)
x a
� �+
� �
x
� � x không tồn tại 5) lim sin (cid:0) +(cid:0) x Giới hạn cơ bản thường gặp khi x→∞
= +(cid:0) Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Các dạng vô định: 2) 1) (cid:0) (cid:0) 4) (cid:0) ץ 0
0
3) 0 - (cid:0) 6) 0 0 5) 1
7) (cid:0) 0 (cid:0) Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Ví dụ: Tính các giới hạn sau bằng cách áp dụng các
giới hạn cơ bản = (Dạng ) L
1 (cid:0) lim
x
0 x
ln(cos )
+
2
x
)
ln(1 2 0
0
2
x
+ - - 1)) 1 = = = - - 1.1.( ) L
1 x
2 (cid:0) - lim
x
0 +
ln(1 (cos
x
cos x
1 x cos
x ln(1 ) 1
2 1
2 x 1 t ( )
1 )
1 - - - e sin e sin = L
2 = -
x t 1 (cid:0) lim
x
1 (cid:0) + t ) sin )
1 e (
ln(1
1 = t x
t lim
t
0
t - - + lim
t
0 t t t
ln(1 ) 1 =1 (cid:0) - ln
(
e
e Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Ví dụ: Tính các giới hạn sau bằng cách áp dụng các
giới hạn cơ bản 2 - - x x = = x cot x . . L
3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) lim
x
0 lim
x
0 1
�
-�
x
sin
� �
=
�
� x 1 cos
x
sin x
sin 1 cos
x lim
x
0
= 0 ( ) 1 1 = = x L
4 = 1 p (cid:0) (cid:0) - p
� �
-� �
x
tan
2
� � p
� �
-� �
x
2
� � x tan lim
p
x
2 lim
p
x
2 2 m m = n 1 n
m n t - + - t
( )
1 1 = = = - t x 1 L
5 (cid:0) lim
x
1 (cid:0) (cid:0) - lim
x
1 lim
t
0 x
x 1
1 t + - t
( 1) 1 1
m
1
n Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số x Ví dụ: Tính các giới hạn sau bằng cách áp dụng các
giới hạn cơ bản 2 2 x 2 3 3
2 - - x 2 lim
e (cid:0)
x 2
x
�
�
� x
�+
1
=
�-
2
� (cid:0) - = =1 L
6 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 �
x
= �
lim
2
x
x
� 3
�
2
x
�
�
�
� x 7ln x �
3
�
�
+�
lim 1
�
-�
2
x
x
�
� 3 x x 3 3 - 2 ) x
�
7
� �-�
� �
3
� ��
�
(
+
x
x
3
2 3 = �
x
e
�
� �-
1
�
� = �
1
�
�
�
= L
7 (cid:0) (cid:0) lim
x
0 (cid:0) lim
x
0 x
.3 1. 7ln 3 = = 3
lim
+
x
3
x
0
�-
1
�
�
. ln (cid:0) lim
x
0 7 3 7
x
2
7ln
�
x
e
�
�
x ln 1
3 7
3 3 Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số $ >
d d e 0 x f x
( ) �
| . - <
x
0 0
ký hiệu " x
0 $ >
d e - (cid:0) Giới hạn 1 phía:
Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu
" >
e
<
- <
�
x D
,0f
a
|
=
a
f x
lim ( )
x d 0 0 �
| f x
( ) - <
a
| . x <
x
0 �
x D
= Số a gọi là giới hạn phải của y = f(x) tại điểm x0, nếu
" >
e
< - " ,0f
a ký hiệu f x
lim ( )
x +
x
0 (cid:0) Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Giới hạn 1 phía: Định lý:
Hàm số y = f(x) có giới hạn tại x0 khi và chỉ khi nó có
giới hạn trái, giới hạn phải tại x0 và chúng bằng nhau. Chú ý: 1. Ta có thể dùng định lý trên để chứng minh không
tồn tại giới hạn hàm (Ngoài cách dùng định nghĩa
bằng ngôn ngữ dãy). 2.Giới hạn một phía thường được dùng trong các
trường hợp hàm chứa căn bậc chẵn, chứa trị tuyệt
đối, hoặc hàm ghép. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Ví dụ: Chứng minh không tồn tại giới hạn (cid:0) - lim
x
3 2
x x
3 = - bằng cách tìm giới hạn 1 phía (cid:0) Ta có: x
3 2
lim
x-
x
3
vì khi x→3- thì x-3<0
= +(cid:0) - (cid:0) x
3 2
lim
x+
x
3
vì khi x→3+ thì x-3>0 - (cid:0) lim
x
3 2
x x
3 $ Vậy: (cid:0) - vì giới hạn trái, phải tồn tại nhưng không bằng nhau Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số 1 - 1
lim 2 x
x
1 0 Ví dụ: Tính giới hạn (cid:0) (cid:0) x x (cid:0)>
1 >
1 0 (cid:0) - Giới hạn phải: x→1+ Tức là +(cid:0) 1 = +(cid:0) - (cid:0) Vậy: 1
1x 1
lim 2 x
+
x
1 0 - (cid:0) x x (cid:0)<
1 <
1 0 (cid:0) - Giới hạn trái: x→1- Tức là 1
x 1 = 0 - (cid:0) - (cid:0) Vậy: lim 2
x
1 0 1
1x - (cid:0) - Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Ví dụ : Tính giới hạn khi x→0 của hàm (cid:0) x (cid:0) (cid:0) x , 0 = (cid:0) f x
( ) (cid:0) sin2
x
+ < (cid:0) x x 5 2, 0 x = = 2 0 (cid:0) (cid:0) sin2
x f x
lim ( )
+
x lim
+
x
0 0 + = = x 2) 2 - - (cid:0) (cid:0) f x
lim ( )
x lim (5
x
0 = (cid:0) f x
lim ( )
x
0 Vậy: 2 Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số = (cid:0) Hàm liên tục: Hàm y=f(x)
được gọi là liên tục tại
điểm x=a thuộc MXĐ
của hàm nếu
f a
f x
( )
lim ( )
a
x Hàm gián đoạn tại x=a nếu
nó không liên tục tại đó Đồ thị của hàm y=f(x) gián
đọan tại x=3 Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Các hàm sơ cấp cơ bản là 5 lớp hàm sau 1. Hàm số mũ : y=ax 2. Hàm lũy thừa: y=xa 3. Hàm loga: y=logax 4. Các hàm lượng giác: 4 hàm 5. Các hàm lượng giác ngược: 4 hàm Hàm sơ cấp là các hàm tạo từ các hàm sơ cấp cơ
bản với 4 phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia)
và phép hợp hàm Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Định lý (về sự liên tuc của các hàm sơ cấp): 2 Các hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm xác định của nó - - x 2 = Ví dụ: Khảo sát sự liên tục của hàm y - x x
2 Dễ thấy, y là hàm sơ cấp
và không xác định tại x=2
nên nó không liên tục tại
x=2. Điểm x=2 gọi là điểm gián
đoạn của hàm 2 Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số
x
2 y=g(x) - - x 2 = Ta có: y 3 (cid:0) (cid:0) - 2 x lim
x
x
2
+ =
1) 3 (cid:0) lim
x
2
=
lim (
x
2 (cid:0) - - x 2 (cid:0) (cid:0) 2 x , 2 = (cid:0) - g x
( ) x (cid:0) = (cid:0) x
2
x
3 , 2 Đặt: 2 y=h(x) (cid:0) - - x 2 (cid:0) (cid:0) x , 2 = (cid:0) - 1 h x
( ) x (cid:0) = (cid:0) x x
2
1 , 2 2 Thì hàm g(x) là hàm liên tục với mọi x, hàm h(x) là,
hàm gián đọan tại x=2 Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Liên tục 1 phía: Thay giới hạn trong định nghĩa hàm
liên tục bởi 2 giới hạn 1 phía, tương ứng ta có khái
niệm liên tục trái, liên tục phải Định lý: Hàm liên tục tại x=a khi và chỉ khi nó liên tục
trái và liên tục phải tại x=a Tính chất hàm liên tục: Tổng, tích, thương và hợp các
hàm liên tục lại là các hàm liên tục Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Ví dụ: Xét hàm phần
nguyên f(x)=[x] [ Phần nguyên của x là
số nguyên lớn nhất
không vượt quá x.
[1]=1, [0.5]=0, [-0.5] = -1
] = =
n f n
( ) Ta có: (cid:0) [ (cid:0) x
] x = -
n 1 f n
( ) - (cid:0) lim
+
n
x
lim
n
x Vậy hàm f(x) liên tục phải và
không liên tục trái tại x=n, n
là số nguyên. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB = a x
lim ( ) 0.
x x
0 VCB: Hàm số α(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi
x→x0 nếu (cid:0) Ví dụ: Hàm α(x) = 2x3+x là: 0 a = + VCB khi x→0 vì (cid:0) x
lim ( ) 0
x = + không là VCB khi x→1 vì (cid:0) x
lim ( ) 3
x a
1 Giới hạn & liên tục – VCL và VCB Tính chất của các VCB 1) Tổng hữu hạn của các VCB là một VCB. 2) Tích của hai VCB là một VCB. 3) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB. 4) Thương của hai VCB có thể không là một VCB. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB = k a
b lim
x
x
0 x
( )
x
( ) So sánh các VCB:
Cho α(x) và β(x) là hai vô cùng bé khi x→x0
Giả sử (cid:0) a x
( ) 1) Nếu k = 0, thì α(x) gọi là VCB bậc cao hơn β(x),
kí hiệu là α(x) = O(β(x)) 2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì α(x) và β(x) là
hai VCB cùng cấp.
3) Nếu k = 1, thì α(x) và β(x) là hai VCB tương
b:
đương, kí hiệu là : ( )
x
4) Nếu α(x) cùng bậc với (β(x))m thì ta nói bậc của
α(x) là m so với β(x) Giới hạn & liên tục – VCL và VCB 2 x x t an2 Ví dụ: So sánh các VCB sau
+
a 1. Khi x→0 : =
= a x
( )
x
( ) sin
b
x
ln , b
2
x
,
=
1
e
x
( ) =
x
( )
1x - - 2. Khi x→1 : 2 2 2 2 2 + + x x sin sin = = = 0 2 Ta dùng định nghĩa để so sánh, tức là ta sẽ tính giới
hạn của tỉ số 2 VCB cần so sánh a
b 1. lim
x
0 lim
x
0 lim
x
0 x
x x x
t an2 x
2
t an2 x 2 x
( )
x
( )
Vậy α(x) = O(β(x)) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + - - 1)) = = - 1 - (cid:0) (cid:0) a
b - - lim
x
1 ln(1 (
x x
( )
x
( ) x
1 α(x), β(x) là 2
VCB cùng bậc x
1
e 1
1x 2.lim
x
1 Giới hạn & liên tục – VCL và VCB Các VCB tương đương thường gặp khi x→0 x x 1) sin x x 6) arcsin ~ ~ x x 7) arctan xe x 2) 1 2 ~ ~ x x 8) tan x ~ 3) 1 cos x
2 ~ + x x 9) sinh x x 4) ln(1 ) 2 + ~ ~ -1 a x x 5) (1 a
) x 10) cosh 1 x
2 ~ - ~ Giới hạn & liên tục – VCL và VCB Qui tắc thay VCB tương đương với tích, thương 2 : : f f x
( ) Cho các VCB tương đương 1 x g x
( ),
( )
1 g x
( )
2 : f ( ). f x g x
( )
1 1 2 x g x
( ).
( )
2 : f x
( )
1
g x
( )
1 x
f
( )
2
g x
( )
2 Ta được: Giới hạn & liên tục – VCL và VCB Qui tắc thay VCB tương đương với tổng nhiều VCB Giả sử a≠0, b ≠0, α, β là các hằng số thực sao cho a
ax 2 : : f , x
( ) với x→0, f1(x), f2(x) là VCB f x
( )
1 a b a > b
bx
a
ax 1. ) (cid:0) (cid:0) b
(
a =
b + (cid:0) : ,khi
a
+
a b x f 2.( ) ,khi 0 x
( ) f x
( )
1 2 (cid:0) &
a + (cid:0)
a b
=
b 3.khong thay duoc,khi &a+b=0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) Chú ý: Trường hợp duy nhất KHÔNG ĐƯỢC THAY
VCB tương đương là HIỆU 2 VCB CÙNG TƯƠNG
ĐƯƠNG VỚI VCB THỨ BA Giới hạn & liên tục – VCL và VCB Ví dụ: So sánh các VCB sau khi x→0: 3 2 x 2 2 a = = 1 x x
1. ( ) b
x
, x
( ) sin x a = - - x x x
2. ( ) 2 b
x
cos , =
x
( ) sin arcsin 1 x sin x = = (cid:0) (cid:0) a
b (cid:0) 1.lim
x
0 lim
x
0 lim sin
x
0 x x
( )
x
( ) 1
x Giới hạn không tồn tại tức là 2 VCB này không so
sánh được Giới hạn & liên tục – VCL và VCB 2 x 2 ln 2 2 xe 21
x+
2 2 2. Ta sẽ so sánh bằng cách tính bậc của 2 VCB đó
a = = - - - - : x x x 1) (cos 1) ln 2 x
( ) 2 cos ( + 1 x= (ln 2 ) 2 3 2 2 2 Như vậy, bậc của α(x) là 2 so với x 3
2x 3
2x: b = - : x x x- x
( ) sin arcsin Bậc của β(x) là 3/2 so với x a b=
x O
( )
( Vậy x
( )) Giới hạn & liên tục – VCL và VCB 2 2 a = - - = + a x 1) x x x
2. ( ) tan 2 Ví dụ : Tìm a, b để α(x) cùng bậc với axb khi x→0
x
1. ( )
a = - = a - - sin( 1
1x x
3. ( ) 2 x x x
4. ( ) 1 3 cos Ta đí tính bậc của các VCB - - a = : x
1. ( ) sin x
- +
x 1 1 1 - : = = - (cid:0) x b a , 1 2 1
2 x
- +
x
1
1
2 : 2x a + : x x x
2. ( ) 2 = = (cid:0) a b 2, 1 Giới hạn & liên tục – VCL và VCB x x ln 2 1 a = - e x
3. ( ) 2 - =
1 1 2 2 = = (cid:0) 1 = a b ln 2, : x x ln 2 .
ln 2 2 a = - - x x x
4. ( ) cos 2 2 - ) 1 = - - - x 1 3 1 2 2 x
cos
x
cos 1
+
1 =
2 - = = (cid:0) : x x x 3 a b 2 5 ,
4 1 3
(
�
�
�
1
2 �
�
�
5
4 1 1
.
2
2 Giới hạn & liên tục – VCL và VCB Qui tắc thay VCB tương đương với tổng nhiều VCB Giả sử a≠0, b ≠0, α, β là các hằng số thực sao cho a
ax 2 : : f , x
( ) với x→0, f1(x), f2(x) là VCB f x
( )
1 a b a > b
bx
a
ax 1. ) (cid:0) (cid:0) b
(
a =
b + (cid:0) : ,khi
a
+
a b x f 2.( ) ,khi 0 x
( ) f x
( )
1 2 (cid:0) &
a + (cid:0)
a b
=
b 3.khong thay duoc,khi &a+b=0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) Chú ý: Trường hợp duy nhất KHÔNG ĐƯỢC THAY
VCB tương đương là HIỆU 2 VCB CÙNG TƯƠNG
ĐƯƠNG VỚI VCB THỨ BA Giới hạn & liên tục – VCL và VCB - = Ví dụ: Tính giới hạn L
1 (cid:0) + lim
x
0 x
1 cos(2 )
+
2
x
x ln(1 ) 3 2 1. Ta thay VCB tương đương như sau, khi x→0 =
2 - : x x 1 cos 2 x
(2 ) 2 2 2 (VCB tương đương cơ bản) + : 1
2
x ln(1 )x + + + x: � x x x :
) 3 3 ln(1 x
(Tổng các VCB không cùng bậc tương đương với
VCB có bậc thấp nhất)
2 2 = = 0 (cid:0) lim
x
0 x
x L
1 Giới hạn & liên tục – VCL và VCB x - x = Ví dụ: Tính giới hạn - L
2 (cid:0) sin 2(
+
1 - lim
+
x
1 e 1)
x cos 1 tức là 1x - Lưu ý: Vì trong hàm dưới dấu lim có cos
x≥1 nên ta chỉ tính giới hạn phải - - : x x Khi x→1+ thì (x-1) là VCB nên :
sin2( 2( 1) 1) x x 1 + - = ) 2 ( e e x x x =
x x cos 1 ( - + -
1
1) (1 cos - +
:
( 1) 1) 1 ( 1) 1
2 3
2 - - - - - - 1) = = L
2 (cid:0) - lim
x
1 4
3 x 1) x
2(
3 (
2 Giới hạn & liên tục – VCL và VCB x x sin 2 x x x x sin 2 2 s in - e = Ví dụ: Tính L
3 (cid:0) lim
x
0 x e
t an3 - - - - e e ( 1) = = L
3 (cid:0) (cid:0) lim
x
0 lim
x
0 e
x
t an3 e
(
1)
x
t an3 - - x x x 2 2 = = = L
3 (cid:0) (cid:0) lim
x
0 lim
x
0 sin
x x 3 x
3 1
3 Giới hạn & liên tục – VCL và VCB
x x sin x x x x sin s in - e = Ví dụ: Tính L
4 (cid:0) lim
x
0 e
x
3 - - - - e e ( 1) 1) = = L
4 (cid:0) (cid:0) lim
x
0 lim
x
0 e
(
x
3 e
x
3 x Đến đây, không thể thay VCB tương đương như trên
được vì: : x e (cid:0) - (cid:0) 1
x sin (cid:0) : : e x x 1 sin - (cid:0) Tử số là HIỆU CỦA 2 VCB
CÙNG TƯƠNG ĐƯƠNG
VỚI VCB THỨ 3 (cid:0) Ta sẽ có cách làm khác: hoặc dùng quy tắc
L’Hospital hoặc dùng CT Taylor - Maclaurint Giới hạn & liên tục – VCL và VCB = (cid:0) . A x
lim ( )
x x
0 VCL: Hàm số A(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi
x→x0 nếu (cid:0) 2 Ví dụ: x + = (cid:0) x 1. lim (2 x
sin ) (cid:0) (cid:0) Nên A(x)=2x2+sinx là VCL
khi x→∞ = (cid:0) = là VCL khi x→0 � ( )A x (cid:0) 2. lim
x
0 1
x 1
x Giới hạn & liên tục – VCL và VCB x x = (cid:0) So sánh các VCL:
Cho A(x) và B(x) là hai vô cùng lớn khi . 0 k . lim
x
x
0 A x
( )
B x
( ) Giả sử (cid:0) 1) Nếu k = ∞ , thì A(x) gọi là VCL bậc cao hơn B(x), 2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì A(x) và B(x) là
hai VCL cùng cấp. 3) Nếu k=1, thì A(x) và B(x) là hai VCL tương đương 4) Nếu A(x) cùng bậc với (B(x))m thì bậc của A(x) là
m so với B(x) Giới hạn & liên tục – VCL và VCB Qui tắc ngắt bỏ VCL lim x x 0 To�ng h��u ha�n ca�c VCL
To�ng h��u ha�n ca�c VCL = lim (cid:0) x x 0 VCL ba�c
c
VCL ba￤ cao nha�t
cao nha�t cu�a t��
cu�a ma�u (cid:0) Giới hạn & liên tục – VCL và VCB 3 4 + -
5 - +
3
x x 5 3 4 10
x
+ Ví dụ: Tính (cid:0) (cid:0) lim
x 2 2
+
2 - x x x
2
- +
3
x x x x 2 3 2 Khi x → ∞ thì cả trên tử số và dưới mẫu số đều là
tổng của các vô cùng lớn không cùng bậc 3 4 4 Bậc lớn nhất ở tử số và cả mẫu số đều là 4 4 5 3 4 10
x
+ + -
5 - +
3
x x Vậy: = = - (cid:0) (cid:0) lim
x (cid:0) (cid:0) - 2 2
+
2 - lim
x 1
2 x x x x
2
- +
3
x x x x x
2 2 3 2 Giới hạn & liên tục – Phụ lục + 5 + -
x 2 32 1
�
x
5
� �
�
2 1
� �
32
� �
�
� �
�
1
�
� = = L
1 - lim
x
0 lim
x
0 x 2. = = (cid:0) (cid:0) l
i
x m
0 (cid:0) x x x
x
1
5 3
2
x
cos3 1
8
0
cos 7 x x (cos3 1) (cos 7 1) 2 2 2 - - - - x L = lim
0 = lim
x
0 x 2 x
+
2 (cid:0) (cid:0) x x 49 9 1
2 1
2 = 20 2 - l m
= i
x
0 x (cid:0) Giới hạn & liên tục – Phụ lục = x x p
�
cot( / 4 ) L 3 p - lim cot 2
x
/4 p (cid:0) x 2 1 2 = - = = x
2 ) 2 p - p 2 p
lim tan(
x
/4 im
l
p
x
/4 x p
tan( ) x 4 4 2
x
1/sin (2 ) 2 = (cid:0) (cid:0) - - ) x L 4 - 2 0 2 x x 2 x tan 2 (cid:0) lim
0 2 x
(2 ) = (cid:0) = = ) x - 0 1 x
e 1
4
e (
lim 1 tan
x
(
�
lim 1 tan
�
x
� tan
�
2
x
sin (2 )
�
� (cid:0) Giới hạn & liên tục – Phụ lục - 1
x x = - - ) 1/(1 cos )
= + 1
x ch 1 ) x L x 5 1) (
lim cosh
x 0 0 �
(
lim 1 (ch
�
x
� x
ch
�
1 cos
�
� 2 1 x 2 2 1 lim
x
0 x 2 = (cid:0)=
e e 2 x 2 4
2 - - (cid:0) (cid:0) 2 1 1 2 + L 6 2 4
2 - - x 2 1 x
2
�
4
�
� x
�+
3
=
�-
1
� �
�
�
lim 1
�
�
�
x
�
� �
x
2
�
�
�
� �
x
2
= �
lim
x
2
x
�
2
x
4
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - 2 lim
x x 2 1 = = e (cid:0) e (cid:0) - Giới hạn & liên tục – Phụ lục x x 2 2 2 x (4.2 ( 4) = = L 7 - - - - - lim
x
2 lim
x
2 4)
x (cid:0) (cid:0) - - x
2
x
( 2) ln 2 e 1) = - - +
x ( 2) - lim
x
2 2
�
�
� (cid:0) - x 2
x
�
4(
�
�
4(( x
2
2)ln 2) = - - =
4 4(ln 2 1) - lim
x
2 x 2 (cid:0) - Giới hạn & liên tục – Phụ lục x = + L 8 lim
x 1
x x
�
�
� x x - +
1 ) 1 1
x x x - +
1 + = 1
x 1/
e - +
1 ) (cid:0) (cid:0) 1
x �
1/
e
�
� 1/
e
(
�
�
�
� x x �
1/
e
�
�
�
�
�
lim 1 (
�
�
�
x
�
xe
1/
( - +
1 ) ( ) 1
x 1 1
+
x x (cid:0) (cid:0) 2 lim
x lim
x = = = e e e (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Giới hạn & liên tục – Phụ lục 2 + 2 x x +
1 14 / 1 + + x x > = = x 0 1 L 9 2 lim
(cid:0) +(cid:0)
x 2 lim
(cid:0) +(cid:0)
x + x x 14
- +
2 - x x 1 2 / 1 1
2 14 x ( ) 1 2 2 x + + x x < = x 0 L 10 - - - (cid:0) (cid:0) 2 lim
x lim
x x x 1
2 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) 2 x ( ) 1 2 - - x �
) (1
�
�
�
+
) (1
�
�
� �
�
�
�
�
�
� . = = - 7 - lim
x 14
- +
2
1
14
2
x
2
1 2
.
2
x
2 (cid:0) - (cid:0) Giới hạn & liên tục – Phụ lục 1 2 x x - e e (1 ) = = 1 - L
11 1 2 lim th
+
x
0 lim
+
x
0 x x 1
� �
=
� �
x
� � + e e (1 ) x 1 = - (cid:0) (cid:0) ln L
12 x x
2 �
x
lim ln 1
�
(cid:0) +(cid:0)
x
� �
�
x
lim ln
(cid:0) +(cid:0)
�
x
� �+
2
�
�
� 2 = = 2 x
lim ln 1
(cid:0) +(cid:0)
x x
lim .
(cid:0) +(cid:0)
x �
=
�
�
2
x x
� �
+
� �
2
� �
2
� �
=
+
� �
x
� � - Giới hạn & liên tục – Phụ lục x sin x x
sin ln(cos ) 2 - - x e 1 = = L
13 (cid:0) (cid:0) lim
x
0 x 2 2 - - - - 1 cos
2
x
x lim
x
0
x x x +
sin ln(1 (cos 1)) )
1 = = = 0 (cid:0) (cid:0) lim
x
0 lim
x
0 x (cos
2
x + - - x (2 ) x = = = 4 L
14 (cid:0) (cid:0) - - lim
x
2 lim
x
2 )(2
x x
2 x 4
sh
(2 )) 3
(
{
}
)
(
)
(
