Chương 4 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

ThS. Huỳnh Văn Kha

TÓM TẮT NỘI DUNG

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

2

1. Một số bài toán mở đầu. 2. Định nghĩa tích phân xác định. 3. Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân. 4. Các phương pháp tính tích phân. 5. Một số ứng dụng của tích phân. 6. Phương pháp số. 7. Tích phân suy rộng.

1. MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ ĐẦU

• Tính diện tích hình phẳng

(cid:1) đường

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

3

(cid:4) = (cid:6) (cid:3) = 1 − (cid:3)(cid:9) và giữa nằm trên trục , (cid:3) = 0 , dưới (cid:2)(cid:3) . (cid:3) = 1

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

4

• Xấp xỉ bằng tổng trên (upper sum).

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

5

• Xấp xỉ tốt hơn khi tăng số khoảng chia.

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

6

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

7

• Có thể xấp xỉ bằng tổng dưới (lower sum).

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

8

• Có thể xấp xỉ bằng các hình chữ nhật có chiều cao

bằng giá trị của tại điểm giữa các khoảng chia.

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

9

(cid:6)

có thể được • Khoảng xác định

(cid:11), (cid:13) (cid:6) của hàm số khoảng con có độ dài bằng nhau chia thành

(cid:14)

Δ(cid:3) =

(cid:13) − (cid:11) (cid:14)

• Chiều cao của mỗi hình chữ nhật có thể được tính tại một điểm tùy ý nào đó trong

bằng giá trị của (cid:6) mỗi khoảng con.

• Tổng như vậy có dạng

(cid:6) (cid:16)(cid:17) (cid:18)(cid:3) + (cid:6) (cid:16)(cid:9) (cid:18)(cid:3) + (cid:6) (cid:16)(cid:20) (cid:18)(cid:3) + ⋯ + (cid:6) (cid:16)(cid:22) (cid:18)(cid:3) • Chú ý là tổng này vẫn chưa phải là giá trị chính xác

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

10

của diện tích cần tìm.

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

11

Tính khoảng cách di chuyển

• Nếu một vật di chuyển với vận tốc

(cid:23) (cid:24) đến thì trong vật đó đi được

(cid:24) = (cid:11) (cid:24) = (cid:13) khoảng thời gian từ bao xa?

là • Nếu biết một nguyên hàm của

(cid:23) (cid:24) (cid:25) (cid:24) thì vị trí . là

(cid:26) (cid:24) = (cid:25) (cid:24) + (cid:27)

.

của vật đó ở thời điểm (cid:24) • Quãng đường đi được là (cid:26) (cid:13) − (cid:26) (cid:11) = (cid:25) (cid:13) − (cid:25) (cid:11) • Trong nhiều trường hợp ta không biết nguyên hàm hoặc thậm chí chỉ biết vận tốc tại một vài

(cid:23) (cid:24)

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

12

của thời điểm nhất định. Có cách nào xấp xỉ khoảng cách di chuyển của vật đó hay không?

thành n khoảng thời gian đều • Chia khoảng

.

1

tùy ý. tùy ý.

(cid:24)(cid:17) (cid:24)(cid:9)

, chọn

tùy ý.

(cid:11), (cid:13) Δ(cid:24)

(cid:14)

(cid:24)(cid:22)

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

13

nhau có độ dài , chọn – Trên khoảng thời gian thứ – Trên khoảng thời gian thứ 2, chọn – … – Trên khoảng thời gian thứ

– Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ 1 xấp xỉ

bằng

.

(cid:23) (cid:24)(cid:17) Δ(cid:24)

– Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ 2 xấp xỉ

bằng

.

(cid:23) (cid:24)(cid:9) Δ(cid:24)

xấp xỉ

– … – Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ

(cid:14)

.

bằng

(cid:23) (cid:24)(cid:22) Δ(cid:24)

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

14

• Xấp xỉ quãng đường đi được như sau

2. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

• Nhiều biểu thức tổng (như các tổng xấp xỉ nói trên)

(cid:22)

có thể được viết gọn bằng ký hiệu sigma

= (cid:11)(cid:17) + (cid:11)(cid:9) + (cid:11)(cid:20) + ⋯ + (cid:11)(cid:22)(cid:31)(cid:17) + (cid:11)(cid:22)

(cid:28) (cid:11)(cid:29) (cid:29)(cid:30)(cid:17)

(cid:17)#

• Ví dụ

(cid:29)(cid:30)(cid:17)

(cid:17)##

1(cid:9) + 2(cid:9) + 3(cid:9) + ⋯ + 10(cid:9) = (cid:28) "(cid:9)

%(cid:30)(cid:17)

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

15

(cid:6) 1 + (cid:6) 2 + ⋯ + (cid:6) 100 = (cid:28) (cid:6) $

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

16

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

17

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

18

, đường cong

(cid:4) = (cid:6) (cid:3) = 1 − (cid:3)(cid:9) và hai . , (cid:3) = 1 khoảng con có độ dài bằng

(cid:3) = 0 thành (cid:14) 0,1 .

Ví dụ 1. Xét bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục (cid:2)(cid:3) đường thẳng đứng Chia khoảng nhau Δ(cid:3) = 1/(cid:14) a) Viết lại tổng dưới bằng ký hiệu sigma và tính

’(cid:22)

b) Viết lại tổng trên lim(cid:22)→, ’(cid:22) bằng ký hiệu sigma và tính

-(cid:22)

lim(cid:22)→, -(cid:22)

Lặp lại yêu cầu trên, thay hàm số bằng

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

19

. (cid:3) = (cid:3)(cid:20). (cid:6) (cid:3)

Tổng Riemann

.

(cid:6)

xác định trên khoảng (cid:11), (cid:13) khoảng (không nhất thiết có độ thành • Tổng quát, xét hàm số • Chia

(cid:11), (cid:13) (cid:14) dài bằng nhau) bằng cách chọn điểm

(cid:14) − 1 nằm trong khoảng thỏa

(cid:3)(cid:17), (cid:3)(cid:9), … , (cid:3)(cid:22)(cid:31)(cid:17)

(cid:11), (cid:13) (cid:11) < (cid:3)(cid:17) < (cid:3)(cid:9) < ⋯ < (cid:3)(cid:22)(cid:31)(cid:17) < (cid:13) và .

(cid:3)# = (cid:11) (cid:3)(cid:22) = (cid:13)

• Để tiện lợi, đặt • Tập hợp

1 = (cid:3)#, (cid:3)(cid:17), (cid:3)(cid:9), … , (cid:3)(cid:22) gọi là một phân hoạch (partition) của khoảng .

(cid:11), (cid:13) (nếu cách khoảng chia đều • Đặt

Δ(cid:3)(cid:29) = (cid:3)(cid:29) − (cid:3)(cid:29)(cid:31)(cid:17) nhau thì với mọi ).

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

20

Δ(cid:3)(cid:29) = (cid:13) − (cid:11) /(cid:14) "

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

21

chọn số tùy ý.

(cid:16)(cid:29) "

trên • Trên khoảng con thứ • Tổng sau đây gọi là tổng Riemann của

(cid:22)

(cid:6) (cid:11), (cid:13)

(cid:29)(cid:30)(cid:17)

23 = (cid:28) (cid:6) (cid:16)(cid:29) Δ(cid:3)(cid:29)

được chọn • Chú ý, nếu các khoảng chia là đều và

(cid:22)

(cid:16)(cid:29) tại đầu mút bên phải tại mỗi khoảng con thì

2(cid:22) = (cid:28) (cid:6) (cid:11) + "

(cid:29)(cid:30)(cid:17)

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

22

(cid:13) − (cid:11) (cid:14) (cid:13) − (cid:11) (cid:14)

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

23

Định nghĩa tích phân

, ký hiệu , được • Chuẩn (norm) của phân hoạch

1 1 định nghĩa là độ rộng lớn nhất của các khoảng con

1 = max

đủ nhỏ, tổng • Nếu với mọi phân hoạch

(cid:17)6(cid:29)6(cid:22) Δ(cid:3)(cid:29) để cho nào đó (bất chấp cách

1

1 đủ gần giá trị 7 23 trong mỗi khoảng con) thì ta nói là tích

7 (cid:16)(cid:29) Riemann chọn phân xác định của .

(cid:6)

tiến về giá trị trên khoảng • Nói cách khác, nếu tổng Riemann

(cid:11), (cid:13) 23 7 thì ta nói tích phân xác định của

nào đó khi trên

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

24

(cid:11), (cid:13) 1 → 0 . là 7 (cid:6)

(cid:22) (cid:29)(cid:30)(cid:17)

(cid:6) 7 trên

(cid:11), (cid:13) (cid:6) (cid:16)(cid:29) Δ(cid:3)(cid:29) (cid:6) 23 = ∑ 1 → 0 Định nghĩa 1. Tích phân xác định – definite integral . Ta nói Cho hàm số là xác định trên khoảng (cid:11), (cid:13) là giới hạn nếu tích phân xác định của 7 khi của tổng Riemann theo nghĩa

, tồn tại

; > 0 9 > 0 của thỏa sao cho với mọi phân và với mọi sự lựa

(cid:11), (cid:13) 1 < ; ta có Với mọi hoạch chọn

(cid:22)

1 (cid:16)(cid:29) ∈ (cid:3)(cid:29)(cid:31)(cid:17), (cid:3)(cid:29)

− 7 < 9

24/08/2015

25

23 − 7 = (cid:28) (cid:6) (cid:16)(cid:29) Δ(cid:3)(cid:29) (cid:29)(cid:30)(cid:17) Tích phân và ứng dụng

của trên được ký hiệu là • Tích phân xác định

?

7 (cid:6) (cid:11), (cid:13)

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

26

= (cid:6) (cid:3) >(cid:3) @

• Nếu điều kiện trong định nghĩa trên được thỏa mãn, thì ta nói tổng Riemann hội tụ về tích phân xác định

và hàm là khả tích trên . Khi

? 7 = A (cid:6) (cid:3) >(cid:3) @ đó ta có thể viết

(cid:22)

(cid:6) (cid:11), (cid:13)

? = 7 = = (cid:6) (cid:3) >(cid:3) @

(cid:29)(cid:30)(cid:17)

lim3 →# (cid:28) (cid:6) (cid:16)(cid:29) Δ(cid:3)(cid:29)

?

?

? = = (cid:6) (cid:24) >(cid:24)

• Chú ý, tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm số, không phụ thuộc vào cách gọi tên biến số, cho nên

= = (cid:6) B >B = ⋯

@

@

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

27

= (cid:6) (cid:3) >(cid:3) @

Tính khả tích của hàm liên tục

• Không phải mọi hàm số đều khả tích, ví dụ hàm số

là không khả tích.

1, nếu (cid:3) hữu tỉ 0, nếu (cid:3) vô tỉ

được gọi là có bước nhảy (jump (cid:6) (cid:3) = C • Hàm số

(cid:6) (cid:3)

(cid:16) (cid:3) discontinuity) tại tiến về nếu giới hạn trái và phải khi đều tồn tại hữu hạn nhưng khác nhau.

(cid:16)

hoặc nếu chỉ có hữu

(cid:6) (cid:6)

thì tồn tại và

(cid:11), (cid:13) (cid:6) (cid:11), (cid:13) ? A (cid:6) (cid:3) >(cid:3) @ Định lý 1. Tính khả tích của hàm liên tục liên tục trên Nếu hàm số hạn bước nhảy trên . khả tích trên

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

28

(cid:11), (cid:13)

Một số tính chất

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

29

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

30

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

31

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

32

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

33

Ví dụ 2. 1. Tính tích phân

? = (cid:3)>(cid:3) #

, với (cid:13) > 0

2. Tính tích phân

? = (cid:3)>(cid:3) @

, với (cid:13) > (cid:11)

?

3. Tính tích phân

, với (cid:13) > (cid:11)

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

34

= (cid:3)(cid:9)>(cid:3) @

3. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN

khả tích trên thì với đặt • Nếu

(cid:6) (cid:24) (cid:3) ∈ (cid:11), (cid:13) (cid:11), (cid:13) O

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

35

(cid:25) (cid:3) = = (cid:6) (cid:24) >(cid:24) @

(cid:25) (cid:3) + ℎ − (cid:25) (cid:3) ≈ (cid:6) (cid:3) ℎ

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

36

= (cid:6) (cid:3) (cid:25)R (cid:3) = limS→# (cid:25) (cid:3) + ℎ − (cid:25) (cid:3) ℎ

Định lý 2. Định lý cơ bản của vi tích phân – phần 1

liên tục trên thì liên tục

(cid:11), (cid:13)

Nếu trên , khả vi trên

O (cid:25) (cid:3) = A (cid:6) (cid:24) >(cid:24) @ và (cid:25)R (cid:3) = (cid:6) (cid:3) = (cid:6)R (cid:3)

(cid:6) (cid:11), (cid:13) (cid:11), (cid:13) O

(cid:25)R (cid:3) =

> >(cid:3) = (cid:6) (cid:24) >(cid:24) @

biết

OZ 2. (cid:4) = = cos 1 + (cid:24)(cid:9) >(cid:24)

(cid:17)

O 1. (cid:4) = = 1 + (cid:24)(cid:20) >(cid:24) @ ‘ 3. (cid:4) = =

Ví dụ 3. Dùng định lý trên tính TU TO

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

37

(cid:17)a(cid:20)OZ

[\]^ _>(cid:24)

Công thức Newton-Leibnitz

(cid:11), (cid:13) (cid:25) (cid:6) Định lý 2 (tt). Định lý cơ bản của vi tích phân – phần 1 Nếu là một nguyên hàm của và trên liên tục trên thì

?

?

(cid:6) (cid:11), (cid:13)

@

= (cid:25) (cid:13) − (cid:25) (cid:11) ≡ (cid:25) (cid:3) c

= (cid:6) (cid:3) >(cid:3) @

d

Ví dụ 4. Tính các tích phân.

1. = sin (cid:3) >(cid:3) (cid:4) −

#

4 (cid:4)(cid:9) >(cid:4)

(cid:17) 3. = #

‘ 2. = (cid:17) (cid:17) 4. = #

Tích phân và ứng dụng

24/08/2015

38

>(cid:24) 1 + (cid:24) 3 2 >(cid:3) 1 + (cid:3)(cid:9) >(cid:3)

4. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

Định lý 3. Quy tắc đổi biến (substitution rule) cho tích phân bất định Nếu là hàm số khả vi mà giá trị thuộc khoảng

và nếu liên tục trên thì

B = . (cid:3) (cid:6) f f

=(cid:6) . (cid:3) .R (cid:3) >(cid:3) = =(cid:6) B >B

Ví dụ 5. Tính các tích phân bất định.

g

1. =(cid:3)(cid:9)[ Og >(cid:3) 2. =

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

39

3. =(cid:3) 2(cid:3) + 1>(cid:3) 4. =

>h [i + [(cid:31)i 2j>j j(cid:9) + 1

liên tục trên miền giá trị và

(cid:11), (cid:13) (cid:6) Định lý 4. Quy tắc đổi biến cho tích phân xác định Nếu của thì

k ?

.R liên tục trên B = . (cid:3) ?

= = (cid:6) B >B

= (cid:6) . (cid:3) .R (cid:3) >(cid:3) @

k @ Ví dụ 6. Tính các tích phân xác định.

(cid:17)

d/(cid:9)

1. = 3(cid:3)(cid:9) (cid:3)(cid:20) + 1>(cid:3) 2. = >h

d/‘

(cid:31)(cid:17) d/‘

lm/n

cos h sin(cid:20) h

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

40

3. = tan (cid:3) >(cid:3)

(cid:31)d/‘

4>(cid:24) (cid:24) 1 + ln(cid:9) (cid:24) 4. = (cid:17)

Tích phân của hàm đối xứng (symmetric function)

xác định trên khoảng đối xứng .

.

(cid:6) được nói là chẵn nếu được nói là lẻ nếu • Cho hàm số • •

(cid:6) (cid:6) −(cid:11), (cid:11) (cid:6) −(cid:3) = (cid:6) (cid:3) , ∀(cid:3) ∈ −(cid:11), (cid:11) . (cid:6) −(cid:3) = −(cid:6) (cid:3) , ∀(cid:3) ∈ −(cid:11), (cid:11)

Định lý 7. Tích phân hàm đối xứng Cho liên tục trên khoảng đối xứng .

(cid:6) a) Nếu chẵn (even) thì .

@ A (cid:6) (cid:3) >(cid:3) (cid:31)@

(cid:6)

b) Nếu lẻ (odd) thì

@ A (cid:6) (cid:3) >(cid:3) (cid:31)@

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

41

(cid:6) −(cid:11), (cid:11) @ = 2 A (cid:6) (cid:3) >(cid:3) # . = 0

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

42

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

43

Tích phân từng phần – integration by parts

Định lý 5. Tích phân từng phần cho tích phân bất định

=(cid:6) (cid:3) .R (cid:3) >(cid:3) = (cid:6) (cid:3) . (cid:3) − =(cid:6)R (cid:3) . (cid:3) >(cid:3)

hoặc viết gọn .

A B>(cid:23) = B(cid:23) − A (cid:23)>B

Ví dụ 7. Tính các tích phân bất định.

1. =(cid:3) cos 2(cid:3) >(cid:3) 2. =ln (cid:3) >(cid:3)

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

44

3. =arctan (cid:3) >(cid:3)

?

?

?

Định lý 6. Tích phân từng phần cho tích phân xác định

= (cid:6) (cid:3) . (cid:3) c

= (cid:6) (cid:3) .R (cid:3) >(cid:3) @

hoặc viết gọn .

? A B>(cid:23) @

= B(cid:23)|@ − = (cid:6)R (cid:3) . (cid:3) >(cid:3) @ @ ? ? − A (cid:23)>B @

‘

Ví dụ 8. Tính các tích phân.

(cid:17) 2. = arcsin (cid:3) >(cid:3)

#

#

1. = (cid:3)[(cid:31)O>(cid:3)

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

45

3. =(cid:3)(cid:9)[ O>(cid:3) 4. =(cid:3)(cid:20) sin 3(cid:3) >(cid:3)

5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

là một miền • Một thiết diện (cross-section) của khối

phẳng tạo thành từ việc cắt 2 bằng một mặt phẳng.

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

46

2

Tính thể tích

• Thể tích khối trụ bằng diện tích đáy nhân chiều cao

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

47

Thể tích = diện tích đáy × chiều cao

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

48

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

49

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

50

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

51

• Một cái nêm được cắt ra từ một khối trụ tròn có bán kính đáy bằng 3 bằng hai mặt phẳng. Mặt phẳng thứ nhất vuông góc với trục của khối trụ. Mặt thứ hai cắt 45# tại tâm của khối trụ. mặt thứ nhất theo một góc Tính thể tích cái nêm này.

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

52

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

53

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

54

Tính độ dài đường cong

gọi là trơn (smooth) nếu là • Đường cong

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

55

(cid:4) = (cid:6) (cid:3) (cid:6) hàm số khả vi và đạo hàm của nó liên tục.

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

56

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

57

• Tính độ dài của đồ thị hàm số

(cid:6) (cid:3) = (cid:3) ∈ 1,4 + ,

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

58

(cid:3)(cid:20) 12 1 (cid:3)

Tính công của lực

• Một vật chịu tác động của một lực (force)

(cid:25)

được

(cid:25) có độ lớn không đổi theo hướng chuyển động, nếu nó di chuyển một khoảng định nghĩa là thì công (work) của lực .

> } = (cid:25)>

(không phải là hằng số), tác động • Nếu lực

(cid:25) = (cid:25) (cid:3) đến thì công của

(cid:3) = (cid:11) (cid:3) = (cid:13) làm vật di chuyển từ lực là bao nhiêu?

thành . • Chia khoảng

(cid:11), (cid:13) (cid:3)(cid:29)(cid:31)(cid:17), (cid:3)(cid:29) (cid:14) Lấy khoảng con thì công được xấp xỉ bằng

(cid:22)

(cid:16)(cid:29) ∈ (cid:3)(cid:29)(cid:31)(cid:17), (cid:3)(cid:29)

24/08/2015

59

Tích phân và ứng dụng

Work ≈ (cid:28) (cid:25) (cid:16)(cid:29) Δ(cid:3)(cid:29) (cid:29)(cid:30)(cid:17)

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

60

• Định luật Hooke (Hooke’s Law) nói rằng lực cần thiết

đơn vị

(cid:3) để giữ một lò xo ở trạng thái nén hay giãn so với chiều dài tự nhiên của nó tỷ lệ thuận với

(cid:3)

(cid:25) = "(cid:3) với là hằng số.

"

• Tìm công cần thiết để nén một lò xo có chiều dài tự

nhiên xuống còn , biết

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

61

1 (cid:6)(cid:24) 0.75 (cid:6)(cid:24) " = 16 (cid:130)(cid:13)/(cid:6)(cid:24)

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

62

6. PHƯƠNG PHÁP SỐ

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

63

• Xấp xỉ hình thang (trapezoidal approximation)

Quy tắc hình thang

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

64

Quy tắc Simpson – Simpson’s Rule

• Quy tắc Simpson xấp xỉ hàm số bằng các đường

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

65

parabola.

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

66

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

67

7. TÍCH PHÂN SUY RỘNG

• Nếu các cận lấy tích phân bằng vô cùng thì ta nói tích phân là suy rộng loại I (improper integral of Type I).

Định nghĩa 2. Tích phân suy rộng loại I Nếu liên tục trên thì

,

(cid:11), ∞ (cid:6)

? = lim?→, = (cid:6) (cid:3) >(cid:3) @

= (cid:6) (cid:3) >(cid:3) @

Nếu liên tục trên thì

?

−∞, (cid:13) (cid:6)

? = lim@→(cid:31), = (cid:6) (cid:3) >(cid:3) @

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

68

= (cid:6) (cid:3) >(cid:3) (cid:31),

• Trong các định nghĩa trên, nếu giới hạn bên phải tồn tại và hữu hạn, ta nói tích phân là hội tụ (converge). • Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô

cùng thì ta nói tích phân là phân kỳ (diverge).

• Nếu cả hai cận bằng vô cùng, ta cũng có tích phân

,

(cid:132)

,

suy rộng loại I

(cid:132)

+ = (cid:6) (cid:3) >(cid:3)

= (cid:6) (cid:3) >(cid:3) (cid:31), liên tục trên với là hằng số tùy ý.

(cid:31), −∞, ∞

= = (cid:6) (cid:3) >(cid:3) và (cid:16) (cid:6)

• Tích phân này được nói là hội tụ nếu cả hai tích phân

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

69

vế phải hội tụ, ngược lại gọi là phân kỳ.

,

Ví dụ 9. Tính các tích phân suy rộng.

#

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

70

1. = [(cid:31)O/(cid:9)>(cid:3)

(cid:17) 2. =

>(cid:3)

(cid:31),

,

1 2(cid:3) − 3

1

>(cid:3)

,

3. = # (cid:3) + 1

4. =

(cid:31),

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

71

1 1 + (cid:3)(cid:9)

# 5. = [(cid:9)O>(cid:3) (cid:31),

,

1

(cid:31)(cid:17)

,

6. = 3(cid:3) + 5 (cid:20) >(cid:3)

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

72

ln (cid:3) (cid:3)(cid:9) >(cid:3) 7. = (cid:17)

,

,

2(cid:3) + 1 [(cid:20)O >(cid:3) 8. = #

9. =

(cid:31),

[ O 1 + [(cid:9)O >(cid:3)

thì tích phân sau hội tụ?

Ví dụ 10. Với giá trị nào của (cid:135) ,

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

73

1 (cid:3)(cid:136) >(cid:3) f = = (cid:17)

Tích phân suy rộng loại II

• Nếu hàm số lấy tích phân tiến ra vô cùng trong

khoảng lấy tích phân (hữu hạn), ta nói tích phân là suy rộng loại II (improper integral of Type II).

Định nghĩa 3. Tích phân suy rộng loại II Nếu liên tục trên và gián đoạn tại thì

?

(cid:6) (cid:11), (cid:13) (cid:11)

= lim

? (cid:132)→@(cid:137) = (cid:6) (cid:3) >(cid:3) (cid:132) và gián đoạn tại

= (cid:6) (cid:3) >(cid:3) @

thì Nếu liên tục trên

?

(cid:6) (cid:11), (cid:13) (cid:13)

(cid:132) = lim(cid:132)→?(cid:138) = (cid:6) (cid:3) >(cid:3) @

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

74

= (cid:6) (cid:3) >(cid:3) @

• Trong các định nghĩa trên, nếu giới hạn bên phải tồn tại và hữu hạn, ta nói tích phân là hội tụ (converge). • Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô

cùng thì ta nói tích phân là phân kỳ (diverge).

liên tục trên và gián đoạn tại • Nếu

(cid:132)

?

(cid:11), (cid:16) ∪ (cid:16), (cid:13) thì ta cũng có tích phân suy rộng loại II

(cid:6) (cid:16) ∈ (cid:11), (cid:13) ?

= = (cid:6) (cid:3) >(cid:3) + = (cid:6) (cid:3) >(cid:3)

@

(cid:132)

= (cid:6) (cid:3) >(cid:3) @

• Tích phân này được nói là hội tụ nếu cả hai tích phân

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

75

vế phải hội tụ, ngược lại gọi là phân kỳ.

(cid:17) 1. = #

Ví dụ 11. Tính các tích phân suy rộng.

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

76

>(cid:3) (cid:3)

>(cid:3)

(cid:17) 2. = #

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

77

1 1 − (cid:3)

(cid:20) 3. = #

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

78

>(cid:3) (cid:3) − 1 (cid:9)/(cid:20)

d/(cid:9)

(cid:17)

>(cid:3) cos (cid:3) 4. = #

#

5. = ln (cid:3) >(cid:3)

Ví dụ 12. Với giá trị nào của thì tích phân sau hội tụ?

(cid:17) = #

24/08/2015

Tích phân và ứng dụng

79

(cid:135) 1 (cid:3)(cid:136) >(cid:3)