Ủ Y BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HẢ I PHÒNG
TRƯ Ờ NG ĐẠ I HỌ C HẢ I PHÒNG
BÀI GIẢ NG
KHÔNG GIAN TÔPÔ, ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN
Mã số : BG.TN.2024.01
Chủ biên: TS. Vũ Thị Mai
Thành viên: TS. Đỗ Duy Thành
Đơ n vị : Khoa Toán và KHTN
Hả i Phòng, Năm 2024
1
MỤ C LỤ C
Lờ i nói đầ u 4
Chư ơ ng 1 Không gian mêtric 5
1.1 Không gian mêtric, Sự hộ i tụ trong không gian mêtric . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Đạ i cư ơ ng về không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Sự hộ i tụ trong không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Tậphợpmở,tậphợpđóng .......................... 9
1.2.1 Tậphợpmở .............................. 9
1.2.2 Tậphợpđóng............................. 11
1.2.3 Tậ p hợ p mở trên đư ờ ng thẳ ng thự c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Tậ p hợ p trù mậ t. Không gian mêtric khả ly . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Ánhxạliêntục ................................ 14
1.3.1 Ánhxạliêntục............................ 14
1.3.2 Ánhxạliêntụcđều.......................... 15
1.3.3 Phépđồngphôi............................ 15
1.3.4 Phépđẳngcự ............................. 16
1.4 Không gian mêtric đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 Đạ i cư ơ ng về không gian đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Bổ đề Cantor và định lý Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.3 Tháctriểnliêntục .......................... 21
1.4.4 Bổ sung củ a mộ t không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 KhônggianCompact............................. 22
1.5.1 TậphợpCompact........................... 22
1.5.2 Đặ c trư ng Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.3 Không gian Compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.4 Hàm số liên tụ c trên tậ p Compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
BàitậpChương1 .................................. 27
Chư ơ ng 2 Không gian tôpô 29
2.1 Đạ i cư ơ ng về không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Địnhnghĩa .............................. 29
2.1.2 Vídụ ................................. 29
2.1.3 Mộ t số khái niệ m khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2
2.1.4 Sosánhcáctôpô ........................... 31
2.1.5 Cơ sở củ a không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Ánh xạ liên tụ c. Phép đồ ng phôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 Ánhxạliêntục............................ 34
2.2.2 Ánh xạ mở , ánh xạ đóng, phép đồ ng phôi . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Xây dự ng tôpô theo mộ t cơ sở cho trư ớ c hay mộ t họ các tậ p đóng cho trư ớ c 37
2.3.1 Xây dự ng tôpô có cơ sở cho trư ớ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.2 Xây dự ng tôpô có cơ sở tậ p hợ p đóng cho trư ớ c . . . . . . . . . . . 38
2.4 Tôpô xác định bở i họ ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.1 Tôpô đầ u xác định bở i mộ t họ ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.2 Tôpô cuố i xác định bở i mộ t họ ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Cáctiênđềtách................................ 40
2.6 Không gian con, tích Đề các, tổ ng trự c tiế p, không gian thư ơ ng . . . . . . . 42
2.6.1 Không gian tôpô con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6.2 Tích Đề các củ a họ không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6.3 Tổ ng trự c tiế p củ a các không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6.4 Khônggianthương.......................... 43
BàitậpChương2 .................................. 44
Chư ơ ng 3 Độ đo 46
3.1 Đạ i số và σ−đạisố .............................. 46
3.1.1 Địnhnghĩa .............................. 46
3.1.2 σ−đạisốBorel............................ 48
3.2 Độđo ..................................... 48
3.2.1 Địnhnghĩa .............................. 48
3.2.2 Tínhchất ............................... 49
3.2.3 Độđođủ ............................... 51
3.2.4 Tháctriểnđộđo ........................... 52
3.3 Độ đo trên Rk................................. 59
3.3.1 Độ đo trên đư ờ ng thẳ ng thự c R.................... 59
3.3.2 Độ đo trên không gian Euclid Rk................... 63
3.4 Hàmđođược ................................. 64
3.4.1 Địnhnghĩa .............................. 64
3.4.2 Các phép toán về hàm số đo đư ợ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.3 Cấ u trúc củ a hàm đo đư ợ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5 Hộitụhầukhắpnơi.............................. 71
3.6 Hộitụtheođộđo ............................... 72
BàitậpChương3 .................................. 74
3
Chư ơ ng 4 Tích phân Lebesgue 77
4.1 Định nghĩa tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.1 Tích phân củ a hàm đơ n giả n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.2 Tích phân củ a hàm đo đư ợ c không âm . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.3 Tích phân củ a hàm đo đư ợ c bấ t kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2 Các tính chấ t củ a tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.1 Tínhchất1 .............................. 81
4.2.2 Tínhchất2 .............................. 82
4.2.3 Tínhchất3 .............................. 83
4.2.4 Tínhchất4 .............................. 84
4.2.5 Tínhchất5 .............................. 87
4.2.6 TÍnhchất6.............................. 88
4.2.7 TÍnhchất7.............................. 89
4.2.8 TÍnh chấ t 8 (tính σcộ ng tính củ a tích phân) . . . . . . . . . . . . . 89
4.3 Chuyể n qua giớ i hạ n dư ớ i dấ u tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.4 Điề u kiệ n khả tích Riemann. Mố i quan hệ giữ a tích phân Riemann và tích
phânLebesgue ................................ 93
4.4.1 Điề u kiệ n khả tích Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4.2 Mố i quan hệ giữ a tích phân Riemann và tích phân Lebesgue . . . . 94
BàitậpChương4 .................................. 96
4
LỜ I NÓI ĐẦ U
Không gian topo – độ đo – tích phân vừ a là tổ ng quát hóa củ a nhữ ng lý thuyế t trong
giả i tích cổ điể n, vừ a là mộ t bư ớ c nhậ p môn để nghiên cứ u các chuyên ngành giả i tích hiệ n
đạ i và ứ ng dụ ng, vì vậy nó là họ c phầ n bắ t buộ c ở bậ c cao đẳ ng, đạ i họ c và sau đạ i họ c cho
ngành Toán họ c. Đã có nhiề u tác giả nghiên cứ u và viế t các tài liệ u về không gian topo như :
Không gian topo – độ đo và tích phân củ a Nguyễ n Văn Khuê, Bùi Đắ c Tắ c (1997); Topo
đạ i cư ơ ng – độ đo và tích phân củ a Nguyễ n Xuân Liêm (1994)... Tuy nhiên các giáo trình
này có nộ i dung chư a phù hợ p vớ i chư ơ ng trình Không gian topo – độ đo - tích phân dành
cho sinh viên trư ờ ng Đạ i họ c Hả i Phòng, nên chúng tôi biên soạ n bài giả ng "Không gian
topo – độ đo và tích phân" này nhằ m cung cấ p các kiế n thứ c cơ bả n nhấ t, cầ n thiế t nhấ t đố i
vớ i ngành đào tạ o sư phạ m Toán trong trư ờ ng Đạ i họ c Hả i Phòng.
Giáo trình gồ m 4 chư ơ ng; trình bày các khái niệ m về không gian tô pô; Tậ p hợ p mở ,
tậ p hợ p đóng, phầ n trong, bao đóng củ a tậ p hợ p; Các phép về ánh xạ liên tụ c, ánh xạ liên
tụ c đề u; không gian đầy đủ ; không gian con, không gian thư ơ ng. Tậ p hợ p compắ c, không
gian compắ c. Nắ m đư ợ c các tính chấ t, phép toán, các đặ c trư ng cơ bả n củ a không gian tô
pô. Nắ m đư ợ c các khái niệ m về độ đo, độ đo đủ ; Độ đo Borel và độ đo Lebesgue ; Thác
triể n độ đo; Hàm đo đư ợ c. Nắ m đư ợ c các khái niệ m về tích phân Lebesgue,các tính chấ t,
phép toán; mố i liên hệ giữ a tích phân Riemann và tích phân Lebesgue. Cách tính tích phân
Lebesgue... Sau mỗ i chư ơ ng đề u có hệ thố ng bài tậ p để sinh viên dễ dàng luyệ n tậ p, kiể m
tra thêm..
Chúng tôi xin chân thành cả m ơ n các thầ y, cô trong tổ Giả i tích và Toán ứ ng dụ ng, cũng
như các thầ y cô, sinh viên Khoa Toán và KHTN - trư ờ ng Đạ i họ c Hả i Phòng đã cho nhữ ng
đóng góp quý báu về cấ u trúc, văn phạ m, thuậ t ngữ và đọ c kĩ bả n thả o, chỉnh sử a các lỗ i
chế bả n. Tuy nhiên, trong quá trình biên soạ n, hoàn thiệ n, bài giả ng không thể tránh khỏ i
nhữ ng thiế u sót. Chúng tôi mong nhậ n đư ợ c các đóng góp ý kiế n củ a đồ ng nghiệ p, sinh
viên để bài giả ng đư ợ c hoàn thiệ n hơ n nữ a.
Các tác giả