Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường
Chương 3
Đạo hàm
và
các ứng dụng
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 41 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường
3.1. Các quy tắc của đạo hàm
3.1.1. Định nghĩa đạo hàm
Đạo hàm của hàm số y=f(x)theo biến xlà hàm f′như sau
f′(x) = lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h=df
dx =dy
dx =y′.(13)
Ví dụ: Tìm đạo hàm của f(x) = √x+2.
f′(x) = lim
h→0
(√x+h+2)−(√x+2)
h
= lim
h→0
√x+h−√x
h
= lim
h→0
1
√x+h+√x=1
2√x.
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 42 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường
3.1.1. Định nghĩa đạo hàm
Hàm số f(x)có đạo hàm tại xnếu và chỉ nếu nó có đạo hàm bên
trái và đạo hàm bên phải và các đạo hàm này bằng nhau:
lim
h→0−
f(x+h)−f(x)
h= lim
h→0+
f(x+h)−f(x)
h=f′(x)(14)
Hàm số f(x)được gọi là khả vi trên một miền mở nếu nó có đạo
hàm tại tất cả các điểm trong miền này.
Hàm số f(x)khả vi trên một miền đóng [a,b]nếu nó khả vi trên
miền mở (a,b)và có đạo hàm bên phải tại điểm biên trái và có đạo
hàm bên trái tại điểm biên phải.
Nếu fcó đạo hàm tại x, thì nó liên tục tại x.
Nếu fliên tục tại x, nó có đạo hàm tại xkhông?
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 43 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường
3.1.1. Định nghĩa đạo hàm
Ví dụ: Chứng minh rằng f(x) = |x|không có đạo hàm tại x=0.
Ta có
f′
−(0) = lim
h→0−
|0+h| − |0|
h=−1,
f′
+(0) = lim
h→0+|0+h| − |0|
h=1.
Do f′
−(0)6=f′
+(0)nên f(x)
không có đạo hàm tại x=0.
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 44 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường
3.1.1. Định nghĩa đạo hàm
Bài tập: Dùng định nghĩa để tính các đạo hàm sau
1) f(x) = x2+1 tại x=1. 2) f(x) = 1
x−1tại x=2.
3) f(x) = √x+3 tại x=1. 4) f(x) = sin xtại x=π.
Bài tập: Các hàm số sau đây có khả vi hay không?
5) y=x,x<0,
−x,x≥0.6) y=x,x≤1,
−x2+2x,x>1.
7) y=(x,x≤0,
1
x,x>0.8) y=(x2sin 1
x,x6=0,
0,x=0.
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 45 / 148