zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 5 - ThS. Lê Trường Giang

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Báo xấu

6
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp: Chương 5 - Giới hạn và liên tục của hàm một biến" trình bày những nội dung chính sau đây: Giới hạn của dãy số; Giới hạn của hàm số; Các khái niệm về hàm số liên tục; Hàm số liên tục đều;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 5 - ThS. Lê Trường Giang

1
Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN NỘI DUNG CHƯƠNG 5: GIỚI HẠN VÀ LIÊN Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN  5.1. Giới hạn  5.2. Hàm số liên tục 2
Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN Giải tích toán học lấy giới hạn làm phương pháp Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang để nghiên cứu hàm số. Người ta phân biệt giới hạn của dãy với giới hạn của hàm. Các khái niệm này chỉ được hoàn chỉnh vào thế kỉ 19, dù rằng các nhà bác học cổ Hi Lạp cũng đã nghĩ tới chúng. Chỉ cần biết rằng Archimède (thế kỉ 3 trước công nguyên) đã tính được diện tích của chỏm hình parabol, bằng một quá trình mà ngày nay chúng ta gọi là chuyển đến giới hạn. Một lớp các hàm quan trọng nghiên cứu trong giải tích toán học là các hàm số liên tục. 3
Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN 5.1. GIỚI HẠN Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 5.1.1. Giới hạn của dãy số 1) Cấp số cộng và cấp số nhân a) Cấp số cộng + Định nghĩa: dãy  x n  được gọi là một cấp số cộng với công sai d nếu thỏa: x n  x n 1  d + Định lý: x n  x1   n  1 d n Sn  x1  x 2   x n   x1  x n  4 2
Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN b) Cấp số nhân Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang + Định nghĩa: dãy  x n  được gọi là một cấp số nhân với công bội q nếu thỏa: x n  qx n 1 + Định lý: x n  x1q n 1 1  qn Sn  x1  x 2   x n  x1 1 q 5
Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN 2) Giới hạn của dãy số Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Ta nói rằng dãy số  x n  có giới hạn là a  nếu khoảng cách giữa x n và a có thể thu hẹp một cách tùy ý bằng cách lấy n đủ lớn. Tức là: lim x n  a    0, n 0  n 0    : n  n 0  x n  a   n  Ví dụ 5.1. Tìm giới hạn của các dãy số sau:  2   3 ; c) lim  1  1   n n 1 a) lim   ; n   2   3 n 1 n 1 n  1.2  2.3 n  n  1     2n  3  n b) lim n  n  1  n  n  1 ; d) nlim  2 2  6  2n  1 n   
Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN 5.1.2. Giới hạn của hàm số Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 1) Khái niệm Số L được gọi là giới hạn của hàm số f  x  khi x  x 0 nếu khoảng cách giữa f  x  và L có thể thu hẹp một cách tùy ý bằng cách thu hẹp tương ứng khoảng cách từ x đến x 0 . Tức là: lim f  x   L    0,   0 : 0  x  x 0   x x 0  f x  L   7
Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN 2) Giới hạn một phía Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang + Định nghĩa:  lim f  x   L : giới hạn trái. x x 0  xlim f  x   L : giới hạn phải. x0 + Định lý: Giới hạn lim f  x   L tồn tại khi và chỉ khi tồn tại x x 0 lim f  x  , lim f  x  và x x 0 x x 0 8 lim f  x   lim f  x   lim f  x   L x x 0 x x 0 x x 0
Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN 3) Cho   x  ,   x  là hai vô cùng bé (VCB) Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang x lim L x a   x  i. Nếu L = 0 thì   x  là VCB bậc cao hơn   x  . Kí hiệu   x      x   ii. Nếu L = 1 thì   x  và   x  là hai VCB tương đương. Kí hiệu   x   x  iii. Nếu L  0,  thì   x  và   x  là hai VCB cùng bậc. Kí hiệu 9   x   O   x  
Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN Khi x  0 , ta có các VCB tương đương: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang sin x x; ex  1 x tan x x; a x  1 x ln x 1  x  a arctan x x; 1  ax x2 arcsin a x; 1  cos x 2 x ln 1  x  x; n 1  x 1 n 10
Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN 4) Các giới hạn cơ bản Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 1  lim  0; x  x sin   lim  1  limsin   lim   sin      0  0  0 0 1 sin x sin  lim  1  lim x  1; lim arcsin x  1; x 0 x x  1 x 0 x x tan x arcta n x  lim  1; lim  1; 11 x 0 x x 0 x
Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN log a 1    Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang  lim  log a e 0  ln 1     lim 1 0   lim ln (1  )  lim  0 0  ln 1       0 a 1  lim  ln a 0  e  1  lim  1  lim  e  1  lim   0  0 0 12   e  1     0 
Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 1  cos kx k 2  lim 2  x 0 x 2 2 2 k x  lim 1  cos kx   lim x 0 x 0 2 k 2x 2  1  cos kx   x  0; 2 1  cos x 1  lim 2  ; x 0 x 2 x2 x2  lim 1  cos x   lim  1  cos x   x  0 ; 13 x 0 x 0 2 2
Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN 1  x   Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 1  lim  x 0 x  lim 1  x   1  lim x x 0   0  1  x   1 x  x  0  lim v x   u  x  1  lim u  x  x x 0 v x  e x  x0   1  u 1  1  lim 1  u  u  e; lim 1    e u 0 u   u lim v x  ln u  x  14  lim u  x  x x 0 v x   e x  x0 0  
Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN Ví dụ 5.2. Tìm giới hạn của các hàm số sau Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 3x 3  2x 2  x a) lim ; x 1 x x 2 x2 2 b) lim 2 ; x 2 x  x  6 1 x  2x  3  c) lim   ; x  2x  1   1 d) lim 1  sin x  x x 0 15
Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN Ví dụ 5.3. Tính giới hạn của các hàm số sau Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang a) lim sin 5x x2  x  1 1 x 0 ln 1  4x  d) lim x 0 sin 4x e 2x  1 ln 1  x  b) lim e) lim x 0 ln 1  4x  x 0 sin 3x  sin x 1  cos x f ) lim ln cos x c) lim x 0 1  cos2x x 0 4 1 x 1 2 16
Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN 5.2. HÀM SỐ LIÊN TỤC Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 5.2.1. Các khái niệm  Khái niệm: Cho hàm số y  f  x  xác định trong  a,b  , x 0   a,b  . Hàm số đã cho được gọi là liên tục tại x 0 nếu: lim f  x   f  x 0  x x 0  Hàm số y  f  x  được gọi là liên tục trong khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc (a, b).  Hàm số y  f  x  xác định trên [a, b]. Hàm số y  f  x  được gọi là liên tục phải tại a nếu: lim f  x   f  a  x a Hàm số y  f  x  được gọi là liên tục trái tại b nếu: 17 lim f  x   f  b  x b
Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN  Hàm số y  f  x  liên tục tại x 0 khi và chỉ khi nó liên Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang tục phải và liên tục trái tại x 0 . Khi đó: lim f  x   lim f  x   f  x 0  x x 0 x x 0  Hàm số y  f  x  được gọi là liên tục trên [a, b] nếu nó liên tục trong khoảng (a, b), liên tục phải tại a và liên tục trái tại b.  Hàm số y  f  x  xác định trên [a, b]. Hàm số được gọi là gián đoạn tại x 0   a,b  nếu nó không liên tục tại x0 . 18
Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN 5.2.2. Định lý Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 1) Hàm số liên tục trên đoạn [a, b] thì bị chặn trên đoạn [a, b]. Có nghĩa là: m,M : m  f  x   M, x  a,b  2) Hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn [a, b] và f  a   m,f  b   M thì c   m,M  tồn tại x 0   a,b  sao cho f  x 0   c . 3) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên [a, b], nếu f  a  .f  b   0 thì tồn tại c   a,b  sao cho f  c   0 . 19
Chương 5. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN 5.2.3. Hàm số liên tục đều Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Hàm số y  f  x  được gọi là liên tục đều trên (a, b) nếu   0,   0 : x, x '   a,b  mà x  x '    f x  f x '   Ví dụ 5.4. Xét tính liên tục của các hàm số sau 1  cos x  khi x  0 a) f  x    x tai x 0  0  0  khi x  0  x 2  5x  6  khi x  1 b) f  x    x  1 tai x 0  1 20   5 khi x  1

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.