PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
PHNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYT CHUI
BÀI 9
§3. Phng trình vi phân cp hai (TT)
•
••
• t vn . Mô hình toán hc ca h c hc và mch in dn n phng trình vi
phân cp hai
+ + =
2
2
0
d x dx
m c kx
dt dt
;
1
( )
LI RI I E t
C
′′ ′ ′
+ + =
k
là h
s
co dãn c
a lò xo;
c
là h
s
gi
m xóc;
là kh
i l
ng v
t th
3. Phng trình vi phân tuyn tính cp hai
a) nh ngha.
( ) ( ) ( )
y p x y q x y f x
′′ ′
+ + =
(1)
b) Phng trình vi phân tuyn tính thun nht
( ) ( ) 0
y p x y q x y
′′ ′
+ + =
(2)
nh lí 1.
1 2
,
y y
là các nghi
m c
a (2)
1 1 2 2
c y c y
+
c
ng là nghi
m c
a (2),
1 2
,c c
∀ ∈
•
••
•
nh ngha.
Các hàm
1 2
( ), ( )
y x y x
là

c l
p tuy
n tính trên
[
]
;
a b
⇔
2
1
( )
( )
y x
y x
≠
h
ng
s
trên
[
]
;
a b
. Trong tr

ng h
p ng

c l
i ta nói các hàm này ph
thu
c tuy
n tính.
Ví d 1.
a)
2
,
x x
e e
b)
2
2 1, 1
x x x
+ + +
c)
tan , 2 tan
x x
nh ngha.
Cho các hàm
1 2
( ), ( )
y x y x
, khi
ó

nh th
c Wronsky c
a các hàm này là
1 2
1 2
1 2
( , )
y y
W y y
y y
=
′ ′
nh lí 2.
Các hàm
1 2
,
y y
ph
thu
c tuy
n tính trên
[
]
;
a b
1 2
( , ) 0
W y y
=
trên
o
n
ó
Chú ý.
N
u
1 2
( , ) 0
W y y
≠
t
i
0
x
nào
ó thu
c
[
]
;
a b

c l
p tuy
n tính
nh lí 3.
Cho
1 2
,
y y
là các nghi
m c
a (2),
1 2
( , ) 0
W y y
≠
t
i
[
]
0
;
x a b
∈
, các hàm
( ), ( )
p x q x
liên t
c trên
[
]
;
a b
[
]
1 2
( , ) 0, ;
W y y x a b
≠ ∀ ∈
nh lí 4.
Các nghi
m
1 2
,
y y
c
a (2)

c l
p tuy
n tính trên
[
]
;
a b
[
]
1 2
( , ) 0, ;
W y y x a b
≠ ∀ ∈
nh lí 5.
Cho
1 2
,
y y
là các nghi
m

c l
p tuy
n tính
nghi
m t
ng quát c
a (2) là
1 1 2 2
y c y c y
= +
.
Ví d 2.
0
y y
′′
+ =
nh lí 6.
Bi
t nghi
m riêng
1
0
y
≠
c
a (2)
tìm

c nghi
m riêng
2
y
c
a (2)

c l
p
tuy
n tính v
i
1
y
và có d
ng
2 1
( ) ( ) ( )
y x y x u x
=
H qu.
V
i gi
thi
t c
a

nh lí 6, nghi
m
2
y
tìm

c theo công th
c sau
( )
2 1 2
1
1
p x dx
y y e dx
y
−
=
(Liouville).
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
Ví d 3.
a)
′′ ′
− =
0
y y
+) D
th
y
=
1
1
y là nghi
m +)
− −
= =
( 1)
2dx
x
y e dx e
+)
= +
1 2
x
y C C e
b)
′′ ′
− − =
2
0
x y xy y
+)
=
1
y x
là nghi
m +)
−
= = =
−
1
22 3
1 1 1
2
dx
x
y x e dx x dx
x x x
+)
= +
2
1
C
y C x
x
c)
(2 1) 4 4 0
x y xy y
′′ ′
+ + − =
(
−
= +
2
1 2
x
y C x C e
)
d)
(2 1) ( 1) 0
xy x y x y
′′ ′
− + + + =
(
= +
2
1 2
x x
y C e C x e
)
e)
2
2(1 tan ) 0
y x y
′′
− + =
(
= + +
1 2
tan (1 tan )
y C x C x x
)
c)
Ph

ng trình vi phân tuy
n tính không thu
n nh
t
( ) ( ) ( )
y p x y q x y f x
′′ ′
+ + =
(1)
nh lí 1.
Nghi
m t
ng quát c
a (1) có d
ng
y y Y
= +
,
ó
y
là nghi
m t
ng quát
c
a (2),
Y
là nghi
m riêng c
a (1).
nh lí 2.
(Nguyên lí ch
ng nghi
m)
N
u
1
y
là nghi
m c
a ph

ng trình
1
( ) ( ) ( ).
y p x y q x y f x
′′ ′
+ + =
2
y
là nghi
m c
a ph

ng trình
2
( ) ( ) ( ).
y p x y q x y f x
′′ ′
+ + =
Thì có
1 2
y y y
= +
là nghi
m c
a ph

ng trình
1 2
( ) ( ) ( ) ( ).
y p x y q x y f x f x
′′ ′
+ + = +
Phng pháp bin thiên hng s Lagrange
•
Bi
t nghi
m t
ng quát c
a (2) là
1 1 2 2
y c y c y
= +
•
Gi
i h
sau
1 1 2 2
1 1 2 2
0
( )
c y c y
c y c y f x
′ ′
+ =
′ ′ ′ ′
+ =
có
1 1 1
( )
c x k
= +
φ
,
2 2 2
( )
c x k
= +
φ
•
Nghi
m t
ng quát c
a (1) là
1 1 1 2 2 2
( ( ) ) ( ( ) )
y y x k y x k
= + + +
φ φ
Ví d 4. a 1)
−
′′ ′
− =
3
2
x
x
y y e
x
+)
=
1
1
y là nghi
m +) = =
2dx
x
y e dx e
+) = +
1 2
x
y C C e
+) Gi
i h
′ ′
+ =
−
′ ′
+ =
1 2
1 2 3
0
2
.0
x
x x
C C e
x
C C e e
x
⇔
−
′= −
−
′=
13
23
2
2
x
x
C e
x
x
Cx
⇔
= −
= − +
12 3
2 2
2
2
1 1
x x
e e
C dx dx
x x
C K
x x
Ta có
= + = +
1 1
2 2 2
1
x x
x
e e
C dx e d K
x x x
+) Nghi
m t
ng quát
= + + − + = + +
1 2 1 2
2 2
1 1
1.
x x
x x
e e
y K e K K K e
x x x x
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
2)
′′ ′
+ − =
2 2
x y xy y x
+) Theo ví d
3 có = +
2
1
C
y C x
x
+) Gi
i h
′ ′
+ =
′ ′
+ − =
1 2
1 2 2
10
1
.1 1
C x C x
C C x
⇔
′ ′
+ =
′ ′
− =
1 2 2
1 2 2
1
0
1
1
C C x
C C x
⇔
′=
′= −
1
2
2
1
2
2
C
x
C
⇔
= +
= − +
1 1
3
2 2
2
6
x
C K
x
C K
+) Nghi
m t
ng quát
= + + − +
3
1 2
1
2 6
x x
y x K K
x= + +
2
2
1
3
K x
K x x
b 1)
2 3
3
x y xy x
′′ ′
− = ( =
3
1
y x
)
2)
2 2
x y xy y x
′′ ′
+ − = ( = + +
2
2
1
3
x C
y C x
x
)
c)
3 2
( ) 2
x y y x
′′
− = −
(
−
= − + +
1 2
1
x x
y C e C e
x
)
d.
1)
2
( 1) 2
x x y y
′′
+ = , bi
t nghi
m riêng
1
1
1y
x
= +
(
+
= + + + − − +
2
1 2
1 1 1
1 1 ln( 1)
x
y C C x x
x x x )
2)
2
tan (tan 2) 2 cot 0
y x y x y x
′′ ′
+ − + =
, bi
t nghi
m riêng
1
sin
y x
=
(= +
2
1 2
sin sin
y C x C x
)
3)
2 2
4 ( 2)
x
x y xy x y e
′′ ′
+ + + = b
ng cách

i hàm s
2
z
y
x
=
(= + +
1 2
2 2 2
cos sin
2
x
C C e
y x x
x x x
)
e.
1) 2
xy y xy x
′′ ′
+ + =
b
ng cách

i hàm s
u
y
x
=
(
= + +
1 2
1
( cos sin )
y C x C x x
x
)
2)
2
tan cos 0
y y x y x
′′ ′
+ − =
, bi
t nghi
m riêng
sin
1
x
y e= (
−
= +
sin sin
1 2
x x
y C e C e )
3)
1
3 2
1
x
y y y e
′′ ′
+ + =
+
(
− − − −
= + + + +
2 2
1 2
( ) ln(1 )
x x x x x
y C e C e e e e
)
f.
1)
2
0
y y
y
x x
′
′′
− + =
bi
t nghi
m riêng
1
y x
=
( = +
1 2
ln
y C x C x x
)
2)
2 2
2 2
0
1 1
xy y
y
x x
′
′′
− + =
+ +
bi
t nghi
m riêng
1
y x
=
(
= + −
2
1 2
( 1)
y C x C x
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
g.
1)
2 2 2 3 3
(6 2 ) (9 6 2) 4
x
x y x x y x x y x e
′′ ′
− + + + + = b
ng cách

t
y
u
x
=
(= + +
3 2 3
1 2
( 2 )
x
y e C x C x x
2) 2(1 ) ( 2)
x
xy x y x y e
−
′′ ′
+ − + − = b
ng cách

t
u yx
=
(
−
= + +
1 2
1
4
x
x x
e
y C C e e
x x
)
h. 1)
′′
+ = +
cos tan
y y x x
(
+
= + + − −
1 2
cos 1 sin
cos sin sin ln
2 2 1 sin
x x x
y K x K x x
x
)
2)
′′
+ = +
sin cot
y y x x
(
+
= + − − −
1 2
sin 1 cos
cos sin cos ln
2 2 1 cos
x x x
y K x K x x
x
)


