zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 7 - ThS. Lê Trường Giang

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Báo xấu

4
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp: Chương 7 - Phép tính tích phân hàm một biến" trình bày những nội dung chính sau đây: Nguyên hàm và tích phân bất định; Tích phân xác định; Tích phân suy rộng loại 1; Tích phân suy rộng loại 2. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 7 - ThS. Lê Trường Giang

1
Chƣơng 7. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN NỘI DUNG: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang  7.1. Nguyên hàm và tích phân bất định  7.2. Tích phân xác định  7.3. Tích phân suy rộng loại 1  7.4. Tích phân suy rộng loại 2 Phép tính tích phân là một phần của giải tích toán học nghiên cứu các tính chất của tích phân và liên hệ với nó là quá trình lấy tích phân. Các khái niệm cơ bản của phép tính tích phân là tích phân là không xác định 2 và tích phân xác định.
Chƣơng 7. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Việc xây dựng phép tính tích phân thành một bộ Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang môn toán học độc lập, gắn liền với tên tuổi của Newton và Leibniz. Phép tính tích phân liên hệ mật thiết với phép tính vi phân, cả hai hợp lại thành phần cơ bản của giải tích toán học. Phép tính tích phân cũng như vi phân đều dựa trên phương pháp các vô cùng bé và phương pháp giới hạn. Phép tính tích phân được xem là phép toán ngược của phép tính đạo hàm và vi phân của hàm số. Bài toán đặt ra như sau “hãy tìm tất cả các hàm số F(x) có đạo hàm là một hàm số f(x) cho trước xác định trong 3 khoảng (a, b)”.
Chƣơng 7. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 7.1. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 7.1.1. Nguyên hàm của hàm số 1) Định nghĩa Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a, b) nếu F  x   f  x  haydF(x)  f (x)dx x   a,b  4
Chƣơng 7. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2) Định lý Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên khoảng (a, b) thì:  Hàm số F  x   C, với C là một hằng số bất kỳ, cũng là nguyên hàm của hàm số f  x .  Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f  x  đều biểu diễn được dưới dạng F  x   C , với C là một hằng số. 5
Chƣơng 7. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 7.1.2. Tích phân bất định Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 1) Định nghĩa Tích phân bất định của hàm số f  x  là biểu thức nguyên hàm tổng quát F  x   C, trong đó F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  và C là hằng số bất kỳ. Ký hiệu:  f  x  dx Vậy:  f  x  dx  F  x   C 6
Chƣơng 7. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2) Tính chất Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang a)  f   x  dx  f (x)  C b)   f  x  dx   f (x)  c)  af  x  dx  a  f (x)d x d)   f (x)  g(x)  dx   f (x)dx   g(x)dx 7
Chƣơng 7. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 7.1.3. Các công thức tích phân cơ bản Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 1.  du  u  C u 1 2.  u  du   C    1  1 du 3.   ln u  C  u  0  u 4.  e u du  e u  C au 5.  a u du  C  0  a  1 ln a 8 6.  cos udu  sin u  C
Chƣơng 7. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 7.  sin udu   cos u  C Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang du 8.  2  tan u  C cos u du 9.  2   cot u  C sin u du 1 u 10.  2  arctan  C u a 2 a a du u 11.   arcsin  C a u 2 2 a du 1 u a 9 12.  2  ln C u a 2 2a u  a
Chƣơng 7. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN au Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang du 1 13.  2  ln C a u 2 2a a  u dx 14.   ln x  x 2  k  C x2  k x a2 15.  x 2  a 2dx  x  a 2  ln x  x 2  a 2  C 2 2 2 x 2 a x 16.  a  x dx  2 2 a  x  arcsin  C  a  0  2 2 2 a 10
Chƣơng 7. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ví dụ 7.1. Tính các tích phân không xác định sau: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang e3x  1 a)  x dx e 1   tan x  cot x  2 b) dx  2ln x  3 3 c)  x dx sin 2x d)  3  cos 4 x dx 11
Chƣơng 7. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 7.2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 7.2.1. Định nghĩa tích phân xác định Với mỗi số tự nhiên n > 1, ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ sao cho độ dài của mỗi đoạn nhỏ đó không 2(b  a) vượt quá . Các điểm chia được ký hiệu như sau: n a  x 0  x1  x 2   x k 1  x k   x n  b Gọi x k là độ dài của đoạn  x k 1; x k , khi đó: 2(b  a) x k  x k  x k 1  (k  1,2, ,n) 12 n
Chƣơng 7. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Trên mỗi đoạn  x k 1; x k  lấy một điểm k bất kỳ và lập Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang tổng: n n  f  1  x1  f   2  x 2   f   n  x n   f   k   x k k 1 Theo cách thức nêu trên ta được một dãy số n . Chú ý rằng việc thành lập dãy số n phụ thuộc vào cách chia đoạn [a, b] và cách chọn các điểm trung gian k 13
Chƣơng 7. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Định nghĩa: Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang n I  lim n  lim  f   k  x k n  n  k 1 Và giới hạn đó không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a, b] và cách chọn các điểm k thì hàm số f  x  được gọi là hàm khả tích trên đoạn [a, b] và số I được gọi là tích phân xác định của hàm số f  x  trên đoạn [a, b]. Kí hiệu: b I   f  x  dx a 14
Chƣơng 7. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 7.2.2. Các tính chất cơ bản Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Với f  x  và g  x  là các hàm số liên tục b 1.  cdx  c(b  a) a (với c là hằng số) b b 2.  cf  x  dx  c f (x)dx a a (với c là hằng số) b b b 3.  f (x)  g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx a a a 15
Chƣơng 7. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang b c b 4. x  [a,b],  f (x)dx   f (x)dx   g(x)dx a a c 5. Nếu f  x   0 với a  x  b thì b  f (x)dx  0 a 6. Nếu f  x   g (x) với a  x  b thì b b  f (x)dx   g (x)dx a a 16
Chƣơng 7. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 7. Nếu m  f (x)  M với a  x  b thì Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang b m(b  a)   f (x)dx  M(b  a) a a 8. Nếu f (x) là hàm lẻ thì a  f (x)dx  0 a a 9. Nếu f (x) là hàm chẳn thì  f (x)dx  2 f  x  dx a 0 10. Nếu f (x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T (tức là f  x  T   f (x) ) thì a T T a  f  x  dx   f (x)dx 0 17
Chƣơng 7. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 7.2.3. Công thức Newton – Leibnitz Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Nếu f (x) liên tục trên [a, b] thì b  f  x  dx  F  x  b a  F(b)  F(a) a Với F  x  là nguyên hàm của f  x  . Ví dụ 7.2. Tính các tích phân xác định sau e 3 ln 2 x a)  dx c)  x arctan xdx 1 x 0 0,75  /3 dx x sin x   x  1 d)  b) dx 18 2 0 x2  1  /3 cos x
Chƣơng 7. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN ISAAC NEWTON Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang (1642 – 1727) Newton là nhà bác học vĩ đại người Anh. Một số công trình nghiên cứu nổi bật của Newton như: công trình “Method of Fluxions” (1736), “Arithmetica ISAAC NEWTON universalis” (1707), “Các (1642 – 1727) đường bậc ba” (1704),… Newton được xem như một Ông còn nhiều đóng góp thiên tài vĩ đại và được quan trọng cho cơ học, mệnh danh là người vượt 19 quang học và thiên văn trên nhân loại bằng sức học. mạnh tư tưởng của mình.
Chƣơng 7. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang (1646 – 1716) Leibniz là nhà bác học thiên tài người Đức. Ông có nhiều công trình khoa học về toán học, vật lý, luật gia, sử gia, triết gia và là nhà ngôn ngữ học. Về toán học, Leibniz là nhà toán học bao quát, có trí tưởng tượng toán học tinh tế, một trực giác siêu đẳng về các dạng toán GOTTFRIED WILHELM học. 20 LEIBNIZ (1646 – 1716)

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.