10/13/2012
1
Toán Cao Cấp
Thời lượng: 45 tiết
N
ội dung
Chương 1: Ma trận, định thức.
Chương 2: Hệ Phương trình tuến tính.
Chương 3: Hàm số và giới hạn.
Chương 4: Phép tính vi phân hàm một biến.
Chương 5: Tích phân.
Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến.
Chương 7: Lý thuyết chuỗi.
Chương 8. Phương trình vi phân.
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
§1.
§1. Ma trận
§2. Định thức
ệươ ế
…………………………………………………
1.1.
Các đ
ịnh nghĩa
a)
Định nghĩa ma trận
•
Ma trận
A
cấp
mn
trên
¡
là 1 hệ thống gồm
mn
số
ij
a
¡
(1,; 1,)
imjn

và
được sắp
thành bảng gồm
m
dòng và
n
cột:
11121
21222
12
...
...
.
............
...
n
n
mmmn
aaa
aaa
A
aaa


• Các số
ij
a
được gọi là các phần tử của
A
ở dòng thứ
i
và cột thứ
j
.
• Cặp số
(,)
mn
được gọi là kích thước của
A
.
• Khi
1
m
, ta gọi:
11121
(...)
n
Aaaa
là ma trận dòng.
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
• Khi
1
n
, ta gọi
11
1
...
m
a
A
a


là ma trận cột.
•
Khi
1
mn

, ta gọi
:
11
()
A a
là ma trận gồm 1 phần tử.
• Ma trận
(0)
ijmn
O
có
tất cả các phần tử đều bằng 0
được gọi là ma trận không.
• Tập hợp các ma trận
A
được ký hiệu là
,
()
mn
M
¡
, để
cho gọn ta viết là
()
ijmn
A a
.
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
• Ma trận vuông
§
Khi
mn
, ta gọi
A
là ma trận vuông cấp
n
.
Ký hiệu là
()
ijn
A a
.
§
Đường chéo chứa các phần
tử
1122
,,...,
nn
aaa
được gọi
là đường chéo chính của
()
ijn
A a
,
đường chéo còn lại được gọi
là đường chéo phụ.
23
58
74
2
4
6
65
7
3
1
1
0


Chương 5. Đại số t uy ến tínhChương 5. Đại số t uy ến tính
• Các ma trận vuông đặc biệt
§
Ma trận vuông có tất cả các
phần tử nằm ngoài đường
chéo chính đều bằng 0 được
gọi là ma trận chéo.
100
050
000


§
Ma trận chéo cấp
n
gồm tất
cả các phần tử trên đường
chéo chính đều bằng 1 được
gọi là ma trận đơn vị cấp
n
.
Ký hiệu là
n
I
.
3
100
010
001
I


Chương 5. Đại số t uy ến tínhChương 5. Đại số t uy ến tính
10/13/2012
2
§ Ma trận ma trận vuông cấp
n
có tất cả các
phần tử
nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều
bằng
0 được gọi là ma trận tam giác trên (dưới).
102
011
000
A



300
410
152
B


§
Ma trận vuông cấp
n
có tất cả
các cặp phần tử đối xứng
nhau qua đường chéo chính
bằng nhau (
ijji
aa
) được
gọi là ma trận đối xứng.
0
0
3
1
2
4
4
1
1


Chương 5. Đại số t uy ến tínhChương 5. Đại số t uy ến tính
b) Ma trận bằng nhau
Hai ma trận
()
ij
A a
và
()
ij
Bb
được gọi là
bằng
nhau, ký hiệu
A B
, khi và c
hỉ khi chúng cùng
kích thước và
,,
ijij
abij

.
VD 1. Cho
1
2
xy
A
zt


và
101
23
Bu


.
Ta có:
0;1;2;2;3
ABxyzut

.
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
1.2. Các phép toán trên ma trận
a) Phép cộng và trừ
hai ma trận
Cho hai ma trận
()
ijmn
A a
và
()
ijmn
Bb
, ta có:
().
ijijmn
ABab

VD 2.
102202104
234531703













;
102202300
234531365














.
Nhận xét
Phép cộng ma trận có tính giao hoán và kết hợp.
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
b) Phép nhân vô hướng
Cho ma trận
()
ijmn
A a
và
¡
, ta có:
().
ijmn
A a

VD 3.
110330
3
2046012














;
264132
2
408204












.
Chú ý
• Phép nhân vô hướng có tính phân phối đối với phép
cộng ma trận.
• Ma trận
1.
A A

được gọi là ma trận đối của
A
.
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
c)
Phép n
hân hai ma trận
Cho hai ma trận
()
j
im
n
A a
và
()
k
jn
p
Bb
, ta có:
().
ikmp
ABc
Trong đó,
1
1,; 1,
n
ikijjk
j
cabimkp

.
VD 4. Thực hiện phép nhân
1
1232
5


.
Giải.
1
1232(1415)(12).
5



ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
VD 5. Thực hiện phép nhân
110
12
103


.
Giải.
110
12116
103



.
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
10/13/2012
3
VD 6. Tính
20
111
11
203
13




.
Giải.
20
11144
11
20379
13
















.
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
Tính chất
1) (AB)C = A(BC); 2) A(B + C) = AB + AC;
3) (A + B)C = AC + BC; 4) λ(AB) = (λA)B = A(λB);
5)
nm
AIAIA

, với
,
()
mn
A M
¡
.
VD 7. Cho
101
220
303
A



và
121
031
210
B




.
Thực hiện phép tính: a)
A B
; b)
BA
.
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
Giải
a)
101121311
220031220
303210933
A B






















.
b)
121101242
031220363
210303022
BA






















.
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
Chú ý
• Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.
• Đặc biệt, khi
()
ijn
A a
và
*
p
¥
, ta có:
p
nn
II
và
011
,()()
ppp
n
AIAAAA A


(lũy thừa ma trận).
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
d) P
hép chuyển vị
Cho ma trận
()
ijmn
A a
.
Khi đó,
()
T
jinm
A a
được gọi là ma trận
chuyển vị
của
A
(nghĩa là chuyển tất cả các dòng thành cột).
VD 13. Cho
123
456
A


.
T
A



1
2
3
{
4
5
6
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
Tính chất
1) (A + B)
T
= A
T
+ B
T
; 2) (λA)
T
= λA
T
;
3) (A
T
)
T
= A; 4) (AB)
T
= B
T
A
T
;
5)
T
A A

A đối xứng.
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
10/13/2012
4
VD 14. Cho
11
012
02,
103
32
A B







.
a) Tính
()
T
A B
.
b) Tính
T T
BA
và so sánh kết quả với
()
T
A B
.
Giải. a)
11
012
()02
103
32
T
T
A B













ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
111122
206103
23121612
T




























.
b) Sinh viên tự làm.
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
1.3. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận
(Gauss – Jordan)
Cho ma trận
()
ijmn
A a
(2)
m
. Các phép biến đổi
sơ cấp (PBĐSC) dòng
e
trên
A
là:
1)
1
():
e
Hoán vị hai dòng cho nhau ik
dd
A A

.
2)
2
():
e
Nhân 1 dòng với số
0
,
ii
dd
A A


.
3)
3
():
e
Thay 1 dòng bởi tổng của dòng đó với λ lần
dòng khác, iik
ddd
A A



.
Chú ý
1) Trong thực hành ta thường làm iik
ddd
A B



.
2) Tương tự, ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên
cột của ma trận.
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
VD 1
5
.
Dùng PBĐSC trên dòng để đưa ma trận
211
123
312
A



về
123
017/ 5
000
B



.
Giải. 12
123
211
312
dd
A



221
331
2
3
123
057
057
ddd
ddd





ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
332
22
1
5
123
017/ 5
000
ddd
dd
B




.
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
1.4. Ma trận bậc thang
• Một dòng của ma trận
có tất cả các phần tử đều bằng
0 được gọi là dòng bằng 0 (hay dòng không).
• Phần tử khác 0 đầu tiên tính từ trái sang của 1
dòng
trong ma trận được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó.
•
Ma trận bậc thang là ma trận
khác
không
cấp
mn
(, 2)
mn
thỏa hai điều kiện:
1)
Các
dòng
bằng 0
(
nếu có
)
ở
phí
a
dưới các
dòng
khác 0;
2) Phần tử cơ sở của 1 dòng bất kỳ nằm
bên phải
phần tử cơ sở của dòng ở phía trên dòng đó.
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
10/13/2012
5
VD 1
6
.
Các ma trận bậc thang:
102
003,
000


0123
0045,
0001


10...0
01...0
.
............
00...1
n
I


Các ma trận không phải là bậc thang:
000
314
005


,
027
034
005


,
135
004
213


.
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
1.5. Ma trận khả nghịch
a) Định nghĩa
• Ma trận
()
n
A M
¡
được gọi là khả nghịch
nếu tồn
tại ma trận
()
n
BM
¡
sao cho:
.
n
ABBA I

• Ma trận
B
được gọi là ma trận
nghịch đảo
của
A
.
Ký hiệu
1
BA
. Khi đó:
1111
;().
n
AAAAIA A


Chú ý
Nếu
B
là ma trận nghịch đảo của
A
thì
B
là duy nhất
và
A
cũng là ma trận nghịch đảo của
B
.
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
VD 17.
25
13
A


và
35
12
B


là
hai ma trận
nghịch đảo của nhau vì
2
ABBA I

.
Chú ý
1) Nếu ma trận
A
có 1 dòng (hay cột) bằng 0 thì
không khả nghịch.
2)
111
()
ABBA

.
3) Nếu
0
acbd

thì:
1
1
..
abcb
dcda
acbd











ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
VD 18. Cho
25
13
A


và
21
32
B


.
Thực hiện phép tính: a)
1
()
A B
; b)
11
BA

.
Giải. a) Ta có:
1912
117
A B


và
19.711.121

1
1
1912712
()
1171119
A B












.
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
b) Ta có:
11
2135712
32121119
BA















.
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức
§2. ĐỊNH THỨC
2.1. Định nghĩa
a) Ma trận con cấp
k
Cho
()
ijn
n
AaM

¡
.
•
M
a trận vuông
cấp
k
đ
ược
lập từ các phần tử nằm
trên giao của
k
dòng và
k
cột của
A
được gọi là
ma
trận con cấp
k
của
A
.
• Ma trận
ij
M
có cấp
1
n
thu được từ
A
bằng cách
bỏ đi dòng thứ
i
và cột thứ
j
được gọi
là ma trận con
của
A
ứng với phần tử
ij
a
.
ChươngChương
1. Ma 1. Ma
Tr ậnTr ận
, ,
ĐịnhĐịnh
Th ứcTh ức