Tr riêng, véct ị ơ riêng c a ma tr n ủ ậ
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -
v
=
u
A
Ví d .ụ
2 ��= �� 1 ��
-� �= 1 � � 1 � �
-� � 3 2 � � 0 1 � �
Av
Au
Tính và . Hãy cho bi t nh n xét. ế ậ
Av
u
v
Au
c a A, n u t n t i véct x ố ế ồ ạ ủ ơ khác
c g i là Ax
l S đ tr riêng ượ ọ ị xl= không, sao cho .
véct riêng ượ ọ ơ ơ c a ma tr n vuông ậ ủ
l
Khi đó, véct A t ươ ứ c g i là x đ ng ng v i tr riêng . ớ ị
Tr riêng, véct riêng c a ma tr n ị ơ ủ ậ
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - Ví dụ
v
=
u
A
3 � �= � �-� � 2
Véct
1 6 � � � � 5 2 � � nào là véct
6 � �= � �-� � 5 riêng c a
ơ ơ ủ A?
- Gi iả
6
24
=
=
= -
u 4.
4
Au
-
20
1 6 � �� � � � � �� � � � 5 2 5 � �� � � �
(cid:0)
= -
u
Ta có là véct
6 � � = - � �-� � 5 riêng
ơ
Au
u 4.
-
9
=
=
Av
-
11
3 1 6 � �� � � � � �� � � � 2 5 2 � �� � � �
(cid:0)
vl=
Không t n t
v
không là véct riêng ồ ạ ố
l Av i s đ ể
ơ
Tr riêng, véct riêng c a ma tr n ị ơ ủ ậ
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - Ví d .ụ
l
l= -
=
3
A
= 21;
1
3 4 � � � � 6 5 � �
S nào là tr riêng c a A? ị ủ ố
Gi ng trình
Ax
i.ả Xét h ph ệ ươ
xl= 1
+
=
(cid:0)
x
x
x 4
x 4
0
1
1
1
2
(cid:0) (cid:0)
�
+
=
x
x 6
x 6
0
2
2
1
2
(cid:0)
3 4 � � � � � � = - 1 � � � � � � x 6 5 � �� � � �
i m t nghi m ệ khác không, ộ ệ ệ
ví d ụ
x
khi đó H này có vô s nghi m, nên t n t l=Ax ồ ạ x 1 .
l
1
V y là tr riêng. ố 1 � �= � �-� � 1 ị ậ
l
th y không là tr riêng. ự ấ
2
Ki m tra t ng t ể ươ ị
Tr riêng, véct riêng c a ma tr n ị ơ ủ ậ
l
$
Ax
0:
x � �
s là tr riêng c a ma tr n A Gi
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - ậ
0
ả ử ủ ị
xl 0 0
= 0
0
-
l
-
Ax
�
(
A
0
�
0
= xl 0 0 0
I x ) 0
= 0
H thu n nh t có nghi m ấ ệ khác không ệ ầ
l
-
det(
A
= ) 0
�
I 0
- c g i là ph ượ ọ ươ ng trình đ c tr ng ặ ư c a ủ
Il
= A ) 0 đ ma tr n vuông A.
det( ậ
l
- Đa th c g i là ứ ọ đa th c đ c tr ng ứ ặ ư c a A. ủ
= l ( ) det(
A
)
I
AP
l
l
ng ậ ủ ệ ỉ ị ươ
V y là tr riêng khi và ch khi là nghi m c a ph trình đ c tr ng. ư ặ
Tr riêng, véct riêng c a ma tr n ị ơ ủ ậ
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -
Tìm tr riêng, véct ị ơ riêng c a ma tr n vuông A c p n. ậ ủ ấ
l
-
A
= ) 0.
I
B c 1 ướ . L p ph ậ ươ ng trình đ c tr ng ặ ư det(
l
v trái, ta có ph ng trình b c n theo ) ứ ở ế ươ ậ
i ph ả ư
ặ ng trình đ c tr ng là tr riêng c a A và ng (Tính đ nh th c ị B c 2 ướ c a ph ủ . Gi ươ ng trình đ c tr ng. T t c các nghi m ấ ả ươ i. ủ ặ ệ c l ượ ạ ư ị
l
1
B c 3 ng ng TR (ch ng h n) ướ . Tìm VTR c a A t ủ ươ ứ ạ ẳ
l
- b ng cách gi ằ i h ph ả ệ ươ
( ng trình
A
= I X )
0.
1
ủ ệ ứ ủ ệ
l
1.
T t c các nghi m khác không c a h là các VTR c a A ng ấ ả v i tr riêng ớ ị
Tr riêng, véct riêng c a ma tr n ị ơ ủ ậ
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -
l
l trong ph
ng ị ộ ạ ố c a tr riêng là ủ ị b i c a tr riêng ộ ủ ị ươ
Đ nh nghĩa B i đ i s trình đ c tr ng. ặ ư
Đ nh nghĩa ị
l
=
-
A
0
(
c g i là
I X ) 1 l
1
1
Không gian nghi mệ c a h đ ủ ệ ượ ọ El không gian con riêng ng v i TR , ký hi u ứ ệ ớ
Đ nh nghĩa ị
ọ c a tr riêng là ị s chi u ố ề c a không gian con riêng ủ
B i hình h c ộ t ươ ứ ủ ng ng v i tr riêng đó. ớ ị
Tr riêng, véct riêng c a ma tr n ị ơ ủ ậ
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -
Đ nh lý ị
ặ ằ ọ ủ ỏ ơ ị
B i hình h c c a tr riêng luôn nh h n ho c b ng b i đ i s ộ ạ ố ộ c a nó. ủ
Chú ý
(cid:0) B i hình h c c a tr riêng l n h n ho c b ng 1 ( 0). ớ ặ ằ ọ ủ ộ ơ ị
Đ nh lý ị
riêng ng v i các tr riêng khác nhau thì đ c l p ộ ậ ứ ớ ị
Các véct ơ tuy n tính. ế
Tr riêng, véct riêng c a ma tr n ị ơ ủ ậ
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -
3 1 1
ị ề ủ ơ ở
=
A
2 4 2
Ví d .ụ Tìm tr riêng; c s , chi u c a các kgian con riêng ng. ứ
1 1 3
� � � � �
� � � � �
-
det(
A
Il
= ) 0
L p ph ng trình đ c tr ng c a A: ậ ươ ủ ư ặ
l
-
3
1
1
l
=
-
l
- -
2
4
2
0
(
2 l 2) (
1 = 6)
0
�
�
l
-
1
1
3
BHH ch a bi t? ư ế Tr riêng BĐS = 2 ị
l = 1 2
BHH = 1 Tr riêng BĐS = 1 ị
l = 2 6
Tr riêng, véct riêng c a ma tr n ị ơ ủ ậ
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -
Tìm c s , chi u c a kgian con riêng ng v i ề ủ ơ ở ứ
l = ớ 1 2.
-
2
1
1
-
l
-
2
4
2
2
0
�
(
A
= I X )
0
1
-
1
1
3
2
3 � � � � �
x �� � 1 �� �= x 2 �� � �� � x �� � 3
i h b ng cách bi n đ i ma tr n h s ta đ ổ ệ ố ế ậ ượ c nghi m t ng ệ ổ ả ệ ằ
0
0
1
là c s c a kgian ơ ở ủ con riêng E
E
(cid:0)
+
2
1
x 1
l = 1 = ) 2
- -
dim(
El
1
1
1
1
Gi quát 1 x � � � � � � 1 � � � � � � = 0 x x 2 2 � � � � � � � � � � � � - 1 x � � � � � � 3
� � � �� � � � � �� � 0 , 1 � � � �� � � �� � � � -� �� � �
c c s và chi u c a không gian ượ ơ ở ủ ề
ng t ự ớ ị Hoàn toàn t ta tìm đ ươ l = con riêng ng v i tr riêng 2 6. ứ
Tr riêng, véct riêng c a ma tr n ị ơ ủ ậ
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -
Ví d .ụ
L
1
1
ị ơ ở
L
1
=
A
Tìm tr riêng; c s , chi u ề c a các kgian con riêng ng ứ ủ c a ma tr n vuông c p n. ủ ậ ấ
L
1
1
1 � � 1 1 � L L L L � � 1 �
� � � � � �
-
det(
A
Il
= ) 0
Xét ph ươ ng trình đ c tr ng: ặ ư
Nh n xét th y det (A) = 0 nên A có m t tr riêng b ng . ằ ấ ậ ộ ị
ế ấ ả
- ặ ừ ố ị ằ n l
(
=
l
-
0
ệ ầ ớ
I X ) 1
l = 1 0
ấ ề ệ
l
A ( ng ng v i TR xét h thu n nh t ằ ớ
ậ ặ ằ ằ ơ ủ 1
l = 1 0 t c các hàng lên Tính v trái pt đ c tr ng b ng cách c ng t ộ ư l = 2 n ) hàng 1, ta có th a s chung là suy ra là tr riêng th 2.ứ T ươ ứ D th y không gian nghi m này có chi u b ng n-1, v y BHH ễ ấ c a TR này b ng n – 1, suy ra BĐS c a l n h n ho c b ng n ủ -1. T ng các BĐS b ng n, v y không còn TR khác n a! ậ ổ
ữ ằ
