Bài tập Lý thuyết tô pô

Chia sẻ: Hetiheti Hetiheti | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

93
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu gồm 14 bài tập lý thuyết tô pô có hướng dẫn giải chi tiết nhằm giúp các bạn củng cố thêm kiến thức, rèn luyện thêm kỹ năng giải toán về tô pô. Tài liệu hữu ích cho các bạn chuyên cao học ngành Toán học. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập Lý thuyết tô pô

BÀI TẬP LÝ THUYẾT TÔ PÔ Bài 1. Cho A , B X . Chứng minh rằng 1) A � B = A �B 2) A �B � A �B Lời giải. 1) Ta chứng minh A � B � A �B (1) A �( A �B ) A � A �B Ta có nên suy ra , do đó A � B � A �B B �( A �B ) B � A �B Ta chứng minh A � B � A �B (2) Lấy x bất kì thuộc A B và V là một lân cận bất kì của x , ta có: V �ȹ� B ) (A Mà V �( A �B ) = ( V � A ) �( A �B ) nên ta có hoặc V ǹ� A hoặc V ǹ� B Hay là hoặc x A hoặc x B . Từ đó suy ra x �A �B , suy ra A � B � A �B Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. ( A �B ) � A 2) Ta có ( A �B ) � B nên ta có A �B � A A �B � B ( . Từ đó suy ra A �B � A �B ) Chú ý: Chiều ngược lại của bao hàm thức ở trên không đúng. Chẳng hạn trên đường thẳng thực ta xét hai tập A = (0;1), B = (1;2) . Bài 2. Cho không gian tô pô X; A , B X . Chứng minh rằng : 1) A mở A là lân cận của mọi điểm thuộc A 2) A mở � int A = A 3) ( int A �int B ) �int ( A �B ) Lời giải. 1) Nếu A là tập mở thì hiển nhiên A là lân cận mở của mọi điểm thuộc nó Giả sử A là lân cận của mọi điểm thuộc nó, ta chứng minh A mở. Thật vậy: Lấy x bất kì thuộc X , khi đó luôn có một tập mở V x của x sao cho V x A . Suy ra � V x � A x A Mặt khác với x bất kì thuộc A thì x �x � V x nên suy ra A � x� V x A A Do đó ta có A = x A V x , mà x A V x là tập mở nên A là tập mở. 2) 1
Giả sử A là tập mở, ta chứng minh int A = A Hiển nhiên ta có: int A A Vì A mở và A A nên ta có A int A Từ đó suy ra int A = A Giả sử int A = A Vì int A = x ��x , V x A V A , V x mở nên ta suy ra int A là tập mở hay A là tập mở. int A A int A �( A � B ) 3) Ta có nên suy ra . Mà int A và int B là những tập mở nên ta có int B B int B �( A � B ) int A �int ( A �B ) . Từ đó suy ra ( int A �int B ) �int ( A �B ) int B �int ( A �B ) Bài 3. Cho f : X Y là một song ánh liên tục. Chứng minh rằng các phát biểu sau là tương đương 1) f là phép đồng phôi; 2) f là ánh xạ đóng; 3) f là ánh xạ mở. Lời giải. Ta chứng minh 1) � 2) � 3) � 1) 1) 2) Giả sử f là phép đồng phôi, khi đó ánh xạ g = f −1 : Y X là ánh xạ liên tục Lấy A là một tập đóng bất kì trong X , ta cần chứng minh f ( A ) đóng trong Y Đặt U = X \ A , ta có U mở trong X , mà g là hàm liên tục nên g −1(U ) là tập mở trong Y Mặt khác g −1(U ) = f (U ) = f ( X \ A ) = Y \ f ( A ) nên ta có Y \ f ( A ) là tập mở trong Y Suy ra f ( A ) là tập đóng trong Y , hay f là ánh xạ đóng. 2) 3) Giả sử f là ánh xạ đóng, ta chứng minh f là ánh xạ mở Lấy U là tập mở bất kí trong X , đặt B = X \ U ta có B là tập đóng trong X Mà f là ánh xạ đóng nên f (B ) = f ( X \ U ) = Y \ f (U ) là tập đóng trong Y Do đó f (U ) mở trong Y hay f là ánh xạ mở 3) 1) Giả sử f là ánh xạ mở, ta chứng minh ánh xạ g = f −1 : Y X là ánh xạ liên tục. 2
Lấy V là một tập mở bất kì trong X , ta có g −1(V ) = f (V ) . Mà f là ánh xạ mở nên f (V ) là tập mở trong Y Hay g = f −1 là hàm số liên tục. Vậy f là phép đồng phôi. Bài 4. (Bài 1.1 tài liệu [1]) Cho tập X và một họ tô pô { Ts } s S trên X . Chứng minh rằng s S Ts là một tô pô trên X . Lời giải. Vì �, X �Ts , s �S nên �, X �s� Ts S Lấy hai tập bất kì A , B �s� Ts , khi đó A , B �Ts , ∀s �S nên A �B �Ts , ∀s �S S Suy ra A �B �s� Ts . S Giả sử họ { U i } i I � � Ts , suy ra { U s S } i i I �Ts , ∀s �S , do đó � U i �Ts , ∀s �S i I Suy ra i� U i �s� Ts . �I � S Vậy s Ts là một tô pô. S Bài 5. (Bài 1.6 trong tài liệu [1]) Cho A là một tập trù mật trong X . Chứng minh rằng nếu U là tập mở thì U = U A Lời giải. Xem lời giải bài 6 Bài 6. (Bài 1.6 trong tài liệu [1]) Cho U là tập mở trong X . Chứng minh rằng U � A = U � A Lời giải. ( ) Ta có ( U � A ) � U � A nên ta suy ra U � A �U � A (1) Lấy x bất kì thuộc U A , V là một lân cận mở bất kì của x . Ta có V �ǹ� A U ( ) ( ) Do đó tồn tại y �V � U � A suy ra y �V �U và y A Mà V , U là những tập mở nên V U là lân cận mở của y , lại có y A nên ta suy ra được ( V �ǹ� U) A , tức là V �ǹ� A ) (U . Từ đó dẫn tới x �U � A Do đó U � A �U � A (2) Từ (1) và (2) ta suy ra U � A = U � A . 3
Bài 7. (Bài 1.9 trong tài liệu [1]) Chứng minh rằng nếu f , g : X Y là các ánh xạ liên tục từ không gian topo X vào T2 − không gian Y , thì tập A = { x �X | f (x ) = g (x )} là tập đóng. Lời giải. Để chứng minh A đóng, ta chứng minh X \ A = { x ι X | f (x ) g (x )} là tập mở Lấy y X \ A ta có f ( y ) g ( y ) . Do Y là T2 − không gian nên tồn tại hai lân cận mở U của f ( y ) và V của g ( y ) sao cho U �V = �. Đặt U 1 = f −1(U ), V1 = g −1(V ), M = U 1 V1 . Vì f , g là các ánh xạ liên tục nên V1, U 1, M là tập mở Và y M . Tiếp theo ta chứng minh M ( X \ A ) hay là M � A = � Giả sử có z �M � A , suy ra z M và z A z U1 f (z ) U Vì z A nên f (z ) = g (z ) , z M nên � � , suy ra U ǹ� V vô lí z �V1 g (z ) �V Vậy ta có M là lân cận mở của y và M X \ A nên ta có được X \ A là tập mở hay A là tập đóng. Bài 8. (Bài 1.16 trong tài liệu [1]) Cho X là một tập vô hạn và T = { U � X : hoa�U = � hoa�X \ U h� ha� . Chứng minh rằng c , c � n} u a) T là một topo b) (X , T ) là T1 − không gian c) Nếu A, B là hai tập mở khác rỗng thì A ǹ� B d) Nếu A là tập vô hạn thì bao đóng của A là X e) Nếu δ là một topo trên X sao cho ( X , δ ) là T1 − không gian thì T δ. Lời giải. a) t1) Trước hết ta có ��T và X \ X = hữu hạn nên X T t 2) Lấy { U i } i I là một họ các tập bất kì thuộc T . Khi đó ta có các trường hợp sau U i = �, ∀i �I , khi đó i UI U i = nên i UI U i T � � Tồn tại chỉ số i0 I sao cho U i . Khi đó: X \ � U i � X \ U i0 hữu hạn U 0 �I i � 4
� � Nên suy ra X \ � U i � ữu hạn hay là i UI U i U h T �I i � t 3) Lấy hai tập A1, A 2 bất kì thuộc T , ta có các trường hợp sau Có ít nhất một trong hai tập là rỗng, khi đó A1 � A 2 = � nên A1 � A 2 �T A1, A 2 , khi đó X \ A1, X \ A 2 hữu hạn nên X \ ( A1 � A2 ) = ( X \ A1 ) U ( X \ A2 ) là tập hữu hạn Do đó A1 � A 2 �T . Vậy T là một tô pô trên X . b) Để chứng minh X là T1 − không gian, ta chứng minh tập { x} , x X là tập đóng Lấy x bất kì thuộc X , đặt A = X \ { x} , khi đó X \ A = { x} là tập hữu hạn nên suy ra A T hay A là tập mở. Suy ra { x} là tập đóng. Vậy X là T1 − không gian. c) Với A , B là hai tập mở bất kì của X , ta có X \ A , X \ B là các tập hữu hạn nên ( X \ A ) U ( X \ B ) là tập hữu hạn (1). Giả sử A I B = , ta có X = X \ ( A �B ) = ( X \ A ) �( X \ B ) là tập vô hạn. Điều này mâu thuẫn với (1) Vậy A ǹ� B . d) Hiển nhiên ta có A X Giả sử A là tập con thực sự của X (Tức là X \ A ). Khi đó tập B = X \ A là tập mở Suy ra A = X \ B là tập hữu hạn phần tử. Vô lí vì A A và A là tạp vô hạn nên A cũng là tập vô hạn. Vậy A = X . e) Giả sử V là một tập thuộc T , ta cần chứng minh V cũng là tập δ . V = , hiển nhiên V δ n V , khi đó X \ V = { x1, x2,..., x n } = U { x i } . Mà ( X , δ ) là T1 − không gia nên tập { xi } là tập đóng i =1 n Do đó U { xi } là tập đóng trong ( X , δ ) , tức là X \ V là tập đóng trong ( X , δ ) nên V δ. i =1 Bài 9. (Bài 1.17 trong [1]) Giả sử A , B là hai tập mở trong không gian tô pô X với A �B = �. Chứng minh rằng int A �int B = �. Lời giải. Giả sử int A ǹ� B int , khi đó tồn tại x �int A �int B hay là x int A và x int B 5
Vì x int A nên có một tập mở V1 thỏa x �V1 � A x int B nên có một tập mở V2 thỏa x �V2 � B Mặt khác x �int A � x �A và V2 là lân cân của x nên V2 ǹ� A . Do đó tồn tại y �V2 � A Vì A mở nên A là một lân cận của y , lại có y �V2 � B nên ta có A ǹ� B trái với giả thiết Vậy int A �int B = �. Bài 10. (Bài 2.1 trong [1])Cho X là không gian com păc, { Fn } là dãy các tập đóng thỏa n =1 F1 � F2 � F3 �... � Fn �... và I F = n . Chứng minh rằng có tồn tại số tự nhiên n 0 để Fn 0 = . n =1 Lời giải. Vì X com pắc và I Fn = nên dãy các tập đóng { Fn } là dãy không có tâm, do đó tồn tại các chỉ số n =1 n =1 k i1, i2,..., ik sao cho I Fi j = . Đặt n 0 = max { i1, i2,..., ik } ta có Fi j Fn 0 j =1 k Nên suy ra Fn 0 = I Fi j = . j =1 Bài 11. (Bài 2.2 trong [1])Cho X là không gian com păc, { Fn } là dãy các tập đóng thỏa n =1 F1 � F2 � F3 �... � Fn �... . Chứng minh rằng nếu mỗi tập Fn thì I Fn . n =1 Lời giải. Giả sử I Fn = , khi đó theo bài toán trên ta suy ra được tồn tại n 0 để Fn 0 = . Điều này trái với giả n =1 thiết của bài toán. Bài 12. (Bài 3.2 trong [1])Cho X là không gian com pắc, Y là không gian Hausdorff, f : X Y liên tục, A X . Chứng minh rằng : f ( A ) = f A . ( ) Lời giải. Vì X là không gian com pắc, Y là không gian Hausdorff, f : X Y liên tục nên f là ánh xạ đóng, ( ) ( ) suy ra f A = f A . Vì A � A � f ( A ) � f ( A ) � f ( A ) � f ( A ) = f ( A ) 6
Hiển nhiên ta có f ( A ) f ( A ) . Từ đó ta có điều phải chứng minh. Bài 13. (Bài 2.6 trong [1]) Chứng minh rằng không gian tô pô X là liên thông khi và chỉ khi nếu X = A B , trong đó A �B = A �B = � thì một trong hai tập A , B là tập rỗng. Lời giải. Giả sử X là liên thông và A , B Ta có X = ( A ��A B) ( B ) X = A �B . Mà A �B = � nên ta có B = X \ A là tập mở Tương tự A = X \ B là tập mở và hiển nhiên là A � B = �. Vậy có hai tập mở A,B không giao nhau để X = A B , điều này tría với giả thiết X liên thông Do đó trong hai tập A và B có một tập là tập rỗng. Giả sử nếu X = A B , trong đó A � B = A � B = � thì một trong hai tập A , B là tập rỗng Nếu X không liên thông, khi đó tồn tại hai tập mở khác rỗng, rời nhau M , N sao cho X = M N Ta có M = X \ N , N = X \ M nên M � N = M � N = � , do đó theo giả thiết thì một trong hai tập M hoặc N phải là tập rỗng, điều này dẫn tới vô lí. Vậy X liên thông. Bài 14. (Bài 2.12 trong [1]) Giả sử A , B là hai tập liên thông trong không gian tô pô X , với A ǹ� B . Chứng minh rằng A B là tập liên thông. ( Lời giải. Đặt M = A �� B ) A ( ) Ta có A � M = A � A �( A �B ) = A �( A �B ) � A , mà A là tập liên thông nên ta có M là tập liên thông. Mặt khác : M �= ��ǹ� B B A (( ) A ) B nên M �B = ( ( A �B ) � A ) �B = ( A �B ) �( A �B ) = A �B là tập liên thông. 7