10/13/2012
1
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uyếtt h uyết
chuỗichuỗi
§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ
1.1. Định nghĩa
• Cho dãy số có vô hạn các số hạng
12
,,...,,...
n
Biểu thức
12
1
......
nn
n
uuuu

được gọi là
chuỗi số
.
• Các số
12
,,...,,...
n
là các số hạng và
n
u
được gọi
là
số hạng tổng quát của chuỗi số.
§1. Khái niệm cơ bản về chuỗi số
§2. Chuỗi số dương
§3. Chuỗi số có dấu tùy ý
……………………………
• Tổng
n
số hạng đầu tiên
12
...
nn
Suuu

được
gọi là
tổng riêng thứ
n
của chuỗi số.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
• Nếu dãy
n
n
S
¥
hội tụ đến số
S
hữu hạn thì ta nói
chuỗi số hội tụ và có tổng là
S
, ta ghi là
1
n
n
uS
.
Ngược lại, ta nói chuỗi số
phân kỳ
.
VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi nhân
1
1
n
n
aq
với
0
a
.
Giải
•
1
q
:
n
Sna

chuỗi phân kỳ.
•
1
q
: 1
11
..
11
nn
n
qq
Sua
qq



Với
1
q
thì
n
S

chuỗi phân kỳ.
Vậy
1
1
n
n
aq
hội tụ
1
q

.
VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
(1)
n
nn
.
Giải. Ta có:
1111
...
1.22.33.4(1)
n
S
nn

1111111
1...
223341
nn










Với
1
q
thì
1
n
a
S
q

chuỗi hội tụ.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
ln1
n
n


.
Giải. Ta có:
1
ln1ln(1)ln
nn
n



(ln1ln2)(ln2ln3)
n
S

(ln3ln4)...[lnln(1)]
nn

ln(1)
n

chuỗi phân kỳ.
VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
n
n
.
1
11
1
n

chuỗi hội tụ.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
Giải.
1111
1...
234
n
S
n

1
.
n
Snn
n

chuỗi phân kỳ.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
1.2. Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ
• Nếu chuỗi
1
n
n
u
hội tụ thì
lim0
n
n
u

,
ngược lại nếu
lim0
n
n
u

thì
1
n
n
u
phân kỳ.
VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số
4
4
1
32
n
n
nn

.
Giải. Ta có:
4
4
10
32
n
n
u
nn


chuỗi phân kỳ.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
10/13/2012
2
VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số
5
4
1
1
n
n
n
.
Giải. Ta có:
5
4
0
1
n
n
u
n

chuỗi phân kỳ.
1.3. Tính chất
• Nếu
11
,
nn
nn
uv



hội tụ thì:
111
()
nnnn
nnn
uvuv




.
• Nếu
1
n
n
u
hội tụ thì:
11
nn
nn
uu




.
• Tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số không đổi
nếu ta thêm hoặc bớt đi hữu hạn số hạng.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
§2. CHUỖI SỐ DƯƠNG
2.1. Định nghĩa
•
1
n
n
u
được gọi là chuỗi số dương nếu
0,
n
un

.
Khi
0,
n
un

thì chuỗi số là dương thực sự.
2.2. Các định lý so sánh
Định lý
1
.
Cho hai chuỗi số dương
11
,
nn
nn
uv



thỏa:
0
0,
nn
uvnn

.
• Nếu
1
n
n
v
hội tụ thì
1
n
n
u
hội tụ.
• Nếu
1
n
n
u
phân kỳ thì
1
n
n
v
phân kỳ.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
.2
n
n
n
.
Giải. Ta có:
11
,1
.22
nn
n
n

.
Do
1
1
2
n
n
hội tụ nên
1
1
.2
n
n
n
hội tụ.
VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi điều hòa
1
1
n
n
bằng cách
so sánh với
1
1
ln1
n
n


.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
Giải. Xét hàm số
()ln(1)
fttt

ta có:
()0,0()0,0
1
t
fttftt
t

11
ln10,1
n
nn



.
Do
1
1
ln1
n
n


phân kỳ nên
1
1
n
n
phân kỳ.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
Định lý 2
Cho hai chuỗi số
11
,
nn
nn
uv



thỏa:
0
n
u
và
0
n
v
với
n
đủ lớn và lim n
n
n
u
k
v

.
• Nếu
0
k
thì
1
n
n
u
phân kỳ
1
n
n
v
phân kỳ.
• Nếu
k

thì
1
n
n
u
hội tụ
1
n
n
v
hội tụ.
• Nếu
0
k

thì
11
,
nn
nn
uv



cùng tính chất.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
2(1)
.3
n
n
n
n
n
bằng cách
so sánh với
1
2
3
n
n


.
Giải. Ta có 1
2(1)211
:
333
.3
n
n
n
nn
n
n




.
Do
1
2
3
n
n


hội tụ nên
1
1
2(1)
.3
n
n
n
n
n
hội tụ.
Chú ý
Chuỗi
1
1
n
n
hội tụ khi
1

và phân kỳ khi
1

.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
10/13/2012
3
VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số
5
1
1
23
n
n
n
.
Giải. Ta có
53
111
:
2
23
n
nn
.
Do
3
1
1
n
n
hội tụ nên
5
1
1
23
n
n
n
hội tụ.
Cách khác
Khi
n

thì:
53
5
22
11
23
2.2.
nn
n
nn
:.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
Do
3
1
2
1
2.
n
n
hội tụ nên
5
1
1
23
n
n
n
hội tụ.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
2.3. Các tiêu chuẩn hội tụ
2.3.1. Tiêu chuẩn D’Alembert
Cho chuỗi số dương
1
n
n
u
và 1
lim n
n
n
u
D
u

.
• Nếu
1
D
thì chuỗi hội tụ.
• Nếu
1
D
thì chuỗi phân kỳ.
• Nếu
1
D
thì chưa thể kết luận.
VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
11
1
3
n
n
n
n


.
Giải. Ta có:
1
1
1
1211
:
1
33
nn
n
nn
n
unn
unn










ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
2
2
221
1
3(1)3
21
n
nnn
n
nn





chuỗi hội tụ.
VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số
2
1
5(!)
(2)!
n
n
n
n
.
Giải. Ta có:
1
1
5(1)!(1)!5.!!
:
(22)!(2)!
nn
n
n
u
nnnn
unn

2
5(1) 5
1
(22)(21)4
n
nn


chuỗi phân kỳ.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
2.3.2. Tiêu chuẩn Cauchy
Cho chuỗi số dương
1
n
n
u
và lim nn
n
uC

.
• Nếu
1
C
thì chuỗi hội tụ.
• Nếu
1
C
thì chuỗi phân kỳ.
• Nếu
1
C
thì chưa thể kết luận.
VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số
2
1
1
2
n
n


.
Giải. Ta có: 1
01
2
n
nn
u


chuỗi hội tụ.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
VD 8. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
3
n
n
n
n
.
Giải. Ta có:
3
nn
n
u

chuỗi phân kỳ.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
10/13/2012
4
2.3.3. Tiêu chuẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy
Cho hàm số
()
fx
liên tục, không âm và giảm trên n
ửa
khoảng
[;),
kk

¥
. Khi đó:
()()
nk
k
fnfxdx

hoäi tuï hoäi tuï.
VD 9. Xét sự hội tụ của chuỗi số 3
2
1
1
n
n
.
Giải. Ta có:
3
2
1
dx
x

phân kỳ
chuỗi 3
2
1
1
n
n
phân kỳ.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
VD 10. Xét sự hội tụ của chuỗi số
3
2
1
ln
n
nn
.
Giải. Ta có:
33
2ln2
ln
dxdt
xxt


hội tụ
3
2
1
ln
n
nn
hội tụ.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
§3. CHUỖI SỐ CÓ DẤU TÙY Ý
VD 1.
1
(1)
n
n
n
, 1
1
1
21
(1)
2
n
n
n
n
là các chuỗi đan dấu.
3.1. Chuỗi đan dấu
a) Định nghĩa. Chuỗi số
1
(1)
n
n
n
u
được gọi là
chuỗi số đan dấu nếu
0,
n
un

.
b) Định lý Leibnitz
Nếu dãy
{}
nn
u
¥
giảm
nghiêm ngặt
và
0
n
u
thì chuỗi
1
(1)
n
n
n
u
hội tụ. Khi đó, ta gọi là
chuỗi Leibnitz
.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
(1)
n
n
n
.
Giải. Dãy
1
n
u
n
giảm ngặt và
1
0
n
chuỗi hội tụ.
VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
21
(1)
2
n
n
n
n
.
Giải. 1
111
0
22
2
nn
u

không có kết luận.
Đặt
1
11
21
(1)
2
n
n
nn
nn
v



 , ta có:
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
• Với 21
111
2:
22
2
nk
nkv

.
• Với 22
111
21:
22
2
nk
nkv

.
Do
lim
n
n
v

nên
1
0
nn
n
vv

phân kỳ.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số
2
(1)
(1)
n
n
n
n

.
Giải
(1)(1)
(1)(1)
1
111
(1)
nn
nn
n
n
n
nnn
n








•
2
1
1
n
n
là chuỗi điều hòa nên phân kỳ.
•
2
(1)
1
n
n
n
n
là chuỗi Leibnitz nên hội tụ.
Vậy chuỗi
2
(1)
(1)
n
n
n
n

phân kỳ.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
10/13/2012
5
3.2. Chuỗi có dấu tùy ý
a) Định nghĩa
• Chuỗi
1
,
nn
n
uu
¡
được gọi là chuỗi có dấu tùy ý.
•
1
n
n
u
được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu
1
n
n
u
hội tụ.
•
1
n
n
u
được gọi là bán hội tụ nếu
1
n
n
u
hội tụ và
1
n
n
u
phân kỳ.
VD 5. Chuỗi số
1
(1)
n
n
n
là bán hội tụ.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
b) Định lý
Nếu
1
n
n
u
hội tụ thì chuỗi có dấu tùy ý
1
n
n
u
hội tụ.
VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số 2
1
cos()
n
n
n
n
.
Giải
Do
2
1
n
u
n
và
2
1
1
n
n
hội tụ nên 2
1
cos()
n
n
n
n
hội tụ.
Vậy chuỗi
s
ố
đ
ã
c
h
o
hội tụ tuyệt đối.
VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
(1)(2)
3
nn
n
n

.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
Giải. Ta có:
11
(1)(2)(1)(2)
333
nnnn
nnn


 .
Do
1
(2)2
2.
3
3
n
n
n


nên
1
1
(2)
3
n
n
n
hội tụ.
Vậy
1
1
(1)(2)
3
nn
n
n

hội tụ.
ChươngChương
7. 7.
LýLý
t h uy ếtt h u yết
chuỗichuỗi
Chuỗi
1
(1)
3
n
n
n
hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.