Bài giảng Toán cao cấp Chương 3: ThS. Lê Trường Giang

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

NỘI DUNG:  3.1. Khái niệm  3.2. Không gian vectơ con  3.3. Tổ hợp tuyến tính  3.4. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính  3.5. Hệ sinh  3.6. Cơ sở và số chiều  3.7. Tọa độ của một vectơ trong một cơ sở  3.8. Ma trận chuyển cơ sở  3.9. Không gian

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

3.1. KHÁI NIỆM Cho trên đó có hai phép toán: một phép toán trong mà ta gọi là phép cộng và một phép toán ngoài mà ta gọi là phép nhân với số thực: Tập V cùng với hai phép toán trên được gọi là một không gian vectơ trên nếu: các phép toán trên V thỏa các tính chất sau:

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

3.2. KHÔNG GIAN VECTƠ CON Cho V là một không gian vectơ, . Nếu mà: Thì W được gọi là không gian vectơ con của V. Chú ý:  Cho , L là một không gian con của:

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

 Tập hợp tất cả các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất theo n ẩn số là một không gian vectơ con của Ví dụ 3.1. Cho biết tập nào sau đây là một không gian con của

S h T - p ấ C o a C n á o T

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

3.3. TỔ HỢP TUYẾN TÍNH Cho ta có: Khi đó u được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ S. Ví dụ 3.2. Trong , xét xem vectơ u có phải là tổ hợp tuyến tính của hay không. Ví dụ 3.3. Hãy biểu diễn x thành tổ hợp tuyến tính của u,v,w. Trong đó:

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

3.4. ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH Xét phương trình: i. : hệ S là độc lập tuyến tính. ii. : hệ S phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ 3.4. Trong , xét xem hệ vectơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính:

S h T - p ấ C o a C n á o T

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

Ví dụ 3.5. Trong không gian cho hệ vectơ sau: Chứng minh hệ vectơ trên là độc lập tuyến tính?

S h T - p ấ C o a C n á o T

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

3.5. HỆ SINH Cho V là một không gian vectơ, Ta nói W là tập các tổ hợp tuyến tính của S, hay W sinh bởi S, hay S sinh ra W. Kí hiệu:

S h T - p ấ C o a C n á o T

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

3.6. CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU Cho V là một không gian vectơ, được gọi là cơ sở nếu như hai điều kiện sau đây được thỏa mãn: i. ii. Hệ S độc lập tuyến tính Không gian vectơ V được gọi là không gian hữu hạn chiều nếu trong V tồn tại hệ gồm n vectơ sao cho hệ độc lập tuyến tính và mọi hệ chứa nhiều hơn n vectơ đều phụ thuộc tuyến tính. Khi đó ta cũng nói số chiều của V là n và kí hiệu là .

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

Định lý: 1) Không gian vectơ V là không gian n chiều khi và chỉ khi V có chứa một cơ sở gồm n vectơ. 2) Trong không gian n chiều V, ta có a) Mọi hệ chứa nhiều hơn n vectơ đều phụ thuộc tuyến tính. b) Mọi hệ độc lập tuyến tính và chứa đúng n vectơ đều là cơ sở của V. c) Mọi hệ sinh và có chứa đúng n vectơ đều là cơ sở của V. d) Mọi hệ độc lập tuyến tính và có chứa ít hơn n vectơ đều có thể bổ sung để trở thành cơ sở của V.

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

Ví dụ 3.6. Hệ vectơ nào trong các hệ vectơ sau đây là cơ sở của Ví dụ 3.7. Xác định cơ sở và số chiều của các không gian nghiệm của các hệ phương trình sau:

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

3.7. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ TRONG MỘT CƠ SỞ

Cho cơ sở ta có biểu diễn:

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

Khi đó tọa độ của u đối với cơ sở là:

Ví dụ 3.8. Trong không gian , xét hệ vectơ

S h T - p ấ C o a C n á o T

a) Chứng minh rằng là một cơ sở của b) Tìm tọa độ của trong cơ sở

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

Ví dụ 3.9. Trong không gian , xét hệ vectơ a) Chứng minh rằng là một cơ sở của b) Tìm tọa độ của trong cơ sở Ví dụ 3.10. Trong không gian , xét hệ vectơ a) Chứng minh rằng là một cơ sở của b) Tìm tọa độ của trong cơ sở

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

3.8. MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ 3.8.1. Định nghĩa Trong , cho hai cơ sở: Và có các tọa độ đối với cơ sở lần lượt được ký hiệu như sau: Khi đó, ma trận thỏa mãn hệ thức: Được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở sang cơ sở . Khi đó công thức (*) được gọi là công thức biến đổi tọa độ của vectơ u giữa hai cơ sở và .

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

17 3.8.2. Định lý Giả sử là ma trận chuyển từ cơ sở sang cơ sở Khi đó: 1) khả nghịch. 2) là ma trận chuyển từ cơ sở sang cơ sở 3.8.3. Cách xác định ma trận chuyển cơ sở Ma trận chuyển từ cơ sở sang được xác định như sau: Trong đó: là tọa độ của vectơ đối với cơ sở được viết dưới dạng cột.

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

Ví dụ 3.11. Trong cho các hệ vectơ a) Chứng minh rằng là cơ sở của b) Tìm tọa độ của vectơ trong cơ sở c) Tìm ma trận chuyển từ sang

S h T - p ấ C o a C n á o T

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

Ví dụ 3.12. Trong cho các hệ vectơ a) Chứng minh rằng là cơ sở của b) Tìm tọa độ của vectơ trong cơ sở c) Tìm m để là một cơ sở của d) Cho m = 1, tìm ma trận chuyển từ sang và ngược lại.

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

Ví dụ 3.13. Cho Là các cơ sở của a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ sang và ngược lại. b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ sang c) Cho biết . Hãy xác định và

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

3.9. KHÔNG GIAN 3.9.1. Khái niệm Cho tập với hai phép toán:  Phép cộng  Phép nhân

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

Khi đó (V; +;.) là một không gian vectơ n chiều và được ký hiệu là Một cơ sở của không gian này là hệ vectơ Cơ sở này còn được gọi là cơ sở chính tắc. 3.9.2. Hạng của hệ vectơ 1) Định nghĩa Cho hệ vectơ . Hệ vectơ có hạng là r nếu tồn tại một hệ con r vectơ của nó độc lập tuyến tính và mọi hệ con có nhiều hơn r vectơ của nó đều phụ thuộc tuyến tính. Nói cách khác, hạng của hệ vectơ là số vectơ độc lập tuyến tính tối đa của hệ.

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

Kí hiệu: Chú ý: + + Nếu hệ có toàn vectơ không thì ta quy ước 2) Tính chất a) Hạng của một vectơ không thay đổi nếu ta thêm vào hệ một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ của hệ, hoặc bớt đi một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại của hệ.

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

b) Trong , nếu mọi vectơ của hệ đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ thì 3) Phương pháp tìm hạng của hệ vectơ + Trong cho hệ vectơ

S h T - p ấ C o a C n á o T

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

+ Từ hệ vectơ này, ta thành lập được ma trận sau + Hạng của hệ vectơ đã cho chính là hạng của ma trận A. Nói cách khác, hạng của hệ vectơ chính là số dòng khác không của ma trận A sau khi đã đưa về dạng bậc thang.