Bài tập Lý thuyết tô pô: Tổng hợp đầy đủ và chi tiết

Ậ

Ế

BÀI T P LÝ THUY T TÔ PÔ

ứ

ằ

. Ch ng minh r ng

Bài 1. Cho

,A B X(cid:0)

1) A

� � � =� B A � 2) A B B A B

ờ ả

L i gi

ứ 1) Ta ch ng minh

� � � (1) A B B

Ta có

nên suy ra

, do đó A

( (cid:0) � � A ( � � A

ứ

Ta ch ng minh

A B (cid:0) (cid:0) B (cid:0) (cid:0) � � � B A B A ) ) (cid:0) (cid:0) B B (cid:0) (cid:0) � � A A � � A B B (cid:0)

)

A � � � (2) A B B

( �ȹ� A

ậ

ấ

ộ

và V là m t lân c n b t kì c a

ủ x , ta có:

V B B(cid:0)

)

(

)

L y ấ x b t kì thu c ộ A ấ ( ( � � A

Mà

ho c ặ V

ừ

. T đó suy ra

Hay là ho c ặ x

= B V V A A B Bǹ� Aǹ� � � � nên ta có ho c ặ V

ho c ặ x

ứ

ừ

ả

ề T (1) và (2) ta có đi u ph i ch ng minh.

A(cid:0) B(cid:0) x A � � � B� � , suy ra A B A B

A A (cid:0) (cid:0) A (cid:0) (cid:0)

( � � �

)

ừ

2) Ta có

nên ta có

. T đó suy ra

( (cid:0) � � B (

) ) � � B

ứ ở

ẳ

ạ

ườ

ẳ

trên không đúng. Ch ng h n trên đ

ự ng th ng th c ta xét hai

ề (0;1),

A B A B (cid:0) (cid:0) A B (cid:0) (cid:0) � � A B � � B A B (cid:0)

ượ ạ ủ Chú ý: Chi u ng c l = = t p ậ (1;2) B

i c a bao hàm th c .

ứ

ằ

. Ch ng minh r ng :

ể

ọ

ậ ủ

A là lân c n c a m i đi m thu c

ộ A

�

int A )

(

)

,A B X(cid:0)

Bài 2. Cho không gian tô pô X; 1) A m ở (cid:0) 2) A m ở 3) (

int int int � � � A A B B

ờ ả

L i gi

ể

ậ

ở

ở ủ

ể

ậ

ọ

ộ

1) N u ế A là t p m thì hi n nhiên

ậ ủ

ậ ậ

ứ

ể

ọ

ở

ộ ả ử A là lân c n c a m i đi m thu c nó, ta ch ng minh A m . Th t v y:

A là lân c n m c a m i đi m thu c nó

ộ ậ

L y ấ x b t kì thu c ấ

ộ X , khi đó luôn có m t t p m

. Suy ra

ở xV c a ủ x sao cho

A A(cid:0) (cid:0) � � V x x A

ặ

ấ

M t khác v i

ớ x b t kì thu c

ộ A thì

x A

x V A V � � nên suy ra (cid:0) (cid:0) � � x A

ậ

ở

Do đó ta có

, mà

ở là t p m nên A là t p m .

x A

= (cid:0) (cid:0) A V V (cid:0) (cid:0)

ứ

ậ

int A

ở ả ử A là t p m , ta ch ng minh

ể

(cid:0)

Hi n nhiên ta có:

int A A(cid:0)

int

Vì A m và ở

ừ

nên ta có A=

T đó suy ra

(cid:0) A A(cid:0)

ả ử int A

(cid:0) int A A=

ở

Vì int

m nên ta suy ra

ậ int A là t p m hay

ở ậ A là t p m .

, A V , A V (cid:0) = �� V x x A

ữ

ậ

ở

3) Ta có

nên suy ra

. Mà int A và int B là nh ng t p m nên ta có

) )

( � � A ( � � A

(cid:0) int (cid:0) A B (cid:0) (cid:0) int A A (cid:0) (cid:0) (cid:0) int (cid:0) (cid:0) B B int B B (cid:0)

)

(

)

(

ừ

. T đó suy ra

( (

) )

(cid:0) int � int � A A B (cid:0) (cid:0) int � int � int � A B A B (cid:0) int � int � B A B (cid:0)

ụ

ứ

ể

ằ

ộ

ươ

là m t song ánh liên t c. Ch ng minh r ng các phát bi u sau là t

ng đ

Bài 3. Cho

ồ

1) f là phép đ ng phôi;

ạ

2) f là ánh x đóng;

ạ ở 3) f là ánh x m .

(cid:0) :f X Y

ứ

1) � � � 2) 3) 1)

ờ ả Ta ch ng minh

L i gi

(cid:0) (cid:0) 2)

ồ

ạ ả ử f là phép đ ng phôi, khi đó ánh x

ụ ạ là ánh x liên t c

1 :

-= f

ộ ậ

ấ

ứ

ầ

(cid:0) g Y X

L y ấ A là m t t p đóng b t kì trong

X , ta c n ch ng minh ( ) f A đóng trong Y

ở

ụ

ậ

ở

Đ t ặ

, ta có U m trong

là t p m trong

1( ) g U

- \ = U X A Y

1( ) g U

( f X

ặ

ậ

ở

M t khác

nên ta có

ậ

ạ

Suy ra ( )

- = = = X , mà g là hàm liên t c nên ) \ Y ( ) \ \ f U A ( ) f A Y Y ( ) f A là t p m trong

f A là t p đóng trong Y , hay f là ánh x đóng.

ứ

ạ

ả ử f là ánh x đóng, ta ch ng minh

(cid:0) (cid:0) 3)

ở ấ

ậ

f là ánh x mạ ở

L y ấ U là t p m b t kí trong

ậ ta có B là t p đóng trong

\ X U X B

ạ

ậ

Mà f là ánh x đóng nên

là t p đóng trong

Do đó ( )

ở f U m trong

= = = ) \ ( ) \ ( ) f B Y f U X , đ t ặ ( f X U Y

Y hay f là ánh x mạ ở

(cid:0) (cid:0) 1)

ạ ở

ứ

ụ

ạ ả ử f là ánh x m , ta ch ng minh ánh x

ạ là ánh x liên t c.

1 :

-= f

(cid:0) g Y X

ộ ậ

ở ấ

ạ ở

ậ

ở

L y ấ V là m t t p m b t kì trong

. Mà f là ánh x m nên

1( ) V

ụ

ố

ồ

Hay

là hàm s liên t c. V y

ậ f là phép đ ng phôi.

- = Y X , ta có ( ) f V là t p m trong ( ) g f V

-= f

ệ

Bài 4. (Bài 1.1 tài li u [1])

{

ộ ọ

ằ

ộ

Cho t p ậ X và m t h tô pô

ứ trên X . Ch ng minh r ng

là m t tô pô trên

} s s S

s S

(cid:0) T T X . (cid:0) (cid:0)

ờ ả

L i gi

Vì

, X T (cid:0) , X S � � � nên ,s T s (cid:0) � � � s S

ấ

ậ L y hai t p b t kì

s S

" , A B T (cid:0) , A B s S A � � B T s � S � � , khi đó s � nên "� , s T , s (cid:0)

Suy ra

A T B (cid:0)

}

ả ử ọ { s h

s S

" � � � . s s S } , s � S U U s S � � T U i (cid:0) � � , suy ra { T � , do đó (cid:0) Gi (cid:0) "� , T s (cid:0) (cid:0)

Suy ra

� s S

U T � � � . s � I

V y ậ

ộ là m t tô pô.

s S

ệ

Bài 5. (Bài 1.6 trong tài li u [1])

(cid:0) T (cid:0)

ộ ậ

ậ

ứ

ằ

ở

ậ ế U là t p m thì

Cho A là m t t p trù m t trong

(cid:0) X . Ch ng minh r ng n u = U U A

ờ ả

L i gi

i. Xem l

ờ ả i gi

i bài 6

ệ

Bài 6. (Bài 1.6 trong tài li u [1])

ở

ứ

ằ

ậ Cho U là t p m trong

)

X . Ch ng minh r ng =� � U A U A

(

U U A A

ờ ả L i gi Ta có (

� � � (1)

) � � � nên ta suy ra U

A U A

(

)

ở ấ

ộ

L y ấ x b t kì thu c ấ

ậ , V là m t lân c n m b t kì c a

ủ x . Ta có

ộ U

V �ǹ� U A

A(cid:0) (

)

ồ ạ

Do đó t n t

y V U A � � � suy ra y V U� � và y A(cid:0)

ậ

ạ

ữ

ậ

ở

là lân c n m c a

ở ủ y , l

i có

nên ta suy ra đ

cượ

Mà (

)

) �ǹ�

,V U là nh ng t p m nên ( �ǹ� U

V U(cid:0) A(cid:0) y

ừ

. T đó d n t

ứ , t c là

ẫ ớ x U i

A V V U A � � A

Do đó U

ừ

T (1) và (2) ta suy ra

� � � (2) A U A

=� U A U � . A

ệ

Bài 7. (Bài 1.9 trong tài li u [1])

ứ

ế

ằ

ụ ừ

ạ

là các ánh x liên t c t

không gian topo

không gian Y ,

Ch ng minh r ng n u { =

} ( ) g x

ậ

thì t p ậ

là t p đóng.

(cid:0) Y X vào 2T - , : f g X = � | ( ) X f x A x

ờ ả

L i gi

{

} ( ) g x

ể ứ

ứ

ở

Đ ch ng minh

là t p mậ

= ι \ X A x | ( ) X f x A đóng, ta ch ng minh

ồ ạ

ậ

ta có ( ) f y

không gian nên t n t

i hai lân c n m

ở U c a ủ

. Do Y là 2T -

L y ấ c a ủ

(cid:0) (cid:0) \ A X ( ) g y ( ) f y và V

y g y sao cho U V =� �. ( )

ụ

ạ

ở

Đ t ặ

1, V U M là t p mậ 1

- - = = = (cid:0) , ,f g là các ánh x liên t c nên U f g ( ), V M U ( ), U V 1

. Vì )

ứ

ế

Và y M(cid:0)

. Ti p theo ta ch ng minh

hay là M A =� �

ả ử

(cid:0) V 1 ( \ M X A

s có

và z

z M A A(cid:0) � � , suy ra z M(cid:0)

A(cid:0)

Vì z

nên ( ) f z

, z M(cid:0)

nên

, suy ra U Vǹ�

vô lí

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) z U ( ) f z = (cid:0) ( ) g z � � (cid:0) U � (cid:0) ( ) g z V (cid:0) � z V 1

ậ

ở

V y ta có

ậ M là lân c n m c a

ở ủ y và

nên ta có đ

c ượ

ậ A là t p đóng.

ệ

Bài 8. (Bài 1.16 trong tài li u [1])

(cid:0) \ M X A \X A là t p m hay

{

} h��u ha�n

ạ

ứ

ằ

ộ ậ Cho X là m t t p vô h n và

. Ch ng minh r ng

= = � : hoa�c � , hoa�c T U X U \ X U

b) (

không gian

ộ a) T là m t topo X T là 1T - ) ế

ở

ỗ

Bǹ�

ậ c) N u A, B là hai t p m khác r ng thì

ủ

ế

ậ

ạ

d) N u A là t p vô h n thì bao đóng c a A là X

(

)

ộ

e) N u ế d là m t topo trên X sao cho

không gian thì T

là 1T -

d (cid:0) ,X d

ờ ả

L i gi

ữ ạ

c h t ta có

h u h n nên

1) t

\X X = (cid:0) X T(cid:0) T�� và

ộ ọ

ấ

ườ

ậ là m t h các t p b t kì thu c

ộ T . Khi đó ta có các tr

ợ ng h p sau

ướ ế Tr } L y ấ { U (cid:0) i i

nên

= (cid:0) (cid:0) U U T = (cid:0) , i "� � , khi đó I (cid:0) (cid:0) U I U I

ồ ạ

T n t

i ch s

sao cho

. Khi đó:

ữ ạ h u h n

ỉ ố 0i

0iU (cid:0)

i 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) \ I X \ X U U (cid:0) � U � � I i �(cid:0) � �

ữ ạ

Nên suy ra

(cid:0) U T \ X U (cid:0) U I (cid:0) � U � � I i � h u h n hay là � �

ấ

ậ

ườ

L y hai t p

ộ T , ta có các tr

ợ ng h p sau

2,A A b t kì thu c ấ 1

ấ

ậ

ộ

ỗ

Có ít nh t m t trong hai t p là r ng, khi đó

(cid:0) A

)

(

)

, khi đó

ữ ạ A h u h n nên

ậ ữ ạ là t p h u h n

2,A A (cid:0) 1

(cid:0) (cid:0) A =� 2 ( � � T A 2 ( \ \ U \ X X A X A \ \ X � nên 1 A ) =� A 2 A 1 , A X 1

ộ V y ậ T là m t tô pô trên

} ,x

A T A Do đó 1 � � . 2

ể ứ

ứ

ậ

b) Đ ch ng minh

là t p đóng

X(cid:0) x X . X là 1T -

ậ { không gian, ta ch ng minh t p }

{

}

{ x=

ậ ữ ạ

L y ấ x b t kì thu c ấ

, khi đó

là t p h u h n nên suy ra

hay A là t p ậ

{

ở

ộ X , đ t ặ }x là t p đóng. ậ

m . Suy ra

không gian.

V y ậ X là 1T -

(

)

(

)

= \ \X X A x A A T(cid:0)

ở ấ

ậ

ậ ữ ạ

ủ X , ta có

là t p ậ

c) V i ớ ữ ạ h u h n (1).

\ U \ X A X B \ \ X , A X ,A B là hai t p m b t kì c a B là các t p h u h n nên

(

)

( �

) =� B

ề

ẫ

ậ

ạ

ớ

ả ử A s

, ta có

là t p vô h n. Đi u này mâu thu n v i (1)

Bǹ�

V y ậ A

ể

d) Hi n nhiên ta có

= \ \ \ X X A X A X B I B = (cid:0)

A X(cid:0)

ứ

ậ

ở

ự ự ủ X (T c là

). Khi đó t p ậ

là t p mậ

ả ử A là t p con th c s c a

(cid:0) = \X A (cid:0) \ B X A

ậ ữ ạ

ầ ử

ạ

Suy ra

là t p h u h n ph n t

. Vô lí vì

và A là t p vô h n nên

ậ A cũng là t p vô h n.

V y ậ A

= \ A X B A A(cid:0)

ộ ậ

ứ

ầ

e) Gi

ả ử V là m t t p thu c

ộ T , ta c n ch ng minh

V cũng là t p ậ d .

ể

V = (cid:0)

, hi n nhiên

(cid:0) d (cid:0) V

)

}

{

}

{

}

ậ

V (cid:0)

, khi đó

. Mà (

không gia nên t p ậ {

là t p đóng

là 1T -

n = U = 1 i

(cid:0) (cid:0) = ,X d ,..., \ X V x x , x x 1 2

(

)

(

)

{

}

ậ

Do đó

là t p đóng trong

ứ , t c là

nên V

n U = 1

ậ

ở ả ử ,A B là hai t p m trong không gian tô pô

d (cid:0) ,X d ,X d \X V là t p đóng trong x

B =� �. Ch ng ứ

X v i ớ A

Bài 9. (Bài 1.17 trong [1]) Gi minh r ng ằ �. A

int int � B =

ờ ả

L i gi

ồ ạ

, khi đó t n t

hay là

và

ả ử int s

(cid:0) (cid:0) ǹ� int � int � int int int A B x A B x A x B

ộ ậ

Vì

nên có m t t p m

ở 1V th a ỏ

(cid:0) A int x A � � x V 1

ộ ậ

nên có m t t p m

ở 2V th a ỏ

(cid:0) x V B int x B � � 2

ặ

ồ ạ

M t khác

. Do đó t n t

ở

ộ

ạ

ớ

ả

Bǹ�

Aǹ� y V A � int x A A x � � và 2V là lân cân c a ủ x nên 2V � � 2

ậ ủ y , l

i có

trái v i gi

thi

ế t

Vì A m nên

V y ậ int

y V B � � nên ta có A A là m t lân c n c a

� int �. A B =

Bài 10. (Bài 2.1 trong [1])Cho X là không gian com păc, {

ỏ ậ = là dãy các t p đóng th a 1

} n n

(cid:0) F

ồ ạ ố ự

ứ

ằ

. Ch ng minh r ng có t n t

i s t

nhiên

0n đ ể

0nF

(cid:0) = (cid:0) = (cid:0) ... � � � � � và ... F 1 F 3 F 2 F n F n I = 1 n

ờ ả

L i gi

{

ắ

ậ

Vì X com p c và

nên dãy các t p đóng

i các ch s

ỉ ố

ồ ạ = là dãy không có tâm, do đó t n t 1

} n n

(cid:0) (cid:0) = (cid:0) F F n I = 1 n

{

}

sao cho

. Đ t ặ

ta có

1 2, i i

k I = 1 j

= = (cid:0) max n F(cid:0) n , i i 1 2 ,..., k i ,..., k i F i F ji

Nên suy ra

k I = 1 j

= = (cid:0) F n F i

Bài 11. (Bài 2.2 trong [1])Cho X là không gian com păc, {

ỏ ậ = là dãy các t p đóng th a 1

} n n

(cid:0) F

ỗ ậ

ứ

ế

ằ

thì

nF (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ... ... � � � � � . Ch ng minh r ng n u m i t p F 1 F 2 F 3 F n F n I = 1 n

ờ ả

L i gi

ề

ớ

ả

ả ử s

, khi đó theo bài toán trên ta suy ra đ

c t n t

. Đi u này trái v i gi

ượ ồ ạ 0n đ ể

0nF

ế ủ

thi

(cid:0) = (cid:0) = (cid:0) F n

I = 1 n t c a bài toán.

liên t c,ụ

(cid:0) :f X Y

Bài 12. (Bài 3.2 trong [1])Cho X là không gian com p c, ắ Y là không gian Hausdorff, )

( f A

ứ

ằ

. Ch ng minh r ng :

( ) f A X(cid:0) A

ờ ả

L i gi

ạ

Vì X là không gian com p c, ắ Y là không gian Hausdorff,

ụ liên t c nên

(cid:0) :f X Y f là ánh x đóng,

= =

(

)

(

)

suy ra

. Vì

f A f A � � � A � � A ( ) f A ( ) f A ( ) f A ( ) f A ( ) f A

ể

ừ

ứ

ề

ả

Hi n nhiên ta có

. T đó ta có đi u ph i ch ng minh.

(cid:0) ( ) f A ( ) f A

ứ

ằ

ỉ

ế X

ậ ỗ

ộ � � thì m t trong hai t p

Bài 13. (Bài 2.6 trong [1]) Ch ng minh r ng không gian tô pô X là liên thông khi và ch khi n u ậ trong đó A

= (cid:0) A B = = ,A B là t p r ng. � B A B

ờ ả

L i gi

(cid:0) (cid:0)

(

= = =

(

ả ử X là liên thông và ) �� A

ở

Ta có

là t p mậ

,A B (cid:0) ) B A X B X A B \ B X A � . Mà A B =� � nên ta có

ươ

ự

ể

ậ

ở

ng t

là t p m và hi n nhiên là

= A B =� �. \ A X B

ậ

ở

ề

ớ

ả

ế

V y có hai t p m A,B không giao nhau đ

, đi u này tría v i gi

thi

t X liên thông

ể X

ậ ỗ

ộ ậ

ậ

Do đó trong hai t p A và B có m t t p là t p r ng.

= (cid:0) A B

ậ

ậ ỗ

ả ử ế X s n u

ộ � � thì m t trong hai t p

, trong đó A

(cid:0) = (cid:0) = = ,A B là t p r ng A B � B A B

ồ ạ

ậ

ờ

ỗ

ở

N u ế X không liên thông, khi đó t n t

i hai t p m khác r ng, r i nhau

= (cid:0) ,M N sao cho X M N

ả

ế

ộ

thi

t thì m t trong hai t p

ậ M ho cặ

Ta có , N ph i là t p r ng, đi u này d n t

nên M N M N ẫ ớ i vô lí. V y

ậ

= \ X M � � �, do đó theo gi \ M X N N ậ ỗ ả = ề = = ậ X liên thông.

ứ

ả ử ,A B là hai t p liên thông trong không gian tô pô Bài 14. (Bài 2.12 trong [1]) Gi ậ ằ Ch ng minh r ng

X , v i ớ A Bǹ� A B(cid:0)

L i gi

ờ ả Đ t ặ i.

)

(

)

s là t p liên thông. ) ( = �� A B ) ( � � �

ậ

Ta có

= = M ( B A A A A � A M A A B M là t p liên thông. � � � , mà A là t p liên thông nên ta có

)

A M B B A B

( ( =� ��ǹ�

ặ

)

(

)

(

= = = � � � � � �

)

(

nên )

M t khác : (

ậ

A A B B A B A B � M B A B � là t p liên thông.

Bài tập Lý thuyết tô pô

Chủ đề:

Ậ

Ế

ờ ả

( � � �

)

ờ ả

ờ ả Ta ch ng minh

ờ ả

ờ ả

ờ ả i gi

(

ờ ả L i gi Ta có (

) � � � nên ta suy ra U

(

)

)

ờ ả

ờ ả

ờ ả

ờ ả

ờ ả

( f A

ờ ả

(

)

(

)

ờ ả

(

ờ ả Đ t ặ i.

)

)

( ( =� ��ǹ�

)

(

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi