Mô hình giải tích PHÂN TÍCH KINH TẾ - KINH DOANH
nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)
TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH
1 / 22
Nguyễn Văn Phong
Nội dung
1 Công cụ toán
2 Các mô hình kinh tế
3 Các bài toán kinh tế
4 Vận dụng
nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)
TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH
1 / 22
Công cụ toán
Định nghĩa đạo hàm Cho một số f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b). Khi đó, đạo hàm của f tại x0, được xác định bởi
(1) = lim ∆x→0 f (cid:48)(x0) = lim ∆x→0 f (x0 + ∆x) − f (x0) ∆x ∆f ∆x
Đạo hàm cấp n của f được xác định bởi
nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)
TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH
2 / 22
f (n−1)(cid:17)(cid:48) (cid:16) (2) f (n)(x0) = (x0).
Công cụ toán
Ý nghĩa đạo hàm
Tính xấp xỉ giá trị của một hàm f tại một điểm x0 cho trước thông qua
(3) f (x) ∼ f (x0) + f (cid:48)(x0)(x − x0).
nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)
TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH
3 / 22
Cho biết tại x0, nếu x thay đổi một đơn vị thì f sẽ thay đổi f (cid:48)(x0) đơn vị. Khảo xát cực trị của hàm số.
Công cụ toán
Tích phân
Nguyên hàm: F (x) là một nguyên hàm của f (x) nếu
F (cid:48)(x) = f (x) (4)
Ký hiệu (cid:82) f (x)dx = F (x) + C vớ C : hằng số. Tích phân xác định: Tích phân xác định của f trên [a, b] là
i )∆xi
i=1
a
nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)
TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH
4 / 22
(cid:90) b (cid:88)n (5) f (x ∗ f (x) dx = lim n→∞
Công cụ toán
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Có dạng:
y (cid:48) + p(x)y = q(x) (6)
Có nghiệm tổng quát là:
(cid:82) p(x)dxdx + C
nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)
TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH
5 / 22
(cid:21) (cid:20)(cid:90) q(x)e y (x) = e− (cid:82) p(x)dx (7)
Các mô hình kinh tế
Hàm sản suất
(8)
Q (L) = αLβ Q (K , L) = αK βLγ (9)
trong đó, K : Vốn, L : Lao động. (9) còn được gọi là hàm Cobb-Douglas. Hàm chi phí
(10) C = C (Q1, Q2, . . . , Qn, L)
nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)
TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH
6 / 22
trong đó, Q : Sản lượng, L : Lao động.
Các mô hình kinh tế
Hàm doanh thu - Lợi nhuận
(11) (12) R (Q1, Q2, . . . , Qn, L) π (Q1, Q2, . . . , Qn, L) = R − C
Chi tiêu - Tiết kiệm - Cung - Cầu
C (Y ) = aY + b, (0 < a < 1, b > 0)
(13) (14) (15) (16) S = S(Y ) QS = S(P) QD = D(P)
nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)
TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH
7 / 22
trong đó, Y : Thu nhập, P : Giá bán.
Các mô hình kinh tế
Hàm lợi ích (thỏa dụng)
(17) TU = TU(x1, x2, . . . , xn)
nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)
TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH
8 / 22
trong đó, x1, x2, . . . , xn : lượng của các mặt hàng hay dịch vụ.
Các bài toán kinh tế
Hàm cận biên Cho hàm số y = f (x). Khi đó hàm cận biên của f được xác định bởi
Mf (x) = = f (cid:48)(x). (18) df (x) dx
nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)
TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH
9 / 22
Cho biết : Khi x thay đổi 1 đơn vị thì y thay đổi Mf (x) đơn vị.
Các bài toán kinh tế
Hệ số co dãn Cho hàm số y = f (x). Khi đó hệ số co dãn của f theo x tại x0 được xác định bởi
. (19) Efx(x0) = ∆f (x0) ∆x x0 f (x0)
nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)
TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH
10 / 22
Cho biết : Khi x thay đổi 1% thì y thay đổi Efx(x0) %.
Các bài toán kinh tế
Quy luật lợi ích cận biên giảm dần Cho hàm số U = U(x). Khi đó U tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần nếu
nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)
TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH
11 / 22
(MU(x))(cid:48) = U (cid:48)(cid:48)(x) < 0, ∀x. (20)
Các bài toán kinh tế
Hàm bình quân Cho hàm số y = f (x). Khi đó hàm bình quân được xác định bởi
Af (x) = , x > 0 (21) f (x) x
và Af (x) đạt cực trị nếu ∃x0 sao cho
nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)
TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH
12 / 22
= 0 (22) (Af )(cid:48)(x0) = Mf (x0) − Af (x0) x0
Các bài toán kinh tế
Các bài toán tối ưu Cho hàm số y = f (x). Khi đó f đạt cực trị tại x0 nếu
(23) f (cid:48)(x0) = 0
và f đạt cực đại tại x0 nếu
(24) f (cid:48)(cid:48)(x0) < 0
và cực tiểu nếu
nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)
TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH
13 / 22
(25) f (cid:48)(cid:48)(x0) > 0
Các bài toán kinh tế
Xác định hàm tổng khi biết hàm cận biên Cho hàm cận biên My = Mf (x) với điều kiện y0 = f (x0). Khi đó hàm tổng f (x) được xác định bởi
nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)
TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH
14 / 22
(cid:26) f (x) = (cid:82) Mf (x)dx (26) y0 = f (x0)
Các bài toán kinh tế
Xác định thặng dư Cho hàm cung QS = S(P) và hàm cầu QD = D(P). Khi đó thặng dư của nhà sản suất được xác định bởi
0
(cid:90) Q0 S −1(Q)dQ (27) PS = P0Q0 −
0
và thặng dư của người tiêu dùng được xác định bởi (cid:90) Q0 CS = (28) D −1(Q)dQ − P0Q0
nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)
TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH
15 / 22
trong đó P0 thỏa S(P) = D(P) và Q0 = D(P0) = S(P0).
Các bài toán kinh tế
Xác định lãi kép Gọi V0 : giá trị hiện tại (PV); r : lãi suất; Vt : giá trị tương lai (FV). Khi đó, ta có
Vt = V0(1 + r )t.
Nếu trong một năm có n lần tính lãi với lãi suất một lần tính là rn = r /n. Khi đó,
Vt = V0(1 + rn)nt = V0 (1 + r /n)nt .
(cid:2)V0(1 + r /n)nt(cid:3) = V0ert
nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)
TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH
16 / 22
Nếu n → +∞ thì Vt = lim n→∞ được gọi là lãi suất liên tục.
Các bài toán kinh tế
Đánh giá hiệu quả đầu tư Gọi C : chi phí triển khai dự án hiện tại; B : số tiền mà dự án đem về sau t năm; r : lãi suất. Khi đó, để đánh giá hiệu quả của dự án ta dùng chỉ số giá trị hiện tại ròng, NPV
NPV = B(1 + r )−t − C .
nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)
TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH
17 / 22
Nếu NPV > 0 thì dự án được chấp nhận.
Các bài toán kinh tế
Xác định hàm cầu từ hệ số co dãn Từ định nghĩa về hệ số co dãn của cầu theo giá bán
= × · (29) (cid:15)DP = D (cid:48)(P) P D dD(P) dP P D
Từ (29), tích phân hai vế ta có
nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)
TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH
18 / 22
(cid:90) (cid:90) dD = dP → ln (D (P)) = dP εDP (cid:15)DP (cid:90) 1 D 1 P 1 P
Các bài toán kinh tế
Điều chỉnh giá thị trường Giả sử cung và cầu của một loại hàng hóa
(30) (31) QD = a − bP, a, b > 0 QS = −c + dP, c, d > 0
nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)
TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH
19 / 22
Nếu tại thời điểm t = 0 mà P(0) = P0 (giá cân bằng) thì thị trường đạt được sự cân bằng. Tuy nhiên nếu P(0) (cid:54)= P0 thì phải sau một thời gian điều chỉnh thị trường mới có thể tiếng tới trạng thái cân bằng. Trong khoảng thời gian đó cả P, QD, QS đều thay đổi theo t.
Các bài toán kinh tế
Vấn đề đặt ra là nếu có đủ thời gian để điều chỉnh thì liệu thị trường có tiến tới trạng thái cân bằng không? nghĩa là
(32) P(t) → P0, khi t → ∞
Để trả lời câu hỏi này: Chúng ta cần thiết lập hàm P(t). Với giả thuyết sau:
Giả thuyết
nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)
TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH
20 / 22
(33) = δ (QD − QS) dP dt
Các bài toán kinh tế
Tốc độ biến thiên của giá cả tỷ lệ thuận với lượng chênh lệch cung cầu, QS − QD. Với δ > 0 là hệ số điều chỉnh
Chú ý rằng = 0 khi QD − QS. Thay (30) và (31) vào dP dt (33) ta được
+ δ (a + c) P = δ (a + c) (34) dP dt
Phương trình (34) là phương trình vi phân tuyến tính. Giải (34) ta được
(35) P(t) = [P(0) − P0] e−δ(b+d )t + P0
nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)
TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH
21 / 22
Do δ(b + d ) > 0 nên khi t → ∞ thì P(t) → P0.
Vận dụng
Tìm các ứng dụng khác của tích phân và phương trình vi phân trong phân tích kinh tế. Với các yêu cầu sau:
nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)
TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH
22 / 22
Phát biểu bài toán (Nêu tên nếu có) Thiết lập mô hình Giải, phân tích
