GIẢI TÍCH 1

CHƯƠNG 1:

SỐ PHỨC

1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

1. Dạng đại số của số phức:

a/ Định nghĩa:

 a

i b

 Dạng đại số của số phức là: z

Trong đó:

ký hiệu là

ký hiệu là

a : được gọi là phần thực của số phức z ,  zRe b : được gọi là phần ảo của số phức z ,  z

Im i : được gọi là đơn vị ảo với

2 i 1

1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

 Tập hợp số phức được ký hiệu là C hay còn gọi

là mặt phẳng phức.

y

z

b

Biểu diễn hình học của số phức: Trục Ox : được gọi là trục thực Trục Oy : được gọi là trục ảo

x

O

a

Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng phức. Khoảng cách từ gốc toạ độ O tới z được gọi là môđun của số phức z và ký hiệu là hoặc

 zmod

z

1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

 a

i b

z

 được gọi là số phức liên hợp của z

 

i b 1 i b 2

b/ Các phép toán:  Cho hai số phức  

z

a 1  a 2 a  2

z  1

2

z

x

x

2 

a 1 

i b 1

z 1 zz 1

2

   a 1 

bb 1 2

 2 bi  b 1 2  i b  bai 1 2

aa 2 1

1 ba 2

z 1  z 2 a  1  b b   1 2    a 2   a 2 

1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:

Quy tắc: Ta thực hiện phép nhân tương tự như trong

trường hợp số thực với chú ý:

2 i 1

2

2

 a

i b

z

zz .

a

b

z 0

Dễ nhận thấy nếu thì

và nếu thì

1  z

i

2

2

2

2

1  bia a 

a

b

b

a

 bia  biabia  b    

  

1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

 

 

  a 2   a 2

 2

2 0)

2(z

i

 

 

aa 1 2 2 a 2

bb 1 2 2 b 2

ba 1 2 2 a 2

ba 1 2 2 b 2

  

  

  

  

z 1 z       i b 2 i b a 1 a 2 i b 1 i b 2 a 1 a 1 i b 1 i b 1

1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

Từ định nghĩa của các phép toán, ta dễ dàng chứng

i b

2

a

2

Re

z

 z

i b

 i b

2

i b

 z Im2 i

z

 

 z

 

minh các công thức sau:   a a    z a a 

  i b z

z

z 2

z 1

2

1

z

z

z

1

z 1

2

2

z

. z

2

1

1 z z

zz . 1 z 1 z

2

2

2   

  

1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

z

VD1: Biểu diễn số phức sau dưới dạng đại số i 31  1  i

Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp ta được

i1

i

z

2 

i

24  2

  31 1   i   1 1  i  i

 i  

1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

3

2

2

z

i

2

i

 z

  2z i

VD2: Cho

   zf  if a/ Tính b/ Giải phương trình

  0zf

Giải:

  0if

a/ Dễ dàng tính được b/

i

là 1 nghiệm của phương trình

z  nên ta phân tích được 2  

z

i

2

z

2

  zf

 z

 0 

1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

2

 2

 z 2

0

z

Nhận xét : Phương trình có 2 nghiệm là

i1

2

i 1

'

ở đây

Kết luận :   0zf Phương trình có 3 nghiệm là ,

 1

z

i

z 

i

2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

y

z

b

i b

0z

r

x

2. Dạng lượng giác của số phức: a/ Định nghĩa:  z a Cho số phức , Gọi là khoảng cách từ r z gốc toạ độ O tới

O

a

và là góc hợp giữa hướng dương của trục thực với

z

(0 φ 2π)

Khi đó ta có :  a

z

i b

r

i  sin

 cos



 vectơ bán kính của điểm .

2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

z

 Biểu thức được gọi là

   sin r i cos dạng lượng giác của số phức

 z

2

2

a

b

z

Trong đó: z  r z chính là mođun của số phức  z arg 

 được gọi là acgumen của số phức , ký hiệu

arctg

 tg  Ta có :

b a

b a

Chú ý : chọn sao cho và cùng dấu

sin

b

2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

VD : Số phức

z

2

2

z

 r

2

i  1   1

 

 1

Ta có:

tg

1



hoặc



5 4

 4



Ta chọn

 1  1 5 4

z

1 

i

cos

i sin

Vậy

 5  4

 2  

 5   4 

2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

i sin

b/ Các phép toán: Cho hai số phức

z 1 z

i sin

 cos  cos

2

 1  2

r 1 r 2

  1 2 

, k

Z

z 1

 z 2

1

x

i

sin

πk 2 

  

r r  1 2     2     cos 2

1

z z 1

2

rr . 21

2 

1

i

sin

  

 cos

   2

1

2 

1

0

2 z ,

z 1 z

2

r 1 r 2

2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

Từ các phép toán này ta có thể chứng minh được các công thức sau:

 Công thức Moivre

k

k

i

sin

r

k 

i

sin

 cos

 cos

 k

Zk 

 r

  

 Công thức Euler

ei   cos   i sin 

2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

Vậy số phức

ir e 

 cos

 

Biểu thức được gọi là dạng mũ của số

z 

ir e

phức z

i  8

 1

2

i

sin

cos

z  r   i sin 

VD : Tính  Ta có : 1

 i 

π 4

π 4

  

8

4

i

2

π

i

π 2sin

2

    4 2cos

 1

3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC

nz

3. Khai căn của số phức:

Ta giải phương trình với

Cz 

  Cα  

i  sin

α

Giả sử

i

sin

z

 r cos  cos  θ

 θ

n

i  sin

nθ

i

sin

nθ

r



n

 cos 

r

ρ

ρ Ta đặt Khi đó ta có  n z ρ cos ρn nθ

r  2  πk

  

, k

Z

    θ 

2 πk  n

3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC

Vậy nghiệm của phương trình là

nz

n

()

k

z  r cos sin i

 2 πk    n      

   2 πk  n  , ... , n

, ... , n

, 10

 

nz Vậy phương trình có đúng n nghiệm cho bởi công thức (*) với và chúng k  1 được gọi là các căn bậc n của số phức .

     k ,  10 1 ở đây là ta có đủ nghiệm của phương trình.

3. KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC

3 1

VD: Tìm

1

cos

 0

i

0

Ta có :

3

3

1

cos 0

i sin 0

cos

i sin

vậy

k 2π 3

k 2π 3

sin   

  

với

210

,

,

k   10

ε

cos

0

i

sin

3 1 Vậy là

0

cos

i

sin

i

ε 1

ε

cos

i

sin

i

2

2 π 3 π 4 3

2 π 3 π 4 3

1  2 1  2

3 2 3 2

4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ

4. Định lý cơ bản của đại số:

a/ Định lý 1: Phương trình bậc n,

n

 1

x

...

x

0

 1

a n

 a n

a 0

a 1

0 n xa  n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm thực, nghiệm phức và nghiệm bội của nó.

3

2

x

 0   1 có đúng 5 nghiệm là (nghiệm bội 3) và  i

x

Zn 

VD: Phương trình bậc 5   x.  1 1x

4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ

b/ Định lý 2: Cho phương trình bậc n với hệ số thực

n

 1

a

x

...

x

0

  xf

n xa n

n

 1

a 1

a 0

ở đây

 , i  210 , , , . . . , n

Nếu là nghiệm của phương trình thì cũng là nghiệm của phương trình này.

αx  x

 0 a i a n   

4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ

VD : Giải phương trình

4

3

2

z

z 11

14

10

4

z

z

 0 Biết phương trình này có 1 nghiệm là

 1

i

z 1

 1

i

là nghiệm của phương trình

vậy

cũng là nghiệm của phương trình

Nhận xét : z 1  1

z

i

2

Ta có :

2

   z z 1

 2

 

z   z  z  1  1 i

  z i  2

z  2 z

4. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ

4

3

2

2

2

Chia đa thức ta được z z 11 z 

5

 z  z 2

 z 2 05



14    4 z 10  2 z   2 z 

Ta đi giải phương trình 2 4 i

51'

4

i21 

4

2

3

 z2

10   4 z z  0

vậy phương trình này có 2 nghiệm là Kết luận : Phương trình

có 4 nghiệm là

z 11  1  14 i

 21 i  z 1 z 3 z   

BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC

BÀI 1: Viết số phức sau dưới dạng đại số

5

z

a/

z

b/

 2 i 34  i

1 1

 

i i

  

  

BÀI 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác

a/

z

22  i

b/

1z

c/

z  3  i

BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC

BÀI 3: Tính căn bậc 3 của số phức sau : i

8

z

 16 i  2

( kết quả biểu diễn dưới dạng đại số)

BÀI 4: Giải phương trình

a/

2

 zi

b/

3

4

2

4

z

24

z

57

z

18

z

45

0

c/

là 1 nghiệm của phương trình này

biết z

1   3   64 i  0 z 2  z  zi

 3 i 6

BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC

BÀI 5:

1998

. Tính

z

Cho số phức

 32 23 

i i

z

BÀI 6:

i

π 3

z 

e

Cho số phức

Tìm dạng lượng giác của số phức

1z

ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC

BÀI 1:

z



a/

 2 i 34  i

11 25

2 i 25

 HD: Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp

i 34 

5

z

i

i

b/

1 1

 

i i

  

5   

HD: Trong dấu ngoặc nhân tử và mẫu với số 1

 phức liên hợp

i

ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC

BÀI 2: a/ z

 1

1 .

π

i

sin

 cos

π

HD:

a



, b 1

0

r

, tg 1

. Chọn 0

Ta có

b/

z



22

i

2

2

cos

i

sin

π 3 4

π 3 4

  

  

a



2

, b

2



HD:



Ta có

. Chọn

r

22

 , tg

 1

3 4

ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC

z



3

i 

2

cos

i

sin

c/

π 7 6

π 7 6

  

  

a



, b 3

 1

HD:

Ta có

r  2 , tg  



Chọn

7 6

1 3

ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC

BÀI 3:

i

3

có 3 giá trị là

 3  i

 16 8 i  2

 2 i

2

i

3

3

ε 0 ε 1 ε  3  i     

HD:

z

3 

8

i

2

i

 16 8 i  2

3

z 

2

cos

i

sin

π 2

π 2

   

  

   

  

a/

ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC

BÀI 4:

a/

z

0

, z

1

z

i

  Phương trình này có 4 nghiệm là  

1  2

3 2

z

 a

i b

z 2 z

HD:

Đặt

2

2

2

z

...

b 2ab

 a a  z   b 

ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC

2

 b/

 z

 z

Phương trình này có 2 nghiệm là

z z

1 i   32

i

  

2

1  i  3  i  64 i  0

HD:

Δ

48

14

i

i

...

 7

ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC

4

3

2

4

z

24

z

57

z

18

z

45

0

c/

z 3  i 6

z 

2

  Phương trình này có 4 nghiệm là   3 2

HD:

 z

   z

 

4

3

2

2

2

 3  i 6  3  i 6  z  6 z  15

 z

  4

3

4 z  24 z  57 z  18 z  45   6 z  15 z 

ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC

BÀI 5:

1998

1998

z

 1

 32 23 

i i

  

  

HD:

32 

i

23 

i

i

32   23

i i

  13

499

1998

4

2

z

1998 i

i .

 1

 i

ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC

i

BÀI 6:

π 3

z 

e

Vậy

z

1 

3

cos

i

sin

π 6

π 6

  

  

i

π 3

HD:

z

e

cos

i

sin

i

π 3

3 2

π 3

1 2

z



1

i

3

i

3

cos

i

sin

3 2

3 2

3 2

1 2

π 6

π 6

  

  

  

  