Bài giảng Ổn định công trình - Chương 3: Ổn định của dầm chịu uốn ngang phẳng

ng 3 ng 3

ươCh ươ Ch

Ổ Ổ

Ị Ị

Ố Ố

Ủ Ủ

N Đ NH C A D M CH U U N Ị Ầ N Đ NH C A D M CH U U N Ị Ầ NGANG PH NGẲ NGANG PH NGẲ

Ổ Ổ

N Đ NH C A D M CH U U N NGANG PH NG Ị N Đ NH C A D M CH U U N NGANG PH NG Ị

Ố Ố

Ủ Ủ

Ầ Ầ

Ẳ Ẳ

Ị Ị

Các gi Các gi

thi thi

t: t:

ả ả

ế ế

V t li u làm vi c trong gi V t li u làm vi c trong gi

ậ ệ ậ ệ

ệ ệ

ớ ạ ớ ạ

i h n đàn h i ồ i h n đàn h i ồ

t di n c a d m v n không thay t di n c a d m v n không thay

ấ ổ ấ ổ

ầ ầ

ẫ ẫ

ị ị

khi m t n đ nh các ti ế khi m t n đ nh các ti ế đ i hình d ng (b n b ng c a d m không b vênh) ụ ạ đ i hình d ng (b n b ng c a d m không b vênh) ụ ạ

ủ ủ ầ ầ

ệ ệ ủ ủ

ả ả

ổ ổ

ị ị

ầ ầ ộ ứ ộ ứ ầ ầ

t di n h p, ch u u n trong m t ph ng yOz , có D m có ti ệ ị ố ẹ ế ẳ ặ t di n h p, ch u u n trong m t ph ng yOz , có D m có ti ẳ ặ ẹ ệ ị ố ế ề  khi m t n đ nh khi m t n đ nh chênh l ch nhi u và EJyy chênh l ch nhi u đ c ng EJ ấ ổ ệ ị x x và EJ đ c ng EJ ấ ổ ề ệ ị d m b u n trong hai m t ph ng xOz và yOz đ ng th i ờ ồ ẳ ặ d m b u n trong hai m t ph ng xOz và yOz đ ng th i ờ ồ ẳ ặ còn b xo n trong m t ph ng xOy. còn b xo n trong m t ph ng xOy.

ị ố ị ố ắ ắ

ẳ ẳ

ặ ặ

ị ị

t di n ch nh t h p ch u u n thu n túy t di n ch nh t h p ch u u n thu n túy

n đ nh c a d m 3.1.3.1. n đ nh c a d m ủ ủ

Ổ ị Ổ ị

có ti ầ có ti ầ

ế ế

ậ ẹ ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ầ ầ

ố ố

ị ị

D m có hai đ u đ t t 3.1.1. D m có hai đ u đ t t 3.1.1.

do trên hai g i t a do trên hai g i t a

ặ ự ặ ự

ầ ầ

ố ự ố ự

u My1

m L

c) a) Mx1

Mx1

Mz1

b) Mz1

My1

γ My1

y1 t di n trên g i có liên k t ố

Hình 3.1 do trên hai g i t a và t thi t d m đ t t ế ả ệ ặ ự ố ự ế ầ i ti ạ ế

• Gi c nả trở không cho tiết diện xoay trong mặt phẳng xOy. • Qui c ch n chi u d Qui ọ ướ c ch n chi u d ọ ướ Mth  dầm chỉ bị uốn trong mặt phẳng yOz. • Khi Khi M

ng c a các moment u n và xo n nh trên H. 3.1d. ng c a các moment u n và xo n nh trên H. 3.1d. ề ươ ề ươ ủ ủ ư ư ắ ắ ố ố

t di n ch nh t h p ch u u n thu n túy t di n ch nh t h p ch u u n thu n túy

n đ nh c a d m 3.1. n đ nh c a d m ủ 3.1. ủ

Ổ ị Ổ ị

có ti ầ có ti ầ

ế ế

ậ ẹ ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ầ ầ

ố ố

ị ị

D m có hai đ u đ t t 3.1.1. D m có hai đ u đ t t 3.1.1.

do trên hai g i t a do trên hai g i t a

ặ ự ặ ự

ầ ầ

ố ự ố ự

Các ph Các ph

ng trình vi phân khi u n và khi xo n t ng trình vi phân khi u n và khi xo n t

ng ng có d ng: ng ng có d ng:

ươ ươ

ắ ươ ắ ươ

ố ố

ứ ứ

ạ ạ

M 1 x EJ

2 vd 2 dz

(3.1)

y EJ

2 ud 2 dz

(3.2)

d dz

M z GJ

(3.3)

Trong đó: EJx, EJy độ cứng khi uốn của dầm đối với các trục x và y

GJz – độ cứng khi xoắn của dầm

3 3 3

= = =

63.01( 63.01( 63.01(

J z J z J z

bh bh bh 3 3 3

t di n ch nh t h p ch u u n thu n túy t di n ch nh t h p ch u u n thu n túy

b b b ) ) ) h h h n đ nh c a d m 3.1. n đ nh c a d m ủ 3.1. ủ

Ổ ị Ổ ị

có ti ầ có ti ầ

ế ế

ậ ẹ ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ầ ầ

ố ố

ị ị

- - -

D m có hai đ u đ t t 3.1.1. D m có hai đ u đ t t 3.1.1. do trên hai g i t a do trên hai g i t a ặ ự ặ ự ầ ầ ầ ầ ố ự ố ự

63.01(

)

J z

bh 3

b h

- t di n ch nh t h p: ớ ầ ế ữ ậ ẹ ệ V i d m có ti

momen ế ơ Xác đ nh moment M lên các tr c xụ 1, y1, z1.

• T Hình 3.1b và 3.1c ta đ c: Mx1, My1, Mz1  chi u vect ượ ị ừ

du dz

Mx1 = M cosθ ≈ M My1 = M sinθ ≈ Mθ Mz1 = M sinγ ≈

c: ị ượ Thay các giá tr này vào các Pt. (3.1), (3.2), (3.3) ta đ

2 vd 2 dz

M xEJ

(3.4)

2 ud 2 dz

q M yEJ

(3.5)

d dz

M GJ

du dz

(3.6)

2 2 ud ud 2 2 dx dx

t di n ch nh t h p ch u u n thu n túy t di n ch nh t h p ch u u n thu n túy

n đ nh c a d m 3.1. n đ nh c a d m ủ 3.1. ủ

Ổ ị Ổ ị

có ti ầ có ti ầ

ế ế

ậ ẹ ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ầ ầ

ố ố

ị ị

D m có hai đ u đ t t 3.1.1. D m có hai đ u đ t t 3.1.1. do trên hai g i t a do trên hai g i t a ặ ự ặ ự ầ ầ ầ ầ ố ự ố ự

ng trình ch xu t hi n khi ng trình ch xu t hi n khi ươ ươ ữ ữ ệ ệ ấ ấ ỉ ỉ

ng trình (3.5) và (3.6) là nh ng ph ươ ng trình (3.5) và (3.6) là nh ng ph ươ ị ị

Pt. (3.5) ta đ Pt. (3.5) ta đ c c ồ ồ ừ ừ ượ ượ

q 2

Hai ph Hai ph m t n đ nh ấ ổ m t n đ nh ấ ổ ị ủ dd22u/dxu/dx22 t L y đ o hàm Pt. (3.6) r i thay giá tr c a t ạ ấ L y đ o hàm Pt. (3.6) r i thay giá tr c a ị ủ ạ ấ ư nh sau: ị θθ nh sau: ng trình vi phân theo chuy n v ph ư ng trình vi phân theo chuy n v ph ị ươ ươ ể ể

+ q k

d dz

(3.7)

θ = Asinkz +Bcoskz

Nghi m c a Pt. (3.7) có d ng: ủ ệ ạ

= Mk

Trong đó:

1 yGJ

(3.8)

i ề ạ z = 0 và z = L, θ = 0,  B = 0 và Asinkz = 0. Đi u ki n biên: t ệ

ấ ị ấ ổ ầ ị

• N uế A = 0 thì θ = 0, lúc này d m không m t b m t n đ nh • D m m t n đ nh thì ấ ổ

ầ ị A ≠ 0  sin(kL)= 0  kL = π, 2 π, 3 π ….

t di n ch nh t h p ch u u n thu n túy t di n ch nh t h p ch u u n thu n túy

n đ nh c a d m 3.1. n đ nh c a d m ủ 3.1. ủ

Ổ ị Ổ ị

có ti ầ có ti ầ

ế ế

ậ ẹ ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ầ ầ

ố ố

ị ị

D m có hai đ u đ t t 3.1.1. . D m có hai đ u đ t t 3.1.1 do trên hai g i t a do trên hai g i t a ặ ự ặ ự ầ ầ ầ ầ ố ự ố ự

ng ng v i k = π ố ớ ạ i h n nh nh t t ỏ ấ ươ ứ ớ  Momen u n t

p

=

(3.9)

M

EJ

GJ

L

EJx ộ ứ ộ ấ Mth không ph thu c đ c ng ụ • Công th c cho th y ứ

thi t đ võng thi ậ ớ ả ế ộ v nh và gi ỏ ả ế t này ch thích ỉ

• K t lu n này đúng v i gi ế h pợ trong tr t di n h p, t c là t s ng h p ti ợ ườ ế ỉ ố b/h nh ỏ ứ ẹ ệ

ng c a s u n trong m t ph ng yOz ả ặ ẳ

• N u t s ủ s đáng k và không th b qua đ ự ố c ế ỉ ố b/h l n thì nh h ớ ẽ ưở ể ỏ ể ượ

t di n ch nh t h p ch u u n thu n túy t di n ch nh t h p ch u u n thu n túy

n đ nh c a d m 3.1. n đ nh c a d m ủ 3.1. ủ

Ổ ị Ổ ị

có ti ầ có ti ầ

ế ế

ậ ẹ ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ầ ầ

ố ố

ị ị

D m có hai đ u ngàm 3.1.1. . D m có hai đ u ngàm 3.1.1 ầ ầ ầ ầ

ườ ư ế ặ ẳ ạ • Đ ng bi n d ng trong m t ph ng xOz nh trên Hình 3.2.

L/2 L

Hình 3.2

ng h p ỏ ệ ầ ố ố ư ườ ợ

• Kh ang gi a hai đi m u n v i chi u dài L/2 d m làm vi c gi ng nh tr ề d m t a đ n có chi u dài b ng L/2. ớ ằ ể ề ữ ơ ự ầ

i h n cho b i: ớ ạ ở  Momen t

p2= L

(3.10)

3.2. n đ nh d m có ti 3.2. n đ nh d m có ti

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

t di n hình ch nh t h p ch u nén l ch tâm ậ ẹ t di n hình ch nh t h p ch u nén l ch tâm ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ị ị

D m có hai đ u t a đ n 3.1.2. D m có hai đ u t a đ n 3.1.2.

ầ ự ầ ự

ầ ầ

ơ ơ

e ấ v m

• Khi P = Pth  thanh b m t n đ nh ị ấ ổ ị  xu t hi n hi n t ng u n trong ố ệ ượ ệ m t ph ng xOz và hi n t ắ ệ ượ ẳ quanh tr c c a thanh. ụ

ng xo n ặ P P

ủ

• Momen u n và xo n: ố

m L ắ

y (3.11) Mx1 = P(e+v) ≈ Pe = M u

z My1 = Mθ + Pu (3.12)

M z

du dz

Mz1 x z1 γ (3.13) M Mx1

Hình 3.3

ị

• Thay các giá tr này vào các Pt. (3.2) và (3.3)  hai ph ươ phân đ xác đ nh l c t ự ớ ạ ể

ng trình vi i h n ị

3.2. n đ nh d m có ti 3.2. n đ nh d m có ti

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

t di n hình ch nh t h p ch u nén l ch tâm ậ ẹ t di n hình ch nh t h p ch u nén l ch tâm ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ị ị

• Ph

q M

ng trình vi phân đ xác đ nh l c t i h n ươ ự ớ ạ ể ị

2 ud 2 dz

yEJ

(3.14)

d dz

M GJ

du dz

(3.15)

+ 1Cu

M GJ

Tích phân ph ng trình (3.15) ta có: ươ

• Đi u ki n biên: khi ệ

z = 0, θ= 0 và u = 0. T đó suy ra C1 = 0 ề ừ

M GJ

(3.16)

3.2. n đ nh d m có ti 3.2. n đ nh d m có ti

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

t di n hình ch nh t h p ch u nén l ch tâm ậ ẹ t di n hình ch nh t h p ch u nén l ch tâm ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ị ị

• Thay giá tr c a

u” + ku = 0

Pt. (3.16) vào Pt. (3.14) ta đ c: ị ủ θ t ừ ượ

(3.17)

PGJ GJ

Trong đó: (3.18)

u = Asinkz +Bcoskz

(3.19) Nghi m c a Pt.(3.17) có d ng: ủ ệ ạ

• T các đi u ki n biên: khi

ừ ệ ề

z = 0, u = 0,  B = 0 Khi z = l, u = 0,  A sinkL = 0

• Đi u ki n đ h m t n đ nh là A ≠ 0 ể ệ ấ ổ

 sinkL = 0,  kL = π, 2 π, 3 π …. ề ệ ị

• Thay kL = π vào Pt. (3.17)  g iá tr t

i h n nh nh t c a l c nén ị ớ ạ ấ ủ ự ỏ Pth và Mth

+ GJPM

2 th

EJ 2 L

(3.20)

P th

EJ 2 L

3.2. n đ nh d m có ti 3.2. n đ nh d m có ti

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

t di n hình ch nh t h p ch u nén l ch tâm ậ ẹ t di n hình ch nh t h p ch u nén l ch tâm ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ị ị

• L c t

i h n : Thay ự ớ ạ ứ c ượ : Mth = Pthe vào công th c (3.20) ta đ

22 eP th

GJP th

2 L

• Nh n xét: ậ

(3.21)

• N u ế e = 0, Mth = 0, công th c (3.20) có d ng:

P th

EJ 2 L

ứ ạ

• N u ế Pth = 0, công th c (3.20) có d ng:

ứ ạ

3.3. n đ nh d m có ti 3.3. n đ nh d m có ti

t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

ậ ẹ ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ẳ ẳ

ố ố

ị ị

ố ự 3.3.1. D m đ t trên hai g i t a ặ ầ

P đ t t i tr ng tâm ti t di n gi a nh p D m đ t trên hai g i t a ch u l c t p trung ố ự ị ự ậ ặ ầ ặ ạ ọ ế ệ ở ữ ị

• Momen u n và momen xo n ắ tr ng t di n b t kỳ t ấ ế thái bi n d ng: ế

i ti ở ạ ạ

ố ệ ạ

L/2

m L/2

Mx1 ≈ Mx = Pz/2

My1 ≈ Mxθ =½Pzθ

d (

)

d (

)

du dz

P 2

du dz

P 2

- - »

Mz1 z1 Mx1 x γ M ạ ượ

ng trình vi phân đ xác đ nh ng trên vào Pt.(3.2) và (3.3) ể ị Hình 3.4 Thay các đ i l  các ph ươ l c t i h n ự ớ ạ

3.3. n đ nh d m có ti 3.3. n đ nh d m có ti

t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

ậ ẹ ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ẳ ẳ

ố ố

ị ị

P đ t t i tr ng tâm ti t di n gi a nh p D m đ t trên hai g i t a ch u l c t p trung ố ự ị ự ậ ặ ầ ặ ạ ọ ế ệ ở ữ ị

• Ph

EJ y

ng trình vi phân đ xác đ nh l c t i h n ươ ự ớ ạ ể ị

P 2

2 ud 2 dz

(3.22)

d (

)

GJ z

d dz

P 2

du dz

P 2

- (3.23)

q 2

L y đ o hàm Pt.(3.23) theo z ta đ ấ ạ c ượ

GJ z

P 2

d dz

2 ud 2 dz

(3.24)

2 ud 2 dz

q 2

2 zk

Pt.(3.24) vào Pt.(3.22)  ph ng trình vi phân theo θ Thay t ừ ươ

d dz

2 =

(3.25)

P yGJ EJ

Trong đó: (3.26)

3.3. n đ nh d m có ti 3.3. n đ nh d m có ti

t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

ậ ẹ ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ẳ ẳ

ố ố

ị ị

P đ t t i tr ng tâm ti t di n gi a nh p D m đ t trên hai g i t a ch u l c t p trung ố ự ị ự ậ ặ ầ ặ ạ ọ ế ệ ở ữ ị

• Vi

ế t nghi m c a Pt.(3.25) d ủ ệ ướ ạ i d ng chu i vô h n: ỗ ạ

i zc

(3.27) (cid:229)

Thay bi u th c (3.26) và giá tr đ o hàm b c hai c a nó theo z vào Pt.(3.25) ị ạ ứ ủ ể ậ

ii (

2 zk

zc i

¥ ¥ - - (cid:229) (cid:229) (3.28)

Sau khi bi n đ i, nghi m c a Pt.(3.27) có th đ a v d ng: ể ư ề ạ ủ ế ệ ổ

...)

k 4.3

k 8.7.4.3

k 12.11.8.7.4.3

- -

.....

zc 1

k 5.4

k 9.8.5.4

k 13.12.9.8.5.4

- - (3.29)

du dz

3.3. n đ nh d m có ti 3.3. n đ nh d m có ti

t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

ậ ẹ ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ẳ ẳ

ố ố

ị ị

P đ t t i tr ng tâm ti t di n gi a nh p D m đ t trên hai g i t a ch u l c t p trung ố ự ị ự ậ ặ ầ ặ ạ ọ ế ệ ở ữ ị

• Các đi u ki n biên:

ề ệ Khi z = 0; θ = 0,  co= 0

du dz

dq dz

Khi z = L/2; u = δ và



L y đ o hàm c a Pt.(3.29) ủ ấ ạ

....

c 1

dq dz

k 4

k 8.5.4

k 12.9.8.5.4

(cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) - - (3.29) (cid:247) (cid:231) ł Ł

Cho z = L/2 ta đ c:ượ

4 +(cid:247)

c 1

k 4

L 2

k L 28.5.4

k 12.9.8.5.4

L 2

(cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) - - (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:231) ł Ł ł Ł ł Ł

1 ≠ 0  1- a + a2 / 10 – a3 / 270 + …. = 0

Khi d m m t n đ nh c (3.30) ấ ổ ầ ị

2 4 Lk 64

4 LP th GJ

256

V i:ớ (3.31)

3.3. n đ nh d m có ti 3.3. n đ nh d m có ti

t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

ậ ẹ ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ẳ ẳ

ố ố

ị ị

P đ t t i tr ng tâm ti t di n gi a nh p D m đ t trên hai g i t a ch u l c t p trung ố ự ị ự ậ ặ ầ ặ ạ ọ ế ệ ở ữ ị

• Nghi m nh nh t c a Pt. (3.30) là a = 1,126.

ấ ủ ệ ỏ

• T Pt. (3.31)

 l c t i h n nh nh t: ừ ự ớ ạ ấ ỏ

P th

94.16= 2 L

(3.32)

• Giá tr l c t

ị ự ớ ạ i h n còn ph thu c vào v trí đ t l c ộ ặ ự P theo chi u cao c a d m. ề ụ ủ ầ ị

Ph n l c momen xo n do l c ả ự ự P gây ra : ½P(δ + d θ*) ắ

P th

θ*

K 2 L

(3.33) P

Trong đó K là h s ph vào v trí c a đi m đ t l c ặ ự ệ ố ụ ủ ể ị δ

dθ* Giá tr c a ị ủ K cho trong b ng 3.1. ả

Hình 3.5

3.3. n đ nh d m có ti 3.3. n đ nh d m có ti

t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

ậ ẹ ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ẳ ẳ

ố ố

ị ị

P đ t t i tr ng tâm ti t di n gi a nh p D m đ t trên hai g i t a ch u l c t p trung ố ự ị ự ậ ặ ầ ặ ạ ọ ế ệ ở ữ ị

Đi m đ t l c

phía trên tr ng tâm

ặ ự ở

ể

ọ

0.030

0.143

0.293

0.544

0.121

d L

16.94

16.0

12.8

9.6

6.4

3.2

B ng 3.1 ả

Đi m đ t l c

phía d

i tr ng tâm

ặ ự ở

ể

ướ ọ

0.069

0.166

0.271

0.396

0.526

0.815

1.30

2.78

d L

16.94

19.2

22.4

25.6

28.8

35.2

38.4

41.6

3.3. n đ nh d m có ti 3.3. n đ nh d m có ti

t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

ậ ẹ ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ẳ ẳ

ố ố

ị ị

ng h p l c i ti t di n cách g i t a m t kh ang là Z Tr ườ ợ ự P đ t t ặ ạ ế ố ự ệ ỏ ộ

T ng t ươ ự ta có k t qu : ả ế

P th

K 2 L

(3.34)

/L c a l c ứ ụ ộ ị ủ ự P

H s và tìm đ ệ ố K trong công th c này ph thu c vào v trí Z c theo b ng 3.2 ả ượ

Z/L

0.50

0.45

0.40

0.35

0.30

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

16.94

17.15

17.82

19.04

21.01

24.10

29.11

37.88

56.01

111.6

B ng 3.2 ả

3.3. n đ nh d m có ti 3.3. n đ nh d m có ti

t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

ậ ẹ ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ẳ ẳ

ố ố

ị ị

i tr ng phân b đ u v i c ng đ là q trên tòan chi u dài nh p D m ch u t ị ả ọ ố ề ớ ườ ầ ề ộ ị

• Công th c xác đ nh l c t

(

)

i h n có d ng: ứ ự ớ ạ ạ ị

3.28 2 L

(3.35)

3.3. n đ nh d m có ti 3.3. n đ nh d m có ti

t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

ậ ẹ ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ẳ ẳ

ố ố

ị ị

3.3.2. D m có m t đ u ngàm, m t đ u t do ộ ầ ự ộ ầ ầ

 L c t p trung P đ t t

i tr ng tâm c a ti t di n đ u t do ự ậ ặ ạ ọ ủ ế ệ ở ầ ự

a) ị ệ ầ

z • Khi b m t n đ nh d m b l ch ra ị ấ ổ ị kh i m t ph ng u n yOz ẳ ặ ố ỏ

i ti ắ ạ ế t di n ệ

Mx1 = Mx = - Pz

My1 = Mx θ = - Pz θ

b) • Momen u n và xo n t ố b t kỳ m – m: ấ

d (

)

q Pz

d (

)

du dz

- - - -

Thay các đ i l ng này vào Pt (3.2) và (3.3) ạ ượ

Hình 3.6

ph ng trình vi phân đ xác đ nh t i tr ng t i h n ươ ể ị ả ọ ớ ạ

GJ x

q d dz

du dz

Pz 3.3. n đ nh d m có ti 3.3. n đ nh d m có ti

t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng

d ( P u ) Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

ậ ẹ ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ẳ ẳ

ố ố

ị ị

- -

3.3.2. D m có m t đ u ngàm, m t đ u t do ộ ầ ự ộ ầ ầ

• Ph

qPz

EJ y

2 ud 2 dx

ng trình vi phân đ xác đ nh t i tr ng t i h n ươ ể ị ả ọ ớ ạ

d (

)

GJ x

q d dz

du dz

- -

• Ph

q 2

ng trình vi phân đ xác đ nh t i tr ng t i h n: ươ ể ị ả ọ ớ ạ

d dz

2 =

(3.36)

2 P th GJ

Trong đó: (3.37)

Nghi m c a ph ng trình này cũng có d ng t ng t nh Pt. (3.29) ủ ệ ươ ạ ươ ự ư

3.3. n đ nh d m có ti 3.3. n đ nh d m có ti

t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

ậ ẹ ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ẳ ẳ

ố ố

ị ị

3.3.2. D m có m t đ u ngàm, m t đ u t do ộ ầ ự ộ ầ ầ

• Các đi u ki n biên:

ệ ề

dq dz

• Khi z = 0; u = δ, nên theo Pt.(3.37)  c1 = 0

• Khi z = L; θ = 0

...

=(cid:247)

4 2 Lk 4.3

84 Lk 8.7.4.3

12 6 Lk 12.11.8.7.4.3

(cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) - - (cid:231) ł Ł

• Đi u ki n đ cho h m t n đ nh là

ệ ấ ổ ể ề ệ ị co≠ 0

....

3 14

3 154

- -

2 4 Lk 12

2 4 LP th EJ

(3.38) Trong đó:

3.3. n đ nh d m có ti 3.3. n đ nh d m có ti

t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

ậ ẹ ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ẳ ẳ

ố ố

ị ị

3.3.2. D m có m t đ u ngàm, m t đ u t do ộ ầ ự ộ ầ ầ

P th

Nghi m nh nh t ng v i i h n ấ ứ ớ a = 1.342  l c t ự ớ ạ ệ ỏ

.4= 013 2 L

(3.38)

 Tr

P th

d: ườ ng h p l c P đ t cách tr ng tâm m t kh ang là ọ ợ ự ặ ỏ ộ

K 2 L

(3.39)

ặ ự ụ ủ ể ộ

Trong đó K là h s ph thu c v trí c a đi m đ t l c và có tr s ệ ố ị ố ị cho trong B ng 3.3 ả

3.3. n đ nh d m có ti 3.3. n đ nh d m có ti

t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

ậ ẹ ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ẳ ẳ

ố ố

ị ị

Đi m đ t l c

phía trên tr ng tâm

ặ ự ở

ể

ọ

0.0031

0.0887

0.164

0.238

0.322

0.425

0.568

0.791

1.224

2.485

d L

4.013

4.0

3.6

3.2

2.8

2.4

2.0

1.6

1.2

0.8

0.4

Đi m đ t l c

phía d

i tr ng tâm

ặ ự ở

ể

ướ ọ

0.114

0.320

0.923

∞

d L

4.013

4.4

4.8

5.2

5.562

3.3.2. D m có m t đ u ngàm, m t đ u t do ộ ầ ự ộ ầ ầ

• Khi t s ỉ ố d/L nh ỏ

P th

a L

.4 013 2 L

(cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) - (3.40) (cid:247) (cid:231) ł Ł

3.3. n đ nh d m có ti 3.3. n đ nh d m có ti

t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

ậ ẹ ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ẳ ẳ

ố ố

ị ị

3.3.2. D m có m t đ u ngàm, m t đ u t do ộ ầ ự ộ ầ ầ

 Tr

(

)

i tr ng phân b đ u ườ ng h p d m ch u t ầ ị ả ọ ố ề q trên tòan chi u dài ề ợ

85.12 2 L

T i phân b theo qui lu t tam giác

(3.41)

z L

ậ ả ố

8.52= 3 L

(3.42)

3.3. n đ nh d m có ti 3.3. n đ nh d m có ti

t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng t di n ch nh t h p ch u u n ngang ph ng

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

ậ ẹ ậ ẹ

ữ ữ

ệ ệ

ẳ ẳ

ố ố

ị ị

3.3.2. D m có m t đ u ngàm, m t đ u t do ộ ầ ự ộ ầ ầ

 Tr

z h o L

(

)

(cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) ườ ng h p chi u cao d m thay đ i theo lu t : ầ ề ậ ợ ổ ł Ł

m 3 L

P th

(3.43) • Khi t ả ọ i tr ng phân b đ u : ố ề

m 3 L

(3.44) i tr ng t p trung đ t đ u t do: • Khi t ả ọ ặ ở ầ ự ậ

ệ ố m ph thu c d ng t ị ố ủ n. ụ ạ

Trong đó h s Tr s c a m có th tìm đ ị ố ủ i tr ng và tr s c a ả ọ c theo B ng 3.4. ả ộ ượ ể

1/4

1/2

3/4

T i tr ng phân b đ u

12.85

12.05

11.24

10.43

9.62

ả ọ

ố ề

đ u t

4.013

3.614

3.214

2.811

2.405

T i tr ng t p trung đ t ậ

ặ ở ầ ự

ả ọ do

B ng 3.4 ả

3.4. n đ nh d m có ti 3.4. n đ nh d m có ti

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

t di n ch ữ II t di n ch ữ

ệ ệ

Xo n t do ắ ự

Xo n ki m ch ề ắ ế

khi xo n ki m ch , bi n d ng xo n có gây ra bi n d ng u n ph kèm theo ụ ế ề ế ế ạ ạ ắ ắ ố

3.4. n đ nh d m có ti 3.4. n đ nh d m có ti

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

t di n ch ữ II t di n ch ữ

ệ ệ

 Ph

ươ ắ ng trình vi phân liên h gi a momen xo n ng ai l c và góc xo n ệ ữ ự ắ ọ

• Khi d m ch I b xo n ki m ch momen xo n ng ai l c cân b ng v i hai momen:

ữ ự ề ế ắ ầ ắ ằ ớ ọ ị

Mz1 = M1 + M2 (3.45)

ấ ế ứ ế ạ ắ • Momen M1 do các ng su t ti p phát sinh khi có bi n d ng xo n :

d dz

(3.46)

3 b

1 3

2 3

ủ ắ ế t di n ệ Trong đó Jz là momen quán tính khi xo n c a ti

ề ộ ủ ế ả

ụ ủ ề ề ả b và t - b r ng và b dày c a b n đ ề H và tb – chi u cao và b dày c a b n b ng.

• Momen M2 do l c c t trong các b n đ . L c c t này phát sinh do các b n đ b u n ị ố

ế ự ự ắ ả ắ ả ế

* y

tb 12

1 2

3.4. n đ nh d m có ti 3.4. n đ nh d m có ti

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

t di n ch ữ II t di n ch ữ

ệ ệ

ng x c a b n đ phía trên t t di n c t b t kỳ m – m • Chuy n v ể ị u theo ph ươ ủ ế ả i ti ạ ế ắ ấ ệ

1= 2

Hình 3.7d (3.47)

* yJ

• Moment quán tính đ i v i tr c y c a m t b n đ ố ớ ụ ộ ả ủ ế :

* y

tb 12

1 2

q 3

* y

3 ud 3 dz

dh 2 dz

q 3

• Quan h vi phân gi a l c c t và chuy n v ị ữ ự ệ ể ắ

* y

2 dh 2 dz

ự ạ • Hai l c này t o thành ng u l c ẫ ự M2 (3.48)

q 3

Thay giá tr ị M1 và M2 trong Pt.(3.46) và Pt. (3.48) vào Pt. (3.45)

* y

d dz

2 dh 2 dz

- (3.49)

3.4. n đ nh d m có ti 3.4. n đ nh d m có ti

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

t di n ch ữ II t di n ch ữ

ệ ệ

3.4.1. D m ch ầ ữ I ch u u n thu n túy: ố ầ ị

M z

• Momen u n và momen xo n trong d m ch u u n thu n túy b ng: ắ ầ ầ ằ ố ố ị

du dz

Mx1 = M, My1 = Mθ,

Thay các đ i l ng này vào Pt. (3.2) và (3.48) ạ ượ

EJ y

2 ud 2 dz

q 3

(3.50)

* y

d dz

du dz

2 dh 2 dz

- (3.51)

ng trình trên ta ồ ử u trong hai ph ươ

Đ o hàm Pt. (3.50) theo đ c ph z r i kh ng trình vi phân c p 4: ấ ạ ượ ươ

3.4. n đ nh d m có ti 3.4. n đ nh d m có ti

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

t di n ch ữ II t di n ch ữ

ệ ệ

q 4

q 2

3.4.1. D m ch ầ ữ I ch u u n thu n túy: ố ầ ị

d dz

1 2 a

d dz

1 4 t

- - (3.52)

* y

2 GJ

t =

Trong đó: (3.53)

* hEJ y y 2 M 2 th

(3.54)

θ = C1sin mz + C2cosmz + C3 e nz +C4 e -nz,

Nghi m t ng quát c a ph ng trình vi phân (3.59) có d ng: ủ ệ ổ ươ ạ

(3.55)

1 a

1 4 t

Trong đó: (3.56)

1 a

1 a 4

1 4 t

(3.57)

3.4. n đ nh d m có ti 3.4. n đ nh d m có ti

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

t di n ch ữ II t di n ch ữ

ệ ệ

3.4.1. D m ch I ch u u n thu n túy: ữ ố ầ ầ ị

• N u gi ế nh ng không xoay quanh tr c z ư

t r ng đ u d m xoay đ thi do quanh các tr c chính x, y ế ằ ầ ầ ả c t ượ ự ụ

ụ

B n đi u ki n biên đ xác đ nh b n h ng s tích phân ị ề ệ ể ằ ố ố ố

1. Khi z = 0 thì θ = 0 và momen u n trong b n đ b ng không. ế ằ ả ố

d q dz

u” = 0,  theo Pt.(3.47) ta có u” = ½ h θ” = 0

d q dz

2. Khi z = L, thì θ = 0 và

2 = 0, C3 = - C4,

T hai đi u ki n đ u ta xác đ nh đ c C ừ ề ệ ầ ị ượ

Nghi m c a Pt. (3.55) có th vi i d ng: t d ể ế ướ ạ ủ ệ

3.4. n đ nh d m có ti 3.4. n đ nh d m có ti

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

t di n ch ữ II t di n ch ữ

ệ ệ

3.4.1. D m ch ầ ữ I ch u u n thu n túy: ố ầ ị

θ = C1 sin mz + 2C3 shnz,

t l p đ c hai ph ng trình thu n nh t: T hai đi u ki n cu i ta thi ệ ừ ề ố ế ậ ấ ầ

ươ ượ C1 sin mL + 2C3 sh nL =

- C1 m2sinmL + 2C3

n2shnL = 0 D m s m t n đ nh khi: ẽ ấ ổ ầ ị

sinmL

2shnL = 0 -m2sinmL

2n2shnL sin mL(n2 +m2) shnL = 0,

Đi u ki n này th a v i ớ sin mL = 0, v y nghi m nh nh t ấ mL = π. ệ ề ệ ậ ỏ ỏ

T Pt. (3.56) ta đ c: ừ ượ

2 L

1 a

1 4 t

(3.58)

3.4. n đ nh d m có ti 3.4. n đ nh d m có ti

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

t di n ch ữ II t di n ch ữ

ệ ệ

3.4.1. D m ch ầ ữ I ch u u n thu n túy: ố ầ ị

Pt. (3.60) và (3.61) vào ph ng trình trên ta đ ừ ươ cượ

a 2 L

i h n Thay giá tr c a ị ủ a và t t công th c xác đ nh momen t ị ứ ớ ạ

M =

K L

Th a s này k đ n nh h ng c a hi n t ng u n ph trong các b n đ ể ế ả ừ ố ưở ệ ượ ủ ụ ả ố ế

a 2 L

Trong đó:

3.4. n đ nh d m có ti 3.4. n đ nh d m có ti

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

t di n ch ữ II t di n ch ữ

ệ ệ

3.4.1. D m ch I ch u u n thu n túy: ữ ố ầ ầ ị

Giá tr c a ị ủ K ph thu c t s ụ ộ ỉ ố L/a và tìm đ ượ c theo b ng 3.5 ả

0.1

1.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

LL22/a/a22

31.40

10.36

7.66

5.85

5.11

4.70

4.43

4.24

100

LL22/a/a22

4.00

3.83

3.73

3.66

3.59

3.55

3.51

3.29

B ng 3.5 ả

2 L 2 a

Khi LL22/a/a22  K  và  π  khi >100  dùng công th c (3.9) ứ

3.4. n đ nh d m có ti 3.4. n đ nh d m có ti

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

t di n ch ữ II t di n ch ữ

ệ ệ

3.4.2. D m ch I ch u u n ngang ph ng ẳ ị

ữ

ầ

ố

a) D m đ t t do trên hai g i t a ch u l c t p trung đ t t i gi a nh p ặ ự ầ ị ự ậ ố ự ặ ạ ữ ị

• Momen u n và xo n t ố

i ti ắ ạ ế t di n b t kỳ m – m có giá tr : ị ệ ấ

d (

)

M y

M x 1

M z

P 2

p 2

du dz

P 2

q 3

(

Thay các giá tr này vào Pt. (3.2) và (3.49) ta đ c hai ph ng trình vi phân: ị ượ ươ

* y

EJ y

P 2

du dz

P 2

2 dh 2 dz

P 2

2 ud 2 dz

- -

P th



K 2 L

ng trình ng trình vi phân c p Kh ử u kh i hai ph ỏ ươ  m t ph ộ ươ ấ b n ố

h s ệ ố K ph thu c vào t s ỉ ố a/L, a xác đ nh theo công th c ị ứ (3.53). ụ ộ

3.4. n đ nh d m có ti 3.4. n đ nh d m có ti

Ổ ị Ổ ị

ầ ầ

ế ế

t di n ch ữ II t di n ch ữ

ệ ệ

3.4.2. D m ch I ch u u n ngang ph ng ẳ ị

ữ

ầ

ố

do trên hai g i t a ch u t

ặ ự

ầ

ố ự

ị ả ọ

i tr ng phân b đ u trên tòan nh p ố ề

ị

(

)

K 2 L

b) D m đ t t

do ch u t

i tr ng t p trung đ t t

ộ ầ ự

ị ả ọ

i ặ ạ

ậ

Tr s c cho s n trong B ng (3.7), a xác đ nh theo công th c ị ố K đ ượ ả ẵ ứ (3.53). ị

ộ ầ ế

ầ ọ

P th

K 2 L

c) D m có m t đ u ngàm, m t đ u t t di n tr ng tâm ti ệ

Tr s c cho s n trong B ng (3.8), a xác đ nh theo công th c ị ố K đ ượ ả ẵ ứ (3.53). ị