zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp về trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Chia sẻ: Hoang Xuan Hai | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:10

Báo xấu

278
lượt xem 33
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp về trị riêng, véctơ riêng của ma trận, gồm kiến thức lý thuyết, các định nghĩa, ví dụ và bài tập minh họa về trị riêng và vecto riêng của ma trận, giúp các bạn dễ dàng hơn trong việc nắm kiến thức và học tốt hơn môn toán cao cấp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp về trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Trị riêng, véctơ riêng của ma trận -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - � −2 � 3 − �1� 2 �� Ví dụ. A=� u=� � v = �� 1 0� � � 1 �� 1 �� Tính Au và Av. Hãy cho biết nhận xét. Av u v Au Số λ được gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ x khác không, sao cho Ax = λ x. Khi đó, véctơ x được gọi là véctơ riêng của ma trận vuông λ A tương ứng với trị riêng .
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - Ví dụ � 6� 1 6 3 � � v=� � A=� � u=� � �2 � � 2� 5 − �5� − � � Véctơ nào là véctơ riêng của A? Giải 1 � − � 6 � 6 � � 24 � 6 � � Au = � � � � � −4 � � −4.u � 5 = 20 = = � 2 �− � � � 5 � − � 5� Ta có Au = −4.u u là véctơ riêng 1 � − � 6 � 3 � �9 � Av = � � � � � � 2 = 11 � 2 �− � � � 5 � Không tồn tại số λ đểAv = λv v không là véctơ riêng
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - Ví dụ. � 4 � λ = −1; λ = 3 3 A=� � 1 2 � 5� 6 Số nào là trị riêng của A? Giải. Xét hệ phương trình Ax = λ1 x � 4 �x 1 � � 1 � 3 � x 4x1 + 4x 2 = 0 �� x � −1� � � = x 6x1 + 6x 2 = 0 � 5� 2 � � 2 � 6 � Hệ này có vô số nghiệm, nên tồn tại một nghiệm khác không, 1 � � ví dụ x = � � khi đó Ax = λ1 x. − � 1� Vậy λ1 là trị riêng. Kiểm tra tương tự thấy λ2 không là trị riêng.
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - Giả sử λ0 là trị riêng của ma trận A � ∃x 0 � Ax 0 = λ0x 0 0: � Ax 0 − λ0x 0 = 0 � (A − λ0I )x 0 = 0 Hệ thuần nhất có nghiệm khác không � det(A − λ0I ) = 0 det(A − λ I ) = 0 được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận vuông A. Đa thức PA (λ ) = det( A − λ I ) gọi là đa thức đặc trưng của A. Vậy λ là trị riêng khi và chỉ khi λ là nghiệm của phương trình đặc trưng.
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận vuông A cấp n. Bước 1. Lập phương trình đặc trưng A − λ I ) = 0. det( (Tính định thức ở vế trái, ta có phương trình bậc n theoλ ) Bước 2. Giải phương trình đặc trưng. Tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng là trị riêng của A và ngược lại. Bước 3. Tìm VTR của A tương ứng TR λ1 (chẳng hạn) bằng cách giải hệ phương trình( A − λ1I ) X = 0. Tất cả các nghiệm khác không của hệ là các VTR của A ứng với trị riêng λ1.
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - Định nghĩa Bội đại số của trị riêng λ là bội của trị riêng λ trong phương trình đặc trưng. Định nghĩa Không gian nghiệm của hệ ( A − λ1I )X = 0 được gọi là không gian con riêng ứng với TR λ1 , ký hiệu E λ1 Định nghĩa Bội hình học của trị riêng là số chiều của không gian con riêng tương ứng với trị riêng đó.
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - Định lý Bội hình học của trị riêng luôn nhỏ hơn hoặc bằng bội đại số của nó. Chú ý Bội hình học của trị riêng lớn hơn hoặc bằng 1 ( 0). Định lý Các véctơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau thì độc lập tuyến tính.
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - � 1 1� 3 Tìm trị riêng; cơ sở, chiều của Ví dụ. A = � 4 2� 2 � � các kgian con riêng ứng. � 1 3� 1 � � Lập phương trình đặc trưng của A: det( A − λ I ) = 0 3− λ 1 1 � 2 4−λ 2 = 0 � (λ − 2)2 (λ − 6)1 = 0 1 1 3− λ Trị riêng λ1 = 2 BĐS = 2 BHH chưa biết? Trị riêng λ2 = 6 BĐS = 1 BHH = 1
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - Tìm cơ sở, chiều của kgian con riêng ứng vớiλ1 = 2. �− 2 3 1 1 �x 1 � � ( A − λ1I ) X = 0 � �2 4−2 2 �x 2 � 0 � = � � � � �1 1 �x � � 3 − 2� 3 � � � Giải hệ bằng cách biến đổi ma trận hệ số ta được nghiệm tổng quát �1 � � � � � � 1 � 0 � là cơ sở của kgian x 1 0 � � � � � � � � � � � � con riêng E λ = E 2 x2 = x1 0 + x2 1 � � � � � � � � � � � � �0 � 1 � , 1 � � � 1� � 1� �−1� −1� dim(E ) = 2 − − � � � x3 � � � � � � � � � � � λ1 Hoàn toàn tương tự ta tìm được cơ sở và chiều của không gian λ2 con riêng ứng với trị riêng= 6.
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - Ví dụ. �1 1 L 1� � 1 1 L 1� Tìm trị riêng; cơ sở, chiều A=� � ủa các kgian con riêng ứng c � L L L L � ủa ma trận vuông cấp n. c � 1 1 L 1� � � Xét phương trình đặc trưng: det( A − λ I ) = 0 Nhận xét thấy det (A) = 0 nên A có một trị riêng bằngλ1 = 0 . Tính vế trái pt đặc trưng bằng cách cộng tất cả các hàng lên hàng 1, ta có thừa số chung − λ ) (n là λ2 ra suy = n là trị riêng thứ 2. Tương ứng với TRλ1 = 0 xét hệ thuần nhất A − λ1I )X = 0 ( Dễ thấy không gian nghiệm này có chiều bằng n-1, vậy BHH của TR này bằng n – 1, suy ra BĐS λ1 a củ lớn hơn hoặc bằng n -1. ng các BĐS bằng n, vậy không còn TR khác nữa! Tổ

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.