Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường
Chương 4
Tích phân
và
các ứng dụng
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 82 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường
4.1. Nguyên hàm của hàm số
4.1.1. Nguyên hàm và tích phân bất định
Tập hợp tất cả nguyên hàm của hàm số fđược gọi là tích phân bất
định của ftheo biến x, và được kí hiệu bởi
Zf(x)dx.(24)
Các quy tắc của tích phân bất định:
(i). Zf(x)dx′=f(x). (ii). dZf(x)dx=f(x).
(iii). Zdf =f(x) + c. (iv). Zcf (x)dx =cZf(x)dx.
(v). Zf1(x)±f2(x)dx =Zf1(x)dx ±Zf2(x)dx.
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 83 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường
4.1.1. Nguyên hàm và tích phân bất định
(i). Zxndx =xn+1
n+1+C. (ii). Z1
xdx = ln |x|+C.
(iii). Zdx
a2+x2=1
aarctan x
a. (iv). Zdx
a2−x2=1
2aln |a+x|
|a−x|+C.
(v). Zdx
√a2−x2= arcsin x
a+C. (vi). Zdx
√x2±a2= ln |x+px2±a2|+C.
Tích phân bất định của một số hàm cơ bản
(vii). Zu′sin udx =−cos u+C.(viii). Zu′cos udx = sin u+C.
(ix). Zu′tan udx =−ln |cos u|+C.(x). Zu′cot udx = ln |sin u|+C.
(xi). Z1
sin xdx = ln |tan x
2|+C.(xii). Z1
cos xdx = ln |tan x
2+π
4|+C
(xiii). Zu′eudx =eu+C.(xiv). Zu′audx =au
ln a+C.
(xv). Zln xdx =x(ln x−1) + C.(xvi). Zlogaxdx =x(ln x−1)
ln a+C.
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 84 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường
4.1.1. Nguyên hàm và tích phân bất định
Bài tập: Tìm các tích phân bất định sau
1) Z(x+1)2dx. 2) Z(1+√x)2
3
√xdx.
3) Zx2
x2+4dx. 4) Zx4−2x2+10
5−x2dx.
5) Z(ln x+1
x−ex)dx. 6) Z√x2−4−√x2+4
√x4−16 dx.
7) Z(sin x+ cos x)2
sin xdx. 8) Z(√cos x+1
√cos x)2dx.
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 85 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường
4.1.2. Phương pháp thế
Nếu u=g(x)là hàm khả vi mà tập giá trị của nó là tập Ivà fliên
tục trên Ithì
Zf(g(x))g′(x)dx =Zf(u)du.(25)
Ví dụ: Tìm Z2x+1
x2+x−3dx.
Đặt u=x2+x−3 thì du = (2x+1)dx. Chúng ta thu được
Z2x+1
x2+x−3dx =Zdu
u
= ln |u|+C
= ln |x2+x−3|+C.
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 86 / 148