Bài tập Topo

Chia sẻ: Trần Triều Huy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

Thêm vào BST

Báo xấu

167
lượt xem 32
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài tập topo', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập Topo

Lêi nãi ®Çu T«p« lµ m«n häc c¬ së cña Gi¶i tÝch hiÖn ®¹i, tµi liÖu viÕt vÒ nã rÊt nhiÒu song rÊt Ýt tµi liÖu cã c¸c bµi tËp kÌm theo lêi gi¶i chi tiÕt minh ho¹ cho m«n häc hÊp dÉn nh−ng t−¬ng ®èi trõu t−îng nµy. Nh»m gióp cho mét sè b¹n häc viªn Cao häc To¸n c¸c kho¸ sau (KÓ tõ khãa 10) häc tËp ®ì vÊt v¶ vµ c¶m thÊy thó vÞ h¬n m«n T«p«. Dùa vµo ch−¬ng tr×nh häc T«p« ®¹i c−¬ng cña Cao häc 10 To¸n, t¸c gi¶ thèng kª vµ gi¶i c¸c bµi tËp T«p« ®· gÆp trong ch−¬ng tr×nh häc. §a sè c¸c lêi gi¶i tr×nh bµy chi tiÕt, cã nh÷ng bµi tËp hay t¸c gi¶ tr×nh bµy nhiÒu c¸ch gi¶i ®Ó b¹n ®äc tham kh¶o. V× n¨ng lùc cßn h¹n chÕ vµ ®©y chØ lµ c¸c lêi gi¶i mang tÝnh chñ quan cña t¸c gi¶, ®iÒu kiÖn vËt chÊt kh«ng cho phÐp, nªn chØ cã thÓ tr×nh bµy ®−îc c¸c bµi to¸n s¸t víi Bµi gi¶ng cña PGS TS TrÇn V¨n ¢n cho Häc viªn cao häc To¸n kho¸ 9-10 §H Vinh. Ch¾c ch¾n sÏ kh«ng tr¸nh khái thiÕu sãt, song còng mong nhËn ®−îc sù ñng hé, ý kiÕn ®ãng gãp cña b¹n ®äc quan t©m ®Õn T«p«. Cuèn s¸ch gåm bèn phÇn chÝnh: I. Kh«ng gian T«p« II. Kh«ng gian Mªtric III. Kh«ng gian Compact IV. Kh«ng gian Liªn th«ng Nh©n ®©y còng xin ®−îc c¶m ¬n anh NguyÔn Hång C−êng HV CH10 To¸n ®· ®Ò nghÞ t¸c gi¶ hoµn thµnh tµi liÖu nµy. Vinh, ngµy 30 th¸ng 04 n¨m 2003 Ng« Quèc Chung12 Tr−êng PTDL Hermann Gmeiner Vinh, NghÖ An 1 Email: nqchungv@yahoo.com 2 Mobile: 0906236777 1
2
Kh«ng gian t«p« Bµi 1 : Cho kh«ng gian t«p« X, E lµ tËp con cña X ta lu«n cã: a ) E ®ãng ⇔ E ⊂ E b ) E =E ∪E c ) intE lµ tËp më lín nhÊt chøa trong E d ) E lµ tËp ®ãng nhá nhÊt chøa E e ) E lµ tËp më ⇔ E lµ l©n cËn cña ∀x ∈ E Chøng minh a) Gi¶ sö E ®ãng mµ E ⊂ E ⇒ ∃ ®iÓm x ∈ E mµ x ∈ E ⇒ x ∈ X\E l¹i do E ®ãng ⇒ X\E më ⇒ ∃ l©n cËn U cña x sao cho x ∈ U ⊂ X\E ⇒ U ∩ E = ∅ ⇒ U ∩ E\{x} = ∅ tr¸i víi gi¶ thiÕt x ∈ E ⇒ E ⊂ E Gi¶ sö E ⊂ E ⇒ ∀x ∈ X\E th× x ∈ E ⇒ ∃ l©n cËn U cña x sao cho U ∩ E\{x} = ∅ ⇒ U ∩ E = ∅ (v× x ∈ E) ⇒ U ⊂ X\E ⇒ X\E më ⇒ E ®ãng b) Gi¶ sö x ∈ E ∪ E ⇒ x ∈ E hoÆc x ∈ E . NÕu x ∈ E râ rµng x ∈ E. NÕu x ∈ E ⇒ ∀ l©n cËn U cña x th× ta cã U ∩ E\{x} = ∅ vµ E\{x} ⊂ E\{x} ⇒ U ∩ E\{x} = ∅ ⇒x∈E ⊂E ⇒E∪E ⊂E Gi¶ sö x ∈ X\E ∪ E ⇒ x ∈ E ⇒ tån t¹i l©n cËn U cña x sao cho / / U ∩ E\{x} = ∅ mµ x ∈ E ⇒ U ∩ E = ∅ ⇒ X\{E ∪ E } lµ tËp më mµ / E ⊂E∪E ⇒E ⊂E∪E c) Ta sÏ chøng minh r»ng mäi tËp më n»m trong E ®Òu n»m trong intE. ThËt vËy: Gi¶ sö U lµ tËp më bÊt k× sao cho U ⊂ E ⇒ ∀x ∈ U th× x ∈ U ⊂ E ⇒ E lµ l©n cËn cña x ⇒ x lµ ®iÓm trong cña E ⇒ x ∈ intE ⇒ U ⊂ intE 3
nqchungv@yahoo.com 4 B©y giê ta chøng minh intE lµ tËp më ®Ó hoµn thµnh chøng minh. Víi mäi x ∈ intE ⇒ E lµ l©n cËn cña x ⇒ ∃ U më ®Ó x ∈ U ⊂ E ⇒ U ⊂ intE ⇒ intE lµ tËp më d) Theo ®Þnh nghÜa e) Râ rµngE më ⇒ E lµ l©n cËn cña ∀x ∈ E Gi¶ sö E lµ l©n cËn cña mäi ®iÓm thuéc nã⇒ ∀x ∈ E, ∃ Ux lµ tËp më sao cho x ∈ Ux ⊂ E ⇒ E = {x} ⊂ Ux ⊂ E ⇒ E = Ux E x∈E x∈E x∈E ⇒E lµ tËp më Bµi 2 : Mçi kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®−îc thø hai lµ kh¶ ly. Chøng minh C¸ch 1: V× X lµ kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®−îc thø 2, nªn trong X cã c¬ së Ω = {Un }n∈N ®Õm ®−îc Víi mçi n ∈ N ta lÊy t−¬ng øng mét xn ∈ Un , vµ ®Æt tËp F = {xn }n∈N ¯ Râ rµng F lµ tËp ®Õm ®−îc, b©y giê ta sÏ chøng minh F = X. ThËt vËy: Ta cã (X\F ) ∩ F = ∅ (1) Gi¶ sö (X\F ) = ∅ ⇒ ∃x ∈ X\F , v× X\F më ⇒ ∃Un0 ∈ Ω sao cho x ∈ Un0 ⊂ X\F Lóc ®ã tån t¹i xn0 ∈ F sao cho xn0 ∈ Un0 ⊂ X\F ⇒ n0 ∈ X\F ∩ F §iÒu nµy tr¸i víi (1) vËy X\F = ∅ ⇒ X = F C¸ch 2: Gäi Ω = {Un }n∈N lµ c¬ së ®Õm ®−îc cña X. Ta ®Æt tËp F = {xn }n∈N trong ®ã mçi xn ®−îc lÊy ra t−¬ng øng trong mét tËp Un . Gi¶ sö V lµ mét tËp më bÊt kú trong X ⇒ V = ∪{Uα : Uα ∈ Ω} ⇒ ∃Uα0 ⊂ V ⇒ ∃xα0 ∈ F sao cho xα0 ∈ Uα0 ⊂ V ⇒F ∩V =∅⇒F =X ¯
nqchungv@yahoo.com 5 Bµi 3 : (a) Giao cña mét hä t«p« tuú ý trªn X lµ mét t«p« trªn X (b) Hîp cña hai t«p« trªn X cã thÓ kh«ng lµ t«p« trªn X (c) §èi víi mét hä tuú ý c¸c t«p« trªn X, tån t¹i mét t«p« duy nhÊt, mÞn nhÊt trong c¸c t«p« th« h¬n mäi t«p« cña hä ®ã, vµ tån t¹i t«p« duy nhÊt, th« nhÊt trong c¸c t«p« cña hä. Chøng minh (a) §iÒu nµy dÔ dµng chøng minh nhê vµo ®Þnh nghÜa, xin dµnh cho b¹n ®äc (b) Ta sÏ chØ ra mét tËp X cã hai t«p« trªn nã mµ hîp cña hai t«p« nµy kh«ng ph¶i lµ mét t«p« trªn X Chän tËp X = {a, b, c}. Víi hai t«p« lµ Ω1 = {∅, {a, c}, {a, b, c}} Ω2 = {∅, {b, c}, {a, b, c}} DÔ dµng thö thÊy Ω1 vµ Ω2 lµ c¸c t«p« trªn X. Lóc ®ã Ω = Ω1 ∪ Ω2 = {∅, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} kh«ng ph¶i lµ mét t«p« trªn X. ThËt vËy: {a, c}; {b, c} ∈ Ω nh−ng {a, c} ∩ {b, c} = {c} ∈ Ω (c) Gäi U = {Uα }α∈I lµ mét hä c¸c t«p« trªn X §Æt T = Uα α∈I ta sÏ chøng minh T lµ t«p« mÞn nhÊt trong c¸c t«p« th« h¬n mäi t«p« cña hä U. ThËt vËy, gi¶ sö U lµ mét t«p« bÊt k× th« h¬n c¸c t«p« cña hä U ⇒ U ⊂ Uα , ∀α ⇒ U ⊂ Uα = T ⇒ T mÞn h¬n U ⇒ (®pcm ) α∈I Gäi hä t«p« β = {T : T mÞn h¬n mäi t«p« cña hä U} §Æt T= T T ∈β Ta sÏ chøng minh T lµ t«p« th« nhÊt trong c¸c t«p« mÞn h¬n mäi t«p« cña hä U. ThËt vËy Gi¶ sö U lµ t«p« bÊt kú mÞn h¬n mäi t«p« cña hä U ⇒ U = Tβ0 nµo ®ã
nqchungv@yahoo.com 6 ⇒ U ⊃ T ⇒ T th« h¬n U ⇒ (®pcm) Chó ý: Tõ chøng minh trªn cho ta thÊy giao cña mét hä c¸c t«p« lµ mét t«p« nh−ng hîp cña mét hä c¸c t«p« nãi chung kh«ng ph¶i lµ mét t«p«. Bµi 4 : (a) Gi¶ sö ( X, T ) lµ kh«ng gian t«p«; ®èi víi mçi x ∈ X, ký hiÖu Ux lµ hä c¸c l©n cËn cña nã. Khi ®ã : 1) NÕu U ∈ Ux th× x ∈ U 2) NÕu U vµ V lµ c¸c phÇn tö cña Ux th× U ∩ V ∈ Ux 3) NÕu U ∈ Ux vµ U ⊂ V th× V ∈ Ux 4) NÕu U ∈ Ux th× t×m ®−îc phÇn tö V ∈ Ux sao cho V ⊂ U vµ V ∈ Uy víi mçi y ∈ V (nãi c¸ch kh¸c, tËp V lµ l©n cËn cña mäi ®iÓm thuéc nã) (b) NÕu hµm U lËp t−¬ng øng mçi ®iÓm tuú ý x ∈ X víi hä Ux nµo ®ã vµ tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn 1), 2), vµ 3) th× hä T c¸c tËp sao cho U ⊂ Ux nÕu x ∈ U , lµ t«p« nµo ®ã trªn X. NÕu ®iÒu kiÖn 4) còng ®−îc thùc hiÖn, th× Ux ®óng lµ hÖ l©n cËn cña x ®èi víi t«p« T . Chøng minh (a) Ta cã: 1) Gi¶ sö U ∈ Ux ⇒ U lµ l©n cËn cña x theo ®Þnh nghÜa l©n cËn⇒ ∃ tËp më V sao cho: x∈V ⊂U ⇒x∈U 2) Gi¶ sö U vµ V ∈ Ux suy ra tån t¹i c¸c tËp më Ux vµ Vx sao cho x ∈ Ux ⊂ U vµ x ∈ Vx ⊂ V ⇒ x ∈ Ux ∩ Vx ⊂ U ∩ V mµ Ux ∩ Vx më ⇒ U ∩ V ∈ Ux 3) Gi¶ sö U ∈ Ux ⇒ vµ V lµ tËp bÊt kú sao cho U ⊂ V . V× U lµ l©n cËn cña x nªn tån t¹i tËp më Ux sao cho x ∈ Ux ⊂ U ⇒ x ∈ Ux ⊂ V ⇒ V ∈ Ux 4) Gi¶ sö U ∈ Ux lóc ®ã tån t¹i tËp më V sao cho x ∈ V ⊂ U . Ta sÏ chøng minh r»ng V ∈ Uy víi mäi y ∈ V . ThËt vËy: Víi mçi ®iÓm y ∈ V lóc ®ã tån t¹i tËp V më ®Ó y ∈ V ⊂ V ⇒ V lµ l©n cËn cña y ⇒ V ∈ Uy (b) Víi T = {U : U ∈ Ux nÕu x ∈ U } Ta sÏ chøng minh T lµ mét t«p« trªn X. ThËt vËy: i) Râ rµng ∅, X ∈ T ii) Gi¶ sö {Ui }i∈I lµ mét hä bÊt k× thuéc T ⇒ tån t¹i mét Ui0 ⊂ Ui , nªn theo tiªn ®Ò 3) ⇒ Ui ∈ T i∈I i∈I iii) Gi¶ sö U, V ∈ T theo tiªn ®Ò 2) ⇒ U ∩ V ∈ T VËy T lµ mét t«p« trªn X
nqchungv@yahoo.com 7 Víi Ux tho¶ m·n thªm ®iÒu kiÖn 4) ta chøng minh T lµ hä l©n cËn cña x ®èi víi t«p« T . ThËt vËy: Gi¶ sö U ∈ Ux theo tiªn ®Ò 4) tån t¹i V ∈ T sao cho x∈V ⊂U ⇒ Ux lµ mét hÖ l©n cËn cña x ®èi víi t«p« T Bµi 5 : Gi¶ sö i lµ to¸n tö chuyÓn tËp con cña X thµnh tËp con cña X vµ T lµ hä c¸c tËp con sao cho Ai = A Víi ®iÒu kiÖn nµo, T sÏ lµ t«p« vµ (®ång thêi i lµ to¸n tö phÇn trong ®èi víi t«p« nµo ®ã. Chøng minh I. Gi¶ sö i lµ to¸n tö phÇn trong cña X vµ T = {A ⊂ X : Ai = A} §Ó T lµ mét t«p« trªn X ta cho i tho¶ m·n c¸c tiªn ®Ò sau: 1)X i = X 2)Ai ⊂ A i 3)(Ai ) = X 4)Ai ∩ B i = (A ∩ B)i Ta sÏ chøng minh T lµ mét t«p«. ThËt vËy: i) HiÓn nhiªn X ∈ T , l¹i cã ∅i ⊂ ∅ (theo tiªn ®Ò 2) vµ ∅ ⊂ ∅i (∅ lµ tËp con cña mäi tËp con cña X) ⇒ ∅i = ∅ ⇒ ∅ ∈ T ii) Tr−íc hÕt ta chøng minh bæ ®Ò sau : ” NÕu A ⊂ B th× Ai ⊂ B i ” ThËt vËy A ⊂ B ⇔ A = A ∩ B ⇒ Ai = Ai ∩ B i (theo 3)⇒ Ai ⊂ B i Gi¶ sö {Aα }α∈I lµ hä bÊt k× trong T ta sÏ chøng minh Aα ∈ T tøc ta chøng minh Aα = ( Aα )i α∈I α∈I α∈I Râ rµng ( Aα )i ⊂ Aα α∈I α∈I Ta chØ cÇn chøng minh: Aα ⊂ ( Aα )i α∈I α∈I
nqchungv@yahoo.com 8 Ta cã Aα ⊂ Aα , nªn theo bæ ®Ò trªn) ⇒ Ai ⊂ ( α Aα )i α∈I α∈I ⇒ Aα = Ai ⊂ ( α Aα )i α∈I ⇒ Aα = Ai ⊂ ( α Aα )i ⇒ Aα ⊂ ( Aα )i α∈I α∈I α∈I α∈I α∈I iii) Gi¶ sö A, B lµ hai tËp bÊt k× thuéc lóc ®ã ta cã: Ai ∩ B i = A ∩ B vµ Ai ∩ B i = (A ∩ B)i (theo tiªn ®Ò 4) ⇒ Ai ∩ B i = A ∩ B ⇒ A ∩ B ∈ T II. B©y giê ta sÏ chøng minh ∀F ⊂ X th× F i trïng víi F o Gi¶ sö F lµ tËp con bÊt k× cña X. V× F o lµ tËp më ⇒ F o ∈ T ⇒ (F o )i = F o L¹i do F o ⊂ F ⇒ F o = (F o )i ⊂ F i (theo bæ ®Ò trªn) ⇒ Fo ⊂ Fi (1) L¹i cã (F i )i = F i (theo tiªn ®Ò 3) ⇒ F i ∈ T mµ F i ⊂ F ⇒ Fi ⊂ Fo (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ F o = F i Bµi 6 : Kh«ng gian t«p« ®−îc gäi lµ T1 - kh«ng gian khi vµ chØ khi mçi tËp mét ®iÓm lµ tËp ®ãng. Chøng minh r»ng: (a) Trªn mçi tËp X cã mét t«p« th« nhÊt T duy nhÊt sao cho (X, T ) lµ T1 - kh«ng gian. (b) NÕu tËp X v« h¹n vµ T lµ t«p« th« nhÊt sao cho (X, T ) lµ T1 - kh«ng gian th× (X, T ) liªn th«ng. (c) NÕu (X, T ) lµ T1 -kh«ng gian th× tËp c¸c ®iÓm giíi h¹n cña tËp con tuú ý lµ tËp ®ãng. KÕt qu¶ m¹nh h¬n : §Þnh lý Yang: §Ó tËp giíi h¹n cña tËp con tuú ý lµ tËp ®ãng, cÇn vµ ®ñ lµ tËp giíi h¹n cña tËp {x} lµ tËp ®ãng, trong ®ã x lµ ®iÓm tuú ý cña tËp X. Chøng minh (a) C¸ch 1: Gi¶ sö {Tα }α∈I lµ hä tÊt c¶ c¸c t«p« T1 -kh«ng gian trªn tËp X. §Æt T = Tα α∈I
nqchungv@yahoo.com 9 ta sÏ chøng minh T lµ t«p« th« nhÊt duy nhÊt sao cho (X, T ) lµ T1 - kh«ng gian. B¹n ®äc tù chøng minh dùa vµo c©u A. C¸ch 2: §Æt T = {∅, X, X\F : F lµ tËp con h÷u h¹n cña X} . Ta cã: i) Râ rµng ∅, X ∈ T theo ®Þnh nghÜa T ii) Gi¶ sö {Uα }α∈Λ lµ hä bÊt kú thuéc T ⇒ Uα = X\Fα trong ®ã Fα h÷u h¹n, víi mäi α. Ta cã: Uα = (X\Fα ) = X\( Fα ) α∈Λ α∈Λ α∈Λ mÆt kh¸c Fα h÷u h¹n ⇒ Fα h÷u h¹n ⇒ Uα ∈ T α∈Λ α∈Λ iii) U, V lµ hai tËp bÊt kú thuéc T , khi ®ã ∃Fu , Fv h÷u h¹n sao cho U = X\Fu , V = X\Fv Ta cã: U ∩ V = (X\Fu ) ∩ (X\Fv ) = X\(Fu ∪ Fv ) mµ Fu ∪ Fv h÷u h¹n ⇒ U ∩ V ∈ T . VËy T lµ mét t«p« trªn X. B©y giê ta chøng minh (X, T ) lµ T1 -kh«ng gian th« nhÊt. ThËt vËy: V× {x} h÷u h¹n ⇒ X\{x} ∈ T ⇒ X\{x} më ⇒ {x} lµ tËp ®ãng ⇒ (X, T ) lµ T1 -kh«ng gian. Gi¶ sö (X, U) lµ T1 -kh«ng gian bÊt kú. Ta cã: ∀V ∈ T ⇒ V = X\F víi F lµ tËp h÷u h¹n tøc F = {x1 , x2 , ..., xn } n n ⇒ V = X\{x1 , x2 , ..., xn } = X\( xi ) = X\{xi } ı=1 i=1 Theo gi¶ thiÕt (X, U ) lµ T1 -kh«ng gian ⇒ ∀i = 1, n tËp {xi } ®ãng n ⇒ X \xi ∈ U, ∀i = 1, n ⇒ X\{xi } ∈ U ⇒ V ∈ U ⇒ T ⊂ U i=1 ⇒ T th« h¬n U Tõ chøng minh trªn còng cho ta tÝnh duy nhÊt cña T
nqchungv@yahoo.com 10 (b) §Ó chøng minh X lµ kh«ng gian liªn th«ng ta chøng minh kh«ng tån t¹i mét tËp con thùc sù kh¸c ∅ võa ®ãng võa më cña X. ThËt vËy: Gi¶ sö U lµ tËp con thùc sù, kh¸c rçng më bÊt kú trong X ⇒ U = X\F víi F lµ tËp con h÷u h¹n cña X, v× X v« h¹n ⇒ U = X\F v« h¹n, vËy mäi tËp con kh¸c rçng më cña X ®Òu v« h¹n. L¹i cã X\U = F = ∅ h÷u h¹n ⇒ F kh«ng më ⇒ U kh«ng ®ãng, do U lÊy bÊt kú ⇒ mäi tËp më kh¸c rèng vµ X ®Òu kh«ng ®ãng ⇒ X lµ kh«ng gian kh«ng liªn th«ng. (c) (X, T ) lµ T1 -kh«ng gian. A lµ tËp con bÊt kú cña X. §Ó chøng minh A ®ãng ta sÏ chøng minh X\A më. ThËt vËy: Víi mäi x ∈ X\A ⇒ x ∈ A ⇒ ∃ l©n cËn më U cña x sao cho U ∩ A\{x} = ∅. Gi¶ sö y ∈ U ∩ A . V× X lµ T1 - kh«ng gian⇒ ∃ l©n cËn më V cña y sao cho x ∈ V , do U më y ∈ U ⇒ W = U ∩ V còng lµ l©n cËn më cña y. Vµ W ∩ A\{y} = W ∩ A\{x, y} ⊂ U ∩ A\{y} = ∅ (V× x ∈ W vµ W ⊂ U )⇒ W ∩ A\{y} = ∅ m©u thuÉn víi y ∈ A . VËy U ∩ A = ∅ ⇒ x ∈ U ⊂ X\A ⇒ X\A më ⇒ A ®ãng. B©y giê ta chøng minh ®Þnh lý Yang: HiÓn nhiªn ∀A ⊂ X mµ A ®ãng ⇒ ∀x ∈ X th× {x} ®ãng. Ta sÏ chøng minh nÕu {x} ®ãng víi mäi x ∈ X th× A ®ãng víi mäi A ⊂ X. ThËt vËy: ∀x ∈ X th× x ∈ {x} v× nÕu x ∈ {x} ⇒ ∀ l©n cËn U cña x. Ta cã: U ∩ {x}\{x} = ∅ v« lý ⇒ x ∈ X\{x} v× {x} ®ãng ⇒ X\{x} më ⇒ X\{x} lµ l©n cËn cña x víi mäi x ∈ X. Gi¶ sö A lµ tËp con bÊt kú cña X, ∀x ∈ X\A tån t¹i l©n cËn U cña x sao cho U ∩ X\{x} = ∅. Lóc ®ã V = U ∩ X\{x} còng lµ l©n cËn cña x vµ V ∩ X \ { x } = ∅. Ta sÏ chøng minh V ⊂ X\A Mçi y ∈ V nÕu y = x râ rµng y ∈ X\A NÕu y = x, do V ⊂ X\{x} ⇒ y ∈ X\{x} vµ ∃ l©n cËn Vy cña y sao cho Vy ∩ {x}\{y} = ∅ ⇒ V ∩ {x} = ∅ §Æt W = Vy ∩ V ⇒ W lµ l©n cËn cña y vµ W ∩ {x} = ∅ ⇒ W ∩ A\{y} = W \{x} ∩ A\{y} = W ∩ A\{x, y} ⊂ V ∩ A\{x} = ∅ ⇒ W ∩ A\{x} = ∅ ⇒ y ∈ A ⇒ y ∈ X\A ⇒ V ⊂ X\A ⇒ X\A më ⇒ A ®ãng.
nqchungv@yahoo.com 11 Bµi 7 : Kh«ng gian t«p« X tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®−îc thø hai lµ kh«ng gian Linderlov. Mäi kh«ng gian con Y cña X ®Òu lµ kh«ng gian tho¶ m·n ®Õm ®−îc thø hai. Chó ý: Kh«ng gian t«p« mµ t¹i mçi ®iÓm cã c¬ së l©n cËn ®Õm ®−îc gäi lµ kh«ng gian t«p« tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®−îc thø nhÊt. Kh«ng gian t«p« cã c¬ së ®Õm ®−îc gäi lµ kh«ng gian t«p« tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®−îc thø hai. Kh«ng gian t«p« ®−îc gäi lµ kh«ng gian Linderlov nÕu víi mäi phñ më ®Òu trÝch ra ®−îc mét phñ con ®Õm ®−îc. Chøng minh Gi¶ sö U = {Uα }α∈Λ lµ phñ më bÊt kú cña X vµ β = {Vi }i∈N lµ mét c¬ së ®Õm ®−îc cña X ta sÏ chøng minh cã mét phñ con ®Õm ®−îc cña U. ThËt vËy: Mçi Uα ∈ U ®Òu tån t¹i hä {Vi }i∈Iα ⊂ β sao cho Uα = Vi ⇒ X = Uα = ( Vi ) i∈Iα α∈Λ α∈Λ i∈ Iα §Æt V = {Vi }α∈Λα i∈ I v× V ⊂ β mµ β cã lùc l−îng ®Õm ®−îc ⇒ V cã lùc l−îng kh«ng qu¸ ®Õm ®−îc vµ phñ X. Víi mçi Vi ∈ V ta chän mét vµ chØ mét tËp Uαi ∈ U t−¬ng øng sao cho Vi ⊂ Ui . §Æt U0 = {Uαi } râ rµng U0 ⊂ U vµ lùc l−îng cña U0 b»ng lùc l−îng cña V nªn nã cã lùc l−îng kh«ng qu¸ ®Õm ®−îc do hä V phñ X ⇒ hä U0 phñ X ta cã (®pcm). ViÖc chøng minh ý cßn l¹i xin dµnh cho b¹n ®äc. Bµi 8 : NÕu t«p« cña mét kh«ng gian cã c¬ së ®Õm ®−îc th× mçi c¬ së cña kh«ng gian chøa c¬ së ®Õm ®−îc nµo ®ã.
nqchungv@yahoo.com 12 Chøng minh Gi¶ sö (X, T ) lµ kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®−îc thø hai ⇒ mäi kh«ng gian con cña nã còng tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®−îc thø hai ⇒ mäi kh«ng gian con cña X ®Òu lµ kh«ng gian Linderlov nªn mçi phñ më cña nã ®Òu cã mét phñ con ®Õm ®−îc. Gi¶ sö β = {Un }n∈N lµ mét c¬ së ®Õm ®−îc cña T vµ ψ = {Vα }α∈Λ lµ c¬ së bÊt kú cña T . Ta sÏ chøng minh ψ chøa mét c¬ së ®Õm ®−îc. ThËt vËy: Víi mçi n kh«ng gian con Un cña X lµ kh«ng gian Linderlov mÆt kh¸c Un thuéc n T ⇒ ∃ hä {Vα }α∈I ⊂ {Vα }α∈Λ sao cho : n Un = Vα α∈I Do kh«ng gian Un Linderlov nªn tån t¹i hä ®Õm ®−îc n n {Vαi }αi ∈N ⊂ {Vα }α∈I sao cho: n Un = Vαi αi ∈N víi mäi n ∈ N. Ta ®Æt: n n U = {Vαi : Un = Vαi , Un ∈ β} αi ∈N ⇒ U ⊂ {Vα }α∈Λ Râ rµng do lùc l−îng cña {Un }n∈N lµ ®Õm ®−îc nªn U lµ hä ®Õm ®−îc b©y giê ta chøng minh U lµ c¬ së cña T . Mçi x ∈ X vµ bÊt kú U ∈ T sao cho x ∈ U tån t¹i Un0 ∈ β sao cho ∞ n n x ∈ Un0 ⊂ U ⇒ x ∈ Un0 = Vαi0 ⊂ U ⇒ ∃Vαi0 ∈ U 0 αi =1 sao cho n x ∈ Vαi0 ⊂ U 0 n trong ®ã Vαi0 ∈ U ⇒ U lµ c¬ së ®Õm ®−îc cña T vµ U ⊂ ψ.
nqchungv@yahoo.com 13 Bµi 9 : NÕu tËp A trï mËt trong mét kh«ng gian t«p« X cßn U më th× U ⊂ A ∩ U. Chøng minh Gi¶ sö tån t¹i x ∈ U nh−ng x ∈ A ∩ U ⇒ tån t¹i l©n cËn Vx cña x sao cho (Vx \{x}) ∩ (A ∩ U ) = ∅ ⇔ ((Vx \{x}) ∩ U ) ∩ A = ∅ ⇔ ((Vx ∩ U )\{x}) ∩ A = ∅ (∗) MÆt kh¸c U më nªn U lµ l©n cËn cña x ⇒ Vx ∩ U lµ l©n cËn cña x l¹i do A trï mËt trong X ⇒ ((Vx ∩ U )\{x}) ∩ A = ∅ tr¸i víi (∗) VËy kh«ng tån t¹i x ∈ U mµ x ∈ A ∩ U ⇒ U ⊂ A ∩ U Bµi 10 :Gi¶ sö f : X −→ Y lµ song ¸nh liªn tôc tõ kh«ng gian t«p« X vµo kh«ng gian t«p« Y . Khi ®ã c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng: a) f lµ ¸nh x¹ ®ång ph«i b) f lµ ¸nh x¹ më c) f lµ ¸nh x¹ ®ãng Chøng minh a) ⇒ b) vµ c) lµ hiÓn nhiªn. B©y giê ta sÏ chøng minh b) ⇒ a). Ta cã: V× f lµ song ¸nh ⇒ ∃f −1 : Y −→ X. Ta sÏ chøng minh f −1 liªn tôc. Gi¶ sö U lµ tËp më bÊt kú trong X khi ®ã (f −1 )−1 (U ) = f (U ) më trong Y (v× f lµ ¸nh x¹ më)⇒ f −1 liªn tôc ViÖc chøng minh c) ⇒ a) hoµn toµn t−¬ng tù b»ng c¸ch ta thay ch÷ më b»ng ch÷ ®ãng trong chøng minh trªn. Bµi 11 : a) Kh«ng gian t«p« X lµ T1 -kh«ng gian nÕu vµ chØ nÕu ∀x ∈ X th× tËp {x} lµ tËp ®ãng trong X. b) Mäi kh«ng gian con cña T2 -kh«ng gian lµ T2 -kh«ng gian. Chøng minh a) Gi¶ sö X lµ T1 -kh«ng gian, x lµ ®iÓm bÊt kú thuéc X. Khi ®ã ∀y ∈
nqchungv@yahoo.com 14 X\{x}, ∃ l©n cËn Uy cña y sao cho x ∈ Uy ⇒ {x} ∩ Uy = ∅ ⇒ Uy ⊂ X\{x} ⇒ X\{x} më ⇒ {x} lµ tËp ®ãng. Gi¶ sö ∀x ∈ X, {x} ®ãng ⇒ X\{x} më ∀y = x ⇒ y ∈ X\{x} v× X\{x} më ⇒ ∃ l©n cËn më cña y ®Ó U ⊂ X\{x} ⇒ x ∈ U ⇒ X lµ T1 -kh«ng gian. / b)Gi¶ sö X lµ T2 -kh«ng gian Y lµ kh«ng gian con cña X. Khi ®ã víi mäi x, y ∈ Y ; x = y tån t¹i c¸c l©n cËn U, V cña x, y trong X sao cho: U ∩ V = ∅ ⇒ (U ∩ Y ) ∩ (V ∩ Y ) = ∅ §Æt UY = U ∩ Y, VY = V ∩ Y khi ®ã UY , VY lµ c¸c l©n cËn cña x, y trong Y vµ UY ∩ VY = ∅ ⇒ Y lµ T2 -kh«ng gian. Bµi 12 : Gi¶ sö X lµ kh«ng gian t«p«, Y lµ T2 -kh«ng gian f, g : X −→ Y lµ c¸c ¸nh x¹ liªn tôc. Khi ®ã : a) TËp F = {x ∈ X : f (x) = g(x)} lµ tËp ®ãng trong X. b) NÕu f = g trªn tËp con trï mËt cña X th× f = g Chøng minh a) §Ó chøng minh F ®ãng ta chøng minh tËp G = X\F = {x ∈ X : f (x) = g(x)} më Víi mäi x ∈ G ⇒ f (x) = g(x) ⇒ ∃ U vµ V lµ l©n cËn më cña f (x) vµ g(x) sao cho U ∩ V = ∅ Do f liªn tôc U, V më ⇒ W = f −1 (U ) ∩ g −1 (V ) lµ mét l©n cËn më cña x ∀y ∈ W ⇒ f (y) ∈ U vµ g(y) ∈ V ,v× U ∩ V = ∅ ⇒ f (y) = g(y) ⇒ y ∈ G ⇒ W ⊂ G ⇒ G më ⇒ F lµ tËp ®ãng. b) C¸ch 1: Gi¶ sö A lµ tËp trï mËt kh¾p n¬i trong X vµ ∀x ∈ A th× f (x) = g(x). §Æt F = {x ∈ X : f (x) = g(x)}
nqchungv@yahoo.com 15 ta sÏ chøng minh X = F , thËt vËy: Râ rµng F ®ãng theo a). MÆt kh¸c ta l¹i cã: ¯ A⊂F ⇒X=A⊂F =F ⇒X =F C¸ch 2: Gäi A lµ tËp trï mËt trong X vµ tho¶ m·n ∀x ∈ A th× f (x) = g(x) Gi¶ sö ∃ x ∈ X sao cho f (x) = g(x) ⇒ ∃ c¸c tËp më U, V sao cho f (x) ∈ U, g(x) ∈ V vµ U ∩ V = ∅. §Æt G = f −1 (U ) ∩ g −1 (V ) khi ®ã G lµ l©n cËn më cña x l¹i do A = X ⇒G∩A=∅⇒∃y ∈G∩A⇒y ∈G ⇒ f (y) ∈ U vµ g(y) ∈ V mµ U ∩ V = ∅ ⇒ f (y) = g(y) ⇒ y ∈ A v« lý v× y ∈ G ∩ A ⇒ (®pcm). Bµi 13 : Gi¶ sö f : Xα −→ Y lµ ¸nh x¹ tõ tæng t«p« Xα vµo kh«ng α∈Λ α∈Λ gian t«p« Y . Khi ®ã f liªn tôc khi vµ chØ khi f◦ iα : Xα −→ Y liªn tôc ∀α ∈ Λ trong ®ã iα : Xα −→ Xα α∈Λ lµ phÐp nhóng. Chøng minh Gi¶ sö f liªn tôc vµ ∀α ∈ Λ, iα liªn tôc râ rµng f◦ iα liªn tôc. Gi¶ sö ∀α, f◦ iα liªn tôc. Lóc ®ã víi tËp më U bÊt kú trong Y ta cã: f −1 (U ) ∩ Xα = i−1 (f −1 (U )) = (i−1 ◦ f −1 )(U ) = (f◦ iα )−1 (U ) më trong Xα α α ⇒ f (U ) ∩ Xα më trong Xα ⇒ f −1 (U) më trong X, nhê nhËn xÐt sau ®Þnh −1 nghÜa t«p« tæng ⇒ f liªn tôc. Bµi 14 : Gi¶ sö Y lµ kh«ng gian t«p« vµ X = ΠXα : α ∈ Λ lµ kh«ng gian t«p« tÝch cña c¸c kh«ng gian t«p« Xα : α ∈ Λ. Khi ®ã ¸nh x¹ f : Y −→ X liªn tôc ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ ¸nh x¹ pα ◦ f : Y −→ Xα víi mäi α ∈ Λ liªn tôc. Trong ®ã pα : X −→ Xα lµ phÐp chiÕu lªn to¹ ®é thø α.
nqchungv@yahoo.com 16 Chøng minh Víi mäi α ∈ Λ ta ®Æt gα = pα ◦ f Râ rµng f liªn tôc th× ∀α, gα liªn tôc. B©y giê ta chøng minh nÕu gα liªn tôc víi mäi α th× f liªn tôc. ThËt vËy: Gi¶ sö U lµ tËp më bÊt k× trong X⇒U = Uβ β∈I trong ®ã {Uβ }β∈I lµ c¸c tËp thuéc c¬ së cña t«p« tÝch. Víi mçi β ta cã: nβ Uβ = p−1 (Vi ) víi nβ ∈ N αi i=1 nβ ⇒U = Uβ = ( p−1 (Vi )) víi Vi lµ tËp më trong Xαi αi β∈I β∈I i=1 Khi ®ã nβ nβ −1 −1 f (U ) = f ( ( p−1 (Vi )) αi = ( f −1 ◦ p−1 (Vi )) αi β∈I i=1 β∈I i=1 nβ nβ −1 −1 −1 ⇒f (U ) = ( (pαi ◦ f ) (Vi )) = ( gαi (Vi )) β∈I i=1 β∈I i=1 nβ −1 Do gαi liªn tôc ⇒ gαi (Vi ) lµ tËp më i=1 nβ ⇒ ( gαi (Vi )) lµ tËp më ⇒ f −1 (U ) më −1 β∈I i=1 ⇒ f liªn tôc. Bµi 15 : Cho A vµ B lµ c¸c tËp con cña kh«ng gian t«p« X, sao cho X = A ∪ B vµ c¸c tËp A\B vµ B\A t¸ch ®−îc. Khi ®ã, nÕu ¸nh x¹ f liªn tôc ®ång thêi trªn A vµ B th× f liªn tôc trªn toµn bé X. Chøng minh Gi¶ sö f : X −→ Y lµ ¸nh x¹ tõ kh«ng gian t«p« X vµo kh«ng gian t«p« Y tho¶ m·n f liªn tôc trªn A vµ B. U lµ tËp më bÊt k× trong Y khi ®ã: f −1 (U ) = (f −1 (U ) ∩ A) ∪ (f −1 (U ) ∩ B)
nqchungv@yahoo.com 17 L¹i cã f −1 (U ) ∩ A = f −1 |A(U) f −1 (U ) ∩ B = f −1 |B (U ) Do f liªn tôc trªn A vµ B theo gi¶ thiÕt ⇒ f −1 |A (U ) vµ f −1 |B (U ) më trong X ⇒ f −1 (U ) ∩ A më trong A, f −1 (U ) ∩ B më trong B Theo hÖ qu¶ 19 ch−¬ng 1, suy ra f −1 (U ) më ⇒ f liªn tôc trªn toµn bé X.
Kh«ng gian mªtric Bµi 16 :Gi¶ sö X, d lµ kh«ng gian gi¶ mªtric, A lµ tËp con cña X cho tr−íc. Khi ®ã hµm dA : X −→ R x −→ dA (x) = d(x, A) lµ mét hµm liªn tôc. Chøng minh Víi mäi x, y ∈ X ta cã d(x, z) d(x, y) + d(y, z) ⇒ d(x, z) − d(y, z) d(x, y) ⇒ inf (d(x, z) − d(y, z)) d(x, y) z∈A ⇒ d(x, A) − d(y, A) d(x, y) (1) Chøng minh t−¬ng tù ta cã d(y, A) − d(x, A) d(y, x) = d(x, y) (2) Tõ (1) vµ (2) ta suy ra: ⇒ |d(x, A) − d(y, A)| d(x, y) ⇒ |dA(x) − dA (y)| d(x, y) ⇒ dA lµ hµm liªn tôc ®Òu ⇒ dA liªn tôc. Bµi 17 : Gi¶ sö (X, d) lµ kh«ng gian gi¶ mªtric A ⊂ X. Khi ®ã ta cã: A = {x ∈ X : d(x, A) = 0} Chøng minh §Æt M = {x ∈ X : d(x, A) = 0} 18
nqchungv@yahoo.com 19 khi ®ã M = d−1 (0) trong ®ã A dA : X −→ R x −→ dA (x) = d(x, A) Theo bµi 16 dA liªn tôc vµ tËp {0} ®ãng trong R ⇒ M ®ãng (1) HiÓn nhiªn x ∈ A th× d(x, A) = 0 ⇒ A ⊂ M kÕt hîp víi (1) ⇒ A ⊂ M. §Ó chøng minh M ⊂ A ta sÏ chøng minh nÕu x ∈ A th× x ∈ M. ThËt vËy: / / Gi¶ sö x ∈ A ⇒ tån t¹i > 0 sao cho B(x, ) ∩ A = ∅ / ⇒ d(x, a) ≥ , ∀a ∈ A ⇒ d(x, A) = inf {d(x, a) : a ∈ A} ≥ ⇒ x ∈ M ⇒ M ⊂ A ⇒ A = M = {x ∈ X : d(x, A) = 0} / Bµi 18 : (a) Mçi kh«ng gian gi¶ mªtric ®Òu tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®−îc thø nhÊt. (b) Kh«ng gian gi¶ mªtric tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®−îc thø hai khi vµ chØ khi nã kh¶ ly. Chøng minh (a) (X, d) lµ kh«ng gian gi¶ mªtric, x lµ ®iÓm bÊt k× thuéc X. Hä c¸c h×nh cÇu më: 1 B = {B(x, )}∞ n n=1 lµ mét c¬ së l©n cËn ®Õm ®−îc cña ®iÓm x ⇒ X lµ kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®−îc thø nhÊt. (b)(X, d) lµ kh«ng gian gi¶ mªtric tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®−îc thø hai. Khi ®ã trong X cã c¬ së ®Õm ®−îc B = {Vi }∞ i=1 Mçi i = 1, 2, ..., n, ... ta lÊy mét ®iÓm xi ∈ Vi . §Æt tËp A = {xi }∞ i=1 Lóc ®ã râ rµng A lµ tËp ®Õm ®−îc h¬n n÷a A trï mËt trong X. ThËt vËy: Víi mçi x ∈ X, U lµ l©n cËn më bÊt kú cña x ⇒ U = ∪Vαi trong ®ã {Vαi } ⊂ B l¹i do U = ∅ ⇒ ∃Vαi0 = ∅ ⇒ ∃ xαi0 ∈ A ⇒ U ∩ A ⊃ Vαi0 ∩ A xαı0 ⇒ U ∩ A = ∅ ⇒ A trï mËt trong X ⇒ X kh¶ ly.
nqchungv@yahoo.com 20 Gi¶ sö X lµ kh«ng gian kh¶ ly, khi ®ã trong X cã tËp con ®Õm ®−îc A = {ai }∞ i=1 trï mËt trong X. §Æt 1 U = {B(ai , ) : ai ∈ A; i, n ∈ N} n Râ rµng U ®Õm ®−îc. Ta sÏ chøng minh nã lµ mét c¬ së cña X tøc ta chøng minh mäi h×nh cÇu më B(x, r) trong X ®Òu cã mét B ∈ B sao cho B ⊂ B(x, r). ThËt vËy: 1 Víi mäi h×nh cÇu më B(x, r), tån t¹i n0 ∈ N sao cho n0 r. Do A trï mËt trong X ⇒ ∃ a ∈ A sao cho 1 1 1 a ∈ B(x, ) ⇒ d(a, x) < ⇒ x ∈ B(a, ) 3n0 3n0 3n0 1 Khi ®ã B(a, 3n0 ) ⊂ B(x, r). ThËt vËy: 1 1 ∀ y ∈ B(a, ) ⇒ d(a, y) < 3n0 3n0 1 1 2 ⇒ d(x, y) d(x, a) + d(a, y) < + = 3n0 3n0 3n0 2 1 ⇒ d(x, y) < < < r ⇒ y ∈ B(x, r) 3n0 n0 1 MÆt kh¸c B(a, 3n0 ) ∈ U ⇒ ∀ h×nh cÇu më B(x, r) ®Òu tån t¹i mét h×nh cÇu B ∈ U sao cho B ⊂ B(x, r) ⇒ U lµ c¬ së cña X. VËy X tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®−îc thø hai. Bµi 19 :Cho ¸nh x¹ f : X −→ Y tõ kh«ng gian gi¶ mªtric (X, dX ) vµo kh«ng gian gi¶ mªtric (Y, dY ) lµ ¸nh x¹ ®¼ng cù. Khi ®ã: a) f lµ ¸nh x¹ liªn tôc, nÕu f lµ ¸nh x¹ lªn th× f më. b) TÝch cña hai ¸nh x¹ ®¼ng cù lµ ¸nh x¹ ®¼ng cù. c) NÕu f lµ ¸nh x¹ lªn vµ X lµ kh«ng gian mªtric th× f lµ phÐp ®ång ph«i. Chøng minh a) Víi mäi a, b ∈ X ta cã: dX (a, b) = dY (f (a), f (b)) VËy ∀ > 0 ta chän δ = , khi ®ã nÕu dX (a, b) < δ ⇒ dY (f (a), f (b)) = dX (a, b) < δ = ⇒ dX (f (a), f (b)) <