Bài 4. Bất phương trình hữu tỉ và vô tỉ
Giả sử f(x) và g(x) là các hàm số xác định trên các miền D và E tương
ứng. Giải bất phương trình f(x) > g(x) (hay f(x) ≥ g(x)) nghĩa là tìm tất cả
các điểm xo ∈ D ∩ E sao cho f(xo) > g(xo) (hay f(xo ≥ g(xo)) là bất đẳng
thức đúng. Tập hợp các điểm xo như vậy được gọi là tập hợp nghiệm của
bất phương trình.
Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu hai tập hợp nghiệm
tương ứng của chúng là trùng nhau. Ta dùng dấu ⇔ để chỉ sự tương đương
của hai bất phương trình.
1. Bất phương trình hữu tỉ
Trong bất phương trình f(x) > g(x) mà f và g đều là các hàm hữu tỉ thì
nó được gọi là bất phương trình hữu tỉ.
1.1. Bất phương trình bậc nhất
Đó là bất phương trình dạng
ax + b > 0 (1)
(hoặc ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0)
a) Nếu a = 0 thì (1) ⇔ 0x + b > 0. Do đó
nếu b > 0 thì (1) nghiệm đúng với ∀x ∈ R
nếu b < 0 thì (1) vô nghiệm.
b) Nếu a > 0 thì (1) ⇔ x > b
a
−
.
Tập nghiệm là b,
a

−∞


c) Nếu a < 0 thì (1) ⇔ x < b
a
−
. Tập nghiệm là b
,a
−∞



.
Ví dụ 1. Giải bất phương trình
(a2 + a + 1)x + a3 − a > 0, (2)
(a là tham số).
Vì a2 + a + 1 > 0 nên (1) ⇔
3
2
aa
x
aa
−
>
1
+
+.
Ví dụ 2. Giải bất phương trình (ẩn x)
(a + 1)x + (a2 + 2) ≥ 0 (3)
Giải. a) a = −1, (3) nghiệm đúng với mọi x.
b) a > −1, (3) ⇔
2
a2
xa1
+
>−
+
.
c) a < −1, (3) ⇔
2
a2
xa1
+
<−
+
Ví dụ 3. Giải hệ bất phương trình
2x 3 0
x30
+>
−≤
(4)
Hệ (4) ⇔
3
x2
x3
>−
≤−
⇔ x ∈ 3,3
2

−

.
1.2. Bất phương trình bậc hai
1.2.1. Xét bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c > 0
(hoặc ax2 + bx + c ≥ 0), a ≠ 0, a, b, c ∈ R.
Xét bất phương trình
f(x) : = ax2 + bx + c > 0, a ≠ 0 (5)
Ta có
2
2
b
f(x) a x 2a 4a


=+−




, ∆ = b2 − 4ac.
a) Giả sử ∆ < 0. Khi đó
+ nếu a > 0 thì f(x) luôn luôn dương và (5) nghiệm đúng với mọi x.
+ nếu a < 0 thì (5) vô nghiệm
b) Giả sử ∆ = 0.
+ nếu a > 0 thì (5) có tập nghiệm
bb
,,
2a 2a

−∞ − ∪ − + ∞


+ nếu a < 0 thì (5) vô nghiệm.
c) Giả sử ∆ > 0. Khi đó f(x) = a(x − x
1)(x − x
2), trong đó
1
b
x2a
−−∆
=, 2
b
x2a
−+ ∆
=
Từ đó :
+ Nếu a > 0 thì (5) có tập nghiệm (−∞, x1) ∪ (x2, +∞)
+ Nếu a < 0 thì (5) có tập nghiệm là (x2, x1).
Ví dụ 4. Giải bất phương trình
2x2 − 3x + 1 < 0 (6)
Giải. Tam thức bậc hai 2x2 − 3x + 1 có 2 nghiệm
1
1
x2
=, x2 = 1 và a = 2 > 0. Vì vậy (6) có tập nghiệm là 1,1
2



.
Ví dụ 5. Tìm a để phương trình
(a − 2)x2 − 2ax + 2a − 3 = 0 (7)
Có hai nghiệm phân biệt.
Giải. (7) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
a2
0
≠
∆>
⇔ ⇔
2
a2
4a 4(a 2)(2a 3) 0
≠
−− −>
a2
4(a 1)(a 6) 0
≠
−
−−>
⇔ a ∈ (1, 2) ∪ (2, 6).
Ví dụ 6. Tìm a để mọi nghiệm của bất phương trình
x2 − 3x + 2 < 0 (8)
cũng là nghiệm của bất phương trình
f(x) : = ax2 − (3a + 1)x + 3 > 0 (9)
Giải. (8) có tập nghiệm là (1, 2).
Phương trình f(x) = 0 (với a ≠ 0) có nghiệm là 1
a và 3.
a) a = 0. Khi đó (9) ⇔ x < 0 và như vậy a = 0 là giá trị cần tìm.
b) a < 0. Khi đó 1
a < 1 < 2 < 3 và do đó (1, 2) ⊂ 1,3
a

. Vậy a < 0
cũng thỏa mãn.
c) Xét a > 0
c1) Nếu 3 < 1
a (⇔ a < a < 1
3) thì miền nghiệm của (9) là (−∞, 3) ∪
1,
a
∞

⊃ (1, 2)
Như vậy 0 < a < 1
3 cũng thỏa mãn đầu bài.
c2) Xét 13
a≤(⇔ a ≥ 1
3) thì (9) có tập nghiệm 1
M,
a
−∞

∪ (3, +∞).
Để M ⊃ (1, 2) điều kiện cần và đủ là 2 ≤ 1
a ⇔ a ≤ 1
2.
Kết hợp ại ta thấy tập hợp các giá trị a cn tìm là l
{
}
111
a:a ,
323

∈≤≤=


R1
2
.
1.2.2. Định lí đảo về tam thức bậc hai
Giả sử f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0.
a) Nếu tồn tại α sao cho af(α) < 0 thì ∆ > 0 và f(x) có hai nghiệm x1
và x2 thỏa mãn
x1 < α < x2
b) Nếu tồn tại α sao cho
0f
af( ) 0
∆>
α
>
thì f(x) có hai nghiệm x1 < x2 và α ∉ [x1, x2].
c) Nếu tồn tại α sao cho
∆ > 0
af(α) = 0
b
2a
−>α (tương ứng b
2a
−
<α),
thì hai nghiệm x1, x2 của f(x) thỏa mãn
α < x1 < x2 (tương ứng x1 < x2 < α).
d) Nếu tồn tại hai số α và β (α < β) sao cho f(α)f(β) < 0 thì trong
khoảng (α, β) f(x) có đúng một nghiệm.
Ví dụ 7. Tìm tất cả các số a sao cho phương trình
x2 − 2(a − 1)x + (2a + 1) = 0 (1)
có hai nghiệm dương phân biệt.
Giải. Theo 1.2.2.b), điều kiện cần và đủ để (10) có hai nghiệm dương
phân biệt là :
'0
1.f(0) 0
b0
2a
∆>
>
−>
⇔
a(a 4) 0
a10
2a 1 0
−
>
−>
+>
⇔
⇔ a ≥ 4 ⇔ a ∈ [4, +∞).
Ví dụ 8. Tìm tất cả các số a sao cho phương trình
f(x) : = 2x2 − 2(2a + 1)x + a(a − 1) = 0 (11)
có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < a < x2.
Giải. Theo 1.2.2.a), điều kiện cần và đủ để (11) có hai nghiệm x1, x2
thỏa mãn x1 < a < x2 là
2.f(a) = 2a2 − 2(2a + 1)a + a(a − 1) < 0
⇔ −a2 − 3a < 0 ⇔ a ∉ [−3, 0].
Ví dụ 9. Tìm a để bấtphương trình
f(x) : = x2 + ax + a2 + 6a < 0 (12)
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1, 2).
Giải. Đầu tiên, nhận xét rằng (12) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ > 0 ⇔
−3a2 − 24a > 0 ⇔ a(a + 8) < 0
⇔ a ∈ (−8, 0) (13)
Khi đó, (12) có tập nghiệm