ÔN TẬP- ĐỘNG HỌC
PGS. TS. Trương Tích Thiện
1. Hệ bánh răng hành tinh và vi sai
Định nghĩa
Là một hệ nhiều vật rắn có dạng các đĩa tròn lăn không trượt với nhau sao cho tối thiểu có 1 đĩa tròn có tâm quay chuyển động. Vật rắn mang tâm quay của các bánh răng chuyển động được gọi là cần và cần sẽ có chuyển động quay xung quanh tâm O1 cố định. Bánh răng có cùng tâm quay cố định với cần được gọi là bánh răng trung tâm 1. Cần và bánh răng trung tâm 1 có dạng chuyển động cơ bản : quay quanh tâm quay cố định O1. Hai chuyển động quay của 2 vật rắn này hoàn toàn độc lập với nhau. Các bánh răng còn lại sẽ có dạng chuyển động song phẳng.
1
①
c
2O
3O
1O
1
c
③
② cần
Nếu bánh răng trung tâm 1 được giữ cố định thì hệ được gọi là hệ bánh răng hành tinh. Bậc tự do của hệ bánh răng hành tinh = +1. Dofht = +1.
Nếu cần được giữ cố định thì hệ bánh răng sẽ trở thành hệ
bánh răng thường.
Nếu bánh răng trung tâm 1 có chuyển động quay quanh tâm quay O1 cố định độc lập với chuyển động quay của cần thì hệ se được gọi là hệ bánh răng vi sai. DofVS = +2.
2. Động học hệ bánh răng hành tinh và vi sai
k c
r k
Để có thể sử dụng được công thức tính động học của hệ bánh răng thường ta cần phải chọn 1 hệ qui chiếu mới sao cho đối với hệ qui chiếu mới này tất cả các tâm của các bánh răng trong hệ đều cố định. Ta chọn cần làm hệ qui chiếu mới, lúc này vận tốc góc tương đối của bánh răng thứ k đối với cần sẽ được tính như sau:
Tỷ số truyền tương đối của bánh răng thứ j đối với bánh răng
m
r j
j
i
1 .
r jk
c c
r k
k
r k r j
thứ k.
.
m 1 .
j c
c
k
r k r j
Đây
công là thức Willis cho bài vận toán tốc.
Công thức Willis cho bài toán gia tốc:
Đạo hàm 2 vế của công thức Willis cho bài toán vận tốc theo
c j
c . k
r km .1 r
j
thời gian ta sẽ được công thức Willis cho bài toán gia tốc.
0
Ghi chú:
0
c c
Chọn:
1
2
Bài 1. Cho cơ hệ y
C
như hình bên.
a/ Phân tích chuyển động x o1 o2
C
của các vật rắn trong hệ ?
A
b/ Xác định vận tốc góc, gia
tốc góc của vật 2 ?
c/ Tính vận tốc gia tốc của điểm A.
2
2
r
r 1
r 2
1,5
C
1,5
C
1 1
Cho:
1
2
y
C
1
a/ Phân tích chuyển động
C
x o1 của các vật trong hệ. o2
1
A
Cần O1O2 và bánh răng trung tâm (1) quay chậm dần quanh
tâm O1 cố định.
Bánh răng (2) chuyển động song phẳng trong mp hình vẽ.
b/ Xác định vận tốc góc – gia tốc góc của bánh răng (2).
1
Áp dụng công thức Villis: Chọn chiều vận tốc góc của cần làm
2
C
1 m
C
2
1
C
chiều dương.
r 1 r 2
C
x o1 o2
2
C
1
C
r 1 r 2
(1) A
Áp dụng công thức Villis: Chọn chiều gia tốc góc của cần làm
1 m
C
2
1
C
chiều dương:
1
2
C
r 1 r 2 C
r 1 r 2
(2)
2
1,5
1,5
r 1
r 2
C
Với
2
C
C
C
0 2
r 2 ; 1 2 1,5
; 1 C
(1)
Bánh răng (2) tịnh tiến tức thời.
2
C
C
C
0 2
2 1,5
(2)
Vậy bánh răng (2) chuyển động tịnh tiến.
c/ Tính vận tốc gia tốc của điểm A.
C
C
v O 2
2Ov
n
C
Oa
2
Vận tốc điểm O2
r 3 .
r 2. O O 3 . 1 j . C
v O 2
C
x o1
n
2Oa
o2 2Oa
Gia tốc điểm O2 a a a O O O 2 2 2
r 2. O O 3 1
2 C
2 C
n a O 2
2 4 r 3 C C
a O 2
2. O O 1 C
r 3 C
a O 2
Trong đó:
Vận tốc và gia tốc tại điểm A:
Vì bánh răng (2) chuyển động tịnh tiến nên vận tốc và
1
2
2Ov
C
Av
gia tốc tại mọi điểm thuộc nó là như nhau.
C
x o1 o2
2Oa
Aa
A
Cho cơ cấu hành tinh vi sai như hình vẽ, có bánh răng 1 bán
kính r1 cố định, bánh răng 2 và 3 có bán kính bằng nhau., tay
quay AB quay với vận tốc góc ω0 và gia tốc góc ε0
1
3
2
0
y A
0
2
2
2
r
r 1
r 2
r 3
C x B A
a/ Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ ?
b/ Xác định vận tốc góc, gia tốc góc của bánh răng 2 và 3 ?
c/ Tính vận tốc gia tốc của điểm A.
3. Chuyển động song phẳng của vật rắn
Định nghĩa
(V)
(S)
M
P
;
N
Mh
Q
Nh
h M h N M N ,
const const V
là chuyển động song Chuyển động của vật rắn được gọi phẳng nếu trong quá trình chuyển động của vật mỗi điểm thuộc vật chỉ chuyển động trong một mặt phẳng song song với mặt phẳng quy chiếu cố định (π) đã chọn trước (hình 4.5).
(P) là mặt phẳng chuyển động của điểm M: (P) // ()
(Q) là mặt phẳng chuyển động của điểm N: (Q) // () (Q) // (P).
S
L av
K
L
K av
P
Cách xác định tâm vận tốc tức thời: Trường hợp 1: Khi vật rắn lăn không trượt trên bề mặt cố định. Đây là 1 trường hợp đặc biệt của chuyển động song phẳng. Tâm vận tốc tức thời P là 1 điểm thuộc vật rắn đang trùng với bề mặt cố định (hình 4.8).
Trường hợp 2: Khi chúng ta biết được phương vận tốc
B
A av
B av
A
A B v v a a PA PB
P
của 2 điểm trên vật.
//
//
B v a
A v a
B v a
A v a
B
B
A
A av
P
P
A
A av
Trường hợp 3: Biết được phương, vận tốc của 2 điểm A, B và 2 phương vận tốc này song song với nhau. (hình 4.10)
a)
b)
A aa
1 s 0 (
);
2 s 0 (
)
M
MAa
;
B v a
A v a
A a a
B a a
Khi P thì vật tịnh tiến tức thời, ta có:
MA
na
M aa
MAa
A aa
A
b. Bài toán gia tốc
Chọn 1 điểm trên tiết diện (S) đã biết gia tốc làm điểm
cực A.
M a a
M a e
M a r
M a c
*
Áp dụng định lý hợp gia tốc:
Với:
M a a
A a a
MA a n
MA a
)
M a e MA a ( 2
MA a n 0
M a e M a r M a c
e
A a a MA a M v r
Vậy:
AM a : MA AM
MA a Chiều MA a
MA : (hướng tâm A) 2 AM.
Với:
quay quanh A theo chiều . MA a n MA a n
4. Gia tốc Coriolis
Định lý hợp chuyển động.
M v a
M v e
M v r
a. Định lý hợp vận tốc
M a a
M a e
M a r
M a c
b. Định lý hợp gia tốc
e
M v r
2
M a c e
là gia tốc Coriolis của M.
: vận tốc góc trong chuyển động kéo theo của hệ động 1 đối với hệ cố định 2.
0
e
hệ động 1 tịnh tiến.
e
)
,
M a c
M
rv
M
sin.
M v mp ( r e M RHR : a c M v .2 r e
M
Ca
M
Chiều M a c
0
ca
e
0 e M v 0 r M v // r
: hệ động 1 tịnh tiến. : điểm M đứng yên trong hệ 1.
1
1
2
1
Bài 2. A
045
3
O1 O
B
1
A B Bài 2. Cho cơ hệ như
l
hình bên. Biết khung
1
2
3
OAB quay quanh trục
1
cố định qua O với
O
l
l
C vận tốc gốc ω1 và gia
D tốc góc ε1
a/ Phân tích chuyển động của các vật rắn. Phân tích chuyển động của điểm C2 thuộc thanh BD khi chọn con lắc C làm hệ động b/ Tính vận tốc góc của thanh BD và con lắc C.
c/ Tính gia tốc góc của thanh BD và con lắc C.
a/ Phân tích chuyển động của các vật rắn. Phân tích chuyển động của điểm C2 thuộc thanh BD khi chọn con lắc C làm hệ động
Phân tích chuyển động của các vật rắn
* Vật rắn 1 quay nhanh dần theo chiều ngược chiều kim đồng
hồ quanh tâm O cố định.
* Vật rắn 2 chuyển động song phẳng.
* Vật rắn 3 quay quanh tâm C cố định.
(1) Phân tích chuyển động của điểm C 2 : gồm 2 chuyển động - Chuyển động kéo theo: chuyển động quay quanh tâm C cố định cùng với con lắc e 3
- Chuyển động tương đối: chuyển động thẳng của điểm C2
BD
theo phương BD đối với con lắc C.
BD
C v 2 r C a 2 r
(2)
Do phương BD luôn trùng với phương của con lắc C nên
thành phần chuyển động quay của thanh BD giống với chuyển
động quay của con lắc C.
2 3 3 2
(3)
Quan hệ vận tốc:
BD
C v 2 a
C v 2 r
C v 2 r 0
(4)
C v 2 a C v 2 e
C v 2 e C v 3 a
Mà:
2
C a 2 a
C a c
2
2
Quan hệ gia tốc:
2
0
a
C a 2 a
C a r
C v 3 r
C a 2 r C 3 a
2
2
C a 2 e C a 2 e C a 2 c
C v 3 r
(5) Mà:
b/ Bài toán vận tốc:
;
BD
1
B v a
OB 1.
B v a
B av
Vận tốc điểm B trên khung OAB:
l
1
C v 2 a
2
C v 2 r 3
1
A B
O
l
l
C
D
Xét trên thanh BD: vận tốc của điểm B và C cùng phương nên tâm vận tốc tức thời trong trường hợp này ở vô cùng.
Vậy thanh BD tịnh tiến tức thời.
0
0
2
3
2
2
20; ;C v a
B a a
C a a
2 B v a
B av
1
Ba B na
2C B na
l
1
c/ Bài toán gia tốc: Gia tốc điểm B B A
B a
B a a
2C Ba
3
2
a
1
C a 2 a
2 C r
(6) trên khung OAB: B a n
O
B a n B a
2 . OB 1 . OB 1
l
l
Với C
D
Chọn B làm điểm cực, ta có gia tốc của điểm C2
C a 2 a
B a a
C B a 2 a
(7)
C a 2 r
(8)
B a n B a n
B a B a
C B a 2 n C B a 2 n
C B a 2 C B a 2
BD
BD
BD
BD
2C ra
BD
2
BC .
0
?
2.BC
1.OB
2 2
0 0
0
(9) Thay (5), (6) vào (7): C 2 v 2 0 (ω3 =0) 3 r C C a a 2 2 r a
2
2 1
2 3 1
2
1.OB Chiếu (9) lên phương OB 2 . BC . OB 2 1 2 .OB 1 BC
Vậy:
Bài 3: Cho cơ hệ như hình vẽ. Biết tay quay OA quay quanh tâm O cố định với vận tốc gốc ω1 = 1s-1 và gia tốc góc ε1 = 1m/s2
1
A
2
1l m
1
3
1
a/ Phân tích chuyển động
của các vật rắn. Phân tích chuyển động của điểm B2 thuộc thanh AC khi chọn con O
1l m
B lắc B làm hệ động
C b/ Tính vận tốc góc của thanh AC
và con lắc B.
c/ Tính gia tốc góc của thanh AC và con lắc B.
a/ Phân tích chuyển động của các vật rắn. Phân tích chuyển động của điểm B2 thuộc thanh AC khi chọn con lắc B làm hệ động
Phân tích chuyển động của các vật rắn
* Vật rắn 1 quay chậm dần theo chiều ngược chiều kim đồng hồ
quanh tâm O cố định.
* Vật rắn 2 chuyển động song phẳng trong mp hình vẽ.
* Vật rắn 3 quay quanh tâm B cố định.
(1) Phân tích chuyển động của điểm B 2 : gồm 2 chuyển động - Chuyển động kéo theo: chuyển động quay quanh tâm B cố định cùng với con lắc e 3
- Chuyển động tương đối: chuyển động thẳng của điểm B2
AC
theo phương AC đối với con lắc B.
AC
B v 2 r B a 2 r
(2)
Do phương AC luôn trùng với phương của con lắc B nên
thành phần chuyển động quay của thanh AC giống với chuyển
động quay của con lắc B.
2 3 3 2
(3)
Quan hệ vận tốc:
BD
B v 2 a
B v 2 r
(4)
B v 2 r 0
B v 2 a B v 2 e
B v 2 e B v 3 a
Mà:
B a 2 a
B a 2 c
Quan hệ gia tốc:
2
0
a
B a 2 a
B a 2 r
B v 2 3 r
B a 2 r B 3 a
2
B a 2 e B a 2 e B a 2 c
B v 2 3 r
(5) Mà:
b/ Bài toán vận tốc:
A
Vận tốc điểm A trên thanh OA:
A av
m s 1 /
av
OA 1.
2
1
l
A
1
B v 2 a
B v 2 r
3
AB
1
Xác định tâm vận tốc tức thời của thanh AC:
O
PB
2
m
l
m 2 AB tan
B
A
C
2
P
av
1
+ 3 2
A
1
0,5
s
2 3
2
av PA
Xem A là điểm thuộc AC: PA . . OA 2
B 2
2 / 2
m s /
PB . 2
av
Xem B là điểm thuộc AC:
2
Aa
c/ Bài toán gia tốc
2B ra
1
A A na
2B Aa
B a n
B a a
1
1
2
2B A na
(6) Gia tốc điểm A thuộc thanh OA: B a
m s 1 /
O
2
m s 1 /
A a n A a
2 . OA 1 . OA 1
Với
C
3
B 2B ca
Chọn A làm điểm cực, ta có gia tốc của điểm B2 P
B a 2 a
A a a
B A a 2 a
(7)
Thay (5), (6) vào (7):
B a 2 r
2 3
B v 2 r
A a n
A a
B A a 2 n
B A a 2
(8)
OA
OA
AO
AC
BA
2
?
2.AB
2 .AB 2
1
BP 32 . B rv
1
B 2
0 2.
1.sin
1.cos
0
3
. AB 2
rv .
2 / 2
1. 2 / 2 1. 2 / 2
2. 2
2
2
0,5 /m s
0,5 /m s
2
3
Chiếu (8) lên trục y:
