02/04/2017
1
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
TOÁN CHO TÀI
CHÍNH
CHƯƠNG 1
kekiemk55.ftu2@gmail.com
hoquangduy19041998@gmail.com
1
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Nội dung
•Lãi suất
•1.1 Dãy số, chuỗi số
•1.2 Lãi đơn, Lãi gộp
•1.3 Khấu hao
•1.4 Giá trị hiện tại ròng và tỷ lệ hoàn vốn nội bộ
•1.5 Niên kim, các khoản cho vay và thế chấp
•1.6 Mối liên hệ giữa lãi suất và giá của trái phiếu
•Số chỉ số
•1.7 Số chỉ số và năm cơ sở
•1.8 Ghép các dãy số chỉ số
•1.9 Số chỉ số hỗn hợp
•1.10 Các chỉ số thông dụng CPI, RPI...
•1.11 Excel
2
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Dãy số
•Dãy số: hàm số xác định trên tập các số tự
nhiên khác 0.
•Ta thường ký hiệu dãy số là (u
n
).
•u
n
gọi là số hạng thứ n của dãy.
*
:u N R
n u n
3
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Dãy số
•Cho dãy số:
•Ta có:
•Hỏi:
•Khi n rất lớn thì giá trị của dãy số là bao nhiêu?
1
2 1
n
u n
n
1 2 3
1 4
2; 1; ;...
2. 1 5
1
1
u u u
100 999 9999999
? ? ?u u u
4
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Dãy số
•10 giá trị đầu của dãy:
nu
n
1 2
2 1
3 0.8
4 0.714285714
5 0.666666667
6 0.636363636
7 0.615384615
8 0.6
9 0.588235294
10 0.578947368
•Các giá trị tiếp theo:
nu
n
100 0.507537688
101 0.507462687
9999 0.500075011
10000 0.500075004
10000000 0.500000075
100000000 0.500000008
1000000000 0.500000001
10^9
5
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Dãy số
•Nhận xét:
•Giá trị của dãy càng ngày càng gần với số 0.5.
•Khi n càng lớn thì chênh lệch giữa dãy số và 0.5
càng nhỏ (tại số hạng thứ 1 tỷ chênh lệch là 10
-
9
).
•Độ chênh lệch này có thể nhỏ hơn nữa nếu tăng
n lên và có thể nhỏ tùy ý miễn là n đủ lớn.
•Vậy ta nói giới hạn của dãy số là 0.5.
1
2 1
n
u n
n
6
02/04/2017
2
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Định nghĩa giới hạn dãy số
•Dãy số (u
n
) có giới hạn là a nếu:
•Chênh lệch (u
n
) và a có thể nhỏ tùy ý khi n đủ lớn.
•Ký hiệu:
00
0, :
n
nn u an
lim
lim
n
n n
n
n
u a hay u a
hay u a


nhỏ tùy ý Chênh lệchn đủ lớn
7
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•Chứng minh:
•Bước 1. Lấy >0
•Bước 2. Lập hiệu:
•Bước 3. Tìm điều kiện của n để: (nếu có)
1 1
lim 0, 5
2 1 2
n
n
n

n
u a
n
u a
8
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•Bước 4. Chọn n
0
, viết lại dưới dạng định nghĩa
và kết luận.
•Giải.
•Với mọi >0. Ta có:
n
n
u a nn
n n
1 1 3
2 1 2 2 2 1
3 3 1
2 1
2 4 2
9
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•Chọn
•Ta có:
Vậy theo định nghĩa:
0
3 1
2 2
n
0 0
3 1 1
0, :
2 2 2
n
n n n u
1
lim
2
n
n
u

10
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•Chứng minh giới hạn sau bằng định nghĩa:
lim 1
1
n
n
n

11
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Hệ quả
•Số a không là giới hạn của dãy (u
n
) nếu:
•Tồn tại >0 sao cho với mọi n
0
đều tồn tại n
1
>n
0
để chênh lệch giữa u
n1
và a lớn hơn .
•Nói cách khác luôn tồn tại một khoảng cách
giữa dãy (u
n
) và a. Độ chênh lệch giữa (u
n
) và a
không thể nhỏ tùy ý.
1
0 1 0
0, 0 : à .
n
n n n v u a
12
02/04/2017
3
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Giới hạn vô cực của dãy số.
•Ta nói dãy (u
n
) tiến đến +khi và chỉ khi:
•(u
n
) có thể lớn hơn một số dương tùy ý khi n đủ
lớn.
•Ký hiệu:
0 0
0, 0 : .
n
A n n n u A
lim
n
n
u

13
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Giới hạn vô cực của dãy số.
•Ta nói dãy (u
n
) tiến đến -khi và chỉ khi:
•(u
n
) có thể nhỏ hơn một số âm tùy ý khi n đủ
lớn.
•Ký hiệu:
0 0
0, 0 : .
n
A n n n u A
lim
n
n
u


14
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Tính chất
•1. Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.
•2. Cho tồn tại hữu hạn. Khi đó:
lim ; lim
n n
n n
u v
 
) lim lim lim
) lim . lim . lim
lim
) lim , lim 0
lim
) lim lim
n n n n
n n n
n n n n
n n n
n
n n
n
n n
nn
n
n n
n n
a u v u v
b u v u v
u
u
c v
vv
d u u
  
 

 

 
15
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Tính chất
•Định lý giới hạn kẹp: Cho ba dãy số thỏa:
•Nếu:
lim
) lim lim , lim 0
) lim 0 lim 0
n
n n
v
v
n n n
n n n
n n
n n
e u u u
f u u

  
 
0
nnn
u v z n n
lim lim
n n
n n
u z a
 
lim
n
n
v a

thì
16
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Minh họa
0
n n n
u v z n n
a
17
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•Tìm giới hạn dãy số:
•Ta có:
•Vậy:
2
sin 5
) )
1
n
n n
n
n
a u b v
n n
2 2
sin 1
0 0
1 1
n
n
u
n n
lim 0 lim 0
n n
n n
u u
 
18
02/04/2017
4
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Cấp số nhân
•Cấp số nhân là một dãy số thỏa mãn điều kiện:
•
•với q không đổi.
•q được gọi là công bội của cấp số nhân.
•|q|<1 cấp số nhân lùi vô hạn.
1
, 1,2,3...
n n
x x q n
19
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Cấp số nhân
•Ta có:
•Khi |q|<1 thì .
1
1
1
1 2
(1 )
1
n
n
n
n n
x x q
x q
S x x x
q
1
lim 1
n
n
x
S
q

20
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Chuỗi số
•Cho {a
n
} là một dãy số vô hạn.
•Tổng vô hạn sau được gọi là một chuỗi số:
•Ký hiệu chuỗi số:
1 2
... .....
n
a a a
1
n
n
a

21
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Chuỗi số
•Tổng riêng thứ n của dãy:
•Nếu dãy {Sn} hội tụ tới S hữu hạn thì ta nói chuỗi
số (a1+a2+a3+…) là hội tụ và gọi S là tổng của
chuỗi số, ký hiệu.
•Nếu dãy {Sn} không hội tụ ta nói chuỗi là phân
kỳ.
1 2
...
n n
S a a a
1
i
i
S a
22
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 1
•Cho dãy số:
•Ta có chuỗi số:
•Tổng riêng thứ n:
•Do nên chuỗi hội tụ và có tổng bằng 1
1
2
n
n
a
1 2
0
1 1
... 1 ...
2 4
n
n
a a a

1 1 1 1
... 1
2 4 2 2
n
nn
S
lim 1
n
n
S

23
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 2
•Xét chuỗi số có dạng
•Đây là tổng của cấp số nhân có công bội q
•Tổng riêng thứ n:
2 3
0
1 ... ...
n n
n
q q q q q

1
1
1 ... 1
1
n
n
n
q
S q q q
q
24
02/04/2017
5
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 2
•Nếu |q|<1 thì chuỗi hội tụ và:
•Nếu |q|>1 thì chuỗi số phân kỳ
•Nếu q=1 thì Sn=n nên chuỗi phân kỳ
•Nếu q=-1 thì
Dãy số Sn không tồn tại giới hạn nên chuỗi phân
kỳ
1
1
S
q
0
1
n
n chan
Sn le
25
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 3
•Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
0
0
1
) ,
1
b) , 1
n n
n
n n
n
a a a n n
a a


26
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy
Định lý. Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ là với mọi cho trước, tồn
tại số nguyên dương (phụ thuộc ) sao cho với mọi và với mọi
ta có
1
n
n
u
0
0
n
0
n n
*
p N
1 2
...
n n n p
u u u
27
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•Xét sự hội tụ của chuỗi sau:
Chuỗi là chuỗi hội tụ. Vì với mọi thì tồn tại sao
cho với mọi và với mọi , ta có
1
sin
2
n
n
x
0
0 2
1
1 logn
0
n n
*
p N
1 2 1 2
sin sin sin 1 1 1 1 1 1
... ... 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
n n n p n n n p n p n
x x x
1
1
n
n
28
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Tính chất của chuỗi số
•i) Chuỗi số không thay đổi tính chất (hội tụ hay
phân kì) nếu ta thêm vào hay bớt đi một số hữu
hạn các số hạng của chuỗi số.
•ii) Nếu chuỗi số hội tụ thì
•Nếu thì chuỗi số phân kì.
1
n
n
u

lim 0
n
n
u

lim 0
n
n
u

29
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Tính chất của chuỗi số
•iii) Cho các chuỗi số hội tụ.
•Ta có
•
•với k là một hằng số.
1 1
;
n n
n n
x S y S
 
1 1
) ) .
n n n
n n
i x y S S ii k x kS
 
30