Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung nghiên cứu của luận án "Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng" gồm: Một số kết quả về phép tính vi phân suy rộng trong giải tích biến phân; Điều kiện tăng trưởng bậc hai và tính dưới chính quy mêtric mạnh của dưới vi phân; Điều kiện tối ưu bậc hai cho một lớp bài toán quy hoạch nón.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng

BË GIO DÖC V O TO TR×ÍNG I HÅC VINH H ANH TUN MËT SÈ VN TRONG GII TCH BIN PHN BC HAI V ÙNG DÖNG Chuy¶n ng nh: To¡n Gi£i t½ch M¢ sè: 9 46 01 02 TÂM TT LUN N TIN S TON HÅC NGH AN - 2023
Cæng tr¼nh ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc Vinh Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: PGS. TS. Nguy¹n Huy Chi¶u Ph£n bi»n 1: Ph£n bi»n 2: Ph£n bi»n 3: Luªn ¡n ÷ñc b£o v» t¤i Hëi çng ch§m luªn ¡n c§p tr÷íng ¤i håc Vinh v o lóc 8h00 ng y ... th¡ng ... n«m 2023 Câ thº t¼m hiºu luªn ¡n t¤i: 1. Trung t¥m thæng tin th÷ vi»n Nguy¹n Thóc H o - Tr÷íng ¤i håc Vinh 2. Th÷ vi»n Quèc gia Vi»t Nam
1 MÐ U Gi£i t½ch bi¸n ph¥n l mët l¾nh vüc to¡n håc ÷ñc h¼nh th nh v ph¡t triºn do nhu c¦u nghi¶n cùu c¡c b i to¡n tèi ÷u, c¥n b¬ng v i·u khiºn, trong â ph²p t½nh vi ph¥n suy rëng n¬m ð và tr½ trung t¥m. T¶n gåi Gi£i t½ch bi¸n ph¥n cho l¾nh vüc to¡n håc n y ÷ñc · xu§t n«m 1998 bði R. T. Rockafellar v R. J.-B. Wets v sau â ÷ñc ch§p nhªn rëng r¢i. Tuy nhi¶n, c¡c kh¡i ni»m cì b£n, nhúng þ t÷ðng ch½nh v nhi·u k¸t qu£ quan trång cõa gi£i t½ch bi¸n ph¥n ¢ tçn t¤i tø l¥u. Gi£i t½ch bi¸n ph¥n bªc hai l mët bë phªn cõa gi£i t½ch bi¸n ph¥n, nghi¶n cùu c¡c c§u tróc vi ph¥n suy rëng bªc hai v c¡c v§n · li¶n quan. Nhúng c§u tróc n y xu§t hi»n mët c¡ch tü nhi¶n khi kh£o s¡t c¡c h» bi¸n ph¥n ÷ñc mæ t£ thæng qua d÷îi vi ph¥n ho°c nân ph¡p tuy¸n. C§u tróc vi ph¥n suy rëng bªc hai công xu§t hi»n khi nghi¶n cùu c¡c b i to¡n tèi ÷u khæng trìn v tèi ÷u câ r ng buëc. Nhúng n«m g¦n ¥y, gi£i t½ch bi¸n ph¥n bªc hai thu hót ÷ñc sü quan t¥m nghi¶n cùu cõa nhi·u nh to¡n håc v nhi·u k¸t qu£ thó và theo h÷îng n y ¢ ÷ñc thi¸t lªp. Ph²p t½nh vi ph¥n suy rëng câ nhi·u ùng döng trong lþ thuy¸t tèi ÷u v tèi ÷u sè. °c bi»t, nâ gióp mð rëng v hñp nh§t c¡c i·u ki»n cüc trà cho nhi·u lîp b i to¡n tèi ÷u. Ch¯ng h¤n, d÷îi vi ph¥n bªc nh§t ¢ ÷ñc dòng º thi¸t lªp c¡c quy tc Fermat suy rëng. Tø â, nhí h» thèng quy tc t½nh to¡n, ng÷íi ta d¨n ra ÷ñc c¡c quy tc nh¥n tû Lagrange suy rëng. T÷ìng tü nh÷ c¡c c§u tróc vi ph¥n suy rëng bªc nh§t, c¡c c§u tróc vi ph¥n suy rëng bªc hai công câ vai trá quan trång trong vi»c nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n tèi ÷u. i·u ki»n c¦n v i·u ki»n õ cüc trà cho h m ch½nh th÷íng nûa li¶n töc d÷îi biºu di¹n ÷ñc thæng qua t½nh nûa x¡c ành d÷ìng v x¡c ành d÷ìng cõa d÷îi ¤o h m bªc hai. Tªp ti¸p xóc bªc hai ÷ñc dòng º thi¸t lªp i·u ki»n cüc trà cho c¡c b i to¡n tèi ÷u câ r ng buëc. D÷îi vi ph¥n bªc hai Fr²chet ¢ ÷ñc dòng trong c¡c i·u ki»n c¦n cüc trà cho b i to¡n tèi ÷u trìn khæng r ng buëc v câ r ng buëc tuy¸n t½nh. Tø ph÷ìng di»n tèi ÷u sè, c¡c i·u ki»n tèi ÷u âng vai trá thi¸t y¸u trong vi»c thi¸t k¸ v ph¥n t½ch sü hëi tö cõa c¡c thuªt to¡n. M°t kh¡c, khi gi£i c¡c b i to¡n thüc t¸ ng÷íi ta th÷íng c¦n sü hé trñ cõa m¡y t½nh v k¸t qu£ thu ÷ñc l nhúng líi gi£i sè (vîi mët ti¶u chu©n døng n o â, sau húu h¤n b÷îc l°p, m¡y t½nh s³ xu§t ra mët nghi»m, gåi l líi gi£i sè). Do nhi·u nguy¶n nh¥n kh¡c nhau, nhi¹u v sai sè xu§t hi»n trong qu¡ tr¼nh gi£i l khæng thº tr¡nh khäi. i·u n y d¨n ¸n ë tin cªy cõa mët líi gi£i sè phö thuëc r§t lîn v o °c t½nh ên ành cõa b i to¡n. Ch½nh v¼ th¸, ng÷íi ta r§t quan t¥m ¸n c¡c i·u ki»n tèi ÷u £m b£o mët sü ên ành n o â cõa nghi»m. Möc ½ch nghi¶n cùu cõa luªn ¡n l sû döng
2 v ph¡t triºn mët sè cæng cö cõa gi£i t½ch bi¸n ph¥n bªc hai º thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u lo¤i n y. Nh¬m l m rã c¡c v§n · nghi¶n cùu, ti¸p theo chóng tæi s³ nhc l¤i mët sè k¸t qu£ v· i·u ki»n tèi ÷u £m b£o sü ên ành cõa nghi»m v mët sè v§n · li¶n quan ¸n nhúng âng gâp cõa luªn ¡n. N«m 1980, S. M. Robinson ¢ giîi thi»u i·u ki»n õ bªc hai m¤nh cho quy ho¤ch phi tuy¸n v chùng minh r¬ng èi vîi lîp b i to¡n n y n¸u i·u ki»n chu©n hâa r ng buëc ëc lªp tuy¸n t½nh v i·u ki»n õ bªc hai m¤nh ÷ñc thäa m¢n t¤i iºm døng th¼ h» Karush-Kuhn-Tucker l ch½nh quy m¤nh t¤i iºm t÷ìng ùng. N«m 1995, J. F. Bonnans v A. Sulem ch¿ ra r¬ng n¸u iºm døng ÷ñc x²t l mët cüc tiºu àa ph÷ìng th¼ chi·u ng÷ñc l¤i công óng. N«m 1996, A. L. Dontchev v R. T. Rockafellar chùng minh ÷ñc r¬ng: t½nh ch½nh quy m¤nh cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp lçi a di»n l t÷ìng ÷ìng vîi t½nh ch§t Aubin cõa ¡nh x¤ nghi»m cõa b i to¡n tuy¸n t½nh hâa cõa nâ vîi nhi¹u chu©n tc. Nhí â, b¬ng c¡ch sû döng ti¶u chu©n Mordukhovich cho t½nh ch§t Aubin, c¡c t¡c gi£ n y thu ÷ñc °c tr÷ng t½nh ch§t ch½nh quy m¤nh cõa b i to¡n qua i·u ki»n m°t tîi h¤n. Mët sè mð rëng cõa c¡c k¸t qu£ · cªp ð tr¶n ¢ ÷ñc thi¸t lªp cho lîp b i to¡n quy ho¤ch nân bªc hai v lîp b i to¡n quy ho¤ch nûa x¡c ành. N«m 1998, R. A. Poliquin v R. T. Rockafellar giîi thi»u kh¡i ni»m cüc tiºu àa ph÷ìng ên ành xi¶n. Ð â, hai t¡c gi£ n y ¢ thi¸t lªp mët °c tr÷ng cõa iºm cüc tiºu àa ph÷ìng ên ành xi¶n qua t½nh x¡c ành d÷ìng cõa d÷îi vi ph¥n bªc hai qua giîi h¤n cho lîp h m ch½nh quy g¦n k· li¶n töc d÷îi vi ph¥n. èi vîi quy ho¤ch phi tuy¸n thäa m¢n i·u ki»n chu©n hâa r ng buëc ëc lªp tuy¸n t½nh, t½nh ên ành xi¶n cõa cüc tiºu àa ph÷ìng v t½nh ch½nh quy m¤nh cõa h» Karush-Kuhn-Tucker l t÷ìng ÷ìng. Tuy nhi¶n, kh¡c vîi t½nh ch½nh quy m¤nh cõa h» Karush-Kuhn-Tucker, t½nh ên ành xi¶n cõa cüc tiºu àa ph÷ìng khæng k²o theo i·u ki»n chu©n hâa r ng buëc ëc lªp tuy¸n t½nh ÷ñc thäa m¢n. i·u n y gâp ph¦n thóc ©y c¡c nh to¡n håc ti¸p töc nghi¶n cùu t½nh ên ành xi¶n cõa cüc tiºu àa ph÷ìng cho c¡c quy ho¤ch phi tuy¸n vîi nhúng i·u ki»n chu©n hâa y¸u hìn. V¼ quy tc t½nh d÷îi vi ph¥n bªc hai qua giîi h¤n th÷íng y¶u c¦u i·u ki»n chu©n hâa m¤nh n¶n °c tr÷ng ên ành xi¶n cõa Poliquin v Rockafellar khâ ¡p döng cho b i to¡n tèi ÷u ch¿ thäa m¢n i·u ki»n chu©n hâa r ng buëc y¸u. Do â, mët sè c§u tróc vi ph¥n suy rëng kh¡c ¢ ÷ñc xem x²t khi nghi¶n cùu t½nh ên ành xi¶n. °c bi»t, N. H. Chieu, L. V. Hien v T. T. A. Nghia ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng t½nh x¡c ành d÷ìng ·u cõa ¤o h m ç thà d÷îi gradient °c tr÷ng ÷ñc t½nh ên ành xi¶n cõa iºm cüc tiºu àa ph÷ìng n¸u h m ÷ñc x²t l ch½nh quy g¦n k· li¶n töc d÷îi vi ph¥n. M°t kh¡c, vîi mët sè gi£ thi¸t, mët iºm cüc tiºu àa ph÷ìng l ên ành xi¶n n¸u v ch¿ n¸u i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai ·u ÷ñc thäa m¢n. Do â, v· cì b£n, t½nh x¡c ành d÷ìng ·u cõa ¤o h m ç thà d÷îi gradient v i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai ·u l hai t½nh ch§t t÷ìng ÷ìng. Ngo i i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai ·u, i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai công l mët kh¡i ni»m quan trång trong lþ thuy¸t tèi ÷u v tèi ÷u sè. Nâ câ thº ÷ñc sû döng º chùng minh tèc ë hëi tö cõa c¡c thuªt to¡n tèi ÷u công nh÷ ph¥n
3 t½ch nhi¹u cõa c¡c b i to¡n tèi ÷u. èi vîi h m kh£ vi li¶n töc hai l¦n, i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai t÷ìng ÷ìng vîi t½nh x¡c ành d÷ìng cõa ma trªn Hesse cõa h m möc ti¶u t¤i iºm døng. èi vîi h m khæng trìn, °c tr÷ng cõa i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai qua t½nh x¡c ành d÷ìng cõa d÷îi ¤o h m bªc hai công ¢ ÷ñc thi¸t lªp. Do sü t÷ìng ÷ìng giúa t½nh x¡c ành d÷ìng ·u cõa ¤o h m ç thà d÷îi gradient v i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai ·u, c¥u häi ÷ñc °t ra tü nhi¶n l : i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai v t½nh x¡c ành d÷ìng cõa ¤o h m ç thà d÷îi gradient câ quan h» vîi nhau nh÷ th¸ n o? ¥y l v§n · thù nh§t ÷ñc nghi¶n cùu trong luªn ¡n n y. N«m 2014, J. Aragân Artacho v M. H. Geoffroy ¢ chùng minh r¬ng èi vîi c¡c h m lçi ch½nh th÷íng nûa li¶n töc d÷îi, t½nh x¡c ành d÷ìng cõa ¤o h m ç thà d÷îi gradient t¤i iºm døng t÷ìng ÷ìng vîi i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai. èi vîi c¡c h m khæng lçi, A. Eberhard v R. Wenczel ÷a ra i·u ki»n õ º i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai ÷ñc thäa m¢n. i·u ki»n n y y¸u hìn i·u ki»n x¡c ành d÷ìng cõa ¤o h m ç thà d÷îi gradient. Tuy nhi¶n, v½ dö cõa chóng tæi ch¿ ra r¬ng k¸t qu£ n y cõa Eberhard v Wenczel l khæng ch½nh x¡c. èi vîi c¡c h m ch½nh th÷íng nûa li¶n töc d÷îi, chóng tæi chùng minh ÷ñc r¬ng t½nh nûa x¡c ành d÷ìng cõa ¤o h m ç thà d÷îi gradient t¤i mët iºm døng k²o theo iºm døng n y l cüc tiºu àa ph÷ìng v d÷îi vi ph¥n l d÷îi ch½nh quy m¶tric m¤nh. M°t kh¡c, theo D. Drusvyatskiy, B. S. Mordukhovich v T. T. A. Nghia, t½nh d÷îi ch½nh quy m¶tric m¤nh cõa d÷îi vi ph¥n t¤i iºm cüc tiºu àa ph÷ìng l õ º £m b£o i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai óng. Do â, èi vîi c¡c h m ch½nh th÷íng nûa li¶n töc d÷îi, t½nh x¡c ành d÷ìng cõa ¤o h m ç thà d÷îi gradient t¤i iºm døng k²o theo i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai. Tuy nhi¶n, chi·u ng÷ñc l¤i l khæng óng. V§n · thù hai ÷ñc nghi¶n cùu trong luªn ¡n n y l : Vîi nhúng lîp h m n o, i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai k²o theo d÷îi vi ph¥n l d÷îi ch½nh quy m¶tric m¤nh? Mèi li¶n h» giúa i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai v t½nh d÷îi ch½nh quy m¶tric m¤nh cõa d÷îi vi ph¥n ¢ ÷ñc nhi·u nh to¡n håc quan t¥m. N«m 1995, R. Zhang v J. Treiman chùng minh ÷ñc mët sè k¸t qu£ v· i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai cho c¡c h m câ ¡nh x¤ ng÷ñc cõa d÷îi vi ph¥n l Lipschitz tr¶n. N«m 2008, J. Aragân Artacho v M. H. Geoffroy ¢ ph¡t triºn þ t÷ðng cõa Zhang v Treiman b¬ng c¡ch thay t½nh ch§t Lipschitz tr¶n bði mët sè t½nh ch§t ch½nh quy m¶tric cõa d÷îi vi ph¥n, nh÷ng ch¿ tªp trung v o tr÷íng hñp h m lçi. °c bi»t, èi vîi c¡c h m lçi ch½nh th÷íng nûa li¶n töc d÷îi v x²t t¤i iºm cüc tiºu, hå ch¿ ra r¬ng i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai thäa m¢n khi v ch¿ khi d÷îi vi ph¥n l d÷îi ch½nh quy m¶tric m¤nh. èi vîi c¡c h m ch½nh th÷íng nûa li¶n töc d÷îi v x²t t¤i iºm cüc tiºu àa ph÷ìng, n«m 2014, D. Drusvyatskiy, B. S. Mordukhovich, T. T. A. Nghia cho th§y t½nh d÷îi ch½nh quy m¶tric m¤nh cõa d÷îi vi ph¥n k²o theo i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai. N«m 2015, sû döng c¡c k¸t qu£ tø h¼nh håc nûa ¤i sè, D. Drusvyatskiy v A. D. Ioffe chùng minh ÷ñc r¬ng chi·u ng÷ñc l¤i công óng n¸u h m ÷ñc x²t l nûa ¤i sè. Chóng tæi thu ÷ñc k¸t qu£ t÷ìng tü nh÷ k¸t qu£ cõa Drusvyatskiy v Ioffe nh÷ng cho mët sè lîp h m kh¡c, bao gçm lîp h m lçi bi¸n ph¥n v lîp h m ch½nh quy g¦n k·, li¶n töc d÷îi vi ph¥n v kh£ vi tr¶n ç thà hai l¦n. C¡ch ti¸p cªn cõa chóng tæi ð ¥y l düa v o ¤o h m ç
4 thà d÷îi gradient v h» thèng c¡c quy tc t½nh to¡n cõa gi£i t½ch bi¸n ph¥n. Mët sè ph¡t triºn g¦n ¥y theo h÷îng n y câ thº t¼m th§y trong c¡c cæng tr¼nh cõa B. S. Mordukhovich v M. E. Sarabi, ð â c¡c t¡c gi£ nghi¶n cùu mæ h¼nh h m hñp vîi c¡c h m th nh ph¦n thäa m¢n c¡c gi£ thi¸t nh§t ành, £m b£o h m hñp li¶n töc d÷îi vi ph¥n, ch½nh quy g¦n k· v kh£ vi tr¶n ç thà hai l¦n. V§n · thù ba ÷ñc nghi¶n cùu trong luªn ¡n n y l :Kh£o s¡t c¡c i·u ki»n tèi ÷u bªc hai cho b i to¡n quy ho¤ch nân thäa m¢n i·u ki»n chu©n hâa r ng buëc d÷îi ch½nh quy m¶tric? èi vîi quy ho¤ch nân thäa m¢n i·u ki»n chu©n hâa r ng buëc Robinson, c¡c i·u ki»n tèi ÷u bªc hai ¢ ÷ñc thi¸t lªp n«m 1999 bði J. F. Bonnans, R. Cominetti v A. Shapiro. C¡c k¸t qu£ theo h÷îng n y ¢ ÷ñc J. F. Bonnans v A. Shapiro têng hñp v tr¼nh b y trong cuèn s¡ch Perturbation Analysis of Optimization Problems. i·u ki»n chu©n hâa r ng buëc d÷îi ch½nh quy m¶tric y¸u hìn i·u ki»n chu©n hâa r ng buëc Robinson. Chóng tæi thu ÷ñc c¡c i·u ki»n c¦n tèi ÷u bªc hai cho mët lîp b i to¡n quy ho¤ch nân thäa m¢n i·u ki»n chu©n hâa r ng buëc d÷îi ch½nh quy m¶tric. °c bi»t, t½nh nûa x¡c ành d÷ìng cõa ¤o h m ç thà d÷îi gradient cõa têng h m möc ti¶u v h m ch¿ cõa tªp r ng buëc l i·u ki»n c¦n tèi ÷u cho c¡c b i to¡n quy ho¤ch nân ÷ñc xem x²t. Nâ ÷ñc chùng minh l t÷ìng ÷ìng vîi i·u ki»n c¦n bªc hai cõa Bonnans, Cominetti v Shapiro. Tø k¸t qu£ n y, k¸t hñp vîi i·u ki»n õ bªc hai cho cüc tiºu àa ph÷ìng m¤nh, chóng tæi thu ÷ñc mët sè °c tr÷ng cõa i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai. i·u ki»n chu©n hâa r ng buëc d÷îi ch½nh quy m¶tric khæng nhúng câ vai trá quan trång trong vi»c thi¸t lªp i·u ki»n c¦n bªc hai m cán l i·u ki»n khæng thº thi¸u º £m b£o d÷îi vi ph¥n cõa têng h m möc ti¶u v h m ch¿ cõa tªp r ng buëc l d÷îi ch½nh quy m¶tric m¤nh t¤i iºm cüc tiºu àa ph÷ìng m¤nh. i·u ki»n chu©n hâa r ng buëc n y công cho ph²p chóng tæi thi¸t lªp ÷ñc mèi li¶n h» giúa mët sè i·u ki»n tèi ÷u bªc hai ¢ câ v c¡c i·u ki»n tèi ÷u mîi düa v o ¤o h m ç thà d÷îi gradient. G¦n ¥y, b¬ng mët c¡ch ti¸p cªn kh¡c, Mordukhovich, Sarabi v Mohammadi ¢ ch¿ ra r¬ng èi vîi c¡c b i to¡n quy ho¤ch nân ÷ñc xem x²t ð â, têng cõa h m möc ti¶u v h m ch¿ cõa mi·n r ng buëc l li¶n töc d÷îi vi ph¥n, ch½nh quy g¦n k· v kh£ vi tr¶n ç thà hai l¦n. Do â, mët sè k¸t qu£ cõa chóng tæi v· quy ho¤ch nân câ thº chùng minh b¬ng c¡ch ¡p döng trüc ti¸p k¸t qu£ cõa chóng tæi ð ph¦n tr÷îc v k¸t qu£ · cªp ð tr¶n cõa Mordukhovich, Sarabi v Mohammadi. Nëi dung luªn ¡n ÷ñc tr¼nh b y trong ba ch÷ìng. Trong ch÷ìng 1, chóng tæi tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· ph²p t½nh vi ph¥n suy rëng trong gi£i t½ch bi¸n ph¥n. Möc 1.1 ÷ñc d nh º tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cì b£n trong gi£i t½ch bi¸n ph¥n l m cì sð cho vi»c giîi thi»u c¡c k¸t qu£ ch½nh cõa luªn ¡n. Möc 1.2 ÷ñc d nh º tr¼nh b y c¡c v§n · cõa h m kh£ vi hai l¦n theo ngh¾a mð rëng v thi¸t lªp mët sè quy tc t½nh to¡n. Trong ch÷ìng 2, chóng tæi tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ v· i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai v t½nh d÷îi ch½nh quy m¶tric m¤nh cõa d÷îi vi ph¥n. Möc 2.1 ÷ñc d nh º tr¼nh b y i·u ki»n tèi ÷u cõa h m ch½nh th÷íng, nûa li¶n töc d÷îi düa v o ¤o h m ç thà d÷îi gradient. C¡c k¸t qu£ v· mèi quan h» t÷ìng ÷ìng giúa i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai v t½nh d÷îi ch½nh quy m¶tric m¤nh cõa d÷îi vi ph¥n cõa mët sè lîp h m khæng ch½nh quy g¦n k· ÷ñc tr¼nh b y trong möc 2.2.
5 Trong Ch÷ìng 3, chóng tæi tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ v· i·u ki»n tèi ÷u bªc hai cho lîp b i to¡n quy ho¤ch nân. Möc 3.1 ÷ñc d nh cho c¡c k¸t qu£ v· i·u ki»n c¦n tèi ÷u bªc hai. Möc 3.2 ÷ñc d nh º tr¼nh b y c¡c °c tr÷ng cõa sü t«ng tr÷ðng bªc hai trong tr÷íng hñp b i to¡n quy ho¤ch nân.
6 CH×ÌNG 1 MËT SÈ KT QU V PHP TNH VI PHN SUY RËNG TRONG GII TCH BIN PHN Ch÷ìng n y ÷ñc chóng tæi d nh º thi¸t lªp mët sè quy tc t½nh to¡n vi ph¥n suy rëng bªc hai. 1.1 C¡c kh¡i ni»m v t½nh ch§t bê trñ Trong ph¦n n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v c¡c k¸t qu£ ¢ bi¸t trong gi£i t½ch bi¸n ph¥n º sû döng trong c¡c ph¦n ti¸p theo. 1.1.1 ành ngh¾a. Quy tc F °t méi x ∈ Rn t÷ìng ùng mët v ch¿ mët tªp F (x) ⊂ Rm ÷ñc gåi l ¡nh x¤ a trà tø khæng gian Rn v o khæng gian Rm, ÷ñc k½ hi»u l F : Rn Rm . N¸u vîi måi x ∈ Rn , tªp hñp F (x) ch¿ câ óng mët m n ph¦n tû trong R th¼ ta nâi F l mët ¡nh x¤ ìn trà tø khæng gian R v o khæng m n m gian R v k½ hi»u F : R → R . 1.1.4 ành ngh¾a. Cho Ω l tªp con kh¡c réng cõa Rn . (i) Nân ti¸p tuy¸n cõa Ω t¤i x ∈ Ω ÷ñc k½ hi»u v x¡c ành bði ¯ TΩ (¯) := v ∈ Rn | ∃ tk ↓ 0, vk → v x sao cho x + tk vk ∈ Ω, ∀k ∈ N . ¯ (ii) Nân ph¡p tuy¸n ch½nh quy cõa Ω t¤i x ∈ Ω ÷ñc ành ngh¾a bði ¯ v, x − x ¯ NΩ (¯) := v ∈ Rn | lim sup x ≤0 . x→¯ x Ω x−x ¯ (iii) Nân ph¡p tuy¸n qua giîi h¤n cõa Ω t¤i x ∈ Ω ÷ñc x¡c ành bði ¯ Ω NΩ (¯) := v ∈ Rn | ∃x → x x ¯ v vk ∈ NΩ (xk ) sao cho vk → v . N¸u x∈Ω ¯ th¼ ta quy ÷îc NΩ (¯) = NΩ (¯) := ∅. x x (iv) Tªp ti¸p xóc bªc hai (second-order tangent set) cõa Ω t¤i x èi vîi w ∈ TΩ (¯) ¯ x ÷ñc k½ hi»u v x¡c ành bði TΩ (¯, w) := u ∈ Rn | ∃tk ↓ 0, uk → u 2 x sao cho x + tk w + 1 t2 uk ∈ Ω, ∀k ∈ N . ¯ 2 k TªpΩ ÷ñc gåi l kh£ ¤o h m parabol (parabolically x èi vîi ¯ derivable) t¤i w ∈ Rn n¸u TΩ (¯, w) = ∅ v vîi méi u ∈ TΩ (¯, w) 2 x 2 x tçn t¤i ε > 0 v cung
7 ξ : [0, ε] → Ω sao cho ξ(0) = x, ξ+ (0) = w ¯ v ξ+ (0) = u, trong â ξ(t) − ξ(0) ξ(t) − ξ(0) − tξ+ (0) ξ+ (0) := lim v ξ+ (0) := lim 1 2 . t↓0 t t↓0 2 t 1.1.7 ành ngh¾a. Cho ¡nh x¤ a trà F : Rn Rm câ domF = ∅. ¤o h m ç thà cõa F t¤i x ∈ domF ¯ èi vîi y ∈ F (¯) l ¡nh x¤ a trà DF (¯|¯) : Rn ¯ x xy Rm ÷ñc x¡c ành bði DF (¯|¯)(w) := v ∈ Rm (w, v) ∈ TgphF (¯, y ) , ∀w ∈ Rn , xy x ¯ ngh¾a l gphDF (¯|¯) = TgphF (¯, y ). xy x ¯ Chó þ r¬ng, n¸u ¡nh x¤ ìn trà F : Rn → Rm kh£ vi t¤i x ¯ th¼ DF (¯)(w) = x F (¯)(w) , ∀w ∈ Rn . x 1.1.9 ành ngh¾a. nh x¤ a trà F : Rn Rm ÷ñc gåi l d÷îi ch½nh quy m¶tric t¤i (¯, y ) ∈ gphF x ¯ n¸u tçn t¤i κ, r > 0 sao cho d x; F −1 (¯) ≤ κd y ; F (x) , ∀x ∈ Br (¯). y ¯ x (1.1) K½ hi»u subreg F (¯|¯) := inf κ ∈ R+ xy ∃r>0 sao cho (1.1) óng . 1.1.10 ành ngh¾a. nh x¤ a trà F : Rn Rm ÷ñc gåi l d÷îi ch½nh quy m¶tric m¤nh t¤i x ∈ domF ¯ èi vîi y ∈ F (¯) ¯ x n¸u tçn t¤i h¬ng sè κ > 0, l¥n cªn U cõa x ¯ v l¥n cªn V cõa y sao ¯ cho x − x ≤ κd y ; F (x) ∩ V , ∀x ∈ U. ¯ ¯ 1.1.11 ành ngh¾a. Gi£ sû ϕ : Rn → R v x ∈ Rn câ y := ϕ(¯) ¯ ¯ x húu h¤n. (i) D÷îi vi ph¥n ch½nh quy cõa ϕ t¤i x ÷ñc ành ngh¾a bði ¯ ∂ϕ(¯) := x∗ ∈ Rn | (x∗ , −1) ∈ Nepiϕ (¯, y ) , x x ¯ trong â epiϕ := (x, α) ∈ Rn × R | α ≥ ϕ(x) l tªp tr¶n ç thà cõa ϕ. (ii) D÷îi vi ph¥n qua giîi h¤n cõa ϕ t¤i x ÷ñc ành ngh¾a bði ¯ ∂ϕ(¯) := x∗ ∈ Rn | (x∗ , −1) ∈ Nepiϕ (¯, y ) . x x ¯ (iii) D÷îi vi ph¥n g¦n k· (proximal subdifferential) cõa ϕ t¤i x ÷ñc ành ngh¾a ¯ bði ϕ(x) − ϕ(¯) − v, x − x x ¯ ∂p ϕ(¯) := v ∈ Rn | lim inf x > −∞ . (1.2) x→¯ x x−x 2 ¯
8 N¸u |ϕ(¯)| = ∞ x th¼ ta quy ÷îc ∂p ϕ(¯) = ∂ϕ(¯) = ∂ϕ(¯) := ∅. x x x ϕ : Rn → R húu h¤n t¤i x v v ∈ ∂ϕ(¯). Khi â, ¤o h m ç thà cõa Cho h m ¯ ¯ x ¡nh x¤ d÷îi vi ph¥n ∂ϕ t¤i x èi vîi v ÷ñc gåi l ¤o h m ç thà d÷îi gradient ¯ ¯ cõa h m ϕ t¤i x èi vîi v , ÷ñc k½ hi»u l D(∂ϕ) x|¯ . ¯ ¯ ¯v 1.1.15 ành ngh¾a. n Cho f : R → R v x ∈ dom f. Gi£ sû w ∈ R sao cho ¯ n df (¯)(w) ∈ R. x (i) D÷îi ¤o h m bªc hai (second subderivative) cõa f t¤i x èi vîi v v w ÷ñc ¯ cho bði d2 f (¯|v)(w) = lim inf ∆2 f (¯|v)(w ), x τ x (1.3) τ ↓ 0 w −→w trong â f (¯ + τ w ) − f (¯) − τ v, w x x ∆2 f (¯|v)(w ) := τ x 1 2 . 2 τ (ii) D÷îi ¤o h m parabol (parabolic subderivative) cõa f t¤i x èi vîi w v èi ¯ vîi z l 2 f (¯ + tw + 1 t2 z ) − f (¯) − tdf (¯)(w) x 2 x x d f (¯)(w|z) := lim inf x 1 2 . t ↓ 0 2 t z −→z (iii) H m sè f ÷ñc gåi l kh£ vi tr¶n ç thà hai l¦n (twice epi-differentiable) t¤i x èi vîi v n¸u vîi méi w ∈ Rn v τk ↓ 0 ÷ñc chån, ·u tçn t¤i wk → w sao cho ¯ ¯ ∆2k f (¯|v)(wk ) → d2 f (¯|¯)(w). τ x xv (iv) H m sè f ÷ñc gåi l kh£ vi tr¶n ç thà parabol (parabolically epi-differentiable) t¤i x èi vîi w n¸u c¡c i·u ki»n sau thäa m¢n: ¯ 2 dom d f (¯)(w|·) = {z ∈ Rn | d2 f (¯)(w|z) < ∞} = ∅, x x vîi méi z ∈ Rn v tk ↓ 0 tçn t¤i zk → z sao cho 1 2 f (¯ + tk w + 2 t2 zk ) − f (¯) − tk df (¯)(w) x k x x d f (¯)(w|z) = lim x 1 2 . (1.4) k→∞ 2 tk 1.1.16 ành ngh¾a. f : Rn → R ÷ñc gåi l ch½nh quy parabol (parabolically n H m 2 regular) t¤i x èi vîi v ∈ R n¸u f (¯) ∈ R v vîi måi w câ d f (¯|¯)(w) < ∞ ¯ ¯ x xv tçn t¤i tk ↓ 0 v wk → w sao cho wk − w lim ∆2k f (¯|¯)(wk ) = d2 f (¯|¯)(w) t xv xv v lim sup < ∞. (1.5) k→∞ k→∞ tk Tªp ∅ = Ω ⊂ Rn ÷ñc gåi l ch½nh quy parabol t¤i x èi vîi v n¸u h m ch¿ δΩ ¯ ¯ ch½nh quy parabol t¤i x ¯ èi vîi v. ¯
9 1.2 H m kh£ vi hai l¦n theo ngh¾a mð rëng Trong ph¦n n y, chóng tæi nghi¶n cùu mët sè t½nh ch§t cõa h m kh£ vi hai l¦n theo ngh¾a mð rëng v thi¸t lªp ÷ñc mët sè quy tc t½nh to¡n vi ph¥n suy rëng bªc hai. 1.2.1 ành ngh¾a. Cho h m f : Rn → R húu h¤n t¤i x. ¯ H m f ÷ñc gåi l kh£ vi hai l¦n t¤i x theo ngh¾a mð rëng (twice differentiable at x in the extended ¯ ¯ sense) n¸uf kh£ vi t¤i x v tçn t¤i ma trªn A cï n × n, l¥n cªn U cõa x v tªp ¯ ¯ con D cõa U vîi µ(U \D) = 0 sao cho h m f li¶n töc Lipschitz tr¶n U, kh£ vi tr¶n D v f (x) − f (¯) − A(x − x) x ¯ lim = 0, x→¯ D x x−x ¯ trong âµ k½ hi»u ë o Lebesgue tr¶n Rn . Ma trªn A l duy nh§t v ÷ñc gåi l 2 (ma trªn) Hesse cõa f t¤i x theo ngh¾a mð rëng v công ÷ñc k½ hi»u bði ¯ f (¯). x Mët c¡ch tü nhi¶n, ta nâi r¬ng ¡nh x¤ F : Rn → Rm , x → F1 (x), F2 (x), ..., Fm (x) l kh£ vi hai l¦n t¤i x theo ngh¾a mð rëng n¸u Fk kh£ vi hai l¦n t¤i x theo ngh¾a ¯ ¯ mð rëng vîi måi k = 1, 2, ..., m. ành lþ d÷îi ¥y chóng tæi thi¸t lªp ÷ñc mët sè t½nh ch§t cõa h m kh£ vi hai l¦n theo ngh¾a mð rëng. 1.2.4 ành lþ. Cho c¡c h m sè f, g : Rn → R, x ∈ Rn v h¬ng sè α. Gi£ sû c¡c ¯ h m sè f, g kh£ vi hai l¦n t¤i x theo ngh¾a mð rëng. Khi â, ¯ (i) H m f + g kh£ vi hai l¦n t¤i x theo ngh¾a mð rëng, vîi ma trªn Hesse mð ¯ rëng ÷ñc cho bði 2 2 2 (f + g)(¯) = x (f )(¯) + x (g)(¯). x (ii)H m αf kh£ vi hai l¦n t¤i x theo ngh¾a mð rëng, vîi ma trªn Hesse mð rëng ¯ ÷ñc cho bði 2 2 (αf )(¯) = α (f )(¯). x x (iii) H m f.g kh£ vi hai l¦n t¤i x theo ngh¾a mð rëng, vîi ma trªn Hesse mð rëng ¯ ÷ñc cho bði 2 2 T (f.g)(¯) = g(¯) x x f (¯) + x f (¯) . g(¯) x x T 2 + g(¯) . f (¯) + f (¯) x x x g(¯). x (iv)N¸u g(¯) = 0 th¼ h m f kh£ vi hai l¦n t¤i x theo ngh¾a mð rëng, vîi ma trªn x g ¯ Hesse mð rëng ÷ñc cho bði T T 2 f 2 f (¯) x f (¯) . g(¯) x x g(¯) . f (¯) x x ( g )(¯) x = g(¯) x − [g(¯)]2 x − [g(¯)]2 x T 2 g(¯) x g(¯)−2 g(¯) x x g(¯) x −f (¯). x [g(¯)]3 x .
10 Chóng tæi thu ÷ñc c¡c quy tc têng d¤ng ¯ng thùc èi vîi ¤o h m ç thà d÷îi gradient, d÷îi ¤o h m bªc hai v d÷îi ¤o h m parabol. 1.2.7 ành lþ. Cho h m ϕ : Rn → R kh£ vi hai l¦n t¤i x theo ngh¾a mð rëng ¯ v h m ψ n : R → R ch½nh th÷íng nûa li¶n töc d÷îi àa ph÷ìng t¤i x. Gi£ sû ¯ v ∈ ∂(ϕ + ψ)(¯). Khi ¯ x â, ta câ 2 D∂(ϕ + ψ)(¯|¯)(w) = xv ϕ(¯)(w) + D∂ψ x|¯ − x ¯v ϕ(¯) (w), x (1.6) d2 (ϕ + ψ) x|¯ (w) = w, ¯v 2 ϕ(¯)w + d2 ψ x|¯ − x ¯v ϕ(¯) (w) x (1.7) v d2 (ϕ + ψ)(¯)(w|z) = w, x 2 ϕ(¯)w + x ϕ(¯)z + d2 ψ(¯)(w|z), x x (1.8) vîi måi w ∈ Rn v z ∈ Rn. Cho h m ψ : Rn → R húu h¤n t¤i x ∈ Rn . ¯ Gi£ sû r¬ng tçn t¤i l¥n cªn O cõa x ¯ sao cho h m ψ biºu di¹n ÷ñc d÷îi d¤ng ψ(x) = g ◦ F (x), ∀x ∈ O, (1.9) trong â, ¡nh x¤ F : Rn → Rm kh£ vi hai l¦n t¤i x ¯ theo ngh¾a mð rëng v h m m g : R → R ch½nh th÷íng, nûa li¶n töc d÷îi, lçi v li¶n töc Lipschitz àa ph÷ìng t¤i F (¯) èi vîi mi·n húu hi»u cõa g, vîi h¬ng sè Lipschitz l x ∈ R+ , tùc l tçn t¤i l¥n cªn V cõa F (¯) sao cho x |g(y1 ) − g(y2 )| ≤ y1 − y2 , ∀y1 , y2 ∈ dom g ∩ V. (1.10) Ta th§y r¬ng (dom ψ) ∩ O = {x ∈ O | F (x) ∈ dom g}. (1.11) Nhc l¤i r¬ng h m ψ = g◦F ÷ñc gåi l thäa m¢n i·u ki»n r ng buëc chu©n hâa d÷îi ch½nh quy m¶tric (metric subregularity qualification condition) (MSCQ) t¤i x ∈ dom ψ ¯ n¸u tçn t¤i h¬ng sè κ ∈ R+ v l¥n cªn U cõa x ¯ sao cho d(x; dom ψ) ≤ κd F (x); dom g , ∀x ∈ U. (1.12) Chóng tæi thu ÷ñc k¸t qu£ sau 1.2.11 M»nh ·. Gi£ sû h m ψ : Rn → R biºu di¹n ÷ñc d÷îi d¤ng (1.9) thäa m¢n i·u ki»n chu©n hâa r ng buëc MSCQ t¤i x. Khi â, ¯ dψ(¯)(w) = dg F (¯) x x F (¯)w , ∀w ∈ Rn , x ∂p ψ(¯) = ∂ψ(¯) = x x F (¯)∗ ∂g F (¯) , x x Tdom ψ (¯) = w ∈ Rn x F (¯)w ∈ Tdom g F (¯) x x . Hìn núa, n¸u w ∈ Tdom ψ (¯) v g kh£ vi tr¶n ç thà parabol t¤i F (¯) èi vîi x x F (¯)w th¼ c¡c kh¯ng ành sau thäa m¢n: x (i) Ta câ 2 2 2 z ∈ Tdom ψ (¯, w) ⇔ x F (¯)z + x F (¯)(w, w) ∈ Tdom g F (¯), x x F (¯)w x
11 v dom ψ kh£ ¤o h m parabol t¤i x èi vîi w. ¯ (ii) Vîi måi z ∈ R , ta câ n d2 ψ(¯)(w|z) = d2 g F (¯) x x F (¯)w| F (¯)z + x x 2 F (¯)(w, w). x (1.13) 2 2 (iii) dom d ψ(¯)(w|·) = Tdom ψ (¯, w). x x (iv) H m ψ kh£ vi tr¶n ç thà parabol t¤i x èi vîi w. ¯ 1.2.13 Bê ·. Gi£ sû f : Rn → R l mët h m lçi, nûa li¶n töc d÷îi vîi f (¯) ∈ R, x v ∈ ∂f (¯), w ∈ Kf (¯, v ) v f kh£ vi tr¶n ç thà parabol t¤i x èi vîi w. Khi ¯ x x ¯ ¯ â, h m d f (¯)(w|·) lçi ch½nh th÷íng nûa li¶n töc d÷îi. Hìn núa, f ch½nh quy 2 x parabol t¤i x èi vîi v v ta câ ¯ d f (¯)(w|·)∗ (v) = ∞ khi v ∈ Rn\A(¯, w);  2 x x d f (¯)(w|·)∗ (v) = −d2 f (¯|v)(w)  2 x x khi v ∈ A(¯, w), x trong â A(¯, w) := {v ∈ ∂f (¯) | df (¯)(w) = x x x v, w }. 1.2.14 ành ngh¾a. Ta nâi r¬ng h m ψ := g ◦ F câ biºu di¹n (1.9) thäa m¢n c¡c gi£ thi¸t cì b£n t¤i (¯, v ) ∈ gph ∂ψ x ¯ n¸u (H1) i·u ki»n chu©n hâa r ng buëc d÷îi ch½nh quy m¶tric (1.12) thäa m¢n t¤i x; ¯ (H2) Vîi méi y ∈ Λ(¯, v ), x ¯ h m g kh£ vi tr¶n ç thà parabol t¤i F (¯) x èi vîi måi u ∈ Kg F (¯), y ; x (H3) H m g ch½nh quy parabol t¤i F (¯) x èi vîi måi y ∈ Λ(¯, v ). x ¯ Trong â Λ(¯, v ) := y ∈ ∂g F (¯) | x ¯ x F (¯)∗ y = v x ¯ l tªp nh¥n tû Lagrange (Lagrangian multipliers) t÷ìng ùng vîi (¯, v) v x ¯ Kg F (¯), y := w ∈ Rm | dg F (¯) (w) = v , w x x ¯ l nân tîi h¤n (critical cone) cõa h m g t¤i (F (¯), y x . B¥y gií, x²t b i to¡n tèi ÷u min − z, v + d2 g F (¯) n ¯ x F (¯)w| F (¯)z + x x 2 F (¯)(w, w) . x (1.14) z∈R 1.2.24 M»nh ·. Gi£ sû h m ψ : Rn → R ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng v (1.9) thäa m¢n c¡c gi£ thi¸t cì b£n (H1) − (H3) t¤i (¯, v). Khi â, ta câ c¡c kh¯ng x ¯ ành sau (i) Vîi méi w ∈ Kψ (¯, v ), b i to¡n (1.14) câ èi ng¨u l x ¯ 2 max y, F (¯)(w, w) + d2 g F (¯)|y x x F (¯)(w) ; x (1.15) y∈Λ(¯,¯) xv
12 gi¡ trà tèi ÷u cõa b i to¡n (1.14) v b i to¡n èi ng¨u (1.15) b¬ng nhau v húu h¤n. Hìn núa, Λ(¯, v; w) ∩ τ B = ∅, trong â Λ(¯, v; w) l tªp nghi»m tèi ÷u cõa x ¯ x ¯ b i to¡n (1.15) v τ := κ F (¯) + κ v + , x ¯ (1.16) trong â v κ ÷ñc l§y tø (1.10) v (1.12), t÷ìng ùng. (ii) H m ψ ch½nh quy parabol t¤i x èi vîi v v ¯ ¯ d2 ψ(¯|¯)(w) xv 2 = max y, F (¯)(w, w) + d2 g F (¯)|y x x F (¯)w x y∈Λ(¯,¯) xv (1.17) 2 = max y, F (¯)(w, w) + d2 g F (¯)|y x x F (¯)w x , y∈Λ(¯,¯)∩(τ B) xv vîi måi w ∈ Rn, trong â τ ÷ñc l§y tø (1.16). (iii) H m ψ kh£ vi tr¶n ç thà hai l¦n t¤i x èi vîi v . ¯ ¯
13 CH×ÌNG 2 IU KIN TNG TR×ÐNG BC HAI V TNH D×ÎI CHNH QUY MTRIC MNH CÕA D×ÎI VI PHN Ch÷ìng n y ÷ñc chóng tæi d nh º tr¼nh b y c¡c v§n · sau. V§n · thù nh§t, chóng tæi thi¸t lªp c¡c i·u ki»n õ bªc hai cho i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai cõa h m ch½nh th÷íng v nûa li¶n töc d÷îi. V§n · thù hai, chóng tæi kh£o s¡t v x¥y düng mët sè lîp h m thäa m¢n i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai k²o theo t½nh d÷îi ch½nh quy m¶tric m¤nh cõa ¡nh x¤ d÷îi vi ph¥n. 2.1 i·u ki»n tèi ÷u cho h m ch½nh th÷íng nûa li¶n töc d÷îi düa v o ¤o h m ç thà d÷îi gradient Trong ph¦n n y, chóng tæi sû döng ¤o h m ç thà d÷îi gradient thi¸t lªp ÷ñc c¡c i·u ki»n õ bªc hai cho i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai. 2.1.1 ành ngh¾a. Cho h m ch½nh th÷íng f : Rn → R, ta nâi r¬ng f thäa m¢n i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai (vi¸t tt QGC) t¤i iºm x ∈ R ¯ n n¸u tçn t¤i γ>0 v mæun κ>0 sao cho κ f (x) − f (¯) ≥ x x − x 2 , ∀x ∈ Bγ (¯). ¯ x (2.1) 2 Khi â, iºm x ¯ ÷ñc gåi l cüc tiºu àa ph÷ìng m¤nh cõa h m f. K½ hi»u QG (f ; x) := sup κ > 0 | x ¯ ¯ l cüc tiºu àa ph÷ìng m¤nh cõa f vîi mæun κ . K¸t qu£ sau ¥y, chóng tæi cho th§y r¬ng t½nh x¡c ành d÷ìng cõa ¤o h m ç thà d÷îi gradient l i·u ki»n õ cho i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai. 2.1.6 ành lþ. Gi£ sû f : Rn → R l h m ch½nh th÷íng nûa li¶n töc d÷îi v x ∈ dom f. X²t c¡c kh¯ng ành sau ¥y ¯ (i) i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai (2.1) ÷ñc thäa m¢n t¤i x.¯ (ii) x l cüc tiºu àa ph÷ìng v ∂f l d÷îi ch½nh quy m¶tric m¤nh t¤i x èi vîi ¯ ¯ 0. (iii) 0 ∈ ∂p f (¯) v D(∂f )(¯|0) x¡c ành d÷ìng, theo ngh¾a x x z, w > 0, ∀z ∈ D(∂f )(¯|0)(w), w ∈ dom D(∂f )(¯|0) \ {0}. x x (2.2) (iv) 0 ∈ ∂p f (¯) x v tçn t¤i c > 0 sao cho z, w ≥ c w 2 , ∀z ∈ D(∂f )(¯|0)(w), w ∈ dom D(∂f )(¯|0). x x (2.3)
14 Khi â, c¡c quan h» k²o theo sau ¥y thäa m¢n (iv) ⇒ (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i). Hìn núa, n¸u (iv) thäa m¢n th¼ z,w QG(f ; x) ≥ inf ¯ w 2 z ∈ D(∂f )(¯|0)(w), w ∈ dom D(∂f )(¯|0) , x x (2.4) vîi quy ÷îc r¬ng 0/0 = ∞. 2.1.8 ành ngh¾a. Cho h m f : Rn → R ch½nh th÷íng nûa li¶n töc d÷îi, x∈ ¯ dom f v 0 ∈ ∂p f (¯). Ta nâi r¬ng i·u ki»n õ lo¤i hai thäa m¢n t¤i x n¸u tçn t¤i x ¯ c > 0 sao cho, vîi måi w ∈ dom D(∂p f )(¯|0) v w = 1, ∃ z ∈ D(∂p f )(¯|0)(w) x x sao cho z, w ≥ c. (2.5) 2.1.9 ành ngh¾a. f : Rn → R v p ∈ ∂p f (¯). Cho h m x (i) ¤o h m ç thà λ−ên ành g¦n k· (λ− proximally stable graphical derivative) cõa ∂p f t¤i x èi vîi p ÷ñc cho bði ¯ 1 Dλ (∂p f )(¯|p)(u) = z ∃zk ∈ x tk ∂p f (¯ + tk uk ) − p , x vîi zk → z, (2.6) 1 (tk , uk ) → (0+ , u), v λ< r(f,¯+tk uk ,p+tk zk ) , x ∀k . Trong â, r(f, x, p) := inf{r > 0 thäa m¢n b§t ¯ng thùc (2.7)} r 2 f (u) ≥ f (x) + p, u − x − u−x , ∀u. (2.7) 2 (ii) Nân ti¸p tuy¸n λ−ên ành g¦n k· (λ−proximally stable tangent cone) ÷ñc cho bði λ Tgph∂ f (¯, p) = {(u, z)| z ∈ Dλ (∂p f )(¯|p)(u)} = gphDλ (∂p f )(¯|p)(·). x x x p (iii) Ta nâi f ên ành g¦n k· t¤i x èi vîi p ∈ ∂pf (¯) n¸u ¯ x λ Tgph∂ f (¯, p) = Tgph∂p f (¯, p). x x p λ>0 2.1.10 Bê ·. Gi£ sû h m f : Rn → R lçi ch½nh th÷íng nûa li¶n töc d÷îi v p ∈ ∂p f (¯). x Khi â, h m f ên ành g¦n k· t¤i x èi vîi p. ¯ K¸t qu£ sau ¥y ÷ñc thi¸t lªp bði Eberhard v Wenczel 2.1.11 ành lþ. Cho f : Rn → R l h m nûa li¶n töc d÷îi, bà ch°n g¦n k· v 0 ∈ ∂p f (¯). Gi£ sû f ên ành g¦n k· v thäa x m¢n i·u ki»n õ lo¤i hai t¤i x. Khi ¯ â, x l cüc tiºu àa ph÷ìng m¤nh cõa f. ¯ Tuy nhi¶n, v½ dö sau chóng tæi ch¿ ra r¬ng kh¯ng ành cõa ành lþ 2.1.11 l khæng ch½nh x¡c.
15 2.1.12 V½ dö. X²t h m sè f :R→R cho bði  x  n¸u x>1 αn+1 x + βn+1 αn+1 < x ≤ αn , n = 0, 1, 2, . . .  n¸u f (x) = (2.8) β  n¸u x=0 +∞ n¸u x < 0,  trong â n 1 1 αn = , βn+1 = vîi n = 0, 1, 2, . . . , β0 = 0 v β = lim βn . (n + 1)! k=0 k!(k + 2)! n→∞ 2.2 Quan h» t÷ìng ÷ìng giúa i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai v t½nh d÷îi ch½nh quy m¶tric m¤nh cõa d÷îi vi ph¥n Trong ph¦n n y, chóng tæi thi¸t lªp mët sè °c tr÷ng cõa i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai cho h m lçi bi¸n ph¥n v lîp h m biºu di¹n d÷îi d¤ng têng cõa mët h m kh£ vi hai l¦n theo ngh¾a mð rëng v mët h m li¶n töc d÷îi vi ph¥n, ch½nh quy g¦n k· v kh£ vi tr¶n ç hai l¦n. 2.2.1 ành ngh¾a. H m sè f : Rn → R ÷ñc gåi l li¶n töc d÷îi vi ph¥n (subdifferentially continuous) t¤i x èi vîi v n¸u v ∈ ∂f (¯) v vîi måi d¢y ¯ ¯ ¯ x (xk , vk ) → (¯, v ), vîi vk ∈ ∂f (xk ), ta câ f (xk ) → f (¯). x ¯ x 2.2.2 ành ngh¾a. Cho h m f : Rn → R ch½nh th÷íng, nûa li¶n töc d÷îi v (¯, v ) ∈ gph ∂f. Ta nâi r¬ng h m f lçi bi¸n ph¥n (variationally convex) t¤i x èi x ¯ ¯ ¯ x ¯ ˆ vîi v n¸u tçn t¤i l¥n cªn X × V cõa (¯, v ) v h m lçi nûa li¶n töc d÷îi f ≤ f tr¶n X v ε > 0 sao cho ˆ [Xε × V ] ∩ gph ∂f = [X × V ] ∩ gph ∂ f v ˆ f (x) = f (x) vîi méi x ∈ ΠX [Xε × V ] ∩ gph ∂f , trong â Xε := {x ∈ X|f (x) < f (¯) + ε} v ΠX : Rn × Rn → Rn l ¡nh x¤ ÷ñc cho bði ΠX (x, v) = x, x n n vîi x ∈ R v v ∈ R . Lîp c¡c h m lçi bi¸n ph¥n chùa lîp c¡c h m lçi. Tuy nhi¶n, lîp h m n y câ thº gçm c¡c h m khæng lçi. L÷u þ r¬ng t½nh lçi bi¸n ph¥n k²o theo t½nh ch½nh quy g¦n k· v t½nh li¶n töc d÷îi vi ph¥n cõa h m sè. 2.2.5 Bê ·. Gi£ sû h : R2n → R l h m ch½nh th÷íng v thu¦n nh§t d÷ìng bªc haitheo ngh¾a h(λw) = λ h(w), vîi måi λ > 0 v w ∈ dom h. Khi â, vîi måi w ∈ dom h v z ∈ ∂h(w), ta câ z, w = 2h(w).
16 B¥y gií, chóng tæi i ¸n k¸t qu£ ¦u ti¶n cõa ph¦n n y 2.2.6 ành lþ. Gi£ sû f : nRn → R l h mnsè ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng f (x) = ϕ(x) + ψ(x) vîi måi x ∈ R , trong â ϕ : R → R kh£ vi hai l¦n t¤i x theo ngh¾a ¯ mð rëng, 0 ∈ ϕ(¯) + ∂ψ(¯) v ψ : R → R li¶n töc d÷îi vi ph¥n, ch½nh quy g¦n x x n k· v kh£ vi tr¶n ç thà hai l¦n t¤i x èi vîi − ϕ(¯). Khi â, c¡c kh¯ng ành sau ¯ x l t÷ìng ÷ìng: (i) i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai (2.1) ÷ñc thäa m¢n t¤i x. ¯ (ii) nh x¤ ∂f d÷îi ch½nh quy metric m¤nh t¤i x èi vîi 0 v ¯ 2 ϕ(¯)w, w + d2 ψ x| − x ¯ ϕ(¯) (w) ≥ 0, ∀w ∈ Rn . x (2.9) (iii) x l cüc tiºu àa ph÷ìng cõa f v ¡nh x¤ ∂f d÷îi ch½nh quy m¶tric m¤nh ¯ t¤i x èi vîi 0. ¯ (iv) Vîi måi w ∈ domD∂ψ x| − ϕ(¯) \{0} v z ∈ D∂ψ x| − ϕ(¯) (w), ta ¯ x ¯ x câ 2 ϕ(¯)w, w + z, w > 0. x (2.10) (v) Vîi måi w ∈ domD∂ψ x| − ϕ(¯) v z ∈ D∂ψ x| − ¯ x ¯ ϕ(¯) (w), x tçn t¤i c > 0 sao cho 2 ϕ(¯)w, w + z, w ≥ c w 2 . x (2.11) (vi) Vîi måi w ∈ Rn\{0}, ta câ 2 ϕ(¯)w, w + d2 ψ x| − x ¯ ϕ(¯) (w) > 0. x (2.12) N¸u mët trong c¡c kh¯ng ành tr¶n thäa m¢n th¼    2 ϕ(¯)w, w + z, w x w ∈ domD∂ψ x| − ¯ ϕ(¯) ,  x QG(f ; x) = inf ¯ ,  w 2 z ∈ D∂ψ x| − ¯ ϕ(¯) (w) x  (2.13) vîi quy ÷îc r¬ng 0/0 = ∞. Chóng tæi thu ÷ñc c¡c h» qu£ sau ¥y cõa ành lþ 2.2.6 2.2.7 H» qu£. Cho f : Rn → R l h m ch½nh th÷íng, nûa li¶n töc d÷îi v x ∈ dom f. Gi£ sû r¬ng 0 ∈ ∂f (¯) v h m f li¶n töc d÷îi vi ph¥n, ch½nh quy ¯ x g¦n k· v kh£ vi tr¶n ç thà hai l¦n t¤i x èi vîi 0. Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l ¯ t÷ìng ÷ìng: (i) i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai (2.1) ÷ñc thäa m¢n t¤i x. ¯ (ii) x l cüc tiºu àa ph÷ìng v ∂f l d÷îi ch½nh quy m¶tric m¤nh t¤i x èi vîi ¯ ¯ 0. (iii) Vîi måi z ∈ D(∂f )(¯|0)(w) v w ∈ domD(∂f )(¯|0) \ {0}, ta câ x x z, w > 0. (iv) Vîi måi z ∈ D(∂f )(¯|0)(w) v w ∈ domD(∂f )(¯|0), tçn t¤i c > 0, sao cho x x z, w ≥ c w 2 . Hìn núa, n¸u mët trong c¡c kh¯ng ành (i) − (iv) thäa m¢n th¼ z,w QG(f ; x) = inf ¯ w 2 z ∈ D(∂f )(¯|0)(w), w ∈ dom D(∂f )(¯|0) . x x (2.14)
17 2.2.8 H» qu£. Cho f : Rn → R l h m ch½nh th÷íng, nûa li¶n töc d÷îi v x ∈ dom f. Gi£ sû ¯ r¬ng 0 ∈ ∂f (¯) xv h m f li¶n töc d÷îi vi ph¥n, ch½nh quy g¦n k· v kh£ vi tr¶n ç thà hai l¦n t¤i x èi vîi 0. Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l ¯ t÷ìng ÷ìng: (i) x l cüc tiºu àa ph÷ìng m¤nh. ¯ (ii) i·u ki»n õ lo¤i hai trong ành ngh¾a 2.1.8 thäa m¢n t¤i x. Ngh¾a l , tçn ¯ t¤i c > 0 sao cho vîi méi w ∈ domD(∂pf )(¯|0) v w = 1, tçn t¤i z ∈ x D(∂p f )(¯|0)(w) thäa m¢n z, w ≥ c. x 2.2.9 H» qu£. Cho ϕ : Rn → n l h m kh£ vi hai l¦n t¤i x theo ngh¾a mð rëng R ¯ v ψ := g ◦ F, trong â F : R → R kh£ vi hai l¦n t¤i x theo ngh¾a mð rëng m ¯ v h m g : R → R lçi ch½nh th÷íng nûa li¶n töc d÷îi v li¶n töc Lipschitz àa m ph÷ìng t¤i F (¯) èi vîi mi·n húu hi»u cõa nâ. Gi£ sû r¬ng 0 ∈ ϕ(¯) + ∂ψ(¯), x x x c¡c gi£ thi¸t cì b£n (H1) − (H3) thäa m¢n èi vîi ψ t¤i (¯, v) vîi v := − ϕ(¯) x ¯ ¯ x v ψ l h m ch½nh quy g¦n k· t¤i x èi vîi v. Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l t÷ìng ¯ ¯ ÷ìng: (i) i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai (2.1) ÷ñc thäa m¢n t¤i x. ¯ (ii) ∂f d÷îi ch½nh quy metric m¤nh t¤i (¯, 0) v vîi måi w ∈ Kψ (¯, v ), ta câ x x ¯ 2 max xx L(¯, y )w, w x ¯ + d2 g F (¯)|y x F (¯)w x ≥ 0. (2.15) y∈Λ(¯,¯) xv (iii) x ¯ l cüc tiºu àa ph÷ìng cõa f := ϕ + ψ v ∂f l d÷îi ch½nh quy metric m¤nh t¤i (¯, 0). x (iv Vîi måi w ∈ domD∂ψ x| − ϕ(¯) \{0} v z ∈ D∂ψ x| − ϕ(¯) (w), ta câ ¯ x ¯ x 2 ϕ(¯)w, w + z, w > 0. x (2.16) (v) Vîi måi w ∈ domD∂ψ x| − ϕ(¯) v z ∈ D∂ψ x| − ¯ x ¯ ϕ(¯) (w), x tçn t¤i c > 0, sao cho 2 ϕ(¯)w, w + z, w ≥ c w 2 . x (2.17) (vi) Vîi måi w ∈ Kψ (¯, v)\{0}, ta câ x ¯ 2 max xx L(¯, y )w, w x ¯ + d2 g F (¯) y x F (¯)w x > 0. (2.18) y∈Λ(¯,¯) xv N¸u mët trong c¡c kh¯ng ành tr¶n ÷ñc thäa m¢n th¼    2 ϕ(¯)w, w + z, w x w ∈ domD∂ψ x| − ¯ ϕ(¯) ,  x QG(f ; x) = inf ¯ ,  w 2 z ∈ D∂ψ x| − ¯ ϕ(¯) (w) x  vîi quy ÷îc 0/0 = ∞. èi vîi lîp c¡c h m lçi bi¸n ph¥n, chóng tæi thu ÷ñc k¸t qu£ sau 2.2.11 ành lþ. Cho f : Rn → R l h m ch½nh th÷íng, nûa li¶n töc d÷îi v x ∈ dom f. ¯ Gi£ sû r¬ng 0 ∈ ∂f (¯) v f x l h m lçi bi¸n ph¥n t¤i x èi vîi 0. Khi ¯ â, c¡c kh¯ng ành sau l t÷ìng ÷ìng:
18 (i) i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai (2.1) ÷ñc thäa m¢n t¤i x. ¯ (ii) x l cüc tiºu àa ph÷ìng v ∂f l d÷îi ch½nh quy m¶tric m¤nh ¯ t¤i x èi vîi ¯ 0. (iii) D(∂f )(¯|0) x¡c ành d÷ìng theo ngh¾a (2.2). Tùc l , ta câ x z, w > 0, ∀z ∈ D(∂f )(¯|0)(w) x v w ∈ domD(∂f )(¯|0) \ {0} x (iv) D(∂f )(¯|0) x¡c ành d÷ìng theo ngh¾a (2.3). Tùc l , tçn t¤i c > 0 sao cho x z, w ≥ c w 2 , ∀z ∈ D(∂f )(¯|0)(w) v w ∈ domD(∂f )(¯|0). x x Hìn núa, n¸u mët trong c¡c kh¯ng ành (i) − (iv) thäa m¢n th¼ QG(f ; x) ≥ inf z,w2 z ∈ D(∂f )(¯|0)(w), w ∈ dom D(∂f )(¯|0) ¯ w x x (2.19) 1 ≥ 2 QG(f ; x). ¯ Sau ¥y l c¡c v½ dö ÷ñc thi¸t k¸ º minh håa cho c¡c k¸t qu£ m chóng tæi ¢ thi¸t lªp ÷ñc trong ph¦n n y. 2.2.12 V½ dö. X²t h m sè g:R→R ÷ñc cho bði  10 1  x 3 cos x + x4  n¸u x ≥ 1,  10 2 x cos x + (2n+1)(2n +2n+1) x + 1 1 − 1 n¸u x ∈ 1 1 n+1 , n , n = 1, 2, ...  3 3 (n+1)3 (n+1)3 n3 g(x) = n 0  n¸u x = 0,  g(−x) n¸u x < 0.  Kh¯ng ành 1: H m g kh£ vi hai l¦n t¤i x = 0 theo ngh¾a mð rëng, nh÷ng khæng ¯ kh£ vi hai l¦n t¤i x. ¯ Kh¯ng ành 2: H m g khæng ch½nh quy g¦n k· t¤i x èi vîi v = 0. ¯ ¯ 2.2.13 V½ dö. Cho ¡nh x¤ F : R → R2 x¡c ành bði F (x) = F1 (x), F2 (x) , 3 vîi F1 (x) = −x v F2 (x) = −x . H m ϕ : R → R ÷ñc cho bði ϕ(x) = 2x + g(x), ∀x ∈ R, trong â, h m g ÷ñc l§y tø V½ dö 2.2.12. H m ψ : R → R x¡c ành bði ψ(x) = δR2 ◦ F (x), ∀x ∈ R. − X²t b i to¡n tèi ÷u min ϕ(x) + ψ(x). (2.20) x∈R Ta câ, x = 0 l cüc tiºu àa ph÷ìng ¯ m¤nh. Do â, theo ành lþ 2.2.6, c¡c kh¯ng ành (i) − (vi) ÷ñc thäa m¢n.