HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 2
CHƯƠNG 10
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
Giảng viên: T.S Trịnh ThịHường
Bộmôn : Toán
Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn
BÀI 1: KHÁI NIỆM SAI PHÂN VÀ
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
1. Sai phân
Giả sử y (n) là một hàm số, biến n xác định trên 𝑍+.
Giá trị của hàm số tại n kí hiệu là y(n).
• Sai phân cấp một của hàm số y(n) tại n là:
Δ𝑦 𝑛 =𝑦 𝑛+ 1 −𝑦(𝑛)
• Sai phân cấp hai của hàm số y(n) tại n là:
Δ2𝑦 𝑛 =Δ Δ𝑦 𝑛
=𝑦 𝑛+ 2 −2𝑦 𝑛+ 1 +𝑦(𝑛)
2. Phương trình sai phân
Định nghĩa 1: Giải sử y(n) là một hàm số đối số
nguyên, chưa biết, cần tìm. Đẳng thức
F n, y n ,Δy n ,…Δky n = 0 (1)
Trong đó không được khuyết Δky n , gọi là một
phương trình sai phân cấp k.
Ví dụ:
• Phương trình sai phân cấp một có dạng:
F n, y n ,Δy n = 0 (2)
• Phương trình sai phân cấp một có thể viết ở
dạng sau
𝐺 𝑛,𝑦 𝑛 ,𝑦 𝑛+ 1 = 0
3. Nghiệm
Định nghĩa 2: Nghiệm của (1) là mọi hàm số mà
khi thay vào phương trình được đẳng thức đúng.
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN
TÍNH CẤP MỘT
1. Khái niệm
a. Dạng phương trình
Phương trình sai phân tuyến tính (PTSPTT)
cấp 1 có dạng:
𝐴 𝑛 𝑦 𝑛+ 1 +𝐵 𝑛 𝑦 𝑛 =𝑓 𝑛 (1)
𝐴 𝑛 ,𝐵 𝑛 𝑙à 𝑐á𝑐 ℎà𝑚 𝑠ố 𝑣à 𝐴 𝑛 .𝐵 𝑛 ≠0
Phương trình 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛+ 1 +𝐵 𝑛 𝑦 𝑛 = 0 gọi
là PTSPTT thuần nhất cuả PT (1).
