TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN KINH TẾ VÀ QUẢN LÝ
TOÁN KINH TẾ II
Bộ môn Kinh tế học
Viện Kinh tế và Quản lý, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
CHƯƠNG 2
NGHIỆP VỤ TÀI CHÍNH NGẮN HẠN
▪ 2.1 Lãi đơn
▪ 2.2 Chiết khấu theo lãi đơn
▪ 2.3 Tài khoản vãng lai có lãi
1
2.1 Lãi đơn
▪ 2.1.1 Các công thức tính lãi
▪ 2.1.2 Phương pháp thương mại trong bài toán tính lãi đơn
2
2.1.1 Các công thức tính lãi
▪ Lãi: về phương diện tài chính, là khoản tiền tạo ra từ khoản vốn đã
bỏ ra trong một thời gian xác định (thời hạn)
▪ Số tiền lãi phụ thuộc trực tiếp vào:
▪ Số vốn
▪ Độ dài thời gian
▪ Lãi suất
3
2.1.1 Các công thức tính lãi
▪ Ta có công thức tính lãi tổng quát theo năm:
𝐼 =
𝐶 ∗ 𝑡 ∗ 𝑎 100
▪ Trong đó:
▪ I: số tiền lãi
▪ C: số vốn
▪ t: lãi suất năm
▪ a: thời hạn tính theo năm
4
2.1.1 Các công thức tính lãi
▪ Ta có công thức tính lãi theo tháng:
𝐼 =
𝐶 ∗ 𝑡 ∗ 𝑚 1200
▪ Trong đó:
𝑎 =
𝑚 12
5
2.1.1 Các công thức tính lãi
▪ Ta có công thức tính lãi theo tháng:
𝐼 =
𝐶 ∗ 𝑡 ∗ 𝑛 36000
▪ Trong đó:
𝑎 =
𝑛 360
Cho 1 năm = 360 ngày
6
Các công thức khác rút ra từ công thức tổng quát
𝐼 = 𝐶 =
𝐶 ∗ 𝑡 ∗ 𝑛 36000 36000 ∗ 𝐼 𝑡 ∗ 𝑛
𝑡 = 𝑛 =
36000 ∗ 𝐼 𝐶 ∗ 𝑛 36000 ∗ 𝐼 𝐶 ∗ 𝑡
7
2.1.1 Các công thức tính lãi
▪ Số tiền thu được: là tổng số khoản vốn và số lãi do khoản vốn đó
tạo ra
▪ VD: số tiền thu được của khoản vốn 2400 được gửi vào ngân hàng
với lãi suất 4%/năm, trong 45 ngày
𝐶 + = 2400 + = 2412
𝐶 ∗ 𝑡 ∗ 𝑛 36000 2400 ∗ 4 ∗ 45 36000
8
Lãi suất trung bình
▪ Lãi suất trung bình của nhiều khoản vốn có lãi suất và thời hạn
riêng biệt khác nhau là lãi suất khi nó thay thế các lãi suất riêng biệt
thì ta vẫn được tổng số lãi không đổi
▪ VD: Một người có 3 khoản vốn gửi vào ngân hàng
Khoản vốn
Lãi suất
Thời gian
C1 C2 C3
t1 t2 t3
n1 ngày n2 ngày n3 ngày
9
Lãi suất trung bình
▪ Tổng số lãi của 3 khoản vốn:
+
+
𝐶! ∗ 𝑡! ∗ 𝑛! 36000
𝐶" ∗ 𝑡" ∗ 𝑛" 36000
𝐶# ∗ 𝑡# ∗ 𝑛# 36000
▪ Gọi lãi suất trung bình của 3 khoản vốn này là T, ta có:
=
+
+
+
+
$!∗&∗’! #()))
$"∗&∗’" #()))
$#∗&∗’# #()))
$!∗*!∗’! #()))
$"∗*"∗’" #()))
$#∗*#∗’# #()))
=> 𝑇 =
$!∗*!∗’!+$"∗*"∗’"+$#∗*#∗’# $!∗’!+$"∗’"+$#∗’#
10
Lãi suất trung bình
▪ Công thức tổng quát tính lãi suất trung bình
∑!"#
𝑇 =
$ 𝐶! ∗ 𝑡! ∗ 𝑛! $ 𝐶! ∗ 𝑛! ∑!"#
Khoản vốn Ci (i = 1...k)
Lãi suất tương ứng ti (i = 1...k)
Thời gian tương ứng ni (i = 1...k)
11
Bài tập trên lớp
Một người có 3 khoản vốn gửi ngân hàng:
C1 = 1200 gửi từ 1/3 - 31/5, lãi suất 7%/năm
C2 = 1000 gửi từ 1/3 - 23/6, lãi suất 7,5%/năm
C3 = 800 gửi từ 1/3 - 20/8, lãi suất 8%/năm
Tính lãi suất trung bình của 3 khoản vốn (không tính lãi ngày đầu tiên gửi)?
12
Bài tập trên lớp
▪ Lãi suất trung bình của 3 khoản vốn:
𝑇 = = 7,54%
1200 ∗ 7 ∗ 91 + 1000 ∗ 7,5 ∗ 114 + 800 ∗ 8 ∗ 172 1200 ∗ 91 + 1000 ∗ 114 + 800 ∗ 172
13
Lãi suất thực tế
▪ Tất cả công thức và kết quả trình bày ở trên được sử dụng trong
trường hợp việc trả lãi được thực hiện cùng với việc trả vốn
▪ Trong thực tiễn, có những trường hợp lãi được trả trước, vậy lãi
suất thực tế sẽ không phải là lãi suất theo quy định mà là lãi suất
cao hơn
14
1 người mua 10.000đ trái phiếu kho bạc với thời hạn 1 năm, tiền lãi được trả trước vào ngày mua với lãi suất quy định là 2,75%. Tính lãi suất thực tế của khoản tiền mua trái phiếu đó?
▪ Tiền lãi nhận được tại ngày mua:
𝐼 = = 275 đồng
10000 ∗ 2,75 100
▪ Số vốn thực tế bỏ ra:
𝐶 = 10000 − 275 = 9725 đồng
Số tiền 10.000đ sẽ được trả sau 1 năm, như vậy thực tế số vốn bỏ ra là 9725 đồng, sau 1 năm sẽ tạo ra số lãi là 275 đồng
▪ Lãi suất thực tế của trái phiếu là:
𝑡 = ∗ 100 = 2,83%
15
275 9725
1.2 Phương pháp thương mại trong bài toán tính lãi đơn
▪ Phương pháp tích số và thương số
▪ Phương pháp ước số của khoản vốn
▪ Phương pháp ước số của thời gian
▪ Phương pháp ước số của lãi suất
16
Phương pháp tích số và thương số
▪ Ta có: 𝐼 =
-∗.∗/ 01222
▪ Chia cả tử và mẫu cho t, ta có: 𝐼 =
-∗/ !"### $
▪ Đặt 01222
= 𝐷
.
=> 𝐼 =
-∗/ 3
17
Ví dụ
Bằng phương pháp tích số và thương số, hãy tính tổng số lãi của 3 khoản tiền gửi sau:
- Khoản 1: 5500, thời hạn: 1/3 – 31/7
- Khoản 2: 2625, thời hạn: 1/3 – 31/8
- Khoản 3: 870, thời hạn: 1/3 – 30/09
Tính tổng số lãi của 3 khoản tiền gửi theo lãi suất:
a. 9%
b. 10,3%
18
Ví dụ
▪ Thời hạn tương ứng của 3 khoản tiền gửi là: 152, 183 và 213 ngày
Þ𝐷 =
= 4000
!"### $
a. Tổng số lãi theo lãi suất 9%
𝐼 =
= 375,42
5500 ∗ 152 + 2625 ∗ 183 + (870 ∗ 213) 4000
b. Tổng số lãi theo lãi suất 10,3%
𝐼 =
= 429,64
375,42 ∗ 10,3 9
19
Phương pháp ước số của khoản vốn
%∗’ (
, nếu C = D ta sẽ có I = n ▪ Với công thức: 𝐼 =
▪ Như vậy khi khoản vốn C ngang bằng thương số D thì số lãi sẽ
ngang bằng số ngày n
▪ Vì số lãi tỷ lệ thuận với số vốn nên ta có thể tính được số lại thu
được bằng cách chia số vốn thành các phần mà mỗi phần là ước
số của D
20
Ví dụ
Vốn
Lãi
8000
32
4000 (8000/2)
16
Tính số lãi của khoản vốn
12.640 được gửi vào ngân hàng
400 (4000/10)
1,6
với thời hạn 32 ngày, lãi suất
200 (400/2)
0,8
40 (400/10)
0,16
4,5%/năm?
)*+++ ,,.
▪ Ta có: 𝐷 = = 8000
C = 12.640
I = 50,56
21
Phương pháp ước số của thời gian
, ta chia cả tử số và mẫu số cho 100
▪ Với công thức: 𝐼 =
%∗’ (
𝐼 =
! ∗’ "## $ "##
▪ Nếu
= 𝑏, và nếu n = b, ta sẽ có:
( )##
∗ 𝑛
∗ 𝑏
𝐼 =
=
=
𝐶 100 𝑏
𝐶 100
𝐶 100 𝐷 100
=> Với số ngày ngang bằng cơ số b, thì số lãi sẽ bằng 1% của số vốn
22
Ví dụ
Ngày
Lãi
Trong 90 ngày
I = 48,754
Tính số lãi thu được của khoản
vốn 4875,40 được gửi vào ngân
Trong 30 ngày
I = 16,251
hàng trong 34 ngày với lãi suất
Trong 3 ngày
I = 1,625
4%/năm?
)*+++ ,
Trong 1 ngày
I = 0,542
▪ Ta có: 𝐷 = = 9000
Trong 34 ngày
I = 18,418
=> b = 90
23
Phương pháp ước số của lãi suất
Lãi suất
Lãi
▪ Đây là phương pháp hỗn hợp
Lãi suất 3%
I = 8,88
giữa tích số và thương số
Lãi suất 0,5%
I = 1,48
VD: Tính số lãi thu được của
khoản vốn 1421 được gửi vào
ngân hàng với thời hạn 75 ngày,
Lãi suất 3,5%
I = 10,36
lãi suất 3,5%/năm
