PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 11 §3. Phương trình vi phân cấp hai (TT)
′′
′
a b ,
axy
by
0,
4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi c) Phương trình Euler 2 x y
∈ (cid:1)
+
=
+
t
ln
Cách giải. • Đặt
e=
⇒
xy
y
=
=
′ =
•
′ =
dy dt
′
′′
y
.
y
.
.
•
= −
+
=
=
d dy 1 x dt dt
dt dx
2 x y
+
= −
⇒ x t = dy 1 dy dt . x dt dt dx dy d 1 dx x dt 2 d y 2
dy 1 2 x dt 2 d y 2 dt
2 d y 2 dt
x dy dx d dx dy 1 2 x dt
1 2 x dt
⇒ = − ′′ = − 1 2 x dy dt dy dt
2 d y 2 dt
2 d y 2 dt
′′
′
(1)
xy
2
6
y
a by ( a 1) by 0 + − = ⇔ 0 + + − + = là phương trình • Thay vào có dy dt dy dt
= 0
+
−
′′
′
′′
′
9
xy
y 21
2x y
xy
y
dy dt vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi Ví dụ 1. Giải phương trình vi phân a) 2 x y
b) 2 x y
c)
x
−
+
0 =
+
+
=
3
′′
′
y
2
xy
2
y
x
2
x
d) 2 x y
e)
′′ −
+
=
−
+
+
−
0 =
′ y x
y 2 x
2 x
Giải a) t
x
⇒
t
ln
x
e=
•
=
y
,
y
⇒
xy
,
2 x y
′′ =
−
′′ =
−
•
′ =
′ =
1 dy . x dt
1 2 x
2 d y 2 dt
dy dt
dy dt
2 d y 2 dt
dy dt
2
6
y
6
y
(2)
• Thay vào ta có
+
−
= ⇔ 0
−
= 0
−
+
2 d y 2 dt
dy dt
dy dt
2 d y 2 dt
dy dt
r
2,
r
r
6
=
= − 3
• Phương trình đặc trưng 2
r+
−
= ⇔ 0
2
t
t
y
• (2) có nghiệm tổng quát
=
+
c e 1
3 c e− 2
2 ln
3 ln
2
x
x
y
• (1) có nghiệm tổng quát
=
+
=
+
c x 1
c e 1
c e− 2
2 3
c x
t
′′
′
2
xy
2
y
2 x 3 ,
x
0
bằng cách đặt
x
Ví dụ 2. Giải phương trình vi phân 2 x y
−
+
=
>
e=
2
2
(
y
ln )
x x
x
ln
x )
=
+
+2
C ( 1
C 2
3 2
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
§4. Hệ phương trình vi phân
bên phải khối lượng
là vị trí của khối lượng
( )y t
− Có mô hình toán là
" = − + − Hình 1. Hệ khối lượng và lò xo trong Ví dụ 1 f t ( ) " ) k y ( 2 x − = − +
•••• Đặt vấn đề − Các quy luật của tự nhiên không diễn ra đơn lẻ mà gồm nhiều quá trình đan xen nhau − Hệ phương trình vi phân tuyến tính giải quyết nhiều bài toán nêu trên, chẳng hạn như : 1°°°°/ Ví dụ 1. Xét hệ hai khối lượng và hai lò xo như trong Hình 1, với một lực tác động từ bên ngoài ( ) 2m . f t 1m từ Ta kí hiệu ( )x t là hàm vị trí (sang phải) của khối lượng trạng thái cân bằng (khi hệ bất động và cân bằng với ( ) f t = ) 0 2m từ trạng thái tĩnh của nó. và x k x ) 1 k y ( 2
m x 1 m y 2
( )y t
Hình 2. Hai thùng nước biển trong Ví dụ 2
y
x
x
′ = − +
y
x
− Có mô hình toán là
−
2°°°°/ Ví dụ 2. Xét hai thùng nước muối được nối với nhau như trong Hình 2. Thùng 1 chứa x(t) pounds muối trong 100 gallon của nước biển và thùng 2 chứa pounds muối trong 200 gallon nước biển. Nước biển trong mỗi thùng được giữ nguyên bởi các vòi bơm và nước biển thùng này sang thùng khác với tốc độ chỉ ra trên Hình 2. Thêm nữa nước nguyên chất chảy vào thùng 1 với tốc độ 20gal/phút và nước muối trong thùng 2 chảy ra với tốc độ 20gal/phút ′ = y
I
1R là
I 1
1 20 3 20 3 10 3 10
3°°°°/ Ví dụ 3. Xét mạch điện như trong Hình 3, ở đó 1I (t) kí hiệu của dòng điện chạy qua cảm biến L và 2I (t) kí hiệu của dòng điện chạy qua điện trở 2R . Dòng điện chạy qua điện trở I = − theo 2 hướng đã chỉ.
50
25 I
+
−
=
25 I 1
2
dI 1 dt
Hình 3. Mạng điện trong Ví dụ 3
2
3
0
5 I
−
−
=
2
dI 1 dt
dI 2 dt
− Có mô hình toán là
1. Đại cương −−−− Định nghĩa. Hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp một có dạng
… y , ) y , 1
n y
2
n
, … ( , , , ) ′ = 1 ′ = 2 f x y y ( , 1 2 f x y y 2 , 1 (1)
2
n
… ( , , , y ) y (cid:3) ′ = y n f x y y n , 1
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
n
n
2
2
thaonx-fami@mail.hut.edu.vn f ∂ i y ∂
j
1n +
D
,
,
(
y
y
x
y
, khi đó
)
để (1) có nghiệm duy nhất thoả mãn các
… ( , , y… , ) và các đạo hàm riêng , , y ) −−−− Định lí 1. Giả sử các hàm f x y y i , 1 x y y ( , , 1
D∈
0
U x 0(
∃ ε
điều kiện
y
,
=
⊂ (cid:1) . liên tục trên … 0 0 0 )n , , 2 1 i y x ) 0( i
…
1, n = y… ,
, ở đó
y
,
,
c
)
là nghiệm tổng quát của
=
y 1( ,
)n
i
ϕ i
x c c ( , , 1
2
n
,
0 i Định nghĩa. Ta bảo hệ (1) ⇔ • thoả mãn hệ (1)
∀
c c , 1
… , n c
…
(
x
,
,
y
y
,
y
2 thoả mãn định lí 1 ⇒
c
c
sao cho các hàm số
•
∀
∃
0
, …
y
y
i
1,
n
y
,
0 2 c
,
,
)
thoả mãn điều kiện
=
0 i =
=
i
i
ϕ i
0 )n 0 c n
= i 0, i
0 1 0 x c ( , 1
0 2
x x =
0
Nghiệm riêng của (1) nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho
1,
n
các giá trị xác định
=
ic i ,
Cho
2. Cách giải
(
)
)1
n
…
′ ,
,
( n y −
)
luôn đưa về hệ phương
,
f x y y ( , = y , có = 1 y
2 y
• Phương trình vi phân cấp n : y trình vi phân chuẩn tắc cấp 1: Đặt y ′ = y 1 ′ = 2
3
y
2
n
… = n f x y y ( , y ) , , y (cid:3) ′ y n 1 − ′ = y n
2
, 1 Ngược lại, hệ PTVP chuẩn tắc luôn đưa về phương trình cấp cao bằng cách khử những hàm số chưa biết từ các phương trình của hệ, được gọi là phương pháp khử
y ′ = 5 y 4 z y z z + +
Ví dụ 1. a)
b)
c)
d)
z 4 y 5 z z y z x z y ′ = y ′ = + ′ = y ′ = + + ′ = y ′ =
′ = z y z y 2
cos sin x
)
e)
(
cos sin x z y ′ = z y ′ = − x C + 2 x C − 1
x − e C ( 1
cos x sin ) x C + 2 z 5
f)
(
)
x
−
z y 3 z ′ = y y ′ = − + z e x ) sin x = − − + + (
)
[
]
2
x
−
C ( 2 C 2 ) cos 1 C ( 1 C 2 2
3 y z ) − − 1 5 C ( 1 C 2
g)
(
)
−
1
2
C x e 1 2 x z − z ′ = − y ′ = y − z ) = C x C e ( + y C = 1 z C = 2 = y = y
′ 5 y + =
′ 4 5 ′ ′′ z y 4 vào phương trình 1 có ′′ y z 5 y 16 y 20 z
Giải a) • Từ phương trình thứ nhất ⇒ y • Thay +
′ = z = + +
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
′ ′′ ′ z ( y y 5 ) , thay vào ta có y 10 y 9 • Từ phương trình 1 ⇒ = − − + = 0
9
x
x
9
x
x
9
x
1 4 x y = + • Nghiệm tổng quát c e 1 c e 2
y , thay vào phương trình đầu có z • = − + ′ = + c e 1 c e 29 c e 1 c e 2
22 ′
+)
′′ zz z y
c) +)
2 )
1 C x C +1 2
1
= z +) = − = 2 C 1 ( C x C + 2
3. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng số
… = + + + a y 11 1 a y 12 2 a y 1 n n
(1)
… = + + + a y 21 1 a y 22 2 a y 2 n n
a) Định nghĩa
dy 1 dx dy 2 dx
ở đó
ija ∈ (cid:1)
… = + + + a y 1 1 n a y 2 2 n a y nn n (cid:3) dy n dx
(2)
= + a y 11 1 a y 12 2
b) Cách giải. Để đơn giản ta xét hệ
= + a y 21 1 a y 22 2 dy 1 dx dy 2 dx
0
(3)
21
22
(
)
ở đó
,λ λ ⇒ (2) có nghiệm tổng quát là
2
, y y 1
2
a λ − = • Giải phương trình đặc trưng 11 a a λ a 12 −
;
1
2 12
2 22
• Nếu (3) có 2 nghiệm thực phân biệt 1 c y y c y y = + + = c y 1 11 c y 1 21
x λ , 1
2 x λ , 2
x λ , 2
(
,
)
là vectơ
11
12
22
k
ở đó 21 riêng ứng với giá trị riêng
x λ , y 1 1, 2
y y y = = = p e 11 p e 12 p e 22 p 1 k p 2
p e = 21 , k k =λ
z y −
Ví dụ 1. Giải các hệ sau a)
b)
c)
5 z
2 z 3
z + y z z − y z y z y 4 y 2 z 3 ′ = y ′ = + ′ = y ′ = − ′ = y ′ = +
Giải a) Cách 1. Phương pháp khử:
′′ y
′ y 4
y 5
0
−
−
=
x
x
′′
′
(
y
y
z
3
z và
) y ⇔
⇔
=
+ 2
z với ′ = ′
y +4
+ x
x
1 2
′ y
y
(
)
=
−
z
= −
+
= − y C e 1 − C e 1
5 C e 2 5 C e 22
z
1 2
, ở đó
Hệ
iL là các toán tử tuyến tính
′ z y • = −
Cách 2. Phương pháp toán tử = =
+ +
t f ( ) 1 t ( ) f 2
L y 2 L y 4
L x 1 L x 3
x
;
y
=
=
L 1 L 3
L 2 L 4
t ( ) f 1 t ( ) f 2
L 2 L 4
L 1 L 3
L 2 L 4
L 1 L 3
t ( ) f 1 t ( ) f 2
thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
D
,
•
≡
D ( y 4
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo y 1) (3
2 z D z )
d dx
0 0
− +
− −
= =
D
1
2
(
D
1)(3
D
)
8
D
4
D
=
−
−
+
= −
+
+ 5
• Ta có
− 4
2 D
3
− −
• Hệ ⇔
0 0
′′ y ′′ z
′ y 4 ′ z 4
y 5 z 5
− −
+ +
+ +
2
= −
= 5
k 21,
x
5 x
x
−
k − ;
z
=
+ =
+
= ⇔ 1 k 5 +
k 4 + − c e 3
0 c e 4
5
x
x
x
5
x
x
5
x
−
−
−
′
2(
)
−
+
+
+
c e 2
c e 3
c e 4
+ x 5
−
c +
c e 1 ∀ x ,
+ + =
⇒
⇔
= = • Phương trình đặc trưng x 5 • Ta có c e 1 • Thay 0 c 2 1 c 4
y c e 2 ,y z vào phương trình 1 ta có e .5 z y 2 y = + = − 2 x − (2 2 ) c e c e c 2 ) = 4 1 3 c 0 2 + 3 c 2
0
+
−
=
4
2
c e 1 c ( 4 + − 2 c c = − 1 3 c 22 c =
4
x
x
x
5
x
−
−
)
y
5 c e ;
z
=
+
= −
+
c e 1
2
c e 1
c e 22
• Nghiệm tổng quát ( , 1
y z , ở đó 2
0
5
0
1
4 λ
λ
Cách 3. •
=
⇔ 2 λ
−
−
=
=
= −
⇔ 1 λ
25, λ
− 4
3
−
4
0
:
⇔
p− 2
=
5=λ
p 11
21
• 1
0 0
p 2 21 p 5)
= =
+
21
p
21
Chọn 11
p
0
1
+
=
( − −
22
2
:
⇔
p+ 2
= 0
1= −λ
p 12
22
• 2
2 ) ) 1
p
0
=
22
p
p 12 p
(1 5) − 4 p 11 p 1, = ( 4 1,
22
5
x
x
x
;
x
x
; 2 z ;
e= =
; 2 y x +
−
e= z 1 ) z , ở đó y
2 x 5 5 c e 1
e−= x c e− 2
e− = − 5 c e z 2 = 1
c e− 2
2
y
x
=
+
5
t
t
5
t
t
x
= −
+
C e 1
C e 2
hoặc
)
(
λ
a)
5
+ t
t
y
+
=
x C e 1 C e = − 1
C e 2 C e 23
5
t
t
4
3
y
x
=
+
+
= y C e 1
1 3 C e 2
3
y
x
=
−
cos 3
t sin 3 )
cos 3
t sin 3 )
hoặc
)
(
b)
y
sin 3
t C + 2 t cos 3 )
x
sin 3
t C + 2 t cos 3 )
=
=
= x
= y
t e C ( 1 t e C ( 1
t C − 2
t e C ( 1 t e C ( 1
t C − 2
3
y
x
=
+
