Mô hình giải tích nhiều biến PHÂN TÍCH KINH TẾ - KINH DOANH

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

1 / 15

Nguyễn Văn Phong

Nội dung

1 Công cụ toán

2 Các bài toán kinh tế

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

1 / 15

Công cụ toán

Đạo hàm riêng Cho f là hàm hai biến, các đạo hàm riêng của f là các hàm hai biến fx và fy được định nghĩa như sau:

(1) = fx(x, y ) = lim ∆x→0

(2) = fy (x, y ) = lim ∆y →0 ∂f ∂x ∂f ∂y f (x + ∆x, y ) − f (x, y ) ∆x f (x, y + ∆y ) − f (x, y ) ∆y

= lim ∆xi →0

∂f ∂xi

f (x1, . . . , xi + ∆xi , . . . , xn) − f (x1, . . . , xi , . . . , xn) ∆xi

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

2 / 15

Cho hàm f (x1, x2, . . . , xn). Khi đó, đạo hàm riêng của f theo biến thứ i, được định nghĩa là:

Công cụ toán

Bài toán cực trị hàm hai biến Cho hàm số z = f (x, y ). Khi đó ta có các kết quả sau

Định lý (Điều kiện cần)

Nếu f đạt cực trị địa phương tại (a, b) và các đạo hàm riêng cấp một của f tồn tại, thì

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

3 / 15

fx(a, b) = 0 và fy (a, b) = 0.

Công cụ toán

Định lý (Điều kiện đủ)

Nếu các đạo hàm riêng cấp hai của f (x, y ) tồn tại trên N(a,b) và fx(a, b) = 0, fy (a, b) = 0. Ta đặt

∆ = fxx(a, b)fyy (a, b) − [fxy (a, b)]2 = fxx fyx fxy fyy (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

4 / 15

a. Nếu ∆ > 0 và fxx(a, b) > 0 thì (a, b) là cực tiểu b. Nếu ∆ > 0 và fxx(a, b) < 0 thì (a, b) là cực đại c. Nếu ∆ < 0 thì (a, b) là điểm yên ngựa

Công cụ toán

Bài toán cực trị có điều kiện Tìm cực trị của hàm f (x, y ) thõa mãn g (x, y ) = 0

Phương pháp nhân tử Lagrange B1: Lập hàm Lagrange L(x, y , λ) = f (x, y ) + λg (x, y ) B2: Tìm các điểm dừng thõa

  (3)

 Lx (x, y , λ) = 0 Ly (x, y , λ) = 0 Lλ (x, y , λ) = 0

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

5 / 15

Giải (3) ta được ∃ (x0, y0, λ)

Công cụ toán

Phương pháp nhân tử Lagrange B3: Tính dg (x0, y0) = gx(x0, y0)dx + gy (x0, y0)dx và cho dg (x0, y0) = 0. Ta tìm được biểu thức liên hệ giữa dx và dy

B4: Kiểm tra điều kiện cực trị

Nếu d 2L(x0, y0) > 0 thì (x0, y0) là cực tiểu Nếu d 2L(x0, y0) < 0 thì (x0, y0) là cực đại

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

6 / 15

Tính d 2L(x0, y0) vi phân toàn phần cấp hai của L

Công cụ toán

Hàm thuần nhất bậc k Hàm z = f (x, y ) được gọi là hàm thuần nhất bậc k nếu ∀t, f (tx, ty ) = t kf (x, y )

(4)

Công thức Euler Hàm z = f (x, y ) là hàm thuần nhất bậc k nếu và chỉ nếu

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

7 / 15

x + y = kz (5) ∂f ∂x ∂f ∂y

Công cụ toán

Công thức đạo hàm hàm ẩn Cho F (x, y ) = 0. Giả sử các đạo hàm riêng của F liên tục và F (cid:48)

(6)

y (x, y ) (cid:54)= 0. Khi đó ∃y (x) ∈ Nx0 : y0 = y (x0), F (x, y (x)) = 0, F (cid:48) x F (cid:48) y

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

8 / 15

(7) y (cid:48)(x) = −

Các bài toán kinh tế

Hàm cận biên Cho hàm số y = f (x1, x2, . . . , xn). Khi đó hàm cận biên của f theo xi được xác định bởi

. Mfxi (x1, x2, . . . , xn) = ∂f (x1, x2, . . . , xn) ∂xi

Ý nghĩa Khi các yếu tố khác không đổi, nếu xi thay đổi 1 đơn vị thì y thay đổi Mfxi đơn vị.

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

9 / 15

Các bài toán kinh tế

Hệ số co dãn Cho hàm số y = f (x1, x2, . . . , xn). Khi đó hệ số co dãn của f theo xi tại x0 ∈ Rn được xác định bởi

. Efxi (x0) = ∂f (x0) ∂xi x0 f (x0)

Quy luật lợi ích cận biên giảm dần Cho hàm số U = U(x, y ). Ta nói U tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần nếu xx < 0 và U (cid:48)(cid:48) U (cid:48)(cid:48)

yy < 0, ∀(x, y )

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

10 / 15

Các bài toán kinh tế

Hiệu quả quy mô sản suất Cho hàm sản suất Q = f (K , L). Khi đó, nếu

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

11 / 15

Q(mK , mL) > mQ(K , L) thì sản suất có hiệu quả tăng theo quy mô (ứng với cấp thuần nhất > 1). Q(mK , mL) < mQ(K , L) thì sản suất có hiệu quả giảm theo quy mô (ứng với cấp thuần nhất < 1). Q(mK , mL) = mQ(K , L) thì sản suất có hiệu quả không đổi theo quy mô (ứng với cấp thuần nhất = 1).

Các bài toán kinh tế

Hệ số thay thế Cho y = f (x1, x2, . . . , xn). Khi đó, nếu có hai biến xi , xj thay đổi và các yếu tố khác không đổi, để f không đổi thì hai biến trên thay đổi theo tỷ lệ nào? Từ biểu thức vi phân toàn phần của hàm f

n (cid:88)

i=1

df = dxi ⇒ 0 = dxi + dxj ∂f ∂xi ∂f ∂xj ∂f ∂xi

Ta suy ra

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

12 / 15

= − (8) d xi d xj ∂f /∂xj ∂f /∂xi

Các bài toán kinh tế

Hệ số thay thế

d xi d xj

Nếu d xi d xj với tỷ lệ (cid:12) (cid:12) (cid:12) .

< 0 thì ta nói xi có thể thay thế được cho xj (cid:12) (cid:12) (cid:12) > 0 thì ta nói xi , xj có thể bổ sung được cho

d xi d xj

Nếu d xi d xj nhau với tỷ lệ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) .

= 0 thì ta nói xi , xj không thay thế được cho

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

13 / 15

Nếu d xi d xj nhau.

Các bài toán kinh tế

Các bài toán tối ưu

1 Bài toán tối đa hóa lợi nhuận. 2 Bài toán người tiêu dùng.

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

14 / 15

Xác định quỹ vốn và lao động để tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận Xác định cơ cấu sản phẩm để tối thiểu hóa chi phí, tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận. Xác định quỹ vốn và lao động để tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận

Vận dụng

Tìm các ứng dụng khác của đạo hàm riêng, hàm thuần nhất, đạo hàm hàm ẩn, ... trong phân tích kinh tế. Với các yêu cầu sau:

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

15 / 15

Phát biểu bài toán (Nêu tên nếu có) Thiết lập mô hình Giải, phân tích