PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
PHNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYT CHUI
BÀI 11
§3. Phng trình vi phân cp hai (TT)
4. Phng trình vi phân tuyn tính cp hai có h s không i
c) Phng trình Euler
2
0, ,x y axy by a b
′′ ′
+ + = ∈
Cách gii.
• t
t
x e
=
ln
t x
=
• 1
.
y
dx dt dx x dt
′= = =
dy
xy
dt
′=
•
1.
d d dy
y y
dx dx x dt
′′ ′
= =
2
1 1
. .
dy d dy dt
x dt x dt dt dx
= − +
2
2 2 2
1 1
dy d y
x dt x dt
= − +
2
2 2
1
d y dy
x dt dt
= −
2
2
2
d y dy
x y
dt dt
′′ = −
• Thay vào có
2
2
0
d y dy dy
a by
dt dt dt
− + + =
⇔
2
2
( 1) 0
d y dy
a by
dt dt
+ − + =
là ph

ng trình
vi phân tuy
n tính c
p hai có h
s
không

i
Ví d 1.
Gi
i ph

ng trình vi phân
a)
2
2 6 0
x y xy y
′′ ′
+ − =
(1)
b)
2
9 21 0
x y xy y
′′ ′
− + =
c)
′′ ′
+ + =
2
x y xy y x
d)
2 3
2 2 2 0
x y xy y x x
′′ ′
− + + − =
e)
2
2
y y
y
x x x
′
′′
− + =
Gii a)
•
t
x e
=
ln
t x
=
• 1
.
dy
y
x dt
′=,
2
2 2
1
d y dy
y
x dt dt
′′ = −
dy
xy
dt
′=,
2
2
2
d y dy
x y
dt dt
′′ = −
• Thay vào ta có
2
2
2 6 0
d y dy dy y
dt dt dt
− + − =
⇔
2
2
6 0
d y dy y
dt dt
+ − =
(2)
• Ph

ng trình

c tr
ng
2
6 0
r r
+ − =
⇔
2, 3
r r
= = −
• (2) có nghi
m t
ng quát
2 3
1 2
t t
y c e c e
−
= +
• (1) có nghi
m t
ng quát
2 ln 3 ln
1 2
x x
y c e c e
−
= +
2
2
1
3
c
c x
x
= +
Ví d 2.
Gi
i ph
ng trình vi phân
2 2
2 2 3 , 0
x y xy y x x
′′ ′
− + = >
b
ng cách

t
t
x e
=
(= + +
2 2 2
1 2
3
( ln ) ln
2
y C C x x x x
)
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
§4. H phng trình vi phân
•
••
•
t vn 
− Các quy lu
t c
a t
nhiên không di
n ra

n l
mà g
m nhi
u quá trình
an xen nhau
− H
ph

ng trình vi phân tuy
n tính gi
i quy
t nhi
u bài toán nêu trên, ch
ng h
n nh
:
1
°
°°
°
/ Ví d 1.
Xét h
hai kh
i l
ng và hai lò xo nh
trong Hình 1,
v
i m
t l
c tác

ng t
bên ngoài
( )
f t
bên ph
i kh
i l
ng
2
m
.
Ta kí hi
u
( )
x t
là hàm v
trí (sang ph
i) c
a kh
i l
ng
1
m
t
tr
ng thái cân b
ng (khi h
b
t

ng và cân b
ng v
i
( ) 0
f t
=
)
và
( )
y t
là v
trí c
a kh
i l
ng
2
m
t
tr
ng thái t
nh c
a nó.
− Có mô hình toán là
1 1 2
2 2
" ( )
" ( ) ( )
m x k x k y x
m y k y x f t
= − + −
= − − +
2
°
°°
°
/
Ví d 2.
Xét hai thùng n

c mu
i

c n
i v
i nhau nh
trong Hình 2. Thùng 1 ch
a
x
(
t
) pounds mu
i trong 100 gallon
c
a n

c bi
n và thùng 2 ch
a
( )
y t
pounds mu
i trong 200
gallon n

c bi
n. N

c bi
n trong m
i thùng

c gi
nguyên b
i các vòi b
m và n

c bi
n thùng này sang thùng
khác v
i t
c

ch
!
ra trên Hình 2. Thêm n
a n

c nguyên
ch
t ch
y vào thùng 1 v
i t
c

20gal/phút và n

c mu
i
trong thùng 2 ch
y ra v
i t
c

20gal/phút
− Có mô hình toán là
3 1
10 20
3 3
10 20
x x y
y x y
′= − +
′= −
3
°
°°
°
/ Ví d 3.
Xét m
ch
i
n nh
trong Hình 3,
ó
1
I
(t) kí hi
u c
a dòng
i
n ch
y qua c
m bi
n L và
2
I
(t) kí hi
u c
a dòng
i
n ch
y qua
i
n tr
2
R
.
Dòng
i
n ch
y qua
i
n tr
1
R
là
1 2
I I I
= −
theo
h

ng
ã ch
!
.
− Có mô hình toán là
11 2
1 2 2
25 25 50
2 3 5 0
dI I I
dt
dI dI I
dt dt
+ − =
− − =
1. i cng
−
−−
−
nh ngha.
H
ph

ng trình vi phân chu
"
n t
#
c c
p m
t có d
ng
1 1 1 2
2 2 1 2
1 2
( , , , , )
( , , , , )
( , , , , )
n
n
n n n
y f x y y y
y f x y y y
y f x y y y
′=
′=
′=
(1)
Hình 1. H khi lng và
lò xo trong Ví d$ 1
Hình 2. Hai thùng nc
bin trong Ví d$ 2
Hình 3.
M
ng
i
n
trong Ví d
$
3
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
−
−−
−
nh lí 1.
Gi
s
%
các hàm
1 2
( , , , , )
i n
f x y y y
và các
o hàm riêng
1 2
( , , , , )
i
n
j
f
x y y y
y
∂
∂
liên t
$
c trên
1
n
D
+
⊂
.
Cho
0 0 0
01 2
( , , , , )
n
x y y y D
∈
, khi
ó
0
( )
U x
∃
ε

(1) có nghi
m duy nh
t tho
mãn các
i
u ki
n
0
0
( ) , 1,
ii
y x y i n
= =
nh ngha.
Ta b
o
1
( , , )
n
y y
,
ó
1 2
( , , , , )
i i n
y x c c c
=
ϕ
là nghi
m t
ng quát c
a
h
(1) ⇔
• tho
mãn h
(1)
1 2
, , ,
n
c c c
∀
•
0 0 0
01 2
( , , , , )
n
x y y y
∀
tho
mãn

nh lí 1
0
i
i
c c
∃ = sao cho các hàm s
0 0 0
1 2
( , , , , )
i i
n
y x c c c
=
ϕ
tho
mãn
i
u ki
n
0
0
, 1,
ii
x x
y y i n
=
= =
Nghi
m riêng c
a (1) nh
n

c t
nghi
m t
ng quát khi cho
, 1,
i
c i n
= các giá tr
xác

nh
2. Cách gii
• Ph

ng trình vi phân c
p
n
:
(
)
(
)
1
( , , , , )
n n
y f x y y y
−
′
=
luôn

a v
h
ph

ng
trình vi phân chu
"
n t
#
c c
p 1:

t
=
1
y y
, có
1 2
2 3
1
1 2
( , , , , )
n n
n n
y y
y y
y y
y f x y y y
−
′=
′=
′=
′=
Ng

c l
i, h
PTVP chu
"
n t
#
c luôn

a v
ph

ng trình c
p cao b
ng cách kh
%
nh
ng
hàm s
ch
a bi
t t
các ph

ng trình c
a h
,

c g
&
i là ph

ng pháp kh
%
Ví d 1. a)
5 4
4 5
y y z
z y z
′= +
′= +
b)
y y z
z y z x
′= +
′
= + +
c)
′=
′=
2
2
y
y
z
y
z
d)
y z
z y
′
=
′
=
e)
′=
′
= −
y z
z y
(
= +
= −
1 2
2 1
cos sin
cos sin
y C x C x
z C x C x
)
f)
( )
′= +
′= − +
5
3
y y z
z y z
(
[ ]
−
−
= +
= − − +
1 2
2 1 1 2
( cos sin )
1
( 2 ) cos ( 2 ) sin
5
x
x
y e C x C x
z e C C x C C x
)
g)
′
= − −
′= −
3
y y z
z y z
(
−
−
= − −
= +
2
1 2 1
2
1 2
( )
( )
x
x
y C C C x e
z C x C e
)
Gii a)
• T
ph

ng trình th
nh
t
5 4
y y z
′′ ′ ′
= +
• Thay
4 5
z y z
′
= +
vào ph

ng trình 1 có
5 16 20
y y y z
′′ ′
= + +
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
• T
ph

ng trình 1 1
( 5 )
4
z y y
′
= − , thay vào ta có
10 9 0
y y
′′ ′
− + =
• Nghi
m t
ng quát
9
1 2
x x
y c e c e
= +
•
9
1 2
9
x x
y c e c e
′= + , thay vào ph

ng trình
'
u có
9
1 2
x x
z c e c e
= − +
c)
+)
′′ ′
=
2
2
zz z
+) = − +
1 2
1
z
C x C
+)
=+
1
2
1 2
2
( )
C
yC x C
3. H phng trình vi phân tuyn tính thun nht vi h s hng s
a) nh ngha
111 1 12 2 1
221 1 22 2 2
1 1 2 2
n n
n n
n
n n nn n
dy
a y a y a y
dx
dy
a y a y a y
dx
dy
a y a y a y
dx
= + + +
= + + +
= + + +
(1)
ó
ij
a
∈
b) Cách gii. 

n gi
n ta xét h
1
11 1 12 2
2
21 1 22 2
dy
a y a y
dx
dy
a y a y
dx
= +
= +
(2)
•
Gi
i ph

ng trình

c tr
ng
11 12
21 22
0
a a
a a
−
=
−
λ
λ
(3)
•
N
u (3) có 2 nghi
m th
c phân bi
t
1 2
,
λ λ
(2) có nghi
m t
ng quát là
1 2
( , )
y y
ó
1 1 11 2 12
y c y c y
= +
;
2 1 21 2 22
y c y c y
= +
ó
1
11 11
x
y p e
=
λ
,
1
21 21
x
y p e
=
λ
,
2
12 12
x
y p e
=
λ
,
2
22 22
x
y p e
=
λ
,
1 2
( , )
k k
p p
là vect
riêng
ng v
i giá tr
riêng
, 1, 2
k
k
=
λ
Ví d 1.
Gi
i các h
sau
a)
2
4 3
y y z
z y z
′= +
′= +
b)
5
2
y y z
z y z
′= −
′
= −
c)
3
y y z
z y z
′
= −
′= +
Gii a) Cách 1.
Ph

ng pháp kh
%
:
•
′′ ′ ′
= +
2
y y z
v
i
′
= +
4 3
z y z
và
′
= −
1
( )
2
z y y
⇔
′′ ′
− − =
′
= −
4 5 0
1( )
2
y y y
z y y ⇔
−
−
= +
= − +
5
1 2
5
1 2
2
x x
x x
y C e C e
z C e C e
Cách 2. Phng pháp toán t
H
1 2 1
3 4 2
( )
( )
L x L y f t
L x L y f t
+ =
+ =
, ó
i
L
là các toán t tuyn tính
1 2 1 2
3 4 2 4
( )
( )
L L f t L
x
L L f t L
=;
1 2 1 1
3 4 3 2
( )
( )
L L L f t
y
L L L f t
=
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
•
( 1) 2 0
4 (3 ) 0
D y z
y D z
− − =
+ − =
,
d
D
dx
≡
• Ta có
1 2
4 3
D
D
− −
−
2
( 1)(3 ) 8 4 5
D D D D
= − − + = − + +
• H ⇔
4 5 0
4 5 0
y y y
z z z
′′ ′
− + + =
′′ ′
− + + =
• Phng trình c trng
2
4 5 0
k k
− + + =
⇔
1 2
1, 5
k k
= − =
• Ta có
5
1 2
x x
y c e c e
−
= + ;
5
3 4
x x
z c e c e
−
= +
• Thay
,
y z
vào phng trình 1 ta có
0 2
y y z
′
= − + +
5 5 5
1 2 1 2 3 4
.5 2( )
x x x x x x
c e c e c e c e c e c e
− − −
= − + + + +
5
1 3 2 4
(2 2 ) ( 4 2 ) ,
x x
c c e c c e x
− −
= + + − + ∀
1 3
2 4
2 2 0
4 2 0
c c
c c
+ =
− + =
⇔
3 1
4 2
2
c c
c c
= −
=
• Nghim tng quát
( , )
y z
, ó
−
= +
5
1 2
x x
y c e c e
;
5
1 2
2
x x
z c e c e
−
= − +
Cách 3. • 1 2
0
4 3
−
=
−
λ
λ
⇔
2
4 5 0
− − =
λ λ
⇔
1 2
5, 1
= = −
λ λ
•
1
5
=
λ
:
11 21
11 21
(1 5) 2 0
4 (3 5) 0
p p
p p
− + =
+ − =
⇔
11 21
4 2 0
p p
− =
Ch&n
11 21
1, 2
p p
= =
•
2
1
= −
λ
:
( )
(
)
( )
( )
12 22
12 22
1 1 2 0
4 3 1 0
p p
p p
− − + =
− − − =
⇔
12 22
2 2 0
p p
+ =
Ch
&
n
12 22
1, 1
p p
= = −
• H
nghi
m c
b
n là
5
1
x
y e
= ;
5
1
2
x
z e
=;
2
x
y e
−
=;
2
x
z e
−
= −
• Nghi
m t
ng quát:
(
)
;
y z
,
ó
5
1 2
x x
y c e c e
−
= + ;
5
1 2
2
x x
z c e c e
−
= −
Ví d 2
a)
2
3 4
dx
x y
dt
dy
x y
dt
= +
= +
(= +
= − +
5
1 2
5
1 2
3
t t
t t
x C e C e
y C e C e
ho
c
= − +
= +
5
1 2
5
1 2
1
3
t t
t t
x C e C e
y C e C e
)
b)
3
3
dx
x y
dt
dy
x y
dt
= −
= +
(= +
= −
1 2
1 2
( cos 3 sin 3 )
( sin 3 cos 3 )
t
t
x e C t C t
y e C t C t
ho
c = +
= −
1 2
1 2
( cos 3 sin 3 )
( sin 3 cos 3 )
t
t
y e C t C t
x e C t C t
)
Chú ý.
Ph

ng pháp toán t
%
gi
i

c h
ph

ng trình tuy
n tính không thu
'
n nh
t
v
i h
s
h
ng s






