Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 7 - Kiểm định giả thuyết hai mẫu

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Xác suất thống kê" Chương 7 - Kiểm định giả thuyết hai mẫu, được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Kiểm định giả thuyết so sánh hai trung bình (hai mẫu độc lập); Phân phối Fisher và kiểm định giả thuyết so sánh hai phương sai; Kiểm định giả thuyết so sánh hai tỉ lệ với cỡ mẫu lớn. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 7 - Kiểm định giả thuyết hai mẫu

Chương 7. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT HAI MẪU 1. Kiểm định giả thuyết so sánh hai trung bình (hai mẫu độc lập) 2. Phân phối Fisher và kiểm định giả thuyết so sánh hai phương sai 3. Kiểm định giả thuyết so sánh hai tỉ lệ với cỡ mẫu lớn
1. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT SO SÁNH HAI TRUNG BÌNH (HAI MẪU ĐỘC LẬP) 1.1. Kiểm định so sánh hai trung bình khi phương sai đã biết. 1.2. Kiểm định so sánh hai trung bình khi phương sai bằng nhau chưa biết. 1.3. Kiểm định so sánh hai trung bình khi phương sai khác nhau chưa biết.
 Các giả định chung về kiểm định cho trung bình ở hai tổng thể độc lập. Giả định i. Quan trắc 𝑋11 , … , 𝑋1𝑛1 là một mẫu ngẫu nhiên lấy từ tổng thể 1 có phân phối 2 chuẩn với trung bình 𝜇1 và phương sai 𝜎1 . ii. Quan trắc 𝑋21 , … , 𝑋2𝑛2 là một mẫu ngẫu nhiên lấy từ tổng thể 2 có phân phối 2 chuẩn với trung bình 𝜇2 và phương sai 𝜎2 . iii. Hai tổng thể đại diện bởi 𝑋1 , 𝑋2 là độc lập nhau. Khi đó, bài toán kiểm định sẽ có 3 trường hợp 𝐻0 : 𝜇1 − 𝜇2 = 𝛥0 𝐻0 : 𝜇1 − 𝜇2 ≥ Δ0 𝐻0 : 𝜇1 − 𝜇2 ≤ Δ0 1 ቊ 2 ቊ 3 ቊ 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 𝛥0 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 < Δ0 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 > Δ0 với 𝛥0 là một hằng số.
1.1. Kiểm định so sánh hai trung bình khi phương sai đã biết. 1.1.1. Bài toán Cho biến ngẫu nhiên 𝑋1 , 𝑋2 có trung bình lần lượt là 𝜇1 , 𝜇2 chưa biết và phương sai 2 2 𝜎1 , 𝜎2 đã biết. Một mẫu dữ liệu 𝑥11 , 𝑥12 , … , 𝑥1𝑛1 của 𝑋1 và một mẫu dữ liệu 𝑥21 , 𝑥22 , … , 𝑥2𝑛2 của 𝑋2 được thu thập. Hãy kiểm định giả thuyết so sánh hai trung bình 𝐻0 : 𝜇1 − 𝜇2 = 𝛥0 𝐻0 : 𝜇1 − 𝜇2 ≥ Δ0 𝐻0 : 𝜇1 − 𝜇2 ≤ Δ0 1 ቊ 2 ቊ 3 ቊ 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 𝛥0 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 < Δ0 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 > Δ0 với mức ý nghĩa 𝛼 cho trước và 𝛥0 đã biết.
1.1. Kiểm định so sánh hai trung bình khi phương sai đã biết. 1.1.2. Các bước thực hiện 1/ Lập giả thuyết 2/ Xác định mức ý nghĩa 𝛼. 3/ Tính thống kê kiểm định ത1 − ത2 −Δ0 𝑋 𝑋 𝑍0 = ~ 𝑁 0,1 𝜎2 1 𝜎2 2 𝑛1 + 𝑛2 4/ Xác định miền bác bỏ hoặc tính p – giá trị 5/ So sánh và kết luận Đối thuyết Miền bác bỏ p-giá trị 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 ≠ Δ0 𝑧0 > 𝑧1−𝛼/2 𝑝 − 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị = 2 1 − 𝜙 |𝑧0 | 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 < Δ0 𝑧0 < −𝑧1−𝛼 𝑝 − 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị = 𝜙 𝑧0 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 > Δ0 𝑧0 > 𝑧1−𝛼 𝑝 − 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị = 1 − 𝜙 𝑧0
Ví dụ 1.1 Tốc độ cháy của hai loại nguyên liệu rắn sử dụng trong động cơ tên lửa được nghiên cứu. Được biết tốc độ cháy của hai loại này có xấp xỉ phân phối chuẩn với 𝜎1 = 𝜎2 = 3 cm/s. Hai mẫu ngẫu nhiên với cỡ mẫu 𝑛1 = 𝑛2 = 20 được xem xét có tốc độ cháy trung bình 𝑥1 = 18 cm/s và 𝑥ҧ2 = 24 cm/s. Kiểm định xem hai loại này có ҧ cùng trung bình hay không? Với 𝛼 = 0.05, hãy tìm p-giá trị. Giải Gọi 𝑋1 (cm/s) là tốc độ cháy của nguyên liệu thứ nhất. 1/ Lập giả thuyết 𝑋2 (cm/s) là tốc độ cháy của nguyên liệu thứ hai. 2/ Xác định mức ý nghĩa 𝛼 2 2 Theo đề bài: 𝑋1 ∼ 𝑁(𝜇1 ; 𝜎1 ); 𝑋2 ∼ 𝑁(𝜇2 ; 𝜎2 ). 3/ Tính thống kê kiểm định ത1 − ത2 −Δ0 𝑋 𝑋 𝜎1 = 𝜎2 = 3 : đã biết. 𝑍0 = Mẫu 1: 𝑛1 = 20; 𝑥ҧ1 = 18. 𝜎2 1 𝜎2 2 + Mẫu 2: 𝑛2 = 20; 𝑥ҧ2 = 24. 𝑛1 𝑛2 𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2 4/ Xác định miền bác bỏ 1/ Lập giả thuyết ቊ : kiểm định 2 phía 𝐻1 : 𝜇1 ≠ 𝜇2 hoặc tính p – giá trị. ⇒ Δ0 = 𝜇1 − 𝜇2 = 0. 5/ So sánh và kết luận 2/ Mức ý nghĩa: 𝛼 = 0.05
1/ Lập giả thuyết 𝜎1 = 𝜎2 = 3 : đã biết. 2/ Xác định mức ý nghĩa 𝛼 Mẫu 1: 𝑛1 = 20; 𝑥ҧ1 = 18. 3/ Tính thống kê kiểm định Mẫu 2: 𝑛2 = 20; 𝑥ҧ2 = 24. ത1 − ത2 −Δ0 𝑋 𝑋 𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2 𝑍0 = 1/ Lập giả thuyết ቊ : kiểm định 2 phía 𝜎2 𝜎2 𝐻1 : 𝜇1 ≠ 𝜇2 1 + 2 𝑛1 𝑛2 ⇒ Δ0 = 𝜇1 − 𝜇2 = 0. 2/ Mức ý nghĩa: 𝛼 = 0.05 4/ Xác định miền bác bỏ hoặc tính p – giá trị. 3/ Thống kê kiểm định 5/ So sánh và kết luận 𝑥ҧ 1 − 𝑥ҧ 2 −Δ0 18−24−0 𝑧0 = = ≈ −6.32456. 32 32 𝜎2 1+ 𝜎2 2 + 20 20 𝑛1 𝑛2 4/ Miền bác bỏ: Bác bỏ 𝐻0 khi 𝑧0 > 𝑧1−𝛼/2 𝛼 = 0.05 ⇒ 𝑧1−𝛼/2 = 𝑧0.975 = 1.96.
𝜎1 = 𝜎2 = 3 : đã biết. 5/ So sánh Mẫu 1: 𝑛1 = 20; 𝑥ҧ1 = 18. Ta có: |z0 | > 𝑧1−𝛼/2 Mẫu 2: 𝑛2 = 20; 𝑥ҧ2 = 24. ⇔ 6.32456 > 1.96 (đúng) 𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2 ⇒ bác bỏ 𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2 . 1/ Lập giả thuyết ቊ : kiểm định 2 phía 𝐻1 : 𝜇1 ≠ 𝜇2 ⇒ Δ0 = 𝜇1 − 𝜇2 = 0. Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, hai 2/ Mức ý nghĩa: 𝛼 = 0.01 loại nguyên liệu rắn không có cùng trung bình. 3/ Thống kê kiểm định 𝑥ҧ 1 − 𝑥ҧ 2 −Δ0 18−24−0 Tính p-giá trị: 𝑧0 = = ≈ −6.32456. 32 32 𝜎2 1+ 𝜎2 2 + 20 20 𝑝 − 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị = 2[1 − 𝜙 𝑧0 ] 𝑛1 𝑛2 = 2 1 − 𝜙 −6.32456 4/ Miền bác bỏ: = 2[1 − 𝜙 6.32456 ] Bác bỏ 𝐻0 khi 𝑧0 > 𝑧1−𝛼/2 ≈ 0. 𝛼 = 0.05 ⇒ 𝑧1−𝛼/2 = 𝑧0.975 = 1.96.
Bài 7.1 Một công ty sản xuất sơn nghiên cứu về 1 loại phụ gia làm giảm thời gian khô của sơn. Thực hiện thí nghiệm trên 2 mẫu: mẫu thứ nhất gồm 10 mẫu vật được sơn bằng loại sơn bình thường; mẫu thứ hai gồm 10 mẫu vật được sơn với sơn có chất phụ gia mới. Trong những nghiên cứu trước, biết rằng độ lệch tiêu chuẩn của thời gian khô sau khi quét sơn là 8 phút và không thay đổi khi thêm phụ gia vào. Trung bình của mẫu 1 và 2 lần lượt là 𝑥1 = 121 phút và 𝑥ҧ2 = 112 phút. Với mức ý nghĩa ҧ 5%, hãy cho kết luận về loại sơn với chất phụ gia mới. 1/ Lập giả thuyết Giải 2/ Xác định mức ý nghĩa 𝛼 Gọi 𝑋1 (phút) là thời gian khô sau khi quét của loại sơn bình thường. 3/ Tính thống kê kiểm định 𝑋2 (phút) là thời gian khô sau khi quét của loại sơn có chất phụ gia mới. ത1 − ത2 −Δ0 𝑋 𝑋 2 2 Theo đề bài: 𝑋1 ∼ 𝑁(𝜇1 ; 𝜎1 ); 𝑋2 ∼ 𝑁(𝜇2 ; 𝜎2 ). 𝑍0 = 𝜎1 = 𝜎2 = 8 : đã biết. 𝜎2 𝜎2 1 2 Mẫu 1: 𝑛1 = 10; 𝑥ҧ1 = 121. + 𝑛1 𝑛2 Mẫu 2: 𝑛2 = 10; 𝑥ҧ2 = 112. 1/ Lập giả thuyết ቊ 0 1 𝐻 : 𝜇 ≤ 𝜇2 : kiểm định 1 phía với Δ0 = 𝜇1 − 𝜇2 = 0. 4/ Xác định miền bác bỏ 𝐻1 : 𝜇1 > 𝜇2 hoặc tính p – giá trị. 5/ So sánh và kết luận
Bài 7.1 Một công ty sản xuất sơn nghiên cứu về 1 loại phụ gia làm giảm thời gian khô của sơn. Thực hiện thí nghiệm trên 2 mẫu: mẫu thứ nhất gồm 10 mẫu vật được sơn bằng loại sơn bình thường; mẫu thứ hai gồm 10 mẫu vật được sơn với sơn có chất phụ gia mới. Trong những nghiên cứu trước, biết rằng độ lệch tiêu chuẩn của thời gian khô sau khi quét sơn là 8 phút và không thay đổi khi thêm phụ gia vào. Trung bình của mẫu 1 và 2 lần lượt là 𝑥1 = 121 phút và 𝑥ҧ2 = 112 phút. Với mức ý nghĩa ҧ 5%, hãy cho kết luận về loại sơn với chất phụ gia mới. Giải Gọi 𝑋1 (phút) là thời gian khô sau khi quét của loại sơn bình thường. 𝑋2 (phút) là thời gian khô sau khi quét của loại sơn có chất phụ gia mới. 2 2 Theo đề bài: 𝑋1 ∼ 𝑁(𝜇1 ; 𝜎1 ); 𝑋2 ∼ 𝑁(𝜇2 ; 𝜎2 ). 𝜎1 = 𝜎2 = 8 : đã biết. Mẫu 1: 𝑛1 = 10; 𝑥ҧ1 = 121. Mẫu 2: 𝑛2 = 10; 𝑥ҧ2 = 112. 𝐻0 : 𝜇1 ≤ 𝜇2 1/ Lập giả thuyết ቊ : kiểm định 1 phía với Δ0 = 𝜇1 − 𝜇2 = 0. 𝐻1 : 𝜇1 > 𝜇2
Giải Gọi 𝑋1 (phút) là thời gian khô sau khi quét của loại sơn bình thường. 𝑋2 (phút) là thời gian khô sau khi quét của loại sơn có chất phụ gia mới. 2 2 Theo đề bài: 𝑋1 ∼ 𝑁(𝜇1 ; 𝜎1 ); 𝑋2 ∼ 𝑁(𝜇2 ; 𝜎2 ). 𝜎1 = 𝜎2 = 8 : đã biết. 1/ Lập giả thuyết Mẫu 1: 𝑛1 = 10; 𝑥ҧ1 = 121. 2/ Xác định mức ý nghĩa 𝛼 Mẫu 2: 𝑛2 = 10; 𝑥ҧ2 = 112. 3/ Tính thống kê kiểm định 𝐻0 : 𝜇1 ≤ 𝜇2 ത1 − ത2 −Δ0 𝑋 𝑋 1/ Lập giả thuyết ቊ : kiểm định 1 phía 𝑍0 = 𝐻1 : 𝜇1 > 𝜇2 𝜎2 2 Δ0 = 𝜇1 − 𝜇2 = 0. 1 + 𝜎2 𝑛1 𝑛2 2/ Mức ý nghĩa: 𝛼 = 0.05 3/ Thống kê kiểm định 4/ Xác định miền bác bỏ 𝑥ҧ 1 − 𝑥ҧ 2 −Δ0 121−112−0 hoặc tính p – giá trị. 𝑧0 = = 2 82 = 2.52 5/ So sánh và kết luận 8 𝜎2 1+ 𝜎2 2 + 10 10 𝑛1 𝑛2
Giải Gọi 𝑋1 (phút) là thời gian khô sau khi quét của loại sơn bình thường. 𝑋2 (phút) là thời gian khô sau khi quét của loại sơn có chất phụ gia mới. 2 2 Theo đề bài: 𝑋1 ∼ 𝑁(𝜇1 ; 𝜎1 ); 𝑋2 ∼ 𝑁(𝜇2 ; 𝜎2 ). 𝜎1 = 𝜎2 = 8 : đã biết. Mẫu 1: 𝑛1 = 10; 𝑥ҧ1 = 121. 4/ Miền bác bỏ: Mẫu 2: 𝑛2 = 10; 𝑥ҧ2 = 112. Bác bỏ 𝐻0 khi z0 > 𝑧1−𝛼 𝐻0 : 𝜇1 ≤ 𝜇2 𝛼 = 0.05 ⇒ 𝑧1−𝛼 = 𝑧0.95 = 1.645 1/ Lập giả thuyết ቊ : kiểm định 1 phía 𝐻1 : 𝜇1 > 𝜇2 5/ So sánh Δ0 = 𝜇1 − 𝜇2 = 0. Ta có: z0 > 𝑧1−𝛼 2/ Mức ý nghĩa: 𝛼 = 0.05 ⇔ 2.52 > 1.645 (đúng) 3/ Thống kê kiểm định ⇒ bác bỏ 𝐻0 : 𝜇1 ≤ 𝜇2 . 𝑥ҧ 1 − 𝑥ҧ 2 −Δ0 121−112−0 Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, chất 𝑧0 = = = 2.52 2 𝜎2 82 82 phụ gia mới có hiệu quả làm giảm 𝜎1 + + 2 10 10 thời gian khô sau khi sơn. 𝑛1 𝑛2
1.2 Kiểm định so sánh hai trung bình khi phương sai bằng nhau chưa biết. 1.2.1. Bài toán Cho biến ngẫu nhiên 𝑋1 , 𝑋2 có trung bình lần lượt là 𝜇1 , 𝜇2 chưa biết và phương sai 2 2 𝜎1 , 𝜎2 chưa biết, nhưng biết bằng nhau. Một mẫu dữ liệu 𝑥11 , 𝑥12 , … , 𝑥1𝑛1 của 𝑋1 và một mẫu dữ liệu 𝑥21 , 𝑥22 , … , 𝑥2𝑛2 của 𝑋2 được thu thập. Hãy kiểm định giả thuyết so sánh hai trung bình 𝐻0 : 𝜇1 − 𝜇2 = 𝛥0 𝐻0 : 𝜇1 − 𝜇2 ≥ Δ0 𝐻0 : 𝜇1 − 𝜇2 ≤ Δ0 1 ቊ 2 ቊ 3 ቊ 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 𝛥0 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 < Δ0 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 > Δ0 với mức ý nghĩa 𝛼 cho trước và 𝛥0 đã biết.
1.2 Kiểm định so sánh hai trung bình khi phương sai bằng nhau chưa biết. 1.2.2. Các bước thực hiện 1/ Lập giả thuyết. 2/ Xác định mức ý nghĩa 𝛼. 3/ Tính thống kê kiểm định ത1 − ത2 −Δ0 𝑋 𝑋 𝑇0 = 𝑆2𝑝 𝑆2𝑝 𝑛1 + 𝑛 2 2 2 𝑛1 −1 𝑆1 + 𝑛2 −1 𝑆2 trong đó 𝑆 2 = 𝑝 . 𝑛1 +𝑛2 −2 4/ Xác định miền bác bỏ hoặc tính p – giá trị 5/ So sánh và kết luận Đối thuyết Miền bác bỏ p-giá trị 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 ≠ Δ0 𝑡0 > 𝑡 𝛼/2; 𝑛1 +𝑛2 −2 𝑝 − 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị = 2ℙ 𝑇 ≥ 𝑡0 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 < Δ0 𝑡0 < −𝑡 𝛼;𝑛1 +𝑛2−2 𝑝 − 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị = ℙ 𝑇 ≤ 𝑡0 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 > Δ0 𝑡0 > 𝑡 𝛼;n1+n2−2 𝑝 − 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị = ℙ 𝑇 ≥ 𝑡0
Bài 7.6 Hai chất xúc tác có thể được sử dụng trong một phản ứng hóa học hàng loạt. Mười hai lô được sử dụng chất xúc tác 1, dẫn đến hiệu suất trung bình là 86 và độ lệch chuẩn mẫu là 3. Mười lăm lô được sử dụng chất xúc tác 2 và kết quả là hiệu suất trung bình 89 với độ lệch chuẩn là 2. Giả sử hiệu suất các phép đo xấp xỉ phân phối chuẩn với cùng độ lệch chuẩn. Có bằng chứng để khẳng định rằng chất xúc tác 2 tạo ra hiệu suất trung bình cao hơn chất xúc tác 1? Sử dụng 𝛼 = 0.01. 1/ Lập giả thuyết Giải 2/ Xác định mức ý nghĩa 𝛼 Gọi 𝑋1 (%) là hiệu suất mỗi lô sử dụng chất xúc tác 1; 3/ Tính thống kê kiểm định 𝑋2 (%) là hiệu suất mỗi lô sử dụng chất xúc tác 2. 2 𝑛1 −1 𝑆1 + 𝑛2 −1 𝑆2 2 2 2 Theo đề bài: 𝑋1 ∼ 𝑁(𝜇1 ; 𝜎1 ); 𝑋2 ∼ 𝑁(𝜇2 ; 𝜎2 ). 𝑆2 = 𝑝 𝑛1 +𝑛2 −2 𝜎1 = 𝜎2 : chưa biết. ത1 − ത2 − Δ0 𝑋 𝑋 Mẫu 1: 𝑛1 = 12; 𝑥ҧ1 = 86; 𝑠1 = 3. ⇒ 𝑇0 = Mẫu 2: 𝑛2 = 15; 𝑥ҧ2 = 89; 𝑠2 = 2. 𝑆 2 /𝑛1 + 𝑆 2 /𝑛2 𝑝 𝑝 𝐻0 : 𝜇1 ≥ 𝜇2 4/ Xác định miền bác bỏ 1/ Lập giả thuyết ቊ : kiểm định 1 phía 𝐻1 : 𝜇1 < 𝜇2 hoặc tính p – giá trị. ⇒ Δ = 𝜇 − 𝜇 = 0. 5/ So sánh và kết luận
2 2 𝜎1 = 𝜎2 : chưa biết. 1/ Lập giả thuyết Mẫu 1: 𝑛1 = 12; 𝑥ҧ1 = 86; 𝑠1 = 3. 2/ Xác định mức ý nghĩa 𝛼 Mẫu 2: 𝑛2 = 15; 𝑥ҧ2 = 89; 𝑠2 = 2. 3/ Tính thống kê kiểm định 2 2 𝑛1 −1 𝑆1 + 𝑛2 −1 𝑆2 𝐻0 : 𝜇1 ≥ 𝜇2 𝑆2 = 𝑝 1/ Lập giả thuyết ቊ : kiểm định 1 phía 𝑛1 +𝑛2 −2 𝐻1 : 𝜇1 < 𝜇2 ത1 − ത2 − Δ0 𝑋 𝑋 ⇒ Δ0 = 𝜇1 − 𝜇2 = 0. ⇒ 𝑇0 = 2/ Mức ý nghĩa: 𝛼 = 0.01 𝑆 2 /𝑛1 + 𝑆 2 /𝑛2 𝑝 𝑝 3/ Thống kê kiểm định 2 2 4/ Xác định miền bác bỏ 𝑛1 −1 𝑠1 + 𝑛2 −1 𝑠2 12−132 + 15−1 22 𝑠2 𝑝 = = = 6.2 hoặc tính p – giá trị. 𝑛1 +𝑛2 −2 12+15−2 5/ So sánh và kết luận 𝑥ҧ1 − 𝑥ҧ2 − Δ0 86 − 89 − 0 ⇒ 𝑡0 = = = −3.11086 𝑆2 𝑆2 6.2 6.2 𝑝 𝑝 + + 12 15 𝑛1 𝑛2 4/ Miền bác bỏ: Bác bỏ 𝐻0 khi 𝑡0 < −𝑡 𝛼; 𝑛1 +𝑛2 −2 𝛼 = 0.01 ⇒ −𝑡 𝛼; 𝑛1+𝑛2−2 = −𝑡0.01;25 = −2.485
2 2 𝜎1 = 𝜎2 : chưa biết. Mẫu 1: 𝑛1 = 12; 𝑥ҧ1 = 86; 𝑠1 = 3. Mẫu 2: 𝑛2 = 15; 𝑥ҧ2 = 89; 𝑠2 = 2. 𝐻0 : 𝜇1 ≥ 𝜇2 1/ Lập giả thuyết ቊ : kiểm định 1 phía 5/ So sánh 𝐻1 : 𝜇1 < 𝜇2 Ta có 𝑡0 < −𝑡 𝛼; 𝑛1 +𝑛2 −2 ⇒ Δ0 = 𝜇1 − 𝜇2 = 0. ⇔ −3.11086 < −2.485 (đúng) 2/ Mức ý nghĩa: 𝛼 = 0.01 ⇒ bác bỏ 𝐻0 : 𝜇1 ≥ 𝜇2 . 3/ Thống kê kiểm định Kết luận: Với mức ý nghĩa 2 2 𝑛1 −1 𝑠1 + 𝑛2 −1 𝑠2 12−1 32 + 15−1 22 𝑠2 = 𝑝 = = 6.2 1%, có bằng chứng để khẳng 𝑛1 +𝑛2 −2 12+15−2 định rằng chất xúc tác 2 tạo ra 𝑥ҧ1 − 𝑥ҧ2 − Δ0 86 − 89 − 0 ⇒ 𝑡0 = = = −3.11086 hiệu suất trung bình cao hơn 𝑆2 𝑆2 6.2 6.2 chất xúc tác 1. 𝑝 𝑝 + + 12 15 𝑛1 𝑛2 4/ Miền bác bỏ: Bác bỏ 𝐻0 khi 𝑡0 < −𝑡 𝛼; 𝑛1 +𝑛2 −2 𝛼 = 0.01 ⇒ −𝑡 𝛼; 𝑛1+𝑛2−2 = −𝑡0.01;25 = −2.485
1.3. Kiểm định so sánh hai trung bình khi phương sai khác nhau chưa biết. 1.3.1. Bài toán Cho biến ngẫu nhiên 𝑋1 , 𝑋2 có trung bình lần lượt là 𝜇1 , 𝜇2 chưa biết và phương sai 2 2 𝜎1 , 𝜎2 chưa biết, nhưng biết khác nhau. Một mẫu dữ liệu 𝑥11 , 𝑥12 , … , 𝑥1𝑛1 của 𝑋1 và một mẫu dữ liệu 𝑥21 , 𝑥22 , … , 𝑥2𝑛2 của 𝑋2 được thu thập. Hãy kiểm định giả thuyết so sánh hai trung bình 𝐻0 : 𝜇1 − 𝜇2 = 𝛥0 𝐻0 : 𝜇1 − 𝜇2 ≥ Δ0 𝐻0 : 𝜇1 − 𝜇2 ≤ Δ0 1 ቊ 2 ቊ 3 ቊ 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 𝛥0 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 < Δ0 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 > Δ0 với mức ý nghĩa 𝛼 cho trước và 𝛥0 đã biết.
1.3. Kiểm định so sánh hai trung bình khi phương sai khác nhau chưa biết. 1.3.2. Các bước thực hiện 1/ Lập giả thuyết 2/ Xác định mức ý nghĩa 𝛼. 3/ Tính thống kê kiểm định ത1 − ത2 −Δ0 2 /𝑛 +𝑆 2 /𝑛 2 𝑆1 1 𝑋 𝑋 2 2 𝑇0 = ~ 𝑡 𝑣 với 𝑣 = 2 /𝑛 2 2 /𝑛 2 . 2 2 𝑆1 /𝑛1 +𝑆2 /𝑛2 𝑆1 1 𝑆 2 𝑛1 −1 + 2 −1 𝑛2 trong đó 𝑎 là phép lấy phần nguyên và nhỏ hơn 𝑎, ví dụ 38.89 = 38. 4/ Xác định miền bác bỏ hoặc tính p – giá trị. 5/ So sánh và kết luận Đối thuyết Miền bác bỏ p-giá trị 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 ≠ Δ0 𝑡0 > 𝑡 𝛼/2;𝑣 𝑝 − 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị = 2ℙ 𝑇 ≥ 𝑡0 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 < Δ0 𝑡0 < −𝑡 𝛼;𝑣 𝑝 − 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị = ℙ 𝑇 ≤ 𝑡0 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 > Δ0 𝑡0 > 𝑡 𝛼;𝑣 𝑝 − 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị = ℙ 𝑇 ≥ 𝑡0
Bài 7.9 Dữ liệu sau thể hiện thời lượng của các bộ phim được sản xuất bởi hai công ty điện ảnh Công ty Thời lượng (phút) 1 102 86 98 109 92 2 81 165 97 134 92 87 114 Kiểm định giả thuyết rằng thời lượng trung bình của các bộ phim được sản xuất bởi công ty 2 dài hơn thời lượng trung bình của các bộ phim được sản xuất bởi công ty 1 là 10 phút với đối thuyết là nhỏ hơn 10 phút. Sử dụng mức ý nghĩa 0.1 và giả sử các phân phối của thời lượng là xấp xỉ chuẩn với các phương sai khác nhau. Giải Gọi 𝑋1 (phút) là thời lượng mỗi bộ phim từ công ty 1. 𝑋2 (phút) là thời lượng mỗi bộ phim từ công ty 2. 2 2 Theo đề bài: 𝑋1 ∼ 𝑁(𝜇1 ; 𝜎1 ); 𝑋2 ∼ 𝑁 𝜇2 ; 𝜎2 . 2 2 𝜎1 ≠ 𝜎2 : chưa biết. 2 Mẫu 1: 𝑛1 = 5; 𝑥1 = 97.4; 𝑠1 = 78.8. ҧ 2 Mẫu 2: 𝑛2 = 7; 𝑥ҧ2 = 110; 𝑠2 ≈ 913.33.