intTypePromotion=1

Bài giảng Tóm tắt giải tích B - Phạm Thế Hiển

Chia sẻ: Phan Minh Thuat | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:130

0
57
lượt xem
9
download

Bài giảng Tóm tắt giải tích B - Phạm Thế Hiển

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Tóm tắt giải tích B" trình bày về phép tính vi phân hàm một biến, hàm nhiều biến, phép tính tích phân hàm một biến,... Với các bạn đang học và ôn thi môn Toán thì đây là tài liệu tham khảo hữu ích.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Tóm tắt giải tích B - Phạm Thế Hiển

  1. Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền MỤC LỤC Phần thứ nhất : Tóm tắt lý thuyết.………………………………………………………………..3 Chương 1 : Giới hạn………………………………………………………………………….......3 I. Nội dung cần nhớ………………………………………………………………………….......3 1) Giới hạn dãy số………………………………………………………………………………..3 2) Giới hạn hàm số……………………………………………………………………………….7 II. Bài tập áp dụng………………………………………………………………………………19 Chương 2 : Phép tính vi phân hàm một biến……………………………………………………22 I. Nội dung cần nhớ…………….……………………………………………………………….22 1) Đạo hàm cấp 1…………….………………………………………………………………....22 2) Vi phân cấp 1...…………….………………………………………………………………...28 3) Đạo hàm cấp cao…………….……………………………………………………………….29 4) Vi phân cấp cao.…………….………………………………………………………………..31 5) Ứng dụng……..…………….………………………………………………………………..31 II. Bài tập áp dụng..…………….……………………………………………………………….42 Chương 3 : Hàm nhiều biến…….………………………………………………………………52 I. Nội dung cần nhớ…………….……………………………………………………………….52 1) Định nghĩa………………….………………………………………………………………...52 2) Giới hạn…………………….………………………………………………………………..53 3) Đạo hàm riêng cấp 1..……….……………………………………………………………….53 4) Vi phân toàn phần (Vi phân cấp 1) ……….…………………………………………………58 5) Đạo hàm riêng cấp cao..…….…………………………………………………………….….60 6) Vi phân cấp cao.…………….………………………………………………………………..60 7) Ví dụ áp dụng……………….………………………………………………………………..60 8) Cực trị (Hai biến)..………….………………………………………………………………..60 9) Cực trị (Ba biến)…………….……………………………………………………………….66 II. Bài tập áp dụng….………….………………………………………………………………..69 Chương 4 : Phép tính tích phân hàm một biến……………..…………………………………...77 I. Nội dung cần nhớ…………….……………………………………………………………….77 1) Nguyên hàm và tích phân bất định.…..……………………………………………………...77 2) Phương pháp tính tích phân….………………………………………………………………77 3) Tích phân xác định………….……………………………………………………………….80 4) Ứng dụng…………………….………………………………………………………………84 5) Liên hệ giữa nguyên hàm và tích phân xác định.……………………………………………89 6) Tích phân suy rộng loại 1……..……………………………………………………………..90 7) Tích phân suy rộng loại 2...….………………………………………………………………92 II. Bài tập áp dụng..…………….……………………………………………………………….93 Chương 5 : Phương trình vi phân ..……………………………………………………………102 I. Nội dung cần nhớ…………….……………………………………………………………...102 1 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân
  2. Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 1) Phương trình tách biến..…….………………………………………………………………102 2) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1….…………………………………………………..103 3) Phương trình vi phân toàn phần.……………………………………………………………109 4) Phương trình vi pân tuyến tính cấp 2……………………………………………………….110 5) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 khuyết y……….…………………………………...114 6) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số là hằng số…..……………………………115 II. Bài tập áp dụng…………….……………………………………………………………….122 Phần thứ hai : Một số đề luyện tập…..………………………………………………………...127 2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân
  3. Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền PHẦN THỨ NHẤT : TÓM TẮT LÝ THUYẾT Chương 1 : Giới hạn I. Nội dung cần nhớ : 1) Giới hạn của dãy số : a) Định nghĩa : + f : N  R hay xn  { f (n)}  { f (1), f (2), f (3), , f (n)} , xn được gọi là dãy số tổng quát. n  xn  f ( n ) 1 1 1 1 1 Ví dụ :     , , , , , . n 1 2 3 n  + Số a được gọi là giới hạn của dãy số {xn } nếu   0, n0  N , n  n0 : xn  a   và ký hiệu là lim xn  a . n  Chú ý : n0  N . Ví dụ : Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau : n * lim  1. n  n2 n 2  2  2 2(1   )   0 , để 1             2  n  2   n. n2 n2 n2 n2  2(1   )  n n Vậy :   0, n0     N , n  n0 :  1   hay lim  1.    n2 n  n2 2(1   )  Chú ý : ký hiệu   là lấy phần nguyên.    n2 * lim n  2 n 3  3  0. n2 n2 n2 n2 1 1   0 , để 3  0    3    3    3     n . 2n  3 2n  3 2n  3 2n 2n 2 1  n2 n2 Vậy :   0, n0     N , n  n0 : 2  0   hay lim n  2 n 3  3  0.  2  2n  3 2n  3 * lim 1. n  2 n  1 2n  3 2 2 2 2 12    0 , để 1             2n  1  n    1  . 2n  1 2n  1 2n  1 2n  1  2  1 2  2n  3 2n  3 Vậy :   0, n0     1   N , n  n0 :  1   hay lim 1. 2    2n  1 n  2 n  1 + Dãy con : Cho {xn } là dãy số, dãy số {nk }  N , k  N là dãy tăng. Khi đó {xn } được gọi là dãy k con của dãy {xn } . Ví dụ : 3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân
  4. Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền Dãy x2 k  (1) 2 k  1 khi k  ; x2 k 1  (1) 2 k 1  1 khi k   là dãy con của dãy số xn  (1) n . Chú ý : Để chứng tỏ một giới hạn của một dãy số nào đó không tồn tại thì ta đưa ra hai dãy con. Nếu giới hạn của hai dãy con đó tiến về hai giá trị khác nhau khi n   thì giới hạn đó không tồn tại. Ngược lại, Nếu giới hạn của hai dãy con đó tiến về cùng một giá trị a khi n   thì giới hạn đó cũng nhận một giá tri a . Ví dụ : Chứng tỏ giới hạn sau không tồn tại. + lim( 1) n . n Thật vậy : x2 k  (1) 2 k  1 khi k   ; x2 k 1  (1) 2 k 1  1 khi k   . n  1  + lim  (1)n     . n   3   2k 2 k 1  2k 1   2 k 1 1  Thật vậy : x2 k  (1)      1 khi k   ; x2 k 1  (1)      1 khi k   .   3     3    n2 2n  + lim  n  1  n 2 cos .  3  2n 1 n2 Ta có : cos chỉ nhận hai giá trị  và 1; vì  1 khi n   . 3 2 1  n2 b) Tính chất : * Một dãy {xn } hội tụ thì dãy đó bị chặn, tức là xn  K , n . * Nếu {xn },{ yn } là hai dãy hội tụ thì :  x  lim xn lim  xn  yn   lim xn  lim yn ; lim  xn . yn   lim xn .lim yn ; lim  n   n , lim yn  0 . n  y yn n n  n  n  n  n  n   n  nlim  * Điều kiện cần và đủ để dãy số {xn } hội tụ (tức là lim n  xn  a là hữu hạn) là   0, n0  N , n  n0 , p : xn  p  xn   . * Nếu các dãy số {xn },{ yn },{zn } thỏa điều kiện xn  yn  zn và lim n  xn  lim zn  a thì lim yn  a . n  n  Ví dụ : Tính các giới hạn sau : n + lim  2 cos  n ! . n  n  1   n n n Ta có : 1  cos  n !  1   2  2 cos  n !  2 . n 1 n 1 n 1 n n Mà lim 2  lim 2 0. n n  1 n  n  1 n Do đó : lim  2 cos  n !  0 . n  n  1   3n + lim . n  n! 4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân
  5. Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền n 3 n 3n 3.3.3.3...3 3.3.3  3  32  3  Ta có : 0    .   .  . n ! 1.2.3.4...n 1.2.3  4  3 4 n 3 Mà lim    0 . n 4   3n Do đó : lim n  n !  0. 1 + lim n . n  n! n n Ta có : n !    . 3 1 1 1 (Thật vậy : Với n  1 , ta có : 1!  1     .  3 3 2 2 4 Với n  2 , ta có : 2!  1.2  2     . 3 9 k k Giả sử nó đúng với n  k , tức là : k !    . 3 k 1 k 1 Ta cần chứng minh nó đúng với n  k  1 , tức là : (k  1)!    .)  3  1 1 3 0 n   . !n n n n n   3 3 Mà lim  0 . n  n 1 Do đó : lim n  0 . n  n! c) Một số giới hạn cơ bản : n 0, khi   0  0 , khi q  1  1 lim C  C ( C là hằng số); lim n   ; lim q n   ; lim 1    e . n  n  , khi   0 n  , khi q  1 n   n  Chú ý : + Tổng của cấp số cộng : n n S n  a1  a2  a3    an  (a1  an )  (2a1  ( n  1) d ), d  a2  a1  a3  a2   , d là công sai. 2 2 n(n  1) Trường hợp đặc biệt : 1  2  3    n  . 2 + Tổng của cấp số nhân : 1 qn a a a S n  a1  a2  a3    an  a1 , q  1, q  2  3   , q là công bội. lim Sn  1 , q  1 . 1 q a1 a2 n  1 q 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân
  6. Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 1  x n 1 Trường hợp đặc biệt : 1  x  x 2    x n  , x 1. 1 x Ví dụ : + lim  n  n  1  n    lim n  n 1  n  n 1  n   lim n ( n  1  n)  n    n n 1  n n  n 1  n n n 1 1  lim  lim  lim  . n   1 n   1  n  1 2 n 1    n n  1   1 1 1  n  n  n n 5n  7 n 5 5n  7 n   1 0 1 1 n 7 + lim  lim n 1 n1  lim   n 7   . n  5n 1  7 n1 n  5 7 n  5 5.0  7 7 n 5.    7 7 7   1 n1   1    2  1 0  1   1 1 1 1  1  1 1 2  4  8  2n   2  + lim n   2. 2. 4 2.8 2  2 2   lim n n  2    lim 2 n    2 2  22  4 . n(n  1)(2n  1)  1  1 n3  1    2   1  2  3   n 2 2 2 2 n(n  1)(2n  1) n  n + lim 3  lim 6 3  lim 3  lim  3  n  n n  n n  6n n  6n  1  1 1    2   (1  0)(2  0) 2 1 n  n  lim     . n  6 6 6 3 n 2 n    2  2  2 + lim 1    lim 1     e2 . n   n  n  n     1  2  3  4    2n n 1 + lim  lim  lim  1 . n  n 1 n   1 n  1 n 1   1   n n  1  n 3  n  3   n n n   n  n2  n2   1     1  1  1 + lim    lim 1   1  lim 1    lim 1    e 1  . n  n  n3 n  n3  n  n3  n3  e   n n(1) 1 1 (Vì lim  lim  lim   1 ) n n  3 n  3  n 1  3 1  0 n 1    n n  2 n 1  2  n n  n n  3   n2 3  2 2 n  n  2n  2   n  2n  2   2n  1  1  2n  1  2 n 1  + lim    lim  1   1   lim  1    lim    e2 . n  2  n 3  n   2 n 3  n  2  n 3 n   2  n 3    6 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân
  7. Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền  1 1 2 n2  2   2 2n  n  n n  20  2) (Vì lim 2  lim  lim n  n  3 3  n 3  1 2 1 0 n  n 2 1  2   n  n 2) Giới hạn của hàm số : a) Định nghĩa : Hàm số : f : D  R , trong đó D  R ( D  {x  R sao cho y  f ( x ) có nghia} ) là tập xác định của hàm x y f ( x) số, f ( D)  R được gọi là miền giá trị của hàm số. Đồ thị hàm số là tập hợp các điểm (x,y) thỏa mãn phương trình y  f ( x) . Ví dụ : + Hàm số y = x 2 + 1 có miền xác định là D = R , miền giá trị là f(D) = 1; +   . + Hàm số y = 4  x 2 có miền xác định là D =  2; 2 , miền giá trị là f(D) =  0; 2 . x2  3 x x2  2 + y 2 , DR. + y , D  R \{Z } . , D  (, 1)  (1, ) . + y x 3 sin  x x2  1 ex ln x x2  4 x + y  , D \ {0} . + y , D  (0,  ) . + y 2 , D  R \{3, 1} . x x x  4x  3 * Hàm ngược : Cho f : D  R là đơn ánh (tức là x1 , x2  D , giả sử x1  x1  f ( x1 )  f ( x2 ) ). Khi x y f ( x) đó tồn tại hàm ngược : f 1 : f ( D)  D . y  x  f 1 ( y ) Ví dụ :     + y  sin x ( x  R, y  [1, 1])  x  arcsin y hay y  arcsin x  x  [1, 1], y    ,   .   2 2  + y  cos x ( x  R, y  [1, 1])  x  arccos y hay y  arccos x  x  [1, 1], y   0,   .         + y  tan x  x    ,  , y  (, )   x  arctan y hay y  arctan x  x  (, ), y    ,   .   2 2    2 2  + y  cot x ( x  (0,  ), y  (, ))  x  arccoty hay y  arccotx  x  (, ), y  (0,  )  . * Hàm hợp : f : D1  D2 , g : D2  D3 , h  g  f : D1  D3 . x y  f ( x ) y z  g ( y ) x  w h ( x )  g [ f ( x )] x 1 x2  1 Ví dụ : Cho f ( x)  x 2  2( D1  R), g ( x)  ( D2  R \ {1}), ( g  f )( x)  g[ f ( x)]  2 ( D3  R) . x 1 x 3 * Hàm ẩn : Nếu F ( x, y ( x))  0, x, y  D thì ta nói phương trình xác định một hàm ẩn một biến y  y ( x) . Ví dụ : + Phương trình x 2  y 2  4 xác định hai hàm ẩn y1   4  x 2 , y2  4  x 2 , x  [2, 2] . + y  1  xe y . * Tính chất : 7 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân
  8. Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền + Tính đơn điệu : x1 , x2  D , giả sử x1  x2 . - Nếu f ( x1 )  f ( x2 ) thì hàm số đồng biến (tăng). - Nếu f ( x1 )  f ( x2 ) thì hàm số nghịch biến (giảm). Ví dụ : - Hàm số y  f ( x)  x 2 đồng biến trên khoảng x  (0, ) , nghịch biến trên khoảng x  (, 0) . - Hàm số y  f ( x)  x3 đồng biến với mọi x  R . - Hàm số y  f ( x)  ln x đồng biến trên khoảng x  (0, ) . + Chẵn, lẻ : - Hàm số y  f ( x) có tính chất chẵn, lẻ khi miền xác định của nó có tính đối xứng. - Nếu f(  x) =  f(x) thì hàm số là hàm lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ (O). Nếu f(  x) = f(x) thì hàm số là hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua trục tung (Oy). Ví dụ : y y y  x3 y 2 yx 1 4 y  ln x 1 1 0 1 x 0 1 e x 1 2 1 0 1 2 x 1 - Hàm số y  f ( x)  x 2 là hàm số chẵn, đồ thị đối xứng qua trục tung (Oy). - Hàm số y  f ( x)  x3 là hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ (O). - Hàm số y  f ( x)  ln x là hàm số không có tính chẵn lẻ. Vì miền xác định của nó không đối xứng. + Tuần hoàn – chu kỳ : f ( x) là hàm tuần hoàn nếu tồn tại hằng số L  0 sao cho : f ( x  L )  f ( x ), x  D . Chu kỳ của một hàm tuần hoàn f ( x) là số T  min k 0 k , f ( x  k )  f ( x) . Ví dụ : 2π + Hàm số y = sin(mx + n) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T = . m 2 1  cos4x + Hàm y = sinx + cosx =  sinx + cosx  = 1 + 2 là hàm tuần hoàn với chu kỳ là 2π π T= = . 4 2 b) Giới hạn : 8 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân
  9. Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền + lim x  f ( x )    {xn }  U ( ) \{ }: xn    f ( xn )   , khi n   . + lim f ( x)  a    0,   0, x  D : 0  x  x0    f ( x)  a   . x  x0 Ví dụ : Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau : + xlim 2 (3 x  4)  2 .    0 , để cho 3 x  4  ( 2)    3( x  2)    3 x  2    x  2  . 3    0,   , x  2 : 0  x  ( 2)    3 x  4  ( 2)   . 3 Theo định nghĩa thì xlim 2 (3 x  4)  2 . + lim x2 x 2. x2 x2   0 , chọn    . 2 , khi đó nếu x  2     . 2 thì x 2    . x 2 2 Theo định nghĩa thì lim x 2 x 2. + lim x2  9 . x 3   0 , để cho x 2  9   thì : 2 2 2 ( x  3) 2  6( x  3)  x  3  6 x  3     x  3  3  9     x  3  3    9  x  3  3    9  0  x  3    9  3 (Vì   9  3,   0 nên   9  3  0 ).   0 , chọn      9  3 thì x sao cho 0  x  3    x 2  9   . Theo định nghĩa thì lim x 2  9 . x 3 ex ex 2 + lim ln x   . + xlim ln x   . + xlim 0. + xlim   . + lim(2 e x  cos 2 x )  1 . x 0    x  x x 0 1 1 + Chứng tỏ rằng lim  .cos  không tồn tại. x 0 x x  1 2 Ta lấy hai dãy {x1n },{xn2 } , với x1n  ; xn2  . 2n (2n  1) Khi đó ta có : (2n  1)  (2n  1)  (2n  1)   f ( x1n )  2n .cos(2n )  2n ; f ( xn2 )  .cos   .cos  n    0 . 2  2  2  2 1 2 1 2 Như vậy, {xn }  0,{xn }  0, khi n   nhưng f ( xn )  , f ( xn )  0, khi n   . c) Tính chất : * Nếu xlim x f ( x)  a, lim g ( x)  b thì : x x 0 0 + lim  f ( x)  g ( x)   lim f ( x)  lim g ( x)  a  b . x  x0 x  x0 x  x0 + lim  f ( x).g ( x)   lim f ( x). lim g ( x)  a.b . x  x0 x  x0 x  x0 9 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân
  10. Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền  f ( x)  lim f ( x) a x x + lim    0  , lim g ( x )  b  0 . x x  g ( x)  xlim 0 x g ( x) b x x 0 0 * Nếu xlim x f ( x)  y0 , lim g ( y )  L thì lim g[ f ( x)]  lim g ( y )  L . y y x x y y 0 0 0 0 Chú ý :  + e ln b  eln(b )  b . + Công thức cộng lượng giác : cos( x  y )  cos x.cos y  sin x.sin y (1) cos( x  y )  cos x.cos y  sin x.sin y (2) . sin( x  y )  sin x.cos y  sin y.cos x (3) sin( x  y )  sin x.cos y  sin y.cos x (4) + Công thức tích thành tổng : Lấy (1)  (2); (3)  (4) , sau đó chia hai vế cho 2.  A B  x A  x  y  2 + Công thức tổng thành tích : Đặt  , rồi lấy (1)  (2); (3)  (4) . B  x  y  A B y  2 + Công thức nhân đôi : Cho x  y . Từ đó suy ra công thức hạ bậc. sin tan + Cách nhớ các giá trị của các góc đặc biệt :  2 1 cot Độ : 00 300 450 60 0 90 0 1     Radian : 0 6 4 3 2 Bước 1 : Ta viết 5 số : 0 1 2 3 4  1  1 0  2 Bước 2 : Ta lấy căn bặc 2 : 0 1 2 3 4 0 cos 0 1 2 3 4 Bước 3 : Ta chia cho 2 : 2 2 2 2 2 Đó là đối với sin, còn đối với cos thì ta viết ngược lại. 1 32 Như vậy có hai câu hỏi cần đặt ra là : - Đối với việc đổi từ độ ra radian với góc đặc biệt lớn hơn 900 thì sao? Trả lời : Ta chỉ cần thực hiện phép toán cộng hoặc nhân trên các góc đặc biệt nhỏ hơn hoặc bằng 900 . Ví dụ : Nếu ta cần đổi góc 1200 ra radian thì ta làm như sau : Vì 1200  900  300 nên ta lấy   4 2    . 2 6 6 3 - Đối với giá trị của các góc đặc biệt lớn hơn 900 thì sao? Trả lời: Đối với giá trị của các góc đặc biệt lớn hơn 900 thì ta lấy giá trị của các góc nhỏ hơn 900 đối xứng qua góc 900 và chú ý tới dấu (sin nhật giá trị dương khi 00    1800 , nhật giá trị âm khi 1800    3600 , cos nhật giá trị dương khi 00    900 hoặc 2700    3600 , nhật giá trị âm khi 900    2700 ,) khi hàm nhận giá trị tương ứng. 10 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân
  11. Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền Ví dụ : Nếu ta muốn tính sin1350 thì lấy giá trị của góc 450 đối xứng qua góc 900 . Nếu ta muốn tính cos1200 thì lấy giá trị của góc 600 đối xứng qua góc 900 và đổi dấu (vì cos đối). iii) Một số giới hạn cơ bản : 0 sinx ln(1+ x) tgx arcsinx arctgx ex  1 * Dạng : lim  lim  lim  lim  lim  lim  1. 0 x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x Ví dụ : 2 2 2 e3 x  cos 2 x e3 x  1  1  cos 2 x 3(e3 x  1) 2sin 2 x + lim  lim  lim  lim  3 2  5. x 0 x2 x 0 x2 x 0 3x 2 x 0 x2 x xx 1 eln( x )  1 + lim  lim  1. x 1 x ln x x 1 ln( x x ) ln(2e x  1) ln(1  2(e x  1)) 2(e x  1) + lim  lim .lim  1.2.1  2 . x 0 x x 0 2(e x  1) x 0 x x x x 2sin 2   2sin   .sin   1  cosx  2   lim 2 2  1 . + xlim 2  lim 2 0 x x  0 x x  0 x x 2 4   .  2 2 x2 x2 x2 2 2x 1 eln(2 )  1  eln(2 )  1 ln(2 x2 )  eln(2 )  1 2 ln(2 x ) + lim 2  lim  lim  2 .   lim 2 .lim  1.ln 2  ln 2 . x 0 x x 0 x2 x 0  ln(2 x ) x 2  x 0 ln(2 x ) x 0 x 2   x 1  1 cos(x 1)  1 cos(x 1)  2sin 2   e 1 e  1 1  cos(x  1) 1  cos(x  1)  2  + lim 2  lim  . 2   lim 2  lim 2 x  1  1  cos(x  1) x1  x  1   x  1  x  1  x  1 x1  x  1 2sin 2  x21  1  lim  . x 1 2 x 1 4 2  2 2 2 2 2 e3x  1  (e x  1) 3(e3x  1) e x  1 2 2 2 2  e3x  e x e3x  1  (e x  1) x 2 3x 2 x2  3 1  1 . + lim 2  lim  lim  lim x  0 sin 3x  sin 2 x x  0 sin 2 3x  sin 2 x x  0 sin 2 3x  sin 2 x x  0 9sin 2 3x sin 2 x 9 1 4 2 2  2 x 9x x x2 2  ln(1  2e  1  cos 2 x )  x 2 2  ln(1  2e  1  cos 2 x ) 2e  1  cos 2 x  x x ln(2e  cos 2 x ) + lim  lim    lim  x2 .  x 0 x2 x 0  x2  x 0  2e  1  cos 2 x x2  2 2 2 ln[1  2e x  1  cos 2 x ] 2e x  1  cos 2 x  2(e x  1) 1  cos 2 x   lim 2 .lim  1.  lim  lim   1.(2  2)  4 . x 0 2e x  1  cos 2 x x 0 x2  x 0 x2 x 0 x2  3 3 3 cos 4 x  cos 4 x cos 4 x  1  1  cos 4 x cos 4 x  1 cos 4 x  1 + lim 2  lim 2  lim 2  lim  x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x2  lim  cos 4 x  1  cos 4 x  1   lim  3 cos 4 x  1  3  cos 2 4 x  3 cos 4 x  1 x 0 x2  cos 4 x  1  x 0 x2  3 cos 2 4 x  3 cos 4 x  1  11 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân
  12. Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 2sin 2 (2 x) 2sin 2 (2 x)  lim  lim  x 0 x2  cos 4 x  1  x 0 x2  3 cos 2 4 x  3 cos 4 x  1  8sin 2 (2 x) 8sin 2 (2 x) 8 8 4  lim  lim    . x 0 (2 x) 2  cos 4 x  1  x 0 (2 x) 2  3 cos 2 4 x  3 cos 4 x  1 2 3 3  1 x   1 * Dạng 1 : lim 1  x  x  lim 1    e . x 0 x   x Ví dụ : 2 2 2 1 1 ex  x  x2    2  2 2  + xlim 0  1  x 2ex 2  x2  lim  1  x 2 e x x0  2  x 2ex 2   e. + xlim  1  2   xlim  x     2 1  2    e .  x      2 2(e x 1)  sin 2 x 1 1 x2    x2 + lim 2e  1  sin x x0 2  x2 x0   2  lim  1  2(e x  1)  sin 2 x  2(e x2 1)  sin 2 x   e3 2 2 2(e x  1)  sin 2 x 2(e x  1) sin 2 x (Vì lim  lim  lim  2  1  3 ). x 0 x2 x0 x2 x 0 x2 sin 2 (2 x ) 1  1  x2 sin 2 (2 x) 4sin 2 (2 x) + lim x 0 1  sin 2 (2 x)   lim x 0 1  sin (2 x)  x2 2 sin 2 (2 x )   e 4 (Vì lim x 0 x2  lim x 0 (2 x)2  4 ).   2 2 e x 1 cos 2 x 1 1 x2    2 + lim 2e x  cos 2 x x0  x2 2   lim  1  2e x  1  cos 2 x x0  2 2 e x 1 cos 2 x   e4 .   2 2 2 2e x  1  cos 2 x 2e x  2  1  cos 2 x 2(e x  1) 1  cos 2 x (Vì lim 2  lim 2  lim 2  lim  22 4) x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x2 1 1 2  x  1  x2 + 1 2  x  x + 1  1  x  x  x 1 1 + xlim  2   lim x0  2    e (vì lim 2   1 ). 0  x +1    x + 1  x 0 1  x 1 0 1 1 1  1  tan(2 x)  sin 3 (2x )  1  tan(2 x )  sin3 (2x )  sin(2 x )  tan(2 x)  sin3 (2x ) + lim    lim  1   1  lim  1    x  0 1  sin(2 x )   x0  1  sin(2 x)  x 0  1  sin(2 x)  sin(2 x )  tan(2 x ) 1 1 sin(2 x ) . 3   1 sin(2 x ) sin (2x ) 1  sin(2 x)  tan(2 x)  sin(2 x )  tan(2 x )  1  lim  1    e 2  . x 0  1  sin(2 x)  e     sin(2 x)  1  sin(2 x). 1  sin(2 x)   (Vì lim sin(2 x)  tan(2 x)  lim cos(2 x)  lim  cos(2 x)   x 0 (1  sin(2 x )) sin 3 (2 x ) x 0 (1  sin(2 x )) sin 3 (2 x ) x 0 (1  sin(2 x )) sin 3 (2 x ) 12 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân
  13. Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 1 1 cos(2 x) cos(2 x)  1  lim  lim  x 0 (1  sin(2 x )) sin 2 (2 x )) x 0 (1  sin(2 x ))(1  cos 2 (2 x )).cos(2 x ) cos(2 x)  1 1 1  lim  lim  ) x 0 (1  sin(2 x))(1  cos(2 x)(1  cos(2 x)).cos(2 x) x 0 (1  sin(2 x))(1  cos(2 x)).cos(2 x) 2 π π π π * lim arctgx =  ; lim arctgx = ; lim arcsinx =  ; lim arcsinx = . x  2 x +  2 x 1 2 x 1 2 d) Định lý (kẹp) : Nếu f ( x)  g ( x)  h( x ) và lim f ( x)  lim h( x)  a thì lim g ( x)  a . x  x0 x  x0 x  x0 Ví dụ :   1   + Tính x lim (x + 1) 2 sin   .   1   x + 1  1 1 Vì 1  sin  1 nên (1).(x  1) 2  (x  1) 2 . sin  1.(x  1) 2 . x+1 x+1 2 2 Mà lim  (x + 1)   lim (x + 1) = 0 . x 1 x 1    1  Do đó theo định lý kẹp, ta có x lim  (x + 1) 2 sin    0 .  1   x + 1  1 1 + Chứng tỏ rằng : lim  2 .cos   0 . x  x x 1 1 1 1 1 Ta có : 1  cos  1   2  2 .cos  2 . x x x x x 1 1 1 1 Mà lim 2  lim 2  0 . Do đó lim  2 .cos   0 . x  x x  x x  x x  e) Vô cùng bé (VCB) : i) Định nghĩa : Nếu khi x   mà f ( x)  0 thì f ( x) được gọi là VCB. Ví dụ : Khi x  0 thì các hàm sin x, tgx, ln(1  x), e x  1,1  cos x, arcsin x, arctgx, ... được gọi là các VCB. ii) So sánh : f ( x) + Cho f ( x) và g ( x) là 2 VCB. Khi đó : Nếu lim  1 thì ta nói f ( x ) và g ( x ) là hai VCB x  g ( x) tương đương. Ký hiệu : f ( x)  g ( x) . + Khi f ( x) và g ( x) là tổng của các VCB thì khi so sánh ta lấy bậc thấp nhất của tử số ( f ( x) ) so sánh với bậc thấp nhất của mẫu số ( g ( x) ) so sánh với nhau. Ví dụ : ln(1  x 7  3 x5  6 x 2  2 x) VCB x 7  3 x5  6 x 2  2 x VCB 2x 2 + lim 8 6  lim 8 6  lim  . x 0 ln(1  x  2 x  3 x) x  0 x  2 x  3x x  0 3x 3 3e 2 x  2  cos 2 x 3(e 2 x  1)  1  cos 2 x VCB 3.2 x  2 x 2 VCB 6x + lim 3  lim 3  lim 3  lim 6. x 0 x x x 0 xx x 0 xx x 0 x iii) Các VCB tương đương : 13 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân
  14. Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền * Khi x  0 thì các hàm sau đây là các VCB tương đương : x2 n x sin x, tgx, arcsin x, arctgx  x;ln(1  x)  x; (e x  1)  x;(1  cos x)  ; ( 1  x  1)  . 2 n * Ví dụ : Tính các giới hạn sau : 2 2 sin(e1 x  1) VCB e1 x  1 VCB 1  x2 (1  x)(1  x) + lim  lim  lim  lim  lim[ (1  x)]  2 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 ln(1 + sin 2 x) VCB sin 2 x VCB x2 e1cosx  1 VCB 1  cosx VCB 1 + xlim  lim  lim 1. + lim  lim  lim 22  . 0 x2 x  0 x2 x  0 x2 x0 x 2 x0 x 2 x0 x 2 (x  1) 2 0 x x 1  cos(x  1) VCB 2 x 1 x 1 eln(x )  1 VCB ln(x x ) 0 + lim  lim  lim 0. + lim  lim  lim 1. x1 x  1 x  1 x  1 x  1 2 x  1 x.lnx x1 x.lnx x  1 ln(x x ) x (2 x) 2 x x ln(2 x ) ln(2 )  2 2  cos 2 x 2  1  1  cos 2 x e  1  1  cos 2 x VCB 2  lim x ln 2  2 x + lim  lim  lim  lim x 0 x  x3 x 0 x  x3 x 0 x  x3 x 0 x  x3 x 0 x  x3 VCB x ln 2  lim  ln 2 . x 0 x 0 x2  ln(cosx) 0 ln(1 + (cosx  1)) VCB cosx  1  (1  cosx) VCB 1 + lim 2  lim  2  lim  2  lim  2  lim 22   . x0 x x  0 x x  0 x x  0 x x  0 x 2 x ln3 x 1 1 1 1 VCB   x + lim x 0  3x  x   limx x 0 1  3x  1  x   lim x 0 1  eln(3 )  1  x x  x  x  lim 1  x ln 3  x  x 0  x ln 3 x    e1 ln 3  3e . 1 1 1 1 VCB  x 2  x2 + xlim 0  2 1 + e x  cosx  ln(1 + x 2 )  2  lim 1 + (e x  1) + (1  cosx) x0  ln(1 + x 2 )  lim  1 + x 2 + x0  2    3 2   2 1 3  3  3x 2  lim 1 + x    e 2 .  2 x0 2      0 x2 (2x) 2 + 1 + x.sinx  cos2x ( 1 + x.sinx  1)  (1  cos2x) VCB 0 2 2 VCB + xlim 2  lim 2  lim x  0 x 2  sin 2 (x 2 )  0 x 2  sin 2 (e x  1) x  0 x 2  sin 2 (e x  1) 5x 2 5x 2 VCB VCB 5  lim 2 2 2 2  lim 22  . x  0 x  (x ) x0 x 2 1 1 1 1 VCB  (2x) 2  arcsin(x 2 ) VCB + xlim 0  2 2e x  cos2x  arcsin(e x2  1) x0  2  lim 1  2(e x  1)  (1  cos2x)  arcsin(e x2  1)  lim 1  2x 2  x0  2    1 1 1 4 VCB   1 4   lim 1  4x x0  2 x2   lim  1  4x 2 x0  4x 2  e .   14 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân
  15. Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền ln 2 ln 2  4 2e x2  cos 2 x  x2 ln(1 x2 ) 1  4 2e x2  cos 2 x  x2 ln(1 x2 ) + lim    lim 1   1  x 0  3x 2  1  x 0  3x 2  1      ln 2 ln 2  x 2  ln(1 x 2 ) 1  2(e x  1)  1  cos 2 x  1  3x 2   x 2  ln(1 x 2 ) 2e x  cos 2 x  1  3 x 2  2 2 4 4  lim 1    lim 1    x 0  3x 2  1  x 0  3x 2  1      ln 2  2 (2 x)2  x2  x2  2 x 2 ln 2   2 x   2  .   2  3x 2   2 3 x  2 1   3 x 2 1 2 x2  VCB 4  2 x  2 x  1 1  lim 1  2   lim   1  2    e ln 2  eln(2 )  21  . x 0  3x  1  x  0 3x  1  2         2  2 x ln 2   ln 2 (Vì lim  2 x 0 3 x  1 2 x . 2   lim 2   ln 2 )   x 0 3 x  1 Chú ý : không phải lúc nào ta cũng áp dụng vô cùng bé được. Trong trường hợp ta gặp bài toán mà giới hạn ở dạng hiệu của hai hàm vô cùng bé tương đương “gần” nhau thì không áp dụng vô cùng bé được vì nó sẽ bị triệt tiêu, ta phải sử dụng phương pháp khác (phương pháp qui tắc L’Hospital sẽ được đề cập đến ở chương 2). Ví dụ : 2 ex  1  x 2 e4x  cosx  4x x  arctgx x 2  sin 2 x + xlim . + xlim . + xlim . + lim . 0 x.sin 2 2x 0 x2 0 x2 x0 x.tgx f) Vô cùng lớn (VCL) : i) Định nghĩa : Nếu khi x   mà f ( x)   thì f ( x) được gọi là VCL. ii) So sánh : f ( x) + Cho f ( x) và g ( x) là 2 VCL. Khi đó : Nếu lim  1 thì ta nói f ( x ) và g ( x ) là hai VCL x  g ( x) tương đương. Ký hiệu : f ( x)  g ( x) . + Khi f ( x) và g ( x) là tổng của các VCL thì khi so sánh ta lấy bậc cao nhất của tử số ( f ( x) ) so sánh với bậc cao nhất của mẫu số ( g ( x) ) so sánh với nhau. Ví dụ : x 2012  30 x1973  4 x1993 x 2012 1 + lim x  x 2016  2 x1956  10 x1975  lim 2016  lim 4  0 . x  x x  x x2  9 x2 + lim x  x 2  3  lim x  x 2  1. 1 1 Chú ý : Nếu f ( x) là VCB thì là VCL. Ngược lại, Nếu f ( x) là VCL thì là VCB. f ( x) f ( x) g) Sự liên tục của hàm số : i) Khái niệm : 15 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân
  16. Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền + Hàm số f ( x) được gọi là liên tục tại x  a nếu lim f ( x)  lim f ( x)  f (a ) . x a xa + Hàm số f ( x) được gọi là liên tục bên trái của a nếu lim f ( x)  f (a) . xa + Hàm số f ( x) được gọi là liên tục bên phải của a nếu lim f ( x)  f (a ) . xa + Nếu hàm số y  f ( x) liên tục tại x  a và z  g ( y ) liên tục tại y  f (a ) thì z  g[ f ( x )] cũng liên tục tại x  a . + Hàm sơ cấp là những hàm được xây dựng từ những hàm cơ bản (hàm đa thức, mũ, loga, lũy thừa, …) bởi các phép toán +,  , *, :,  . Đối với hàm sơ cấp thì nó liên tục trên miền xác định của nó. ii) Ví dụ : 2 * Hàm số y  f ( x)  2e x  cos 2 x  sin 2 x là hàm sơ cấp. 2 sin 2 x  ln(2e 2 x  cos 2 x) * Hàm số y  f ( x)  là hàm sơ cấp. x2  1 2  ln(3e x  1  cos 2 x) * Hàm số y  f ( x)   x2  x4 , khi x  0 không là hàm sơ cấp.  x  5cos 2 x , khi x  0  Trong phần này ta sẽ xem xét sự liên tục của các hàm số không sơ cấp. * Xét sự liên tục của các hàm số sau :  sin 2 (2x) , khi x  0 + f(x) =  x .  a , khi x = 0  - Với x  0 thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó. - Xét tại x = 0. sin 2 (2x) VCB (2x) 2 Ta có : xlim  lim  lim (4x) = 0 . 0 x x0 x x0 f(0) = a - Vậy : Nếu a = 0 thì hàm số f(x) liên tục tại x = 0, suy ra hàm số f(x) liên tục trên R. Nếu a  0 thì hàm không liên tục tại x = 0. 2  e1 x  1 + f(x) =  x  1 , khi x > 1 . a + sin(x  1), khi x  1  - Với x > 1, x < 1 thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó. - Xét tại x = 1. Ta có : lim (a + sin(x  1)) = a = f(1) . x  1 2 e1 x  1 VCB 1 x2 (1  x)(x + 1) lim  lim  lim  lim ( (x  1))  2 . x1 x 1 x  1 x 1 x1 x 1 x1 - Nếu a =  2 thì hàm số liên tục tại x = 1, suy ra hàm số liên tục trên R. - Nếu a   2 thì hàm số không liên tục tại x = 1. 16 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân
  17. Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền  ln(cosx)  , khi x  0 x2  2  cos2x  e x + f(x) =  2 , khi x < 0 .  x + 5x.tgx    a , khi x = 0 - Với x > 0, x < 0 thì hàm số là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó. - Xét tại x = 0. Ta có : (2x)2 2 2 2   x2 cos2x  e x cos2x  1  e x  1 (1  cos2x)  (e x  1) VCB 2 lim  lim  lim  lim  x0 x 2 + 5x.tgx x  0 x 2 + 5x.tgx x  0 x 2 + 5x.tgx x0 x 2 + 5x 2 3x 2 1  lim 2  . x  0 6x 2 x2  ln(cosx) ln(1 + cosx  1) VCB cosx  1 VCB 2 1. lim 2  lim 2  lim 2  lim 2 x0 x x0 x x0 x x0 x 2 f(0) = a. 1 - Nếu a =  thì hàm số liên tục tại x = 0, suy ra hàm số liên tục trên R. 2 1 - Nếu a   thì hàm số không liên tục tại x = 0. 2 * Xác định a để hàm số sau liên tục trên R. 2  ln(5  a )  x2  2 x 2  5ln(1 2 x 2 )  3e  2 cos 2 x + f ( x)   x2  1  , khi x  0 .     3 , khi x  0 - Với x  0 thì hàm số f ( x) là sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó. Do đó, để hàm số f ( x) liên tục trên R thì lim x 0 f ( x )  f (0)  3 . Ta có : ln(5  a 2 ) ln(5  a 2 ) x2  3e  2 cos 2 x  2 x 2  5ln(1 2 x 2 ) x2  3(e  1)  2(1  cos 2 x )  x 2  2 x 2  5ln(1 2 x 2 ) lim f ( x)  lim    lim 1   x 0 x 0  x 2  1 x0  x2  1     ln(5  a 2 ) ln(5  a 2 ) 2 2 x 2 10 x 2  2 (2 x)   x 2 1  2( x 2 1)  1  3x  2  x2  1 ln (5  a 2 ) 2  1 VCB 2  6x2  6 x2  ln(5  a 2 )    lim 1  x 0 2 x 1   lim 1  2 x 0 x 1   e 2 e   5  a2  2  5  a2          Vậy, nếu 5  a 2  3  5  a 2  9  a  2 thì hàm số f ( x) liên tục trên R . 17 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân
  18. Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 1  x2  2   2  x 2 ln(1 + x ) , khi x  0 + f(x) =  .  a , khi x = 0  - Với x  0 thì hàm số f ( x) là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó. Do đó, để hàm số f ( x) liên tục trên R thì lim x0 f ( x)  f (0)  a . 1 1 1 1 VCB   2     2 x2 2 ln(1 + x 2 ) x2 2 ln(1 + x 2 ) ln(2 x ) 2 ln(1 + x ) Ta có : lim 2 + x  lim 1 + 2  1 + x  lim 1 + e 1 + x  x0 x0 x0 1 1 1 (ln2 + 1) VCB     lim 1 + x .ln2 + x x0 2  2 x2   lim 1 + x (ln2 +1) x0 2  x2 x0   lim  1 + x 2 (ln2 +1)  2 x (ln 2  1)   e(ln2 + 1)  2e .   - Vậy với a = 2e thì hàm số liên tục trên R. 2  e x  cosx + f(x) =  x 2 , khi x  0 .  a , khi x = 0  - Với x  0 thì hàm số f ( x) là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên miền xác định của nó. Do đó, để hàm số f ( x) liên tục trên R thì lim x0 f ( x)  f (0)  a . x2 3x 2 2 2 x2  e x  cosx e x  1  1  cosx VCB 2  lim 2  3 . Ta có : lim  lim  lim x0 x2 x0 x2 x0 x 2 x  0 x2 2 3 - Vậy với a = thì hàm số liên tục trên R. 2 1 + f ( x)  lim . n  1  x n  1 , khi x  1 1  1  Ta có : f ( x)  nlim  1  x n   , khi x  1 .  2  0 , khi x  1 1 1 1 2, khi n  2k Với x  1 thì giới hạn lim n không tồn tại vì nlim n  , k  1, 2, 3... . n  1 x  1  x   , khi n  2k  1 1 1 Hàm số f ( x)  lim không liên tục. Vì lim f ( x)  1   f (1)  0  lim f ( x) . n  1  x n x 1 2 x 1 2 nx xx e + f ( x)  nlim  1  e nx .  x, khi x  0 x  x 2 e nx  Ta có : f ( x)  lim   0, khi x  0 . n  1  e nx  x 2 , khi x  0  x  x 2e nx Hàm số f ( x)  nlim nx liên tục. Vì lim x  lim x 2  f (0)  0 .  1 e x0 x0 18 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân
  19. Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền II. Bài tập áp dụng : 1) Chứng minh rằng : a) f : (0, )  R, x  y  f ( x)  ln( x  1) là đơn ánh. b) f : R  [4, ), x  y  f ( x)  x 2  4 x là toàn ánh. 4x  3 c) f : R \ {2}  R \{2}, x  y  f ( x)  là song ánh. 2x  4 2) Tìm miền xác định và miền giá trị của các hàm số sau : 1 a) y  x 2  4 x  8 . . c) y  4  x 2 . b) y  2 d) y  3x 2  2 . x 4 Đs : a) D  R, G  [4, ) , b) D  R, G  (0,1] , c) D  [2, 2], G  [0, 2] , d) D  R, G  (2, ) . 3) Tìm hàm ngược (có chỉ ra miền xác định và miền giá trị) của các hàm số sau : x 1 2x  5 2x a) y  4  x 2 , 0  x  2 . b) y  . . c) y  d) y  . e) y  e 2 x  3 . x 1 x2 x 1 x 1 5  2x x ln( x  3) Đs : a) y  4  x 2 . b) y  c) y  . . d) y  . e) y  . 1 x x2 2 x 2 2x 2x 4) Cho f ( x)  2 . Tìm f  f ( x) . Đs : f  f ( x)  . x 2 6x2  4 1 x2 1 5) Tìm f ( x) , với f  x    4 . Đs : f ( x)  2 .  x  x 1 x 2 6) Tính các giới hạn sau : 1  3  5    (2n  1) a) nlim  n  n  1  n  .    b) lim n   3 n3  3n 2  n 2  2n .  c) lim n  2n 2  3n  4 . e1  e 2  e3    e  n 12  32  52    (2n  1)2 2  4  6    2n d) nlim . e) nlim . f) lim . 21  2 2  2 3    2  n  n3 n  n2  2 1 3 5 2n  1 13  33  53    (2n  1)3 13  23  33    n3 g) lim       n  . h) nlim . i) nlim . n  2  4 8 2   n 4  16  4n 4  3n  4  5 13 35 2n  3n   3 7 11 4n  1  j) n lim      . k) lim   2 2  2 2  .  6 36 216 6n  n  12.52  5 .9 9 .13 (4n  3) 2 (4n  1)2   ln 2 2 2  1  tan 2 x  sin3 2 x e1 x  cos(x  1) ln(2e x  cosx) l) lim  x 0 1  sin 2 x  . m) lim . n) lim 2 .   x1 x 1 x  0 x  x.arcsinx ln 2 2 x2 x 2  ln(1 3 x 2 ) 4  3e  cos 2 x  3e x  2 cos x  cos 2 x    1  o) lim  x 0   . p) lim . q) lim  ( x  2) sin   .  x 2  2  x 0 x 2  ln(1  x 4 ) x2   x2  1 ln(3  2 cos 2 x) ln(2  x 2 ) r) xlim 0  2 e x  sin 2 x  ln(1 + x 2 ) . t) lim x0 x2  x4 . u) lim x 1 x2  1 . ln 2 1 1 v) lim x 0  3e  2 cos 2 x  2x 2 x  4 x3 . w) lim x 0  3  2 cos x  sin 2 ( e x 1) . x) lim x 0  x2 e  sin 2 x 2  x 2  ln(1 4 x 2 ) . Đs : a) 1 2 ; b) 3 2 ; c) 1 2 ; d) 1 (e  1) ; e) 4 3 ; f) 1; g) HD : nlim   xn  xn 2   3 2 ; h) 2 ; i) 1 16 ; 19 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân
  20. Bài giảng tóm tắt giải tích B(3đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền j) 3 2 ; k) 1 8 ; l) 2 ; m) 2 ; n) 5 4 ; o) 2 ; p) 3 ; q) 0; r) e2 ; t) 4 ; u) 1 ; v) 8 ; w) e ; x) e ; 7) Xét sự liên tục của các hàm số sau : 2  e x  cos(ax)  sin 2 (x + 1) , khi x  1 a) f(x) =  x2 , khi x  0 . b) f(x) =  x + 1 .  2 , khi x = 0  a , khi x =  1    x 1  x+3 , khi x   2   c) f(x) =  e  x  x , khi x  0 .  d) f(x) = 1  cos[a(x + 2)] , khi x >  2 .  a , khi x = 0   x + 2 2  2 2  e x 1  1  ln(e x  sin 2 x)  , khi x  0 e) f(x) =  x + 1 , khi x  1 . f) f(x) =  x 2 + x.tgx .  a , khi x =  1  a , khi x = 0    sin 2 [3(x  1)]  x 2  5x + 6  , khi x  1 , khi x  3 g) f(x) =   x  12 . h) f(x) =  x  3 .   a , khi x = 3  a , khi x = 1  2  sin 2 (eax  1)  ln(2e x  cos 2 x)  ln[5  4 cos(ax)]  , khi x  0 i) f ( x)   x2  x6 , khi x  0 . j) f ( x)   x 2  ln(1  3x 2 ) .  6a  4 , khi x  0  3a  4 , khi x  0   2  ln(1 a )  4 x 2  2e  cos 2 x  sin 2 x 2  x 2  ln(1 x 2 )  ln[3e ax  2 cos(2 x)]  , khi x  0 . l) f ( x)   , khi x  0 k) f ( x)   3x 2  1    x  2 x3 .    2 a 2 , khi x  0   3a  1 , khi x  0 ln 2  x 2  ln(1 4 x 2 )  x2  2e  cos 2 x   sin 2 x  tan 2 x   , khi x  0 m) f ( x)   5x 2  1  , khi x  0 . n) f ( x)   x3 .    a , khi x  0  3a  1 , khi x  0 ln(2  a 2 )  x2 1   x2   x2 o) f ( x)   3e  2 cos 2 x  3 x 2  ln(1 4 x 2 ) , khi x  0 . p) f ( x)   e e , khi x  1 .  3a , khi x  0  x 1   a , khi x  1 ĐS : a) a =  2 ; b) a = 0 ; c) a = e2 ; d) a =  2 ; e) a =  2 ; f) a = 1 ; g) a = 9 ; h) a = 1 ;i) a  2  a  4 ; j) a  2  a  4 ; k) a  1  a  2 ; l) a  1  a  2 ; m) a  1 ; n) a  4 ; o) a  1  a  2 ; p) a  0 ; 8) Xác định a để các hàm số sau liên tục trên R.  sin 2 (3x)  x 1 a) f(x) =  x 2 , khi x  0 .   b) f(x) =  2 + x  x , khi x  0 .  a + 2 , khi x = 0  a , khi x = 0  20 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lưu hành nội bộ cá nhân
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2