Ø Ch ng 2. H ph ng trình tuy n tínhươ ệ ươ ế
§1. H ph ng trình t ng quátệ ươ ổ
§2. H ph ng trình thu n nh tệ ươ ầ ấ
……………………………………………………………
§1. H PH NG TRÌNH TỆ ƯƠ NG QUÁTỔ
1.1. Đnh nghĩaị
H ệg m ồ
n
nẩ
i
x
( 1,2,..., )i n
và
m
ph ng ươ trình:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
... ( )
..........................................
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b I
a x a x a x b
trong đó, h s ệ ố , ( 1,..., ; 1,..., )
ij j
a b i n j m ¡,
được g i là ọh ph ng trình tuy n tính t ng quátệ ươ ế ổ .
1
Đtặ:
11 1
1
...
... ... ...
...
n
ij m n
m mn
a a
A a
a a
,
1
...
T
m
B b b
và
1
...
T
n
X x x
lần l t là ượ ma tr n h sậ ệ ố, ma tr n c t ậ ộ h s ệ ố t doự và
ma tr n c t nậ ộ ẩ .
Khi đó, h ệ
( )I
tr thành ở
A X B
.
• B s ộ ố
1
...
T
n
ho c ặ
1
; ...;
n
đc g i là nghi m c a ượ ọ ệ ủ
( )I
n u ế
A B
.
Ø Ch ng 2. H ph ng trình tuy n tínhươ ệ ươ ế
2
VD 1. Cho h ph ng trìnhệ ươ :
1 2 3 4
1 2 3
2 3
2 4 4
2 4 3
2 7 5.
x x x x
x x x
x x
H ph ng trình đc vi t l i d i d ng ma tr n:ệ ươ ượ ế ạ ướ ạ ậ
1
2
3
4
1 1 2 4 4
2 1 4 0 3
0 2 7 0 5
x
x
x
x
và (1; 1; 1; 1)
là 1 nghi m c a h .ệ ủ ệ
Ø Ch ng 2. H ph ng trình tuy n tínhươ ệ ươ ế
3
Ø Ch ng 2. H ph ng trình tuy n tínhươ ệ ươ ế
1.2. Đnh lý Crocneker ị– Capelli
Cho h ph ng trình tuy n tính ệ ươ ế
A X B
. G iọ ma tr n ậ
m r ng ở ộ là
11 12 1 1
1 2
...
... ... ... ... ...
...
n
m m mn m
a a a b
A A B
a a a b
.
Đnh lýị
H ệ
A X B
có nghi m ệkhi và ch khiỉ
( ) ( ).r A r A
Trong tr ng h pườ ợ h ệ
A X B
có nghi m thìệ:
N u ế
( ) :r A n
k t lu n ế ậ h ệcó nghi m duy nh tệ ấ;
N u ế
( ) :r A n
k t lu n ế ậ h ệcó vô s nghi mố ệ
ph ụthu cộ vào
n r
tham s .ố
4
VD 2. Tùy theo đi u ki n ề ệ tham s ố
m
, hãy bi n lu n s ệ ậ ố
nghi m c aệ ủ h ph ng trìnhệ ươ :
2
3 0
(1 ) 1.
x my z
m z m
Gi i.ả H đã choệ có 3 n, tẩa có:
2
1 3
0 0 1
m
Am
,
2
1 3 0
1
0 0 1
m
Am
m
.
• N u ế
1m
thì
( ) ( ) 1 3r A r A
.
Ta suy ra h có vô s nghi m ph thu c 2 tham s .ệ ố ệ ụ ộ ố
Ø Ch ng 2. H ph ng trình tuy n tínhươ ệ ươ ế
5