Ch−¬ng IV
c¬ N¨ng &tr−êng lùc thÕ
Bμi gi¶ng VËt lý ®¹i c−¬ng
T¸c gi¶: PGS. TS §ç Ngäc UÊn
ViÖn VËt lý kü thuËt
Tr−êng §H B¸ch khoa Hμ néi
1. C«ng vμ c«ng suÊt
r F
1.1. §Þnh nghÜa:
rr s.FA =
α
cos
'.MM.FA
α
α
cosα > 0 Lùc ph¸t ®éng cosα < 0 Lùc c¶n
M s M’
sdr
C M
= .s.FA cos = Lùc sinh c«ng khi ®iÓm ®Æt cña nã chuyÓn dêi
dA
=
r F
M’
r r sd.F r r sd.F
A
(∫=
DC
D
1.2. C«ng suÊt
Trong kho¶ng thêi gian Δt lùc sinh c«ng ΔA → c«ng suÊt trung b×nh:
P
=
C«ng suÊt tøc thêi
A Δ t Δ lim
P
=
=
0
t →Δ
dA dt
A Δ t Δ
dA
=
rr v.F
r FP =
=
r sd dt
C«ng suÊt cã gi¸ trÞ = ®¹o hμm cña c«ng theo r r thêi gian sd.F C«ng suÊt b»ng tÝch v« h−íng cña lùc t¸c dông víi vÐc t¬ vËn tèc cña chuyÓn dêi
rr v.FP =
2. N¨ng l−îng
Mét vËt ë tr¹ng th¸i x¸c ®Þnh cã n¨ng l−îng x¸c ®Þnh. N¨ng l−îng lμ hμm cña tr¹ng th¸i. HÖ thùc hiÖn mét c«ng n¨ng l−îng thay ®æi:
W2 - W1 = A
§é biÕn thiªn n¨ng l−îng cña mét hÖ trong mét qu¸ tr×nh = c«ng mμ hÖ nhËn ®−îc trong qtr×nh ®ã
A>0 hÖ nhËn c«ng; A<0 hÖ sinh c«ng NÕu A=0, n¨ng l−îng hÖ kh«ng ®æi: W2 = W1 = const §L b¶o toμn n¨ng l−îng: N¨ng l−îng cña hÖ c« lËp ®−îc b¶o toμn C«ng lμ hμm cña qu¸ tr×nh; HÖ sinh c«ng n¨ng l−îng gi¶m -> kh«ng thÓ sinh c«ng m·i m·i mμ kh«ng nhËn n¨ng l−îng tõ bªn ngoμi.
3. §éng n¨ng: PhÇn n¨ng l−îng øng víi chuyÓn ®éng cña vËt
3.1. §Þnh lý vÒ ®éng n¨ng
sdr
)2(
)2(
1 M
r sd.
m
r r sd.F
A
∫=
r vd dt
r F
)1(
M’
2
∫= )1( r r mamF =
= )2(
)2(
2
2 1
2 2
r vd dt rr vdvm
A
(d
)
=
−
=
=
2,1
∫
∫
mv 2
r vm 2
)1(
)1( =W®2
=W®1
mv 2 2 2
mv 2 mv 2 1 2
=W®
mv 2 2
§é biÕn thiªn ®éng n¨ng cña chÊt ®iÓm trong qu·ng ®−êng nμo ®ã cã gi¸ trÞ b»ng c«ng cña ngo¹i lùct¸c dông lªn chÊt ®iÓm trong qu·ng ®−êng ®ã A12=W®2-W®1 W®2 > W®1 => Lùc ph¸t ®éng sinh c«ng W®2 < W®1 => Lùc c¶n §éng n¨ng vËt r¾n l¨n kh«ng tr−ît = §éng n¨ng chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn + §éng n¨ng chuyÓn ®éng quay:
2
2
+
=W®
mv 2
I ω 2
4. Va ch¹m xuyªn t©m
1 v,m r
1
2 v,m r
2
HÖ c« lËp >>§Þnh luËt b¶o toμn ®éng l−îng =
vmvm +
'vm'vm + 2
11
11
2
2
2
Va ch¹m ®μn håi §Þnh luËt b¶o toμn ®éng n¨ng:
2 2
2 2
+
=
+
2 vm 11 2
vm 2 2
2 'vm 1 1 2
'vm 2 2
Thay v1’=v2+v2’-v1 cã
1
1
2
vm2 2
2
v
=
' 1
1
2
1
2
vm2 11
v
=
' 2
v)mm( − + mm + 2 v)mm( − + mm +
1
2
C¸c tr−êng hîp riªng: m1= m2 => v1’=v2 vμ v2’=v1; m1<< m2 => v1’ ≈ -v1 vμ v2’ ≈ v2
2
2
v
=
vmvm + 11 mm +
2
1
Va ch¹m mÒm: Sau va ch¹m hai vËt dÝnh vμo nhau VËn tèc chung sau va ch¹m:
C¬ n¨ng kh«ng b¶o toμn v× to¶ nhiÖt, thμnh n¨ng l−îng liªn kÕt, g©y biÕn d¹ng v.v.. §éng n¨ng gi¶m:
2
2 2
1
2
=
+
−
|W| Δ d
2 vm 11 2
vm 2 2
v)mm( + 2
2
2
v(
Δ
=
−
W d
1
)v 2
mm 1 )mm(2 + 2
1
5. Tr−êng lùc thÕ 5.1. §Þnh nghÜa tr−êng lùc thÕ
Tr−êng lùc: T¹i mäi vÞ trÝ trong tr−êng lùc chÊt ®iÓm ®Òu bÞ lùc t¸c dông
vr
r rr r )z,y,x(F)r(FF = =
A
rr sdF
MN
sdr r F
∫=
MN
NÕu c«ng AMN kh«ng phô thuéc vμo d¹ng ®−êng ®i mμ chØ phô thuéc vμo ®iÓm ®Çu vμ ®iÓm cuèi th×
lμ lùc cña tr−êng lùc thÕ
N M
sdF rr
= 0
)r(F rr
∫
sdr
α
5.2. VÝ dô vÒ tr−êng lùc thÕ Träng tr−êng ®Òu: GÇn mÆt ®Êt g=const
M
r r gmP =
r P
A
rr sdP
MN
z zM z z+dz
∫=
.ds
cos
dz
=α
rr sdP
dA
MN .mgds =
=
α
cos DÊu - do ®é cao gi¶m
dA −=
z
N
A
mgdz
z(mg
−
=
= 0
MN
)z N
M
mgdz −= ∫
zN N
∫
z
M
sdP rr C«ng cña lùc hÊp dÉn chØ phô thuéc vμo ®iÓm ®Çu vμ ®iÓm cuèi cña chuyÓn dêi
6. ThÕ n¨ng
sdF rr
= 0
∫
§Þnh nghÜa: ThÕ n¨ng cña chÊt ®iÓm trong tr−êng lùc thÕ lμ mét hμm Wt phô thuéc vμo vÞ trÝ cña chÊt ®iÓm sao cho AMN=Wt(M)- Wt(N) ThÕ n¨ng ®−îc ®Þnh nghÜa sai kh¸c mét h»ng sè céng: Wt(z) = mgz + C TÝnh chÊt: ThÕ n¨ng ®−îc ®Þnh nghÜa sai kh¸c mét h»ng sè céng, nh−ng hiÖu thÕ n¨ng gi÷a 2 ®iÓm x¸c ®Þnh • Gi÷a tr−êng lùc thÕ vμ thÕ n¨ng: • ThÕ n¨ng lμ d¹ng n¨ng l−îng ®Æc tr−ng cho t−¬ng t¸c
7.§Þnh luËt b¶o toμn c¬ n¨ng trong tr−êng lùc thÕ 7.1.C¬ n¨ng: ChÊt ®iÓm chuyÓn ®éng trong C¬ n¨ng: W=W® + Wt tr−êng lùc thÕ 7.2.§Þnh luËt: AMN=Wt(M)- Wt(N) AMN=W®(N)- W®(M)
=> W®(M) + Wt(M)= Wt(N) + W®(N) => W=W® + Wt = const ChÊt ®iÓm chuyÓn ®éng trong tr−êng lùc thÕ mμ kh«ng chÞu t¸c dông cña lùc nμo kh¸c th× c¬ n¨ng cña nã ®−îc b¶o toμn. Trong träng tr−êng ®Òu (gÇn mÆt ®Êt): W=W® +mgh = const
7.3. S¬ ®å thÕ n¨ng Wt = Wt(x,y,z)
W= mv2/2 + Wt = const
Wt(x) ≤ W
Wt(x)
W
ThÕ n¨ng cña chÊt ®iÓm kh«ng thÓ v−ît qu¸ c¬ n¨ng cña nã
x
To¹ ®é cña chÊt ®iÓm n»m trong ph¹m vi: xA ≤ x ≤ xB vμ x ≥ xC
T¹i xD thÕ n¨ng ®¹t cùc tiÓu
xAxD xB xC
Tr−êng hÊp dÉn
Ch−¬ng V
1. §Þnh luËt Niut¬n vÒ lùc hÊp dÉn vò trô
r
1.1. Ph¸t biÓu ®Þnh luËt +
r F
r 'F
GF =
r r 0'FF = 'mm 2r
m m’
2 chÊt ®iÓm cã khèi l−îng m, m’ hót nhau nh÷ng lùc F vμ F’ cã cïng ph−¬ng lμ ®−êng th¼ng nèi 2 chÊt ®iÓm, cïng ®é lín tû lÖ víi m vμ m’ tû lÖ nghÞch r2
m = m’=60kg, r=0,1m => F= 2,4.10-5N
• ¸p dông cho 2 chÊt ®iÓm • ¸p dông cho 2 hai qu¶ cÇu ®ång chÊt
G = 6,67.10-11Nm2/kg2 H»ng sè hÊp dÉn vò trô
1.2. øng dông Sù thay ®æi gia tèc träng tr−êng theo ®é cao
h, m
P mg G = =
R,M Gg =
Mm 2)hR( + M 2)hR( +
2
g
)
=
(g 0
R hR +
21(g
)
g
g
−
≈
=
0
0
G Trªn mÆt ®Êt g = 0
2
h R
)
1(
+
g0 ≈ 9,8 m/s2
M
2
R
GÇn mÆt ®Êt h< TÝnh khèi l−îng cña c¸c thiªn thÓ Khèi l−îng cña qu¶ ®Êt: G g =
0 M
2
R 2 24 M 10.6 kg = = ≈ Rg
0
G 26
)10.37,6(8,9
11
−
10.67,6 Khèi l−îng cña mÆt trêi: 2 G = F
HT 2 'M = FLT v'R
G M F
LT = FHT v
'R 'MM
2
'R v = R’ 'R2
π
T 2 30 'M ( ) 10.2 kg = = 2
π
T 3
'R
G M’ 2. Tr−êng hÊp dÉn 0 = 2.1. Kh¸i niÖm vÒ tr−êng hÊp dÉn:
Xung quanh mét vËt cã khèi l−îng
tån t¹i tr−êng hÊp dÉn
BÊt cø vËt nμo cã khèi l−îng trong
tr−êng hÊp dÉn ®Òu chÞu t¸c dông cña
lùc hÊp dÉn: Lùc träng tr−êng
2.2. B¶o toμn m«men ®éng l−îng trong tr−êng hÊp dÉn
r
)F(/
0 r
L
M r
Ld
dt O rr const r
μ=
r
L = Lùc xuyªn t©m vr
ChuyÓn ®éng trªn quü ®¹o ph¼ng vu«ng
gãc víi L=> Quü ®¹o tr¸i ®Êt ph¼ng m 2.3. TÝnh chÊt tr−êng hÊp dÉn: r
r
r'r
−= r
sd
rr
sdF dA .PQ.F cos = = α P
Qsdr
α r
F
'rr dr cos M, O dA Fdr A
rr −= −= G
r
B A GMm −= AB Mm
2
r
dr
2
r G( G( A ) ) −= −− AB Mm
r
B .PQ
=α
DÊu - do r gi¶m,
F lμ lùc hót
AAB chØ phô thuéc
vμo ®iÓm ®Çu vμ
®iÓm cuèi cña
chuyÓn dêi
=>Tr−êng lùc thÕ ∫
r
A
Mm
r
A
DÊu - thÓ hiÖn t−¬ng t¸c hót B
dr HÖ qu¶ C)
+ G(Wt
−= Mm
r
ThÕ n¨ng cña chÊt ®iÓm trong tr−êng hÊp dÉn
®−îc ®Þnh nghÜa sai kh¸c mét h»ng sè céng,
nh−ng hiÖu thÕ n¨ng gi÷a 2 ®iÓm hoμn toμn x¸c
®Þnh
2.4. B¶o toμn c¬ n¨ngcña chÊt ®iÓm trong
tr−êng hÊp dÉn Wt(∞)=0 2 W = W® + Wt W const G( ) = −+ = mv
2 Mm
r
r t¨ng => thÕ n¨ng t¨ng, ®éng n¨ng gi¶m C = 0 4. ChuyÓn ®éng trong tr−êng hÊp dÉn cña tr¸i ®Êt v > v2 v1-VËn tèc vò trô cÊp I
v2-VËn tèc vò trô cÊp II
B¾n vËt lªn tõ mÆt ®Êt:
v < v1:VËt r¬i trë l¹i mÆt ®Êt vr v = v1:VËt bay theo quÜ ®¹o
trßn quanh tr¸i ®Êt v1 v > v2:VËt bay khái tr−êng hÊp dÉn cña tr¸i ®Êt
v1 v Rg v s/km9,7 = = g a = = 0 1 0 0 VËn tèc vò trô cÊp I
Gia tèc li t©m = gia tèc träng tr−êng.
Coi quÜ ®¹o gÇn mÆt ®Êt
2
v
1
R
VËn tèc vò trô cÊp II C¬ n¨ng khi b¾n = C¬ n¨ng ë xa v« cïng 2
2 2
∞ G( G( ) ) −+ = −+ mv
2 Mm
∞ v Rg2 s/km2,11 ≥ = G( ) 0 −+ > 2 0 mv
2
mv 2
2
2 Mm
R
Mm
R
