14/09/2017
1
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
TOÁN CHO TÀI
CHÍNH
CHƯƠNG 1
1
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Dãy số
•Dãy số: hàm số xác định trên tập các số tự
nhiên khác 0.
•Ta thường ký hiệu dãy số là (u
n
).
•u
n
gọi là số hạng thứ n của dãy.
*
:u N R
n u n
2
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Dãy số
•Cho dãy số:
•Ta có:
•Hỏi:
•Khi n rất lớn thì giá trị của dãy số là bao nhiêu?
1
2 1
n
u n
n
1 2 3
1 4
2; 1; ;...
2. 1 5
1
1
u u u
100 999 9999999
? ? ?u u u
3
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Dãy số
•10 giá trị đầu của dãy:
nu
n
1 2
2 1
3 0.8
4 0.714285714
5 0.666666667
6 0.636363636
7 0.615384615
8 0.6
9 0.588235294
10 0.578947368
•Các giá trị tiếp theo:
nu
n
100 0.507537688
101 0.507462687
9999 0.500075011
10000 0.500075004
10000000 0.500000075
100000000 0.500000008
1000000000 0.500000001
10^9
4
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Dãy số
•Nhận xét:
•Giá trị của dãy càng ngày càng gần với số 0.5.
•Khi n càng lớn thì chênh lệch giữa dãy số và 0.5
càng nhỏ (tại số hạng thứ 1 tỷ chênh lệch là 10
-
9
).
•Độ chênh lệch này có thể nhỏ hơn nữa nếu tăng
n lên và có thể nhỏ tùy ý miễn là n đủ lớn.
•Vậy ta nói giới hạn của dãy số là 0.5.
1
2 1
n
u n
n
5
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Định nghĩa giới hạn dãy số
•Dãy số (u
n
) có giới hạn là a nếu:
•Chênh lệch (u
n
) và a có thể nhỏ tùy ý khi n đủ lớn.
•Ký hiệu:
00
0, :
n
nn u an
lim
lim
n
n n
n
n
u a hay u a
hay u a


nhỏ tùy ý Chênh lệchn đủ lớn
6
14/09/2017
2
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•Chứng minh:
•Bước 1. Lấy >0
•Bước 2. Lập hiệu:
•Bước 3. Tìm điều kiện của n để: (nếu có)
1 1
lim 0, 5
2 1 2
n
n
n

n
u a
n
u a
7
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•Bước 4. Chọn n
0
, viết lại dưới dạng định nghĩa
và kết luận.
•Giải.
•Với mọi >0. Ta có:
n
n
u a nn
n n
1 1 3
2 1 2 2 2 1
3 3 1
2 1
2 4 2
8
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•Chọn
•Ta có:
Vậy theo định nghĩa:
0
3 1
2 2
n
0 0
3 1 1
0, :
2 2 2
n
n n n u
1
lim
2
n
n
u

9
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Hệ quả
•Số a không là giới hạn của dãy (u
n
) nếu:
•Tồn tại >0 sao cho với mọi n
0
đều tồn tại n
1
>n
0
để chênh lệch giữa u
n1
và a lớn hơn .
•Nói cách khác luôn tồn tại một khoảng cách
giữa dãy (u
n
) và a. Độ chênh lệch giữa (u
n
) và a
không thể nhỏ tùy ý.
1
0 1 0
0, 0 : à .
n
n n n v u a
10
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Giới hạn vô cực của dãy số.
•Ta nói dãy (u
n
) tiến đến +khi và chỉ khi:
•(u
n
) có thể lớn hơn một số dương tùy ý khi n đủ
lớn.
•Ký hiệu:
0 0
0, 0 : .
n
A n n n u A
lim
n
n
u

11
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Giới hạn vô cực của dãy số.
•Ta nói dãy (u
n
) tiến đến -khi và chỉ khi:
•(u
n
) có thể nhỏ hơn một số âm tùy ý khi n đủ
lớn.
•Ký hiệu:
0 0
0, 0 : .
n
A n n n u A
lim
n
n
u


12
14/09/2017
3
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Tính chất
•1. Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.
•2. Cho tồn tại hữu hạn. Khi đó:
lim ; lim
n n
n n
u v
 
) lim lim lim
) lim . lim . lim
lim
) lim , lim 0
lim
) lim lim
n n n n
n n n
n n n n
n n n
n
n n
n
n n
nn
n
n n
n n
a u v u v
b u v u v
u
u
c v
vv
d u u
  
 

 

 
13
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Tính chất
•Định lý giới hạn kẹp: Cho ba dãy số thỏa:
•Nếu:
lim
) lim lim , lim 0
) lim 0 lim 0
n
n n
v
v
n n n
n n n
n n
n n
e u u u
f u u

  
 
0
nnn
u v z n n
lim lim
n n
n n
u z a
 
lim
n
n
v a

thì
14
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Minh họa
0
n n n
u v z n n
a
15
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•Tìm giới hạn dãy số:
•Ta có:
•Vậy:
2
sin 5
) )
1
n
n n
n
n
a u b v
n n
2 2
sin 1
0 0
1 1
n
n
u
n n
lim 0 lim 0
n n
n n
u u
 
16
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Cấp số nhân
•Cấp số nhân là một dãy số thỏa mãn điều kiện:
•
•với q không đổi.
•q được gọi là công bội của cấp số nhân.
•|q|<1 cấp số nhân lùi vô hạn.
1
, 1,2,3...
n n
x x q n
17
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Cấp số nhân
•Ta có:
•Khi |q|<1 thì .
1
1
1
1 2
(1 )
1
n
n
n
n n
x x q
x q
S x x x
q
1
lim 1
n
n
x
S
q

18
14/09/2017
4
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Chuỗi số
•Cho {a
n
} là một dãy số vô hạn.
•Tổng vô hạn sau được gọi là một chuỗi số:
•Ký hiệu chuỗi số:
1 2
... .....
n
a a a
1
n
n
a

19
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Chuỗi số
•Tổng riêng thứ n của dãy:
•Nếu dãy {Sn} hội tụ tới S hữu hạn thì ta nói chuỗi
số (a1+a2+a3+…) là hội tụ và gọi S là tổng của
chuỗi số, ký hiệu.
•Nếu dãy {Sn} không hội tụ ta nói chuỗi là phân
kỳ.
1 2
...
n n
S a a a
1
i
i
S a
20
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 1
•Cho dãy số:
•Ta có chuỗi số:
•Tổng riêng thứ n:
•Do nên chuỗi hội tụ và có tổng bằng 1
1
2
n
n
a
1 2
0
1 1
... 1 ...
2 4
n
n
a a a

1 1 1 1
... 1
2 4 2 2
n
nn
S
lim 1
n
n
S

21
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 2
•Xét chuỗi số có dạng
•Đây là tổng của cấp số nhân có công bội q
•Tổng riêng thứ n:
2 3
0
1 ... ...
n n
n
q q q q q

1
1
1 ... 1
1
n
n
n
q
S q q q
q
22
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 2
•Nếu |q|<1 thì chuỗi hội tụ và:
•Nếu |q|>1 thì chuỗi số phân kỳ
•Nếu q=1 thì Sn=n nên chuỗi phân kỳ
•Nếu q=-1 thì
Dãy số Sn không tồn tại giới hạn nên chuỗi phân
kỳ
1
1
S
q
0
1
n
n chan
Sn le
23
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
LÃI ĐƠN, LÃI GỘP
24
14/09/2017
5
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Lãi suất
•Định nghĩa. Thể hiện quan hệ tỷ lệ giữa lãi
trong một đơn vị thời gian với vốn gốc trong
thời gian đó.
•Ví dụ. Đầu tư 100 triệu đồng sau một năm thu
được 112 triệu đồng. Như vậy sau 1 năm nhà
đầu tư lãi là 12 triệu đồng và lãi suất là
12%/năm.
ã ấ = ã  ộ đơ ị ờ 
ố ố  ờ  đó . %
25
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Lãi đơn
•Lãi đơn là lợi tức chỉ tính trên số vốn vay ban đầu
trong suốt thời hạn vay. Nói khác đi, số lãi tính
theo tỷ lệ phần trăm trên vốn gốc chính là lãi đơn.
Trong khái niệm này, chỉ có vốn sinh lời còn lãi
không sinh lợi.
•Lãi đơn thường được áp dụng trong các nghiệp vụ
tài chính ngắn han.
•Giá trị đạt được (hay giá trị cuối cùng, giá trị tương
lai): tổng số tiền thu được khi kết thúc đợt đầu tư.
Giá trị đạt được gồm 2 phần: vốn gốc và lãi thu
được.
26
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Công thức tính lãi đơn
• V0 là vốn gốc
• Vn là giá trị cuối tính đến thời điểm n
•ilà lãi suất
•Lãi thu về:
0
1 .
n
V V n i
0
. .I V n i
27
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 1
•a) Gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo phương thức
gửi có kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 1%/tháng. Xác
định giá trị đạt được và số lãi vào cuối đợt đầu tư 6
tháng?
•b) Đầu tư 100 triệu, lãi suất 12%/năm (tính theo lãi
đơn), sau một thời gian thu được cả vốn lẫn lời
118 triệu vào cuối đợt đầu tư. Hỏi thời gian đầu tư
bao lâu?
•c) Với lãi suất 12%/năm thì phải bỏ số vốn ban đầu
là bao nhiêu để thu được 28,4 triệu trong 3 năm 6
tháng (tính theo lãi đơn)?
28
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Chú ý
•Nếu đơn vị thời gian của lãi suất i và thời điểm n
không đồng nhất thì trước tiên ta phải biến đổi để
chúng đồng nhất với nhau rồi mới áp dụng công
thức.
•Ví dụ.
•a) Đầu tư 100 triệu (tính theo lãi đơn), sau 6 tháng
thu được tổng số tiền là 105,6 triệu. Hỏi lãi suất
đầu tư là bao nhiêu?
•b) Đầu tư 100 triệu với lãi suất 12%/năm. Sau một
thời gian rút hết ra thu được 106 triệu. Hỏi thời
gian đầu tư mất bao lâu?
29
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Lãi suất ngang giá (tương đương)
•Hai lãi suất i và i
k
tương ứng với 2 chu kỳ khác nhau
được gọi là tương đương nhau khi cùng một số vốn,
đầu tư trong cùng một thời gian thì cho cùng mức lãi
như nhau (giá trị đạt được bằng nhau).
•Giả sử có hai lãi suất i (chu kỳ 1 năm) và i
k
(chu kỳ 1/k
của năm)
0 0
1 . 1 . . .
n k k k
i
V V i n V i n k i i k i
k
30